Оценивание показателя локальной регулярности функции сигнала по коэффициентам вейвлет-разложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

т

ОЦЕНИВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ЛОКАЛЬНОЙ РЕГУЛЯРНОСТИ ФУНКЦИИ СИГНАЛА ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ВЕЙВЛ ЕТ- РАЗЛОЖЕНИЯ

Кудрявцев Алексей Андреевич,

к.ф.-м.н, доцент, доцент кафедры математической статистики, Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия, [email protected]

Палионная Софья Игоревна,

студентка, Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия, [email protected]

Титова Анастасия Игоревна,

студентка, Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия, [email protected]

Шестаков Олег Владимирович,

д.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры математической статистики, Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова,

старший научный сотрудник, Институт проблем информатики Федерального исследовательского центра "Информатика и управление" Российской академии наук, Москва, Россия, [email protected]

Работа выполнена

при финансовой поддержке РНФ

(проект 14-11-00364).

Ключевые слова: вейвлеты, сигналы, регулярность функции, показатель Липшица, метод наименьших квадратов.

Работа посвящена проблеме изучения нерегулярного поведения сигнала на ограниченных промежутках времени при помощи исследования коэффициентов ее вейвлет-разложения. Нерегулярные структуры функции, описывающей сигнал, часто несут важную информацию. Например, в электрокардиограммах и сигналах радаров информативная часть содержится в резких изменениях (скачках, всплесках). Численно степень регулярности функции сигнала описывается с помощью значения показателя Липшица. Локальная регулярность функции может характеризоваться скоростью убывания амплитуд коэффициентов ее вейвлет-разложения при изменении масштаба базового вейвлета. Эта скорость, в свою очередь, напрямую зависит от показателя Липшица функции. В отличие от традиционных методов Фурье-анализа, дающих возможность оценить регулярность сигнала на всей временной оси, для вычисления вейвлет-коэффициентов используются значения функции сигнала только из той временной окрестности, которая соответствует данному коэффициенту. Это позволяет анализировать сигнал локально не только в частотной, но и во временной области. Именно по этой причине в последние десятилетия вейвлет-анализ считается более предпочтительным по сравнению с Фурье-анализом инструментом исследования всевозможных электро-магнитных сигналов. Рассматривается метод локального по времени оценивания показателя Липшица функции сигнала, основанный на анализе коэффициентов ее вейвлет-разложения. Показатель Липшица оценивается с помощью метода наименьших квадратов, примененного к логарифмам эмпирических вейвлет-коэффициентов, без учета краевых эффектов нарушения регулярности. Эмпирически установлено число уровней разложения исследуемой функции для оценивания локальной регулярности. Для фиксированного числа дискретных отсчетов приводятся таблицы с вычисленными значениями показателя Липшица тестовых функций в модели с аддитивным гауссовским шумом, имеющим разный уровень мощности, при разложении функции сигнала с использованием вейвлета Добеши-4. Точность метода оказывается достаточно высокой при использовании всего нескольких уровней дискретного вейвлет-разложения функции сигнала. Результаты статьи могут использоваться для практического оценивания локальной регулярности сигнала при исследовании телекоммуникационного траффика, в кардиологии, радио- и сейсмолокации и других областях.

Для цитирования:

Кудрявцев А.А., Палионная С.И., Титова А.И., Шестаков О.В. Оценивание показателя локальной регулярности функции сигнала по коэффициентам вейвлет-разложения // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №10. - С. 43-46.

For citation:

Kudryavtsev A.A., Palionnaia S.I., Titova A.I., Shestakov O.V. Estimation of the local regularity exponent of a signal function by the wavelet coefficients. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.10, рр. 43-46. (in Russian)

У

1. Введение

Важная информация, которую несет сигнал, может заключаться и изменениях степени регулярности описывающей его функции. Математически риулярностъ обычно характеризуется показателем Липшица. Классический подход к анализу регулярности основан на преобразовании Фурье. Однако Фурье-анализ не дает возможности отслеживать изменение степени регулярности во времени, а лишь предоставляет информацию о глобальной регулярности функции сигнала. Методы вейвлет-анализа, напротив, позволяют локально анализировать регулярность функции Сигнала на различных временных участках |1]. Рассматривается метод оценивания показателя Липшица функции сигнала и приводятся результаты некоторых численных экспериментов.

