CC BY
122
УДК 517.4
О.В. Мкртычев, А.А. Решетов
ФГБОУВПО «МГСУ»
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ
Для применения акселерограмм в расчетах конструкций на сейсмические воздействия, а также для генерирования синтезированных акселерограмм необходимо иметь информацию об их характеристиках. В качестве средства нахождения этих характеристик может выступать аппарат вейвлет-анализа. Рассмотрены некоторые теоретические положения вейвлет-анализа, выполнено вейвлет-преобразова-ние конкретной акселерограммы, построена вейвлет-спектрограмма, произведено разложение акселерограммы на огибающую и стационарную часть, осуществлен вейвлет-анализ стационарной части.
Ключевые слова: акселерограмма, землетрясение, огибающая, спектрограмма, вейвлет-анализ, кратномасштабный анализ, преобразование Фурье.
1. Некоторые положения теории вейвлет-анализа
Вейвлетом называется семейство функций, образующихся посредством масштабирований и сдвигов некоторой базисной функции. Эту базисную функцию называют «материнским вейвлетом», а ее растянутые и сдвинутые копии называют «вейвлетными функциями».
Какую функцию выбрать в качестве базисной зависит от того, какую информацию мы хотим извлечь из сигнала. Однако эта функция должна удовлетворять ряду признаков:
1) функция материнского вейвлета ) должна быть достаточно хорошо локализована во временной и частотной областях;
2) функция ) должна иметь нулевое среднее;
3) функция должна принадлежать к классу функций Ь2 .
Вейвлетные функции у аь ((), порождаемые материнским вейвлетом ), строятся по следующей формуле:
ХАРАКТЕРИСТИК АКСЕЛЕРОГРАММ
где а — параметр масштаба; Ь — параметр сдвига; а — множитель, позволяющий сохранять независимость норм функций от параметра а .
Вейвлет-преобразование вычисляется по формуле [1—5]
где х() — анализируемый сигнал; знак «*» означает комплексную сопряженность.
Если для ) справедлива формула
(3)
где ^(ю) — преобразование Фурье функции ); ю — циклическая частота, то существует обратное вейвлет-преобразование [1]
1 да да 1
х(() = — | | (а, Ь)аЬ (()—dadb. (4)
С¥ -да-да |а|
Вейвлет-спектр представляет собой множество значений функции двух переменных а, б).
Обычно параметры а и Ь подвергают дискретизации [1]
аг = аг, Ьг, к = £аг в, (5)
где г е Z , к е 2 , а, в — некоторые параметры. Обычно принимают, что а = 2, а в = 1, тогда
аг = 2г, Ьг к = к 2г. (6)
Как видно, сдвиг зависит от масштаба, и «перекрытия» вейвлетных функций не происходит. С учетом этого имеем
^ гк (' )= ^ ^
^ - к ■ 2гЛ
(7)
лгк = |V ((8)
—ад ад ад
)= Е Е ¿гк ¥ Гк ((), (9)
г=-ад к=-ад
где drk — коэффициенты вейвлет-преобразования.
Если анализируемый сигнал х() является цифровым, то применяют дискретное вейвлет-преобразование (ДВП). ДВП эффективно производить, применяя быстрые алгоритмы. Алгоритмы быстрого вейвлет-преобразования (БВП) связаны с теорией кратномасштабного анализа (КМА) и теорией фильтров. Рассмотрим некоторые положения теории кратномасштабного анализа.
Пусть Уго функциональное подпространство пространства ¿2 . Функции, принадлежащие ему, аппроксимируют ¿2 на уровне г0 . Построим вложенные подпространства Уго , объединение которых образуют Ь2
..У2 с у с Уо с У-1 с... с ¿2. (10)
Представим сигнал х(?) в следующем виде: г 0
х( ) = Аг о + Е (?), (11)
г=1
где Аг о (?) — аппроксимирующая часть функции х(?); Вг (?) — детализирующие части; при этом Аго (?) е Уг о , Ог (?) еWг , а подпространство Жг является ортогональным дополнением подпространств Уг и Уг — :
Уг-1 = Уг © . (12)
Пусть требуется анализировать цифровой сигнал хк . Будем рассматривать его как последовательность коэффициентов аок в равенстве
х(0=Ао(0 = Е аок Фок (0, (13)
к
г
2
где ф0£ (? )ёК0 — функции, образующие ортонормированный базис пространства У0, причем:
Фок(( ) = Ф(( - к);
) = 1,
— го
где ) — масштабирующая функция (отцовский вейвлет). Запишем формулу для аппроксимации уровня г0
Аго(() = Е аг0к Фг0к (\
(14)
(15)
(16)
где фr k (t) е Vr — функции, образующие ортонормированный базис простран-
ства Vq , причем
Ф r0k
(t) = -L ф(21 - k).
(17)
22
Из формулы (11) видно, что сигнал представляет собой сумму аппроксимирующей и детализирующей составляющих. Из формулы (13) видно, что сигнал совпадает с аппроксимирующей составляющей 0-го уровня. Не приводя подробных выкладок, покажем суть кратно-масштабного представления сигнала на схеме (рис. 1).
Рис. 1. Схема кратномасштабного анализа
x{t ) = Ao (t x(t ) = Aq (t x(t ) = Ад (t x{t) = Ад (
= A3 (
x(t) = A, (t) + (t) +... + D3 (t) + D2 (t) + Di (t).
= Ai (t) + Di (t);
= Ai (t) + Di (t) = A2 (t) + D2 (t) + D (t); = Ai () + Д () = A2 () + D2 () + D () =
D3 () + D2 () + D ();
(18)
+
k
Последнюю формулу в (18) запишем в следующем виде: Г)
х()=Е аг0к ф г0к (()+ ЕЕ атк ¥ гк((), (19)
к г=1 к
где аго к — аппроксимирующие коэффициенты; drk — детализирующие коэффициенты; у к (?)
е Жго — функции, образующие базис в пространстве Шго.
Функции ф(?) и можно представить в следующем виде:
ф(( ) = Ф00 (() = 2Е Ь ф( -I); (20)
I
¥(() = ¥ 00 (() = 2Е §1 Ф( -1
I
где ^ — коэффициенты масштабирующей функции; g^ — коэффициенты материнского вейвлета.
Для коэффициентов аг к и drk справедливы следующие рекуррентные формулы:
аг+1,к =Е Н1 -2каг,к; (21)
I
^г+1,к = Е gl-2каг,к.
I
Доказательства и выводы основных соотношений теории вейвлет-анализа можно посмотреть в [1—5].
2. Обработка акселерограмм
Вейвлет-анализ представляет собой эффективный инструментарий для исследования тех или иных закономерностей, содержащихся в сигналах. При помощи вейвлетов можно выявлять точки перегиба, экстремумы, скачки, отфильтровывать сигнал и т.д. О применении вейвлетов в анализе сигналов можно узнать подробнее, например, в [6], применительно к акселерограммам в [7—10].
Поставим себе задачу получения некоторых характеристик акселерограмм при помощи вейвлет-анализа.
Произведем следующие операции:
1) построим вейвлет-спектрограмму акселерограммы;
2) разложим акселерограмму на огибающую и стационарную часть;
3) построим вейвлет-спектрограмму стационарной части акселерограммы.
В качестве анализируемой акселерограммы возьмем запись горизонтальной компоненты (Ш0Е) землетрясения в Спитаке (Армения, 1988). В расчетах будем пользоваться пакетом МА^АВ.
Построение вейвлет-спектрограммы акселерограммы
В качестве материнского вейвлета будем использовать модификацию вейвлета Добеши — так называемый symlet, а точнее представителя семейства этого вейвлета — sym6. Его вид изображен на рис. 2.
VESTNIK
JVIGSU
Рис. 2. Материнский вейвлет sym6
Построим акселерограмму и ее спектральную плотность (применим преобразование Фурье). На рис. 3 изображена акселерограмма и ее спектральная плотность.
Рис. 3. Акселерограмма и ее спектральная плотность
Построим частотно-временную спектрограмму при помощи вейвлет-пре-образования (рис. 4). Для этого мы преобразуем шкалу масштабов в шкалу частот (подробности этой операции опускаем).
Как видно из рис. 4, наиболее богатый спектральный состав приходится на интервал примерно от 8,5 до 10,5 секунд.
Разложение акселерограммы на огибающую и стационарную часть Для разложения акселерограммы применим следующий алгоритм: а) представим акселерограмму в виде произведения огибающей и стационарной части (о представлении сейсмического воздействия как нестационарного случайного процесса можно узнать в [9]):
ВЕСТНИК
МГСУ-
7/2013
x(t ) = A(t )• y(t ), (22)
где A(t) — огибающая; y(t) — стационарная часть;
б) построим функцию модулей значений акселерограммы
z(t ) = |x(t)|; (23)
в) представим функцию (23) в виде (11) и выберем должный уровень аппроксимации. Аппроксимирующая составляющая Arо (t), соответствующая этому уровню аппроксимации, будет описывать огибающую;
г) для получения стационарной части воспользуемся формулой (22).
Рис. 4. Акселерограмма и частотно-временная спектрограмма На рис. 5 приведен результат разложения.
Рис. 5. Акселерограмма, огибающая и стационарная часть
Построение вейвлет-спектрограммы стационарной части акселерограммы (рис. 6)
2\-i-i-i-i-i-1-г-r
0 2 4 6 8 ,10 12 14 16 18
Рис. 6. Стационарная часть акселерограммы и ее спектрограмма
Как видно из рис. 6, спектральный состав практически не зависит от времени, что свидетельствует о стационарности процесса.
Обработав набор инструментальных акселерограмм, мы можем получить параметры сейсмического воздействия для строительной площадки и использовать их для синтезирования акселерограмм. Синтезирование акселерограмм проводится по формуле (22), при этом в качестве стационарной части генерируется стационарный случайный процесс (методы генерирования стационарного случайного процесса можно посмотреть в [10]).
Библиографический список
1. Блатер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. М. : Техносфера, 2007. 280 с.
