CC BY
114
УДК 004.934.2
КОНСТРУИРОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕЙВЛЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ КРАТНОМАСШТАБНОГО АНАЛИЗА СИГНАЛОВ
1 СЕМЕНОВ В. И., 2МИХЕЕВ К. Г., 1ШУРБИН А. К., 2МИХЕЕВ Г. М.
1Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова, 428015, г. Чебоксары, Московский пр-т, д. 15
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. В статье показано, что кратномасштабный анализ сигналов возможен в частотной области. В отличие от дискретного вейвлет-преобразования (алгоритм Малла), в данной работе используются формулы прямого и обратного непрерывного вейвлет-преобразования для кратномасштабного анализа сигналов. Приведен алгоритм обратного вейвлет-преобразования сигналов в частотной области, который позволяет реконструировать сигнал с применением непрерывных вейвлетов. Разработанный алгоритм позволяет представить сигнал в виде последовательных приближений, как и при кратномасштабном анализе сигналов с применением дискретного вейвлет-преобразования. Показано, что конструирование вейвлетов в частотной области позволяет увеличить глубину декомпозиции, тем самым повышается точность анализа и синтеза сигналов. Установлено, что применение быстрого преобразования Фурье уменьшает время преобразования на четыре порядка, по сравнению прямым численным интегрированием и за счет этого время декомпозиции и реконструкции не больше, чем при кратномасштабном анализе с использованием дискретных вейвлетов. Материалы статьи могут быть полезными для обработки одномерных и двумерных сигналов.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вейвлет-анализ, вейвлет-преобразование, анализ сигналов, преобразование Фурье.
ВВЕДЕНИЕ
Для исследования стационарных сигналов широко применяется преобразование Фурье (ПФ). Для анализа нестационарных сигналов ПФ не пригодно, так как при такой обработке невозможно определить время изменения частоты сигнала. При разложении в спектр Фурье нестационарного сигнала разные частоты будут присутствовать в разложении сигнала, но по спектру Фурье, нельзя определить в какой момент времени, в каком порядке менялись частоты. В отличие от преобразования Фурье, локализующего частоты, но не дающего временного разрешения процесса, и от аппарата дельта-функций, локализующего моменты времени, но не имеющего частотного разрешения, вейвлет-преобразование, обладает самонастраивающимся подвижным частотно-временным окном. Вейвлет-разложение проецирует одномерный сигнал на полуплоскость время - частота, что позволяет разделять разномасштабные события и исследовать зависимость спектральных характеристик от времени, одинаково хорошо выявляет как низкочастотные, так и высокочастотные характеристики сигнала на разных временных отрезках. Вейвлет анализ способен выявить резкие изменения сигнала и самоподобие. Как при ПФ сигнал можно разложить по косинусам и синусам, так же сигнал можно разложить по вейвлет базису. Для этого вейвлеты должны быть ортогональными. Семейство вейвлет-функций уаъ(0 генерируется из одной, «материнской», функции ф(^) при помощи растяжения (сжатия) и сдвига
за счёт операции сдвига во времени Ъ и изменения временного масштаба а. Для заданных значений параметров а и Ъ функция уаъ(0 и есть вейвлет. Основными признаками вейвлетов являются ограниченность, локализация, автомодальность и нулевое среднее. Нулевое среднее означает, что график функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени и иметь нулевую площадь
| у(г) Л = 0.
Равенство нулю площади функции у(г), т.е. нулевого момента, приводит к тому, что преобразование Фурье £(с) этой функции равно нулю при с = 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях масштабного коэффициента а это набор полосовых фильтров. Часто для приложений необходимо, чтобы все первые п моментов были равны нулю:
| гпу(г) Л = 0.
