CC BY
110
УДК 624
О.В. Мкртычев, А.А. Решетов
ГЕНЕРИРОВАНИЕ
НАИБОЛЕЕ
НЕБЛАГОПРИЯТНЫХ
АКСЕЛЕРОГРАММ
ДЛЯ РЕАЛЬНОГО
СООРУЖЕНИЯ
Рассмотрены некоторые особенности обработки инструментальных акселерограмм для последующего определения параметров сейсмического воздействия. В частности, предложен способ выделения стационарной части акселерограммы. Рассмотрены два способа генерирования стационарного случайного процесса. Предложена методика генерирования акселерограмм с наиболее неблагоприятным спектральным составом для некоторого рассматриваемого сооружения.
Ключевые слова: землетрясение, акселерограмма, сейсмическое воздействие, вероятностные методы, случайный процесс, огибающая акселерограммы, частота собственных колебаний сооружения.
O.V. Mkrtychev, A.A. Reshetov
GENERATION OF THE LEAST FAVOURABLE ACCELEROGRAMS FOR EXISTENT STRUCTURES
The authors discuss particular features of accelerograms with a view to subsequent identification of parameters of the earthquake excitation. The authors also consider two ways of simulating stationary random processes. The authors also propose their techniques aimed at the generation of accelerograms characterized by the most unfavourable spectral compositions for particular buildings.
The least favourable spectral composition represents a composition that causes the effect, the dominant frequency of which is close to the eigen-frequency corresponding to the form that has a maximal modal mass. The dominant frequency is to be considered close to the eigenfrequency of the structure, if as a result of generation of the stationary portion of the accelerogram its dominant frequency does not exceed the eigenfrequency of the structure with a probability equal to, at least, 0.1.
Key words: earthquake, accelerogram, earthquake excitation, probabilistic methods, random process, envelope of accelerogram, eigenfre-quency of building.
Определение параметров сейсмического воздействия Общепринято, что акселерограммы сейсмического воздействия можно рассматривать как реализации нестационарного случайного процесса.
В.В. Болотиным в [1] было предложено разделять статистическое описание сейсмического воздействия на статистическое описание интегральных признаков и на статистическое описание нестационарного случайного процесса.
Нестационарный случайный процесс a(t) может быть представлен в
виде
a(t ) = A(t )• y(t ), (1)
где A(t ) — огибающая; y(t ) — стационарный случайный процесс.
При этом огибающая имеет вид
t
t----
A (t ) = A-e\ (2)
l0
где A0 — параметр, характеризующий максимальные ускорения; t0 — параметр, характеризующий продолжительность интенсивной фазы.
Таким образом, для представления акселерограммы в виде (1) необходимо выделить ее стационарную часть и подобрать наиболее подходящие значения параметров A0, t0. Обработав набор имеющихся инструментальных акселерограмм и произведя статистический анализ, мы представим процесс a(t ) в форме (1).
© Мкртычев О.В., Решетов А.А., 2012
Функцию спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса у(г), имеющего одну доминирующую частоту, можно представить в виде [2]
S (v) =
2
■ 4v12v2 ’
(3)
где у0 — доминирующая частота; — параметр, характеризующий шири-
ну спектра.
Значения параметров V0, назначаются по результатам спектрального
анализа акселерограмм и статистической обработки их набора.
Разделять исходную акселерограмму а1 () на огибающую и стационарную часть предлагается следующим образом. Берем модуль акселерограммы ~ () = |аг- (г) и сворачиваем его с фильтром низких частот Ек (г):
А/ () = ~ ()* ри (), (4)
где / означает /-ую акселерограмму (/-ую реализацию нестационарного случайного процесса); к — ширина фильтра.
Для примера выполним разделение акселерограммы Спитакского землетрясения (горизонтальной компоненты) на огибающую и стационарную часть.
На верхнем графике (рис. 1) сплошной линией изображена акселерограмма, а пунктиром — огибающая. Нижний график изображает стационарную часть акселерограммы.
Рис. 1
2
Методы синтезирования акселераграмм как реализаций нестационарного случайного процесса
Определив параметры, входящие в формулы (2) и (3), можем проводить моделирование случайного сейсмического воздействия.