2. Вейвлет-преобрачованне и характеризапин

регулярности

Вейвлет-преобразовадаем функции /' е {к)

называется интегральное преобразование вида

¿>0,

где у/ - некоторая допустимая вей влет-функция [2|. Вводя обозначение

, . I (х-у

можно записать Предполагается, что

функция у/ существенно отлична от нуля лишь на некотором отрезке (или имеет компактный носитель). Тогда при уменьшении 5 функция у/ [ «сжимается», а у

указывает на положение отрезка, на котором у/.к отлична от нуля. Таким образом, IV/(.ч, у) позволяет анализировать поведение функции /' в окрестности точки у, и радиус этой окрестности пропорционален Л'.

В дальнейшем будут рассматриваться функции сигнала / е £"(!*) на конечном отрезке [а,Ь\, регулярные по Липшицу с некоторым показателем у > 0.

Функция [ называется регулярной по Липшицу с показателем у>0 в точке х0, если существует константа ¿>0 и полином р степени п = 1у_\ такие, что для любого хе Я

(1)

Если / удовлетворяет (1) для всех .V,, е [<:/,Л] с константой £, не зависящей от хц, то она называется равномерно регулярной по Липшицу с показателем у на отрезке [«,/>].

Поведение Щ'($,у) тесно связано с показателем Липшица у. Введем некоторые дополнительные требования на функцию (//. 11редположим, что у/ имеет М нулевых моментов, т.е.

Также предположим, что у/ непрерывно дифференцируема М раз {М >у) и быстро убывает на бесконечности вместе со своими производными, т.е. для всех 0<к<М и любого те N найдется такая константа Ст, что при всех л е И

(к), ^ - е..

1 1 1+|4" Следующие утверждения, доказательства которых можно найти в [1] и 131. устанавливают связь между глобальной и локальной регулярностью функции / и скоростью убывания ее вейвлет-преобразования при л —» 0 .

Теорема 1. Если функция равномерно

регулярна по Липшицу с показателем у < М на отрезке [«, 6], то существует такая константа А > 0, что

|И-7'(5,у')| < 4и?т для всех * >0и всех у е [а,Ь]. (2) Если f ограничена и \У[(и,у) удовлетворяет (2), где у < М — не целое число, тогда / равномерно регулярна по Липшицу с показателем у на отрезке \а + £,Ь — Г] для любого £ > 0,

Теорема 2. Если функция /е ¿2(К) регулярна по Липшицу с показателем у < М в точке х0, то существует такая константа А > 0, что

Л

г*\п

1 +

для всех з > 0 и всех у е К.

Если существуют такие у' < у и А > 0. что (1/(5,_у) удовлет воряет

Г 1 + У~х0 0

\ X /

]х>(х)<Ь-0, к = 0.....М-1.

для всех .ч > 0 и всех у е К ,

где у<М - не целое число, тогда / регулярна по

Липшицу с показателем у в точке х-.

Поскольку функция задана на конечном отрезке, на границах этого отрезка может нарушаться се регулярность (функция может быть даже разрывна). В данной работе не обсуждаются методы борьбы с такими краевыми эффектами. Познакомиться с этими методами можно, например, в [4] и [5],

3. Дискретное вейвлет-разложение и оценивание показателя Липшица

При использовании; дискретного вейвлет-разложения функция / е описывающая сигнал, представляется в

виде ряда из сдвигов и растяжений вей влет-функции у/ :

)М2

где (х) = 2}ау/(2' х-к) (семейство \у/: 1 ке2 образует

ортонормированный базис в I' (К )). Индекс ] в (3) называется масштабом, а индекс к — сдвигом. Легко видеть, что коэффициенты разложения выражаются через вей в лет-преобразование следующим образом: (/,у/ к) =И'7(Т;,) ■

Т-Сотт Том 10. #10-2016

У

На практике функции сигнала всегда заданы в дискретных отсчетах, т.е. заданы /., (= , где Л' =2"'

для некоторого J. В этом случае дискретное вейвлет-разложение представляет собой умножение вектора значений функции / на ортогональную матрицу И7, определяемую вей влет-функцией у/ [1]. При этом в силу нормировки для дискретных вейвлет-коэффициентов Выполнен© соотношение // , = 2'12{ , к) (см., например,

[6]). Это приближение тем точнее, чем больше J.