Вейвлеты п-го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие [1 - 5]. В настоящее время кратномасштабный анализ (КМА) сигналов производится с применением дискретных ортогональных вейвлетов, так как в научной литературе отмечается, что для непрерывного вейвлет-преобразования (ВП) анализ не является ортогональным, вейвлеты не имеют компактного носителя, отсутствует масштабирующая функция, возможность реконструкции не гарантирована. В связи этим сжатие и фильтрация сигналов производится с использованием дискретных вейвлетов [1 - 11]. Все эти вейвлеты конструируются во временной области. Для получения таких вейвлетов решается система уравнений для того, чтобы у вейвлетов были нулевые моменты п-го порядка. Так как вейвлеты конструируются во временной области, частотные характеристики их далеки от идеальных фильтров. Например, эти вейвлеты являются несимметричными и негладкими функциями, поэтому их фазочастотные характеристики не линейные. Как известно, нелинейность фазовой характеристики приводит к искажению сигнала, поэтому для компенсации искажений используются биортогональные вейвлеты. То есть декомпозиция выполняется с одним вейвлетом, а реконструкция с другим вейвлетом. В схеме компрессии фотографий 1РБ0-2000, применяется биортогональное преобразование 9/7. Согласно исследованиям, для сжатия, фильтрации сигналов желательно иметь ортогональные симметричные и асимметричные вейвлеты, однако таких идеальных вейвлетов не существует. В связи с этим целью данной работы является разработка алгоритма обратного вейвлет-преобразования сигналов в частотной области, кратномасштабного анализа и конструирование вейвлетов в частотной области с максимально возможным количеством нулевых моментов.
ПРИНЦИП И АЛГОРИТМ ОБРАТНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Непрерывное ВП одномерного сигнала £(г) производится по формуле:
Ж (а, Ь) = ? £ (г) у\ — | Ж, (1)
<а -¥ V а У
где первый аргумент а (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, а второй Ь - смещению сигнала по оси времени. Реконструкция выполняется с применением формулы обратного непрерывного ВП:
£ (г ) = СУ1 ¥ ] У [—) Ж (а, Ь )ааЬ, (2)
0 -¥ V а у а
где Су - нормализующий коэффициент:
С у = $ |^(ю)|2 -ю- Жш<~,
(ю) - Фурье-спектр базисной функции, ю - циклическая частота, к - показатель степени масштабного множителя.
— оо
Вычисление ВП прямым численным интегрированием для больших временных последовательностей по формулам (1) и (2) занимает длительное время. Для увеличения быстродействия, авторами разработан алгоритм непрерывного быстрого ВП в частотной области с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ). Алгоритм численного вычисления прямого быстрого непрерывного вейвлет-преобразования в частотной области приведен в работах [8, 9]. Нормализующий коэффициент в формуле (2) непрерывного обратного вейвлет-преобразования С = Су в разработанном алгоритме вычисляется из аналога теоремы Парсеваля для вейвлет-коэффициентов:
15 (1)5*(1)Ж = С - Л Ж (а, Ъ)Ж * (а, Ъ)
ЖаЖЪ
а
(3)
После определения нормализующего коэффициента С из (1) он подставляется в формулу
5 (1 ) = С-1 Ц у
1 - Ъ
0 -¥
а
Ж (а, Ъ)
ЖаЖЪ
а
(4)
Теоретической основой вычисления обратного непрерывного быстрого вейвлет-преобразования сигнала 5(1) в частотной области является использование формул (4) и (3). Обратным преобразованием произведения спектров вейвлет-спектра Ж(а,Ъ) и вейвлета ^(1) вычисляется интеграл по переменной Ъ. Суммированием полученного интеграла по масштабному коэффициенту а рассчитывается реконструированный сигнал 5(1).
Алгоритм численного вычисления обратного непрерывного вейвлет-преобразования по формуле (4) в частотной области включает следующие шаги.
1. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда а1 (п) вейвлет-спектра Ж(а,Ъ) с использованием прямого БПФ по формуле:
а
1 N-1
1(п) = Тт ^ Ж(а, к)сой
N к=0
2рпк
N
2. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда Ъ1 (п) вейвлет-спектра Ж(а,Ъ) с использованием прямого БПФ по формуле:
1 N-1
Ъ1(п) = — ^ Ж (а, к)з1и
N к=0
2рпк
N
3. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда с использованием прямого БПФ по формуле:
а2 ( П)
вейвлета ^(1)
1 N-1
ЛП) = ^ ЕУ(к )СО§
N к=0
2рпк
N
4. Вычисляются коэффициенты тригонометрического ряда с использованием прямого БПФ по формуле:
Ъ2 (п) вейвлета ^(1)
1 N-1
Ъ2(П) = Тт Т^У(к)й1П
м к=0
2рпк
N
5. Вычисляется комплексно сопряженный спектр по формулам,
с1 (п)= а1 (п)- а2 (п)+Ъ1 (п)- Ъ2 (п),
С2(п) = Ъ1(п) - а2(п) - а1(п) - Ъ2(п).
а
Большинство непрерывных вейвлетов - либо четные, либо нечетные функции. Для четных вейвлетов ряд составлен из одних косинусов, а для нечетных - из одних синусов. Для четных вейвлетов Ь2(п) = 0 и
С1 (п)= а1 (п)- а2 (п) , (5)
С2 (п) = Ь1(п)- а2 (п). (6) Для нечетных вейвлетов, а2(п) = 0 и
С (п) = Ь, (п)-Ь2 (п), (7)
с 2 (п )=-а1 (п)-Ь 2 (п).
(8)
6. Для четного вейвлета путем М + 1 обратных преобразования Фурье от комплексно сопряженного спектра (5), (6) вычисляется функция £т (п):
Дп) = X с(к )ехР I 1
к=0
2рпк
N
7. Для нечетного вейвлета путем М + 1 обратных преобразований Фурье от комплексно сопряженного спектра (7), (8) вычисляется функция £т (п ) :
г(п) = X с(к )ехР 11
к=0
2лпк
N
(обозначение «'» не обозначает дифференцирование).
8. По формуле (3) вычисляется нормализующий коэффициент С.
9. По формуле
т
£(п) = СX £т(п)
т=0
реконструируется сигнал, где т - уровень декомпозиции.
Структурная схема устройства обратного непрерывного ВП приведена на рис. 1.
£
£
Рис. 1. Структурная схема устройства обратного вейвлет-преобразования: блоки 1.0 - 1.М - вычислители БПФ; блоки 2.0 - 2.М - умножители; блок 3 - постоянное запоминающее устройство; блоки 4.0 - 4.М - вычислители обратного БПФ; блок 5 - сумматор; блок 6 - устройство управления
Вейвлет-спектр Ж(т,п) поступает на входы вычислителей БПФ (блоки 1.0 - 1.М), с выхода которого коэффициенты ряда а 1 (п ), Ь1 (п ) одновременно поступают на первые входы М+1 умножителей (блоки 2.0 - 2.М). Из ПЗУ (блок 3) коэффициенты ряда а2 (п) (для четных), Ь2 (п) (для нечетных) вейвлетов поступают на вторые входы М+1 умножителей (блоки 2.0 - 2.М), с выходов которых результаты перемножения поступают на входы вычислителей обратного БПФ (блоки 4.0 - 4.М). С М выходов вычислителей обратного БПФ (блоки 4.0 - 4.М) поступают на входы сумматора (блок 5), где суммируются результаты обратного ПФ, с выхода которого снимается результат обратного ВП сигнала S(n). Устройство управления (блок 6) осуществляет синхронизацию работы блоков вычислителей БПФ (блоки 1.0 - 1.М), умножителей (блоки 2.0 - 2.М), вычислителей обратного БПФ (блоки 4.0 - 0.М) и сумматора (блок 5).
КРАТНОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ
Разработанный в работе алгоритм обратного быстрого непрерывного ВП позволяет любой сигнал представить в виде
т
В(<) = Е ^т «),
т=0
где (1) = С*т(1).
Постоянную С, можно определить проще, используя следствие формулы (3) (теоремы Парсеваля). В пространстве действительных функций плотность энергии сигнала
Еш (а, Ь) = 2(а, Ь) .
Локальная плотность энергии в точке 10
Е3(а, О = Щ2 (а, 10).
Тогда
т
В(10) = СЕ ^т (10). (9)
т=0
Постоянная С, вычисленная по формуле (9), совпадает с постоянной, найденной по формуле (3). Чтобы при вычислении по формуле (9) не было деления на ноль или умножения на отрицательное число, постоянную С лучше вычислить для функции в максимуме.
При выполнении КМА при дискретном ВП пространство сигналов Ь2(К) представляется в виде системы вложенных подпространств Жт. По аналогии с дискретным ВП, разработанный алгоритм обратного ВП позволяет все пространство сигналов Ь (К) представить в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств:
... С Жт С Жт_!...Ж0.
«Размеры» подпространств непрерывно расширяются по мере уменьшения значения т, а объединение всех подпространств, в пределе, дает пространство Ь2(К).
Образуем из sm(t) функции (1) такие, что (символ «"» не означает двойного дифференцирования)
*т (1) = *т (1) , *т-1 (1) = *т (1) + (1) и т.д.
Если сигнал в"т-1(1) принадлежит пространству Жт-1, то он одновременно входит в пространство Жт, вместе с ним в этом пространстве находится и сигнал (1). Уменьшение
номера пространства позволяет изучать все более и более мелкие детали и особенности сигнала с более высокочастотными компонентами, т.е. переходить от грубого приближения
к приближению более высокого разрешения. Тогда сигнал с самым большим временным разрешением будет равен S(t) = s0(t). Переменная m называется уровнем анализа. Если значение m большое, то функция sm (t) есть грубая аппроксимация S(t), в которой отсутствуют детали. При уменьшении значений m точность аппроксимации повышается. В литературе по дискретному ВП m-шаговое дискретное ВП называется КМА. Максимальное значение m называется глубиной разложения (декомпозиции) сигнала. По сравнению с КМА сигналов с применением дискретных вейвлетов, КМА в частотной области позволяет разложить сигнал на большее количество уровней, так как кратность анализа может быть меньше двух. Так как при дискретном ВП коэффициент изменения масштаба равен двум, то глубина разложения m ограничена длительностью сигнала, как логарифм по основанию два от выборки. Для КМА в частотной области коэффициент изменения масштаба может быть в пределах от единицы до двух и иметь дробное значение. Чем меньше этот коэффициент, тем больше глубина разложения.
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Результаты ВП сигналов сравнивались для прямого численного интегрирования и вычисления в частотной области с использованием БПФ. Время вычисления прямым численным интегрированием и вычисления ВП с использованием БПФ сравнивалось на языке Visual С+ + . Для профилировки использовался счетчик меток реального времени, доступ к которому реализован при помощи ассемблерной команды RDTSC (ReaD from Time Stamp Counter). Счетчик меток реального времени TSC (Time Stamp Counter) - 64-разрядный регистр, содержимое которого инкрементируется с каждым тактом процессорного ядра. Каждый раз при аппаратном сбросе (сигналом RESET) отсчет в счетчике TSC начинается с нуля. Разрядность регистра обеспечивает отсчет времени без переполнения в течение сотен лет. Разрешающая способность счетчика определяется тактовой частотой процессора. Минимальный промежуток времени между двумя измерениями равен обратному значению тактовой частоты. Для использованного процессора с тактовой частотой 2,54 ГГц разрешающая способность равна 0,39 нс. Тактовая частота определена с использованием счетчика реального времени TSC. Команда RDTSC возвращает количество тактов с момента запуска процессора, помещая результат в пару регистров общего назначения EDX.EAX. Для измерения времени вычисления ВП написана программа с помощью встроенного ассемблера языка С+ + . Счетчик отградуирован с помощью стандартной функции ОС - Sleep. Функция Sleep приостанавливает выполнение потока на 1000 мс, если параметр функции равен 1000. Показания счетчика TSC считываются перед вызовом функции Sleep и после возврата из нее. Разница этих показаний запоминается в переменной t_time. Количество машинных тактов, прошедших за одну секунду t_time, делится на 1000000 и запоминается в коэффициенте n_count, определяющем, сколько тактов содержится в одной микросекунде. Так как переменная t_time не равна нулю даже при отсутствии функции Sleep, необходимо внести поправки в переменной t_time. После вычисления калибровочного коэффициента n_count профилировка ВП осуществляется следующим образом. Показания счетчика TSC считываются перед вычислением ВП и после окончания преобразования, запоминаются в переменной t_time. Полученное значение t_time делится на калибровочный коэффициент n_count и запоминается в переменной, которая показывает время выполнения ВП в микросекундах. Использовался процессор Celeron® 2,53 GHz, ОЗУ 256 Mb. Исследования показывают, что за счет применения БПФ, время вычисления в частотной области уменьшается в 15000 раз для выборки сигнала более 32000 отсчетов. Время вычисления ВП можно уменьшить еще больше, конструируя вейвлеты в частотной области, так как в этом случае отпадает необходимость вычисления Фурье-спектров вейвлета для разных масштабных коэффициентов а. Также нет необходимости хранить в памяти компьютера Фурье-спектры вейвлетов и комплексно-сопряженный спектр вычислять проще. Кроме того, нет необходимости вычислять нормализующий коэффициент в формуле (9), так как на этапе
конструирования вейвлета мы добились того, чтобы он был равен единице. Вейвлеты для разных масштабных коэффициентов а в частотной области конструируются с учетом свойства масштабно-частотной локальности, и чтобы они имели больше нулевых моментов на всех уровнях разложения (декомпозиции) [12 - 15]. Так как ортогональные вейвлеты конструируются в частотной области, полученные вейвлеты имеют близкие к идеальным частотные характеристики, как амплитудные, так и фазовые, т.е. от теоретических характеристик отличаются только погрешностью вычисления.
На рис. 2 представлен симметричный ортогональный вейвлет ) во временной области, сконструированный в частотной области.
На рис. 3 представлен асимметричный ортогональный вейвлет ) во временной области, сконструированный в частотной области. На рис. 2 и 3 видно, что вейвлеты имеют много максимумов и минимумов. В действительности, их еще больше, так как на рисунках представлена только десятая часть вейвлетов. Для получения подобных вейвлетов во временной области, необходимо было бы решать уравнения с таким же количеством для каждого уровня декомпозиции.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, ортогональные вейвлеты, сконструированные в частотной области позволяют уменьшить время декомпозиции и реконструкции одномерных и двумерных сигналов. Также позволяют с более большой точностью реконструировать одномерные и двумерные сигналы. Коэффициент корреляции Пирсона не менее 0,999. В отличие от алгоритма Малла, который применяется для дискретного ВП, данный алгоритм позволяет получать гораздо больше уровней разложения, то есть с кратностью меньше двух, тем самым, позволяет более подробно исследовать, фильтровать сигнал. Конструирование вейвлетов с большим количеством нулевых моментов, позволяет более эффективно концентрировать информацию в сигнале в немногих значимых коэффициентах. Этот механизм концентрации является основной предпосылкой сжатия сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. Number 61 in CBMS-NSF Series in Applied Mathematics. Philadelphia: SIAM Publ., 1992. 378 p.
2. Astafeva N. M. Wavelet Analysis: Basic Theory and Some Applications // Успехи физических наук. 1996. Т. 166, № 11. С. 1170.
3. Дремин И. Л., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. Т. 171, № 5. С. 465-501. https://doi.org/10.3367/UFNr.0171.200105a.0465
4. Яковлев А. Н. Основы вейвлет-преобразования : Учебное пособие для вузов. Конспекты лекций по радиотехническим дисциплинам, Вып. 10. М.: Сайнс-Пресс, 2003. 80 с.
5. Умняшкин С. В. Теоретические основы цифровой обработки и представления сигналов. М.: ФОРУМ, Инфра-М, 2008. 304 с.
6. Yali Liu. Image denoising method based on threshold, wavelet transform and genetic algorithm // International Journal of Signal Processing, Image Processing and Pattern Recognition, 2015, vol. 8, no. 2, pp. 29-40.
7. Orachon T., Poomrittigul S., Yoshida T., Iwahashi M., Chokchaitam S. Non-separable 3D integer wavelet transform for lossless data compression // Science Journal of Circuits, Systems and Signal Processing, 2014, vol. 3(6), pp. 35-46.
8. Singh P. Wavelet transform in image processing: denoising, segmentation and compression of digital images // International Journal of Scientific Research in Science, Engineering and Technology, 2016, vol. 2, no. 2, pp. 1137-1140.
9. Xhaja B., Kalluci E., Nikolla L. Wavelet transform applied in ecg signal processing // European Scientific Journal, 2015, vol. 11, no. 12, pp. 305-312.
10. Ameen M. M., Eleyan A., Eleyan G. Wavelet transform based face recognition using surf descriptors // International Journal of Electronics and Electrical Engineering, 2017, vol. 5, no. 1, pp. 94-98.
11. Wadi S. Al., Ismail M. T., Alkhahazaleh M. H., Karim S. A. A. Selecting Wavelet Transforms Model in Forecasting Financial Time Series Data Based on ARIMA Model // Applied Mathematical Sciences, 2011, vol. 5, no. 7, pp. 315-326.
12. Семенов В. И., Желтов П. В. Способ распознавания ключевых слов в слитной речи // Патент РФ № 2403628, 2010.
13. Семенов В. И., Шурбин А. К., Михеев К. Г., Михеев Г. М. Фильтрация изображений, полученных с помощью оптического микроскопа, с применением кратномасштабного анализа // Химическая физика и мезоскопия. 2014. Т. 16, №3. С. 399-404.
14. Semenov V. I., Khristoforov O. V., Chuchkalov S. I. Calculating the standard deviation of the size of objects in the image // Journal of Advanced Research in Technical Science, 2017, no. 4, pp. 62-64.
15. Семенов В. И., Сорокин Г. М., Шурбин А. К., Петров Н. И. Определение среднеквадратичного отклонения размера объектов на изображении // Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем (ДНДС-2017). Материалы XII Всероссийской научно-технической конференции. Чебоксары: ЧГУ им. И.Н. Ульянова, 2017. С. 99-102.
CONSTRUCTION OF ORTHOGONAL WAVELETS IN THE FREQUENCY REGION FOR A MULTISCALE SIGNAL ANALYSIS
1 Semenov V. I., 2Mikheev K. G., 1Shurbin A. K., 2Mikheev G. M.
1Chuvash State University, Cheboksary, Russia
2Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The article shows that the multiscale analysis of signals is possible in the frequency domain. In contrast to the discrete wavelet transform (the Mall algorithm), in this paper we use the formulas of direct and inverse continuous wavelet transforms for multiscale signal analysis. An algorithm for inverse wavelet transform of signals in the frequency domain is given, which allows reconstructing the signal using continuous wavelets. The algorithm developed makes it possible to represent the signal in the form of successive approximations, as in a multiscale analysis of signals using a discrete wavelet transform. It is shown that the construction of wavelets in the frequency domain allows increasing the depth of the decomposition, thereby increasing the accuracy of analysis and synthesis of signals. It is established that the application of the fast Fourier transform reduces the transformation time by four orders of magnitude, compared to direct numerical integration, and due to this, the decomposition and reconstruction time does not exceed the time in a multiscale analysis using discrete wavelets. The article materials can be useful for processing one-dimensional and two-dimensional signals.
KEYWORDS: wavelet analysis, wavelet transform, signal analysis, Fourier transform.
REFERENCES
1. Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets. Number 61 in CBMS-NSF Series in Applied Mathematics. Philadelphia: SIAM Publ., 1992. 378 p.
2. Astafeva N. M. Wavelet Analysis: Basic Theory and Some Applications. Physics-Uspekhi, 1996, vol. 39, no. 11, pp. 1085-1108. https://doi.org/10.1070/PU1996v039n11ABEH000177
3. Dremin I. M., Ivanov O. V., Nechitailo V. A. Wavelets and their uses. Physics-Uspekhi, 2001, vol. 44, no. 5, pp. 447-478. https://doi.org/10.1070/PU2001v044n05ABEH000918
4. Yakovlev A. N. Osnovy veyvlet-preobrazovaniya [Fundamentals of wavelet transform]. Uchebnoe posobie dlya vuzov (Konspekty lektsiy po radiotekhnicheskim distsiplinam Vyp. 10). Moscow: Sayns-Press Publ., 2003. 80 p.