Для моделирования стационарного случайного процесса у (г) предлагается воспользоваться одним из двух нижеприведенных методов (метод формирующего фильтра и метод канонических разложений).
Основная идея метода формирующего фильтра заключается в линейном преобразовании стационарной ортонормированной последовательности £п нормально распределенных случайных чисел в коррелированную по заданному закону последовательность уп:
М ___
Уп = Х Ск • 4 п - к , п = I ^, (5)
к=О
где 4п — ортонормированная, нормально распределенная случайная величина; Ск — ядро свертки (импульсная характеристика); М, N — длина ядра свертки и последовательности 4п соответственно.
Коэффициенты импульсной характеристики Ск можно находить по следующей формуле:
Ск=н О (? '?(и)} 2с°{ 1г )* • (6)
где О — частота ограничения спектра; ш = 2^.
Ядро свертки Ск достаточно быстро убывает, поэтому М выбирается таким, что при к > М коэффициент Ск мало отличается от нуля.
Сгенерировав последовательность {уп} по формуле (5), можно получить реализацию случайного сейсмического воздействия по формуле (1).
Следует отметить, что алгоритм (5) можно ускорить, если воспользоваться теоремой о свертке. Согласно теореме о свертке свертка во временной области равносильна умножению в частотной области и наоборот, т.е. вычислить формулу (5) можно следующим образом. Необходимо произвести быстрое преобразование Фурье ядра свертки Ск и последовательности 4п, перемножить результаты и произвести обратное быстрое преобразование Фурье результата перемножения.
В качестве альтернативного метода предлагается использовать метод канонических разложений.
Суть этого метода состоит в разложении случайного процесса в ряд:
ТО
у( )=Е ик у к( К (7)
к=1
где ик — некоррелированные случайные величины; у к — детерминированные функции, образующие систему функций.
При этом полагается, что М (ик )= О и м (у(; ))=о.
Если случайный процесс является стационарным, то каноническое разложение (7) представляет собой разложение в ряд Фурье:
“Г 2П 2П ^ у () = Х ик с°^ к + ик вт —кг , (8)
к=0
V Тп Тп J
где О < г < Тм, ТП > Тм; Тм — время моделирования; ТП — период случайного процесса; ик ,ик — некоррелированные случайные числа.
Причем М(ик )=М(ик ) = О .
Дисперсии о2 случайных коэффициентов разложения (8) определяются по формулам:
«V(0).
< = -^ ■ (9)
21П
—к
щ = 2ТП У • (10)
2Тп
где 8у — спектральная плотность мощности процесса.
При компьютерном моделировании число членов ряда (8) должно быть конечным и приближенно может быть определено по формуле
М = Тп, (11)
2п
где О — значение характерной верхней частоты.
Сгенерировав последовательность {уп} по формуле (8), можно получить реализацию случайного сейсмического воздействия по формуле (1).
На рис. 2, 3 показаны примеры синтезированных акселерограмм.
Время, с
Рис. 2. Акселерограмма, синтезированная методом формирующего фильтра
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Время, с
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Частота, Гц
Рис. 3. Акселерограмма, синтезированная методом канонических разложений
Методика моделирования акселерограмм для расчета сооружений на сейсмостойкость
Имея параметры сейсмического воздействия для площадки строительства, мы можем синтезировать соответствующий набор акселерограмм способами приведенными выше.
Спектры полученных акселерограмм содержат ярко выраженные доминантные частоты. Причем предполагается, что закон распределения доминантной частоты нормальный.
Для расчета конструкций на сейсмическое воздействие предлагается выбрать из полученных реализаций случайного сейсмического воздействия ту, которая имеет наибольшую дисперсию V, {і).
Кроме расчета сооружения на синтезированную акселерограмму с наиболее вероятным для площадки строительства спектральным составом, предлагается также проводить расчет на акселерограмму с наиболее неблагоприятным спектральным составом для данного сооружения.
Под наиболее неблагоприятным спектральным составом понимается спектральный состав воздействия, у которого доминантная частота достаточно близка к частоте собственных колебаний сооружения, соответствующей форме с наибольшей модальной массой.
Доминантную частоту следует считать достаточно близкой к частоте собственных колебаний сооружения, если в результате генерирования стационарной части аселерограммы ее доминантная частота не превзойдет частоту собственных колебаний сооружения с вероятностью, равной не меньше 0,1.
Поясним вышесказанное на следующем примере.
Пусть в результате предварительного расчета мы установили, что частота собственных колебаний сооружения равна ус , а доминантная частота
синтезированной акселерограммы равна у0 , при чем у0 >ус. Частота у0 распределена по нормальному закону. Если доминантная частота реализации акселерограммы не превосходит собственную частоту ус с вероятностью равной как минимум 0,1, то такая доминантная частота является достаточно близкой к собственной частоте колебаний сооружения.
В случае если Р (у0 < Vс) > 0,1, то для моделирования акселерограммы с наиболее неблагоприятным спектральным составом предлагается следующая схема. Мы сдвигаем доминантную частоту до тех пор, пока Р (0 ^с)
не станет равной 0,1. Далее генерируем стационарный случайный процесс с вновь полученной доминантной частотой V0 и моделируем соответствующую акселерограмму. Рис. 4 наглядно демонстрирует данную методику.
0.7 0.6 0.5
0.2
0.1
О
0.7 0.6 0.5 $ 0.4
0.2
0.1
о
0.8
0.6
0.2
0 , 0 1 2 3 4 5 6 7
К
Рис. 4
К
К 1/0
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М. : Стройиздат, 1982. 351 с.
2. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А. Моделирование сейсмического воздействия в виде случайного процесса методом канонического разложения // Фундаментальные науки в современном строительстве : Третья научно-практическая и учебно-методическая конференция, МГСУ, 22.12.2003 г. : сб. докладов. С. 79—84.
3. Мкртычев О.В., Решетов А.А. Расчет динамической системы на синтезированные акселерограммы // Вестник МГСУ. 2010. № 2. С. 100—104.
REFERENCES
1. Bolotin V.V. Metody teorii veroyatnostey i teorii nadezhnosti v raschetakh sooruzheniy [Methods of the Theory of Probabilities and the Theory of Reliability in the Analyses of Structures]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1982, 351 p.
2. Mkrtychev O.V., Dzhinchvelashvili G.A. Modelirovanie seysmicheskogo vozdeystviya v vide sluchaynogo protsessa metodom kanonicheskogo razlozheniya [Simulation of a Seismic Impact as a Random Process Using the Method of Canonical Decomposition]. Fundamental'nye nauki v sovremennom stroitel'stve [Fundamental Sciences in Contemporary Civil Engineering]. Collected works of the Third Scientific and Practical, Educational and Methodological Conference. MGSU, 22.12.2003, pp. 79—84.
3. Mkrtychev O.V., Reshetov A.A. Raschet dinamicheskoy sistemy na sintezirovannye ak-selerogrammy [Analysis of a Dynamic System in Respect of Synthesized Accelerograms]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2010, no. 2, pp. 100— 104.
Поступила в редакцию в ноябре 2012 г.
Об авторах: Мкртычев Олег Вартанович, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, mkrtychev @yandex.ru;
Решетов Андрей Александрович, аспирант кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»)
129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, andrew331 @bk.ru.
Для цитирования:
Мкртычев О.В., Решетов А.А. Генерирование наиболее неблагоприятных акселерограмм для реального сооружения [Электронный ресурс] // Строительство: наука и образование. 2012. Вып. 4. Ст. 1. Режим доступа: http://www.nso-journal.ru.
For citation:
Mkrtychev O.V., Reshetov A.A. Generirovanie naibolee neblagopriyatnykh akselerogramm dlya real'nogo sooruzheniy a [Generation of the Least Favourable Accelerograms for Existent Structures] // Stroitel'stvo: nauka i obrazovanie [Construction: Science and Education], 2012, no. 4, paper 1. Available at: http://www.nso-iournal.ru.
About the authors: Mkrtychev Oleg Vartanovich, Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, mkrtychev@yandex.ru;
Reshetov Andrey Aleksandrovich, Postgraduate student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, an-drew331@bk.ru.