Кроме того, в реальных наблюдениях присутствует шум. В данной работе рассматривается модель с аддитивным гауссовским шумом:

где 2. независимы и имеют гауссово распределение с

нулевым средним и дисперсией о~. В силу ортогональности матрицы IV эмпирические вей влет-коэффициенты имеют вид

7-0......Л-1, к = о.....2' -1,

где £ - к также независимы и имеют такое же распределение, как гг

Утверждения, приведенные в предыдущем разделе, дают возможность оценить регулярность функции сигнала, т.е. максимальное значение у, для которого / регулярна но Липшицу с показателем у. Для того, чтобы оценить у в окрестности некоторой точки, для тех к, которые соответствуют

положению этой точки вычисляются двоичные логарифмы эмпирических вейвлет-коэффициентов при /> /(|, где / -

некоторый начальный уровень. Далее, используя соотношение

~\о°2А + Л2-(у + \/2Ц, } = ун.....J~ 1, (4)

методом наименьших квадратов оценивается показатель у.

4. Результаты численных экспериментов

В данном разделе приводятся результаты вычисления локального показателя у в некоторых модельных ситуациях. Были проведены численные эксперименты для модельных функций /(х) = при а = 2, 3 и 4, числе

отсчетов Т3 (У = 14) и разном уровне шума. Использовался вейвлет Добеши-4. Рассматриваемые функции имеют в точке * — 0 истинный показатель у равный 1/2, 1/3 и 1/4 соответственно. В других точках показатель у не

оценивался, поскольку вейвлет Добеши-4 не является бесконечно дифференцируемой функцией и не позволяет оценивать большие значения показателя Липшица, а бесконечно дифференцируемые вейвлеты не обладают конечным носителем.

Как видно из примера на рис. 1 на «грубых» масштабах информация о показателе регулярности «размыта» по всем вейв лет-коэффи циентам. Эмпирическим путем было установлено, что для использования (4) следует брать 6 первых (самых точных) уровней разложения.

,«ю

-1 005

а

-[1.05

)

□.1 О -0.1

Л.5

0.5

0.5 1

0.5 1

1 1.5

■ 10

1.5

«10

1.5

я 10

0.02 0

Ш( 0.05

о

-0.05! 0.2 0

-0.2.

-0.5

0.5

1.5

* 10

0.5 1 1.5

хЮ

0.5 1 1.5 ,.4

I 10

к 10

10 5

0

01 о -01

. II 10

0 5

0.5

1.5

* 10

1 1.5 ,

к 10

то

Рис. I. Пример вей влет-коэффициентов тестовой функции

T-Comm ^И0. #10-2016

т

Таблица 1

Результаты численного эксперимента для модельной функнин при а =2

Уровень J- 1 J- 2 J-Ъ J —4 J-5 J-b

SNR<dI3) -2.58161 9.77164 4.46070 22.93134 28 55866 33.81463 7=0.76533

-2.50400 12.70938 7.21403 25.68687 31.34374 36 59184 у 0.47107

-2 44071 15.59980 10.10550 28.74711 34.37706 39.62443 7-0.50715

1,02878 23,71096 18 17520 36.81890 42.46928 47.71060 у =0.52707

5,32464 29.92500 24.44774 43.05702 48,70295 53.94495 у =0.53696

-2.58161 9.77164 4.46070 22.93134 28.55866 33.81463 y=0.76533

Таблица 2

Результаты численного эксперимента для модельной функции при а =3

Уровень J- 1 J- 2 J-Ъ J-4 J- 5 J-6

SNKfdUl -3.08919 3.00396 -1.69163 14.03242 1 8.38904 22.62202 у 0.24969

-2.39256 12.03076 6.53540 2343748 27.90217 32.13233 у 0.33349

-1.92694 15.41663 9.8272! 26.74160 31.181 17 35.41647 у =0.34501

0.65051 22.72009 16.04975 34.08035 38.54725 42.77169 у =0,31215

7.81404 32.09898 26,35417 43.47398 47,93213 52.15838 у 0.33531

Таблица 3

Результаты численною эксперимента для модельной функции при а =4

Уровень J- 1 J-2 J-3 J-A J- 5 J-6

SXR(dB) -3.02908 -3.71668 -72720В 3.59825 7.074S3 10.40312 у =0.4821 1

-2.01022 15.39554 9.60897 25.95824 29.81248 33.54895 у =0,26103

-0,79784 1 8,62658 12.81688 29.13088 33,00692 36,72613 у =0.2441 1

1.24728 23.37021 17.55790 33.88663 37.75688 41.46851 у =0,24159

9.18801 32.81076 26.96923 43.34057 47.20823 50.92775 у=0,23418

Результаты эксперимента приведены и таблицах 1 -3. В строках с общим заголовком SNR(dB) приведены

значения для уровня шума при каждом j. Показатель

р

SNR(dB) вычислялся по формуле SNR(dfi)=10:B log]((

где Р — мощность сигнала, а Р — мощность шума.