2. Donald B. Percival, Andrew T. Walden. Wavelet Methods for Time Series Analysis, Cambridge University Press, 2000. P. 622.
3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / пер. с англ. Е. Мищенко ; под ред. А. Петухова. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 454 с.
4. Paul S. Addison. The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics, 2002. P. 358.
5. Goswami J.C., Chan A.K., Fundamentals of Wavelets: Theory, Algorithms and Applications, A Wiley. Intersciens Publ. John Wiley&Sons, Inc, 1999. P. 359.
6. Chui C.K. Wavelets: A Mathematical Tool for signal Analysis, SIAM. Philadelphia, 1997. P. 228.
7.Мкртычев О.В., РешетовА.А. Применение вейвлет-преобразований при анализе акселерограмм // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Vol. 7, Issue 3, 2011, pp. 118—126.
8. Sushovan Mukherjee, Vinay K. Gupta. Wavelet-based generation of spectrum-compatible time-histories, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 22, Issues 9-12, 2002, pр. 799—804.
9. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М. : Стройиздат, 1982. 351 с.
10. Бакалов В.П. Цифровое моделирование случайных процессов. М. : МАИ, 2002.
88 с.
Поступила в редакцию в мае 2013 г.
Об авторах: Мкртычев Олег Вартанович — доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, mkrtychev@yandex.ru;
Решетов Андрей Александрович — аспирант кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, andrew331@ bk.ru.
Для цитирования : Мкртычев О.В., РешетовА.А. Применение вейвлет-анализа для получения характеристик акселерограмм // Вестник МГСУ 2013. № 7. С. 59—67.
O.V. Mkrtychev, A.A. Reshetov
USING WAVELET ANALYSIS TO OBTAIN CHARACTERISTICS OF ACCELEROGRAMS
Application of accelerograms to the analysis of structures, exposed to seismic loads, and generation of synthetic accelerograms may only be implemented if their varied characteristics are available. The wavelet analysis may serve as a method for identification of the above characteristics. The wavelet analysis is an effective tool for identification of versatile regularities of signals. Wavelets can be used to detect inflection points, extremes, etc. Also, wavelets can be used to filter signals.
The authors discuss particular theoretical principles of the wavelet analysis and the multiresolution analysis. The authors present formulas designated for the practical application. The authors implemented a wavelet transform in respect of a specific accelerogram.
The recording of the horizontal component (N00E) of the Spitak earthquake (Armenia, 1988) was exposed to the analysis as an accelerogram. An accelerogram was considered as a non-stationary random process in the course of its decomposition into the envelope and the non-stationary part. This non-stationary random process was presented as a multiplication envelope of a stationary random process. Parameters of exposure of a construction site to the seismic impact can be used to synthesize accelerograms.
Key words: accelerogram, earthquake, envelope, spectrogram, wavelet analysis, Fourier transform.
References
1. Blater K. Veyvlet-analiz. Osnovy teorii [Wavelet Analysis. Foundations of the Theory]. Moscow, Tekhnosfera Publ., 2007, 280 p.
2. Percival D.B., Walden A.T. Wavelet Methods for Time Series Analysis. Cambridge University Press, 2000, 622 p.
3. Dobeshi I. Desyat' lektsiy po veyvletam [Ten Lectures on Wavelets]. Izhevsk, NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika» publ., 2001, 454 p.
4. Addison P.S. The Illustrated Wavelet Transform Handbook. Institute of Physics, 2002, 358 p.
5. Goswami J.C., Chan A.K., Fundamentals of Wavelets: Theory, Algorithms and Applications. John Wiley & Sons, Inc., 1999, 359 p.
6. Chui C.K. Wavelets: A Mathematical Tool for Signal Analysis, SIAM. Philadelphia, 1997, 228 p.
7. Mkrtychev O.V., Reshetov A.A. Primenenie veyvlet-preobrazovaniy pri analize aksel-erogramm [Application of Wavelet Transformations to the Analysis of Accelerograms]. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2011, vol. 7, no. 3, pp. 118—126.
8. Mukherjee S., Gupta V.K. Wavelet-based Generation of Spectrum-compatible Time-histories. Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2002, vol. 22, no. 9-12, pp. 799—804.
9. Bolotin V.V. Metody teorii veroyatnosteyi teorii nadezhnosti v raschetakh sooruzheniy [Methods of the Theory of Probabilities and Theory of Reliability in Analysis of Structures]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1982, 351 p.
10. Bakalov V.P. Tsifrovoe modelirovanie sluchaynykh protsessov [Digital Modeling of Random Processes]. Moscow, MAI Publ., 2002, 88 p.
About the authors: Mkrtychev Oleg Vartanovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe Shosse, 129337, Moscow, Russian Federation; mkrtychev@ yandex.ru.
Reshetov Andrey Aleksandrovich — postgraduate student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe Shosse, 129337, Moscow, Russian Federation; andrew331@bk.ru.
For citation: Mkrtychev O.V., Reshetov A.A. Primenenie veyvlet-analiza dlya polucheni-ya kharakteristik akselerogramm [Using Wavelet Analysis to Obtain Characteristics of Accelerograms]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 7, pp. 59—67.
