Квантовое вейвлет-преобразование Добеши Текст научной статьи по специальности «Математика»

Квантовое вейвлет-преобразование Добеши

Ключевые слова: вейвлеты Добеши, алгоритм Малла, унитарный оператор, квантовые элементы, теорема Готтесмана-Нилла.

Вейвлеты (всплески) представляют собой новую технологию обработки сигналов, как аналоговых так и цифровых. Рассматривается одномерный трехуровневый вейвлет-анализ, позволяющий получать массив вейвлет-коэффициен-тов с линейной сложностью. Новым направлением в теории квантовых вычислений является применение квантовых схем, позволяющих реализовать с их помощью вейвлет-преобразование Добеши. При этом классические биты заменяются на кубиты (квантовые биты), которые хранятся в квантовом регистре. Отличительной чертой вейвлет-анализа является введение новых операций, которые ранее не использовались в цифровой обработке сигналов. Это операция прореживания сигнала (с^о^пзатрЬпд) и операция вставления нулей (ирзатрЙпд). Иногда вейвлеты называют "электронной лупой". Это связано с тем, что в вейвлет-анализе используются уровни разрешения, связанные с операцией сжатия (растяжения). Локальность вейвлет-анализа позволяет эффективно очищать сигналы от импульсных помех и осуществлять гибкое сжатие сигналов. На рис. 3 приведена общая структурная схема трехуровневого вейвлет-анализа и восстановления сигнала. Применение вейвлетов Добеши связано с их простой схемной реализацией в виде набора фильтров низкой частоты (ФНЧ) и фильтров высокой частоты (ФВЧ). Порядок вейвлета Добеши определяется как половина числа весовых коэффициентов фильтров. Подробно рассмотрен пример обычного вейвлет-пре-образования Добеши для тестового сигнала (массив длины 1024) в виде зашумленной синусоиды. Для перехода к квантовому вейвлет-преобразованию необходимо рассмотреть матричную запись вейвлет-преобразования. В случае трехуровневого вейвлет-преобразования массива длины 16 матричная запись содержит три разреженные матрицы, которые и обеспечивают линейную сложность вейвлет-преобразования. Рассматривается реализация быстрого алгоритма (алгоритма Малла) вейвлет-преобразования Добеши №2) с использованием квантовых элементов (гейтов). Теорема Готтесмана-Нилла утверждает, что квантовые схвмы можно моделировать на классических компьютерах с помощью двух однокубитовых элементов: Н (элемент Адамара), Р (фазовый элемент) и одного двухкубитово-го элемента СЫОТ. В качестве примеров рассмотрены квантовое вейвлет-преобразование Хаара ^Ы) для четырех-кубитового массива и матричное представление квантового вейвлет-преобразования Добеши №2) также для четы-рехкубитового входного массива.

Кренкель Т.Э.,

доцент кафедры ТВиПМ МТУСИ, Российская Федерация, Москва, [email protected] 5

Бажанова М.А.,

аспирантка МТУСИ, Российская Федерация, Москва, [email protected]

Введение

Вейвлеты являются д ву х п ара м етр и ч ее к и м семейством ортогональных функций. Непрерывный вейвлет обозначается

-1

(2)

(1)

и представляет еобой волнообразную функцию, самоподобную относительно параметров растяжения (сжатия) О < а < го и сдвига - оо < Ь < °о.

Замена синусов и косинусов (классический гармонический анализ) на вейвлеты приводит к повышению разрешающей способности спектральных приборов по отношению к коротким веплескам сигналов. Поэтому вейвлет-анализ иногда сравнивают с «электронной лупой». Это свойство вейвлетов связано с их локализацией но осям а и Ь.

Непрерывное вей в лет-преобразование (НВП) является скалярным произведением анализируемого сигнала с веналетом у, так же как преобразование Фурье представляет собой скалярное произведение сигнала с комплексной экспонентов. Но в случае НВП, вследствие зависимости вейвлетов от двух параметров и их локализованное™, мы получаем вей влет-спектрограмму - 2-мерный образ анализируемого сигнала в координатной плоскости (а.Ь).

Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) применяется при анализе дискретных сигналов (последовательностей) с помощью дискретных вейвлетов

где целочисленные параметры / и к обозначают, соответственно, уровень разрешения (масштаб) и сдвиг.

Общая теория вейвлетов была создана в начале 80-х прошлого века [1]. Кроме энциклопедии вейвлетов [2] сейчас имеется множество книг но вейвлетам, в том числе практические пособия по применению вейвлетов в системе МАТЬАВ [3,4].

Большинство семейств дискретных вейвлетов строится на основе нескольких аксиом кратно-масштабного анализа [5].

В общем случае вейвлеты обладают только двумя свойствами из трех фундаментальных свойств:

1) Ортогональность (Это основное свойство, оно обязательно должно соблюдаться между различными уровнями разрешения, но не всегда соблюдается в пределах одного заданного уровня разрешения. В этом случае семейство вейвлетов называется полуортогональным).

2) Компактность носителя.

3) Симметричность формы.

Семейств вейвлетов, которые обладают всеми тремя свойствами, не существует.

Вейвлеты Добеши и быстрый алгоритм Малла

дискретного вейвлет-преобразования

Любая квадратично интегрируемая функция /'(.у) может быть представлена в виде вей влет-разложения

где

вей влет-коэффициенты.

(3)

(4)

циенты J, - среднечастотный шум, а детализирующие коэффициенты d — высокочастотный шум.

Как видно из этого рисунка массив вейвлет-коэффициентов (результат ДВП) имеет вил {a3;^i-,d2;dl},

где массивы и А имеют длину равную 1/8 исходного массива, массив d2 имеет длину равную 1/4 исходного массива, а массив d, имеет длину равную 1/2 исходного массива.

Вейвлет-разложение сигнала (т.е. сигнал, восстановленный по массиву ве й в лет-коэффициентов ДВП) s(x) для приведенного примера записывается следующим образом:

ь* (6)

Ошибка восстановления имеет порядок 10"12, что связано с выбором 4 верных знаков после запятой в наборе весовых вейвлет- коэффициентов.

Ьыстрый алгоритм Малла для трех уровней разрешения может быть изображен в виде структурной схемы приведенной на рис. 3. Верхняя часть схемы соответствует процедуре декомпозиции сигнала, а нижняя - процедуре реконструкции.

з2

аз

31

ФНЧ 0.

фвч X

ФНЧ 4-

ФВЧ J-

ФНЧ

ФВЧ ■1

03

Й2

зг d3

f ФНЧ

t ФВЧ

62

л- ФНЧ

f ФВЧ

а!

dl

1- ФНЧ

1- ФВЧ

Рис. 3

В этой структурной схеме имеются блоки прореживания (даунсамнлинг-сктт1$атр1т§), изображаемые квадратами со стрелкой вниз, и блоки вставления нулей (апсамплинг-ирБатрНгщ) в виде квадратов ео стрелкой вверх. Коэффициент прореживания М выбран равным 2.

исходная пйимдйвэтепыюстъ

Ж

1

to 15 20

> I ! т 1 1 •

1 < 1 -

0 5

Г ■

а

-OS

О А. 1 1 <3 Ja-------AL "V I Т I It.....,1 _г 1 It........'

■ ч у 11 Г *1 < i i i 1

Операции даунсамгиганта и апсамплинга, необходимые дчя проведения вейвлет-анализа, изображены на рис. 4 дтя синусоиды.

Запись алгоритма Малла вей влет-преобразован и я Добе-ши в матричном виде выглядит Следующим образом (дтя трех уровней разрешения и для 24= 16):

Wi Щ

(А

50 0 0 о о о о о о о о о о

к

51

А 'ь К

а 8: S,

0 h, ц

«л St а о о о о о о

D

о о о о о

о о о о К ь,

Si 8> О О

К К >ч К

So Si S; 8s

О 0 Ц, h,

0 8л g,

о о

о о о о

о

h.

8г 8,

h, h, !ц S, S; 8) й 0 !,„ 0 0 8» ООО 0 0Й ООО ООО

Si

о о о

О

о О о о

w.=

зо JS а « 50

о о о о

о %

8j

h, lu h,

S, Si gj 0 ^ % о So gj

И

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4 0 0 h 0 к 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

& 0 Si 0 8: 0 Si 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 к 0 ky 0 a. 0 к 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 a, 0 Si 0 Й 0 Si 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 h 0 ft. 0 A, 0 A,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 Si. 0 8. 0 Si 0 g]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

*t 0 Ih 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ч 0

0 0 II 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

ft 0 s, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 So 0 &

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A 0 0 0 Щ 0 0 0 h 0 0 0 к 0 0 o1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1) 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8™ 0 0 0 8, 0 0 0 Si 0 0 0 Si 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 n 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

lu 0 0 0 % 0 0 0 h 0 0 0 ft 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 a 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

8; 0 0 0 Si 0 0 0 s„ 0 0 0 Si 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,

Рис. 4

Легко можно проверить, что

Wu-WrVi'Wl

где Tобозначает транспонирование матрицы.

(7)

(8>

(9)

(Ю)

Квантовый и-кубитовый регистр. Группа Паули р и группа Клиффорда С„. Теорема Готтесмяна-Нилла

Квантовый бит или кубит (q-бит) является ключевым

понятием и квантовых вычислениях. Он представляет собой состояние двухуровневой квантово-механической системы и является элементом двумерного комплексного гильбертова пространства Н = С2

|<//) = «|°) + ^1}' где aj е С,|а[2 +Щ2 = 1, jo) = П, 11} = I (11) |0) и ]) называется вычислительным базисом, а н [) представляют комплексные вероятности, а сам кубит |if/j (кет-

веклор но Дираку [6]) является волной вероятности (волновой функцией), описывающей состояние элементарной час-тины (электрон, нейтрон, протон) со спином i/2. Скалярное произведение в Н определяется как

{}ф) = (а /Г^]-|а|Ч|/9]2> где \v)~ бра-вектор. Два

базисных состояния одного кубпта. обозначаемые о) и |l)

представляют собой единичные ортогональные векторы, т.е. {k\l)-Skh (12)

где Ме{0,1}.

Квантовый регистр, который представляет основной элемент квантового компьютера, хранит состояние й-кубитовой системы (2" уровневой кваптово-мехапической системы).

Гильбертово пространство м-кубитового квантового регистра Н есть тензорное (кронекеровское) произведение п пространств Н : Нй" = Н ® Н ® Н .

Кронекеровское или тензорное произведение матриц:

f „ и „ и ~ и „ и \

А®В =

(А,

u, a2l) k b22 J

«i Ai

aubn

а\Фи

а\гЬ\г

0|i¿>2i ЩФп агРгг

агР\\ агРп агР\ i Й:А: £1, tb22 (122Ь2 Ct 22 22

(14)

Пространство Н*" является 2"-мерным комплексным линейным пространством. Вычислительный базис в Нч" выбирается в виде 2" ортонормированных состояний (векторов) где к его двоичное представление. Состояние к) есть

тензорное произведение состояний в Н:

где к, е {О,]}, /= 1,2,...,/)-

Состояние П-кубитОВОГО квантового рег истра е н®" в

общем случае записывается в виде суперпозиции базисных состояний в виде: 12"-1 п

7

, , к- =1-(■=0 г »1

Например, в случае 2-кубитового квантового регистра; |г}=а«,|.00)+а0з|01)+аг10|10)+ап|) 1), (15)

^ 2

где а еС и V Ь I" -1, т.е. два кубпта в обшем случае

представляют собой состояние 4-уровневой квантово-механической системы и являются элементом гильбертова пространства Н02 = С4.

В квантовой теории вычислений используются матрицы Паули:

яз = с, = 2 -

Матрицы Паули являются эрмитовыми операторами, т.е.

Л = {ЛГ),где черта сверху обозначает взятие комплексного сопряжения.

Самосопряжённый оператор - это оператор с эрмитовой матрицей и действительными собственными числами. Унитарный оператор - это самосопряженный оператор, удовлетворяющий дополнительному условию

и-ит = 1, ит =и~х (17)

Группа обобщенных матриц Паули р для п-кубит определяется как Рч = {т,Х, х {±1 +('}. где А',У, 2 - матрицы Паули 2x2.

Таким образом, группа рг является группой всех кропе-керовеких произведений матриц Паули совместно с {+ ] ±.

Пример: р, = {± / ,± Д\± )\±г,±//,±1Х,±/У|Р,| = 16,

Р2 = {/,X,У,г}В2 х{±1±г} |Р, 1 = 64.

Нормализатором называется унитарный оператор £/, действующий на элемент р такой, что {¡МП 1 е Р„, VЛ/ е Р ■

Нормализаторы обобщенной группы Паули Ри образуют группу Клиффорда С„ = Л'(Р„) с образующими элементами Н. Р. С МОТ. Группа Клиффорда С, имеет порядок 92160.

Теорема Готтесмана-Нилла |6]. Пусть квантовое вычисление выполняется с использованием приготовления состояний в вычислительном базисе, элементов Лдамара, Паули, фазовых и элементов СЫОТ, измерений наблюдаемых из группы Паули, классического управления в зависимости от результатов измерений. Такое квантовое вычисление может эффективно моделироваться па классическом компьютере.

'1 .0

на _ вокруг оси z. 2

Операция CNOT: А: И —

(,фаза) ~ поворот

(18)

CNOT =

1«)

в. |6>- NOT — |6') =[л ® Ь)

/1 0 0 0\

0 10 0

0 0 0 1

\(> 0 1 0/

Квантовое в ей в лет-преобразование Добеши Й1>2

На рис. 5 изображена общая структурная схема унитарного оператора, осуществляющего общее унитарное квантовое преобразование.

Ю(> |0,> |0,>

IV

Ввод информации

Квантовые вычисления (унитарно^ преобразование Ú(t) над кубитамн

Измерение

состояний

—» кубитов

—

Классический управляющий компьютер Генератор воздействующих на кубнты импульсов

Рис. 5

Следует отметить, что в случае квантового преобразования Хаара и Добеши (то есть их моделирования па классическом компьютере) отсутствуют этапы подготовки квантового регистра и этап измерения состояния, т.е. рассматривается только процедура вычисления конкретного преобразования Хаара или Добеши с использованием элементов Я и CNOT.

Постановка задачи [7|. Как реализовать 3-уровневое вей влез-преобразование Добеши db2 в виде унитарного преобразования (оператора) на 2-уровневой квантово-механичеекой системе, используя элемент (гейт) CNOT?

Прежде чем приступить к решению этой 'задачи рассмотрим пример квантового трехуровневого вейвдет-преобразоваиия Хаара (в системе MATLAB вейвлеты Хаара обозначаются haar или dbl, что соответствует 2 весовым коэффициентам ФНЧ и ФВЧ.) для сигнала, представляющего собой последовательность из восьми чисел. Следовательно, нам надо иай ги схемотехническое решение поставленной задачи и изобразить его в виде структурной схемы с применением элементов Н и CNOT.

Так как любое квантовое вейвлет-преобразование состоит из прямых сумм, тензорных произведений и произведений унитарных матриц, то оно описывается с использованием матриц перестановок двух типов: матрицы совершенной перестановки /7 и двоичной инверсии Р_ .

Матрица совершенной перестановки /7_. в выражениях её элементов /у для г, / = 1,2,... 2" - I определяется следующим образом:

f. ,, , г-1-.n-i ■

I, если I -—и I Четное или ее™ ; = --„ и i нечетное

%=j 2 2

[О, к противномслучае

(19)

Квантовое описание // может быть представлено в виде:

(20)

П2„ :\а„ ., а,,.2 .. -«[«о } ^ |«0«n -1«»- 2 ■ ■ «1 )•

т.е. эта операция совершает циклический правый сдвиг в и-кубитовом регистре.

Элемент перестановки двух кубитов SWAP = и, который может быть реализован в виде последовательного соединения трех элементов CNOT

SWAP =

А. \а)

-fNQTb

В- | Ь) —|NOT[-

\2а ф Ь) = |Ь)

SWAP =

(22)

J ], ее.

(23)

//J, которая в общем случае реализуется в виде грех элементов €N0Т. Таким образом, перестановочные матрицы в целом могут быть реализованы па квантовом компьютере.

В операторном виде трехуровневое квантовое преобразование Хаара Ьааг записывается следующим образом:

Ашг23 -</4 ® Я)(/2 ® Я ©/4ХИ ® /{))(П4 Ф /4 )П8 (25)

На вход структурной схемы па Рис.6 но четырем кубито-вым проводам подается входная последовательность в виде четырех псевдокубитов (Псевдокубит — 2 числа (действительных или комплексных) без условия нормировки

Н:+И2=1><

а» ai ai а3

П, n8

1 1

Рис. 6. Структурная схема треху ров него квантового вейвлет-преобразования hcun\,

В общем случае операторная запись квантового вейвлет-преобразовапня Хаара hucu\ записывается в виде: Н ® Н )... (/,„_, ® Н Ф (Я © 12„_2)х

(П4© (П,, © (Н^-, ® /,„-,)П,„

Решение задачи получения квантового преобразования Добеши (1Ь2 представлено ниже в следовательности преобразований вектор-столбцов:

„ (26)

вей влег-виде по-

, » ЩТ}— |3а Ф 2Ь) =

Ф о)

записывается как /?4: |а,а0) Н» |авя,) (21) и его матрица имеет вид:

('¡ООО'1 0 0 10 0 10 0 ,0 0 0 1,

Матрица двоичной инверсии р : в выражениях её элементов р для ¡, / _ |,2,...2" - I определяется следующим образом:

, если _/' является двоичной инверсией / ч противном случае Квантовое описание р, может быть представлено в виде: Р2. •.\а1,_\ап_1..-щаъ)^\айа\...ап_2а„_\). (24)

Матрица р может быть профакторизована в выражениях у/ , а Ц в свою очередь может быть выражена через

V N f > <*«

л| d„ a\ < ä: a"

a, "l a\ a'i < d;

d\ "i 4 d" 4

Qi a, a\ < 4 d;,

*} d] Of d] d[ d\ d[

f; dj d[ d\

d, ni. , fl7 ni IF, d\ ni

.sH "i d„ d„ A d. .-/„

.1, d, d\ d, d, d,

V' "j d, d, d: d;

d, d, d, d, d, d,

•>i- d. d, dt d, dt

% d. d, d> 4s d,

si, "i d. d. d, rf,

k J A j u, kJ Ш

(27)

Литература

1. Добеши И. Десять лекций по вей влетам: пер. с англ. - М.: Изд-во «РХД», 2001. - 450 с.

2. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов: пер. с англ. -М.: Изд-во «Мир», 2005. - 672 с.

3. Дьяконов В. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: Изд-во «Солон Пресс», 2004. - 397 с.

4. Соломен цев Ж, К. Основы теории вей влетов, - М.; Изд-во «ДМК», 2005.-303 с.

5. Кренкель Т. Э.. Кюркчан А.Г. Вейвлеты их применение в задачах связи. - МтМТУСИ, 2005. - 42 с.

6. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информатика: пер. с англ. - М.: Изд-во «Мир», 2006. - 822 с.

7. Williams С.P. Explorations in quantum computing. Springer, 2007.-450 p.

Quantum Daubechies wavelet-transform Krenkel Teodor E.,

Moscow Technical University of Communications and Informatics, Russian Federation, Assistant professor, [email protected]

Bazanova Maria A.,

Moscow Technical University of Communications and Informatics, Russian Federation, postgraduate, [email protected]

Abstract

Wavelets (bursts) is a new technology of signal processing, both analog and digital. We consider a one-dimensional three-level wavelet analysis, which yields an array of wavelet coefficients with linear complexity. A new direction in the theory of quantum computing is the use of quantum circuits that allow to implement with their help Daubechies wavelet transform. Locality of wavelet analysis can effectively clean signals from impulse noise and provide flexible compression signals. Fig. 3 shows an overall block diagram of a three-level wavelet analysis and signal recovery. Application of Daubechies wavelets due to their simple circuit implementation as a set of low-pass filter (LPF) and a high pass filter (HPF). The orderDaubechies wavelet is defined as half the number of filter weights. Discussed in detail an example of a conventional wavelet transform Daubechies for the test signal (the array length of 1024) in the form of a noisy sinusoid. To go to the quantum wavelet transform matrix notation is necessary to consider the wavelet transform. In the case of a three-level wavelet transform array of length 16 matrix entry contains three sparse matrices, which provide linear complexity of the wavelet transform. We consider the implementation of a fast algorithm (algorithm Malla) Daubechies wavelet transform (db2) using quantum elements (gates). Theorem Gottesman-Neill argues that quantum circuits can be modeled on classical computers using two single-qubit elements: H (Hadamard element), P (phase element) and a two-qubit element CNOT. As examples, the quantum of the Haar wavelet transform (dbl) for chetyrehkubitovogo array and matrix representation of quantum wavelet transform Daubechies (db2) for four qubit input array.

Keywords: daubechies wavelets, Malla algorithm, unitary operator, quantum gates, theorem of Gottesman-Knill.

References

1. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. London, 1992. 450 p.

2. Malla S. A wavelet tour of signal processing, 2nd ed. New York, 1999. 672 p.

3. DyakonovV Wavelets. From theory to practice. Moscow, 2004. 397 p.

4. SolometsevN. Basics of wavelets. Moscow, 2005. 303 p.

5. Krenkel T.E., Kyurkchan AG. Wavelets in communications. Moscow, 2005. 42 p.

6. Nilson M, Chang I. Quantum computing and quantum information. Cambridge, 2001. 822 p.

7. Williams C. P. Explorations in quantum computing. Springer, 2007. 450 p.