В последних столбцах таблиц приведены оцененные значения у. Результаты показывают, что описанный метод позволяет производить оценку показателя у с достаточно ВЫСОКОЙ точностью.

Литература

!. Mailed S, A Wavelet Tour of Signal Processing, - NY; Academic Press, 1999. 857 p.

2. Кренкель Т.Э., Кюркчаи А.Г. Вейвлеты и их применение в задачах связи. - М: МТУСИ, 2005. 42 с.

3. Jaffard S. Point wise smoothness, two-mierolocali^aiion and wavelet coefficients // Publications Matematiques. 1991. Vol. 35. Pp. 155-168.

4. Cohen A., Daubechies J., Vial P. Wavelets on the Interval and Fast Wavelet Transforms П Appl. Comptn. Harmon. Anal., 1993. Vol. 1. No. I. Pp. 54-81.

5. Boggesx A.. Narkowich F. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. - Upper Saddle River: Prentice ! fall, 2001. 284 p.

6. Abramovich F.. Bailey T.C.. Sapatinas T. Wavelet analysis and its statistical applications // The Statistician, 2000. Vol. 49. Pp. 1-29.

ESTIMATION OF THE LOCAL REGULARITY EXPONENT OF A SIGNAL FUNCTION

BY THE WAVELET COEFFICIENTS

Alexey A. Kudryavtsev, Department of Mathematical Statistics, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, M.V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia, [email protected] Sofia I. Palionnaia, Department of Mathematical Statistics, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics,

M.V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia, [email protected] Anastasiia I. Titova, Department of Mathematical Statistics, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics,

M.V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia, [email protected] Oleg V. Shestakov, Department of Mathematical Statistics, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, M.V. Lomonosov Moscow State University, assosiate professor, Institute of Informatics Problems, Federal Research Center "Computer Science and Control" of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia, senior research fellow, [email protected]

Abstract

The paper is devoted to the problem of analyzing the signal on the bounded time intervals with the use of its wavelet coefficients. Nonregular structures of the signal function often carry an essential information. For example, in electrocardiograms and radar signals important information lies in sharp transitions (jumps, spikes). Numerically the regularity of a signal function is measured by the Lipschitz exponent. Local function regularity can be characterized by the rate of decay of the amplitudes of its wavelet coefficients across the scales. This rate in turn exlpicitly depends on the Lipschitz exponent of the signal function. Unlike traditional methods of Fourier analysis which provide the possibility to estimate the signal regularity on the whole time axis, the computation of the wavelet coefficients requires the values of the signal function only from the time neighborhood which corresponds to the given coefficient. This makes it possible to analyze the signal locally not only in the frequency domain, but also in the time domain. That is why during the last decades wavelet analysis became more preferable instrument for analyzing various electromagnetic signals than Fourier analysis. In this paper we consider the method of local estimation of the Lipschitz exponent of the signal function based on the analysis of the coefficients of its wavelet decomposition. The Lipschitz exponent is estimated by the least square method applied to the logarithms of the empirical wavelet coefficients without taking into account edge effects. The number of scales was found empirically. We demonstrate the results of calculating the Lipschitz exponent of test functions with the use of Daubechies-4 wavelets in the model with additive Gaussian noise, showing a fairly high accuracy when using only a few scales of the wavelet decomposition. The results of this paper can be used for the practical estimation of the local signal regularity in the telecommunication traffic study, cardiology, radiolocation, seismology and other areas.

Keywords: wavelets, signals, function regularity, Lipschitz exponent, least square method. References

1. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. NY: Academic Press, 1999. 857 p.

2. Krenkel T.E., Kurkchan A.G. Wavelets and their Applications in Communication Problems. Moscow: MTUCI, 2005. 42 p. (in Russian)

3. Jaffard S. Pointwise smoothness, two-microlocalization and wavelet coeffcients / Publicacions Matematiques. 1991. Vol. 35. P. 155-168.

4. Cohen A., Daubechies I., Vial P. Wavelets on the Interval and Fast Wavelet Transforms / Appl. Comput. Harmon. Anal., 1993. Vol. 1. No. 1. Pp. 54-1

5. Boggess A., Narkowich F. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2001. 284 p.

6. Abramovich F., Bailