CC BY
43
УДК 51-73:535.8
ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ ОПТИЧЕСКОГО МИКРОСКОПА, С ПРИМЕНЕНИЕМ КРАТНОМАСШТАБНОГО АНАЛИЗА
1СЕМЕНОВ В.И., 2МИХЕЕВ К.Г., 1ШУРБИН А.К., 2МИХЕЕВ Г.М.
1Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова, 428015, г. Чебоксары, Московский пр-т, д. 15
Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Непрерывное вейвлет-преобразование имеет ряд положительных свойств (симметричность, гладкость базисной функции, возможность аналитического описания), которые необходимы для анализа и синтеза сигнала. В работе предложен алгоритм вычисления непрерывного вейвлет-преобразования, который позволяет с высокой скоростью и точностью разложить, реконструировать и фильтровать изображение. Приведены результаты его использования на примере обработки изображения, полученного с помощью оптического микроскопа.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вейвлет-анализ, вейвлет-преобразование, обработка изображений, оптический микроскоп.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в различных научных задачах для исследования структуры и свойств различных материалов широко используется явление комбинационного рассеяния света (КРС) с применением самых современных спектрометров. Как правило, все лазерные спектрометры КРС снабжены встроенными видеокамерами для вывода изображения, получаемого с помощью оптического микроскопа, на экран монитора, что значительно облегчает и ускоряет процесс исследования. Однако вследствие низкого уровня динамического диапазона этих видеокамер изображения, полученные оптическим микроскопом с многократным увеличением (от 50х), обладают низким уровнем контрастности и детализации, что может быть важно, например, при лазерной записи изображений на плёнках из углеродных наноматериалов с применением таких спектрометров [1, 2]. В связи с этим представляет интерес дальнейшая цифровая обработка изображений, полученных с помощью оптического микроскопа, с целью увеличения их контрастности и детализации. Одним из методов, позволяющих улучшить качество микроснимков, является метод вейвлет-анализа. Основы вейвлет-анализа были разработаны как альтернатива преобразования Фурье для исследования временных (пространственных) рядов с резко выраженной неоднородностью. Вейвлет-преобразования (ВП) обычно делят на дискретные и непрерывные. Разработка вейвлетов связана с несколькими направлениями, начало которым положили работы Хаара в начале XX века. Весомый вклад в теорию вейвлетов внесли Гроссман, Морле, сформулировавшие основные идеи непрерывного ВП [3]. И. Добеши разработала ортогональные вейвлеты с компактным носителем [4]. Малла, предложил кратномасштабный метод [5]. В отличие от преобразований Фурье, локализующего частоты, но не дающего временного разрешения процесса, и от аппарата дельта-функций, локализующего моменты времени, но не имеющего частотного разрешения, ВП, обладающее самонастраивающимся подвижным частотно-временным окном, одинаково хорошо выявляет как низкочастотные, так и высокочастотные характеристики сигнала на разных временных отрезках. Указанная универсальность обеспечила вейвлет-анализу широкое использование в различных областях знаний. Дискретные ВП широко применяются в инженерном деле и программировании, а непрерывные ВП - в научных исследованиях. Семейства анализирующих функций, называемых вейвлетами, применяются при анализе изображений различной природы, для изучения структуры турбулентных полей, сжатия больших объемов информации. ВП используются для определения характеристик фрактальных объектов, в астрофизике, геофизике, оптике, квантовой механике [6 - 9].
КРАТНОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ СИГНАЛОВ
Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. КМА позволяют разложить произвольный сигнал э^) на множество разномасштабных функций, объединение которых дает исходный сигнал s(t), или аппроксимирует сигнал с определенной точностью в зависимости от ограничения количества значений масштабирующего коэффициента т. Если значение т мало, аппроксимация грубая, в которой отсутствуют детали. При увеличении значений т точность аппроксимации повышается. В настоящее время для КМА используются вейвлеты с компактным носителем. К ним относятся ортогональные вейвлеты Добеши ^ЬК), Симлета ^утК), Койфлета (^Ш) и биортогональные В-сплайновые вейвлеты (Ыог№), (гЫо№). Основной недостаток этих вейвлетов в том, что они представляют собой несимметричные и негладкие функции, не имеющие аналитического выражения. Для КМА применяется быстрый алгоритм вейвлет-преобразования (алгоритм Малла). Он заключается в следующем. Сначала сигнал пропускается через низкочастотный (НЧ) фильтр с импульсным откликом g, т.е. вычисляется свертка. Также сигнал раскладывается с помощью высокочастотного фильтра (ВЧ) И. В результате получаются детализирующие коэффициенты (после ВЧ-фильтра) и коэффициенты аппроксимации (после НЧ-фильтра). Эти два фильтра связаны между собой и называются квадратурными зеркальными фильтрами (КЗФ). Так как половина частотного диапазона сигнала была отфильтрована, то, согласно теореме Котельникова, отсчёты сигналов можно проредить в два раза. Такое разложение вдвое уменьшит разрешение по времени благодаря прореживанию сигнала. Однако каждый из получившихся сигналов представляет половину частотной полосы исходного сигнала, так что частотное разрешение удваивается. Это разложение можно повторить несколько раз для дальнейшего увеличения частотного разрешения с дальнейшим прореживанием коэффициентов после НЧ- и ВЧ-фильтрации. Данное разложение можно представить в виде двоичного дерева, где листья и узлы соответствуют пространствам с различной частотно-временной локализацией. На каждом уровне сигнал раскладывается на низкие и высокие частоты. После двукратного прореживания длина сигнала должна быть кратна 2", где п - число уровней разложения. Восстановление сигнала происходит в обратном порядке, т. е. к детализирующим и аппроксимирующим коэффициентам добавляются нулевые элементы, пропускаются через зеркальные фильтры и складываются.
При дискретном двумерном ВП для многих приложений используется конструкция, в которой базисы вейвлетов получаются тензорным произведением двух одномерных кратномасштабных анализов по столбцам и по строкам. Различают стандартное и нестандартное построение двумерного базиса. Стандартное построение двумерного базиса вейвлетов состоит во взятии всевозможных тензорных произведений функций одномерного базиса. Для стандартного разложения изображения нужно произвести одномерное преобразование всех строк, а затем и всех столбцов. При нестандартном построении двумерного базиса образуются одна скейлинк-функция и три вейвлета, называемые горизонтальными, вертикальными и диагональными [11]. В этой конструкции низко- и высокочастотная фильтрация повторяется по строкам и столбцам путем применения всех четырех возможных комбинаций. Дискретное ВП для нестандартного двумерного базиса задается схемой
г ^ {НгНсг, НгОсг,ОгНсг,ОгОсг} , (1)
где Н - низкочастотная фильтрация; G - высокочастотная фильтрация.
Индекс г означает, что фильтр применяется к строкам, а индекс с - к столбцам. Если сигнал (изображение) задан массивом элементов, то каждый массив
аппроксимирующих и детализирующих (для горизонтального, вертикального и диагонального вейвлета) коэффициентов первого уровня состоит из Ы/2^Ы/2 элементов
íz!d1h ^ v d 1vd1d ,
где 21 - аппроксимирующие коэффициенты; d1 с индексами Л, V, ё - детализирующие коэффициенты.
Для второго уровня - М4хМ4 элементов, для третьего уровня - М8х#/8 элементов и т.д. Разложение сигнала на вейвлетные ряды на заданном уровне разрешения т выполняется с использованием этих коэффициентов [10, 11].
КРАТНОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЕЙВЛЕТОВ НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИИ ГАУССА И ФУНКЦИИ ШЕННОНА
Авторами разработан алгоритм КМА с использованием вейвлетов на основе производных функции Гаусса и функции Шеннона. Основное достоинство этих вейвлетов в том, что они являются гладкими и симметричными функциями, имеющие производные ^-порядка. Как раз такие функции необходимы для ВП.
Для вычисления вейвлет-спектра сигнала на основе производных функции Гаусса и функции Шеннона используется формула непрерывного ВП:
Ч - ЬЛ
1 ^
W (a, b )=-^ f S (t )y
Va -„
a
dt
(3)
где а - масштабный коэффициент; Ь - параметр сдвига.
Для вычисления ВП прямым численным интегрированием необходимо много времени, поэтому вейвлет-спектр вычисляется в частотной области с применением быстрого преобразования Фурье (БПФ). При этом вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда а1 (п), Ьх (п ) сигнала 5(к) с использованием БПФ [12]:
ai(n) = -1 ¿ S(k) cos | 2nnk
N k=0 ^
N
bi(n)=N ЮS (k )sin (^
(4)
(5)
Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда а2(п), Ь2(п) вейвлета у(к) с использованием БПФ:
1 N-1 пл í 2nnk4 a"(n) = T7V^(k)cos
N k=0 ^
N
b2 (n) = — V w(k) sin | 2nnk |.
Nk=0 l N J
Вычисляется комплексно сопряженный спектр:
c1 (n)= a 1 (n)x a2 (n)+ b1 (n)x b2 (n),
Для четного вейвлета:
Для нечетного вейвлета:
(n ) = b 1 (n ) x a 2 (n ) - a 1 (n ) x b 2 (n ) .
c1 (n ) = a 1 (n ) x a 2 (n ), c 2 (n ) = b1 (n ) x a 2 (n ) .
C1 (n )= b1 (n )x b 2 (n ) >
c 2 (n ) = - a 1 (n ) x b 2 (n ) .
(6)
(7)
(8) (9)
(10) (11)
(12) (13)
Вейвлет-спектр Ж(а,Ъ) (матрица вейвлет-коэффициентов МхЩ для входного анализируемого сигнала длиной N отсчетов получается путем вычисления М обратных преобразований Фурье от комплексно сопряженного спектра по формуле:
При этом ВП осуществляется для всего изображения, пилообразной разверткой по строкам и столбцам. В отличие от алгоритма Малла, данный алгоритм позволяет получать гораздо больше уровней разложения, тем самым позволяет более подробно исследовать изображение. Кроме того, применение данного алгоритма позволяет избежать проявления мозаичности при аппроксимации изображения коэффициентами высокого уровня. Особенность использования вейвлета Шеннона в том, что его можно конструировать в частотной области без использования умножений. Тем самым время преобразования уменьшается в несколько раз по сравнению с использованием вейвлетов на основе производных функции Гаусса. Таким образом, время ВП уменьшается в несколько десятков тысяч раз по сравнению с прямым численным интегрированием для большой выборки сигнала. На самом деле для разработанного нами алгоритма нет аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов, а есть уровни разложения соответствующие уровням разложения в алгоритме Малла и мы можем сравнивать результаты разложений. Хотя время преобразования в алгоритме Малла почти одинаковое со временем преобразования в алгоритме в частотной области, но качество намного хуже. Реконструкция изображения с детализирующими коэффициентами так же при использовании алгоритма в частотной области дает более четкое изображение, чем в системе компьютерной математики МАТЬАВ.
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПОЛУЧЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ ОПТИЧЕСКИХ МИКРОСКОПОВ
На рис. 1 представлена схема эксперимента по лазерной записи изображений и вывода этого изображения на телевизионную видеокамеру, осуществленная на спектрометре комбинационного рассеяния света НопЬа Jobin Yvon НК800. Лазерная запись изображений осуществлялась на плёнках из однослойных углеродных нанотрубок (ОУНТ) на подложке из полиэтилентерефталата (ПЭТФ). Плёнки ОУНТ облучались сфокусированным лазерным излучением на длине волны 633 нм с помощью объектива 50х (6) (рис. 1, а). Оптическая ось объектива (6) была перпендикулярна к поверхности плёнки (10), расположенной в горизонтальной плоскости (рис. 1, Ъ). Для наблюдения за образцом с помощью видеокамеры (8) на оптическом пути лазерного излучения (9), приходящем из микроскопа, установлена система из двух расщепителей лазерного луча (4). Первый принимает световой поток из оптоволоконного облучателя (1) и направляет его на образец. Второй направляет изображение образца на телевизионную камеру (8) через линзу (7). Следует отметить, что видеокамера (8), встроенная в спектрометр комбинационного рассеяния света НопЬа НК800, обладает низким уровнем динамического диапазона, вследствие чего, при использовании объективов 50х и выше, изображение, выводимое на экран монитора, имеет низкий уровень контрастности и детализации.
В ходе экспериментов было показано, что кратковременное лазерное воздействие на плёнку сопровождается появлением просветлённой точки на облучаемой поверхности. При непрерывном воздействии лазерного излучения и перемещении плёнки (10) в горизонтальной плоскости с помощью координатного столика (11) относительно сфокусированного объективом (6) пучка лазера удалось получить сплошную линию просветления (рис. 2). На рис. 2 слева представлено черно-белое изображение размером 512x512 пикселей двух просветленных линий на плёнке из ОУНТ, полученных таким образом. Из-за низкого динамического диапазона видеокамеры изображения просветленных линий, полученных при лазерной записи, видны неотчетливо. Для получения более
(14)
качественного изображения был применён метод вейвлет-анализа. На рис. 2 справа представлено реконструированное изображения с использованием коэффициентов 1 - 9 уровней. Время, потраченное на обработку данного изображения компьютером с тактовой частотой 2,5 ГГц и объемом оперативной памяти 1 Гб, составило 52 с. На рисунке видно, что после вейвлет-анализа изображения, линии, полученные при лазерной записи, отчётливо прорисовываются, при этом стали заметны даже мелкие вкрапления, имеющиеся на плёнке из ОУНТ. Таким образом, реконструкция изображений, полученных видеокамерой, встроенной в оптический микроскоп, методом непрерывного вейвлет-преобразования, с различными коэффициентами и последующим увеличением контраста позволяет улучшить качество полученного изображения.
1 - оптическое волокно для для освещения исследуемого образца белым светом; 2 - оптический путь светового потока из оптоволоконного облучателя; 3, 7 - линзы; 4 -система их двух кинематических
расщепителей пучка; 5 - зеркало; 6 - объектив микроскопа; 8 - видеокамера; 9 - оптический путь лазерного излучения; 10 - плёнка из однослойных углеродных нанотрубок; 11 - координатный столик
Рис. 1. Схема эксперимента лазерной записи изображений и вывода этого изображения
на экран сверху (а) и в профиль (Ь)
Рис. 2. Изображение, полученное видеокамерой, встроенной в оптический микроскоп (слева), и его реконструкция с использованием коэффициентов 1-9 уровней (справа)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Михеев Г.М., Михеев К.Г., Могилева Т.Н., Пузырь А.П., Бондарь В.С. Лазерная запись изображений на пленках из наноалмазов детонационного синтеза // Квантовая электроника. 2014. Т. 44, № 1. С. 1-3.
2. Михеев Г.М., Михеев К.Г., Могилева Т.Н., Пузырь А.П., Бондарь В.С. Основа технологии лазерной записи изображений на плёнках из наноалмазов детонационного синтеза // Химическая физика и мезоскопия. 2013. Т. 15, № 4. С. 650-656.
3. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constants shape // SIAM J. Math. 1984. V. 15. P. 723-736.
4. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. Society for industrial and applied mathematics. Philadelphia, Pennsylvania, 1992. 19 р.
5. Mallat S. A theory for multiresolutional signal decomposition: the wavelet representation // IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1989. V. 11, № 7. P.674-693.
6. Дремин И.Л., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. Т. 171, № 5. С. 465-501.
7. Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС. М. : Техносфера, 2007. 192 с.
8. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М. : Физматлит, 2005. 616 с.
9. Яковлев А.Н. Основы вейвлет-преобразования. М. : Сайнс-Пресс, 2003. 79 с.
10. Умняшкин С.В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов. М. : ИД «ФОРУМ»; Инфра-М, 2008. 304 с.
11. Столниц Э., ДеРоуз Е., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике / пер. с англ. М.-Ижевск : НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. 271 с.
12. Семенов В.И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007615024. Непрерывное быстрое вейвлет-преобразование / Зарег. в Реестре программ для ЭВМ 4 декабря 2007 г.
FILTRATION OF IMAGES OBTAINED BY OPTICAL MICROSCOPE USING MULTIRESOLUTION ANALYSIS
1 Semenov V.I., 2Mikheev K.G., 1Shurbin A.K., 2Mikheev G.M. Chuvash State University, Cheboksary, Russia
2Institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The continuous wavelet transform has a number of positive characteristics (symmetry, smoothness of the basis function, the possibility of the analytical description) that are required for analysis and synthesis of a signal. In this paper an algorithm for computing the continuous wavelet transform, which allows decomposing, reconstructing and filtering the image with high-speed and precision is proposed. The results of its application to the treatment of the image obtained by the optical microscope are shown.
KEYWORDS: wavelet analysis, wavelet transform, image processing, optical microscope.
Семенов Владимир Ильич, кандидат технических наук, доцент кафедры общей физики факультета прикладной математики, физики и информационных технологий ЧувГУ, е-тш7: [email protected]
Михеев Константин Георгиевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории лазерных методов исследований ИМ УрО РАН, е-та/7: [email protected]
Шурбин Александр Кондратьевич, старший преподаватель кафедры общей физики факультета прикладной математики, физики и информационных технологий ЧувГУ
Михеев Геннадий Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией лазерных методов исследований ИМ УрО РАН, е-та/7: [email protected]