5. Umnyashkin S. V. Teoreticheskie osnovy tsifrovoy obrabotki i predstavleniya signalov [Theoretical bases of digital processing and signal representation]. Moscow: FORUM, Infra-M Publ., 2008. 304 p.
6. Yali Liu. Image denoising method based on threshold, wavelet transform and genetic algorithm. International Journal of Signal Processing, Image Processing and Pattern Recognition, 2015, vol. 8, no. 2, pp. 29-40. http://dx.doi.org/10.14257/ijsip.2015.8.2.04
7. Orachon T., Poomrittigul S., Yoshida T., Iwahashi M., Chokchaitam S. Non-separable 3D integer wavelet transform for lossless data compression. Science Journal of Circuits, Systems and Signal Processing, 2014, vol. 3(6), pp. 35-46. doi: 10.11648/j.cssp.20140306.11
8. Singh P. Wavelet transform in image processing: denoising, segmentation and compression of digital images. International Journal of Scientific Research in Science, Engineering and Technology, 2016, vol. 2, no. 2, pp. 1137-1140. URL: http://ijsrset.com/IJSRSET1622403.php
9. Xhaja B., Kalluci E., Nikolla L. Wavelet transform applied in ecg signal processing. European Scientific Journal, 2015, vol. 11, no. 12, pp. 305-312. URL: http://eujournal.org/index.php/esj/article/view/5484/5274
10. Ameen M. M., Eleyan A., Eleyan G. Wavelet transform based face recognition using surf descriptors. International Journal of Electronics and Electrical Engineering, 2017, vol. 5, no. 1, pp. 94-98. doi: 10.18178/ijeee.5.1.94-98
11. Al Wadi S., Ismail M. T., Alkhahazaleh M. H., Karim S. A. A. Selecting Wavelet Transforms Model in Forecasting Financial Time Series Data Based on ARIMA Model. Applied Mathematical Sciences, 2011, vol. 5, no. 7, pp. 315-326. URL: http://www.m-hikari.com/ams/ams-2011/ams-5-8-2011/alwadiAMS5-8-2011.pdf
12. Semenov V. I., Zheltov P. V. Sposob raspoznavaniya klyuchevykh slov v slitnoy rechi [The way of recognition of key words in the combined speech]. PatentRU2403628, 2010.
13. Semenov V. I., Shurbin A. K., Mikheev K. G., Mikheev G. M. Fil'tratsiya izobrazheniy, poluchennykh s pomoshch'yu opticheskogo mikroskopa, s primeneniem kratnomasshtabnogo analiza [Filtration of images obtained by optical microscope using multiresolution analysis]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2014, vol. 16, no. 3, pp. 399-404.
14. Semenov V. I., Khristoforov O. V., Chuchkalov S. I. Calculating the standard deviation of the size of objects in the image. Journal of Advanced Research in Technical Science, 2017, no. 4, pp. 62-64.
15. Semenov V. I., Sorokin G. M., Shurbin A. K., Petrov N. I. Opredelenie srednekvadratichnogo otkloneniya razmera ob'ektov na izobrazhenii [Determination of the root-mean-square deviation of the size of objects in the image]. Dinamika nelineynykh diskretnykh elektrotekhnicheskikh i elektronnykh system. DNDS-2017 [Dynamics of nonlinear discrete electrical and electronic systems. DNDS-2017]. Materialy XII Vserossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii. Cheboksary: ChGU im. I.N. Ul'yanova Publ., 2017, pp. 99-102.
Семенов Владимир Ильич, кандидат технических наук, доцент кафедры общей физики факультета прикладной математики, физики и информационных технологий ЧувГУ, e-mail: svundvukovo@vandex. ru
Михеев Константин Георгиевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории лазерных методов исследований Института механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: k. mikheev@udman. ru
Шурбин Александр Кондратьевич, старший преподаватель кафедры общей физики факультета прикладной математики, физики и информационных технологий ЧувГУ
Михеев Геннадий Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории лазерных методов исследований Института механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: mikheev@udman. ru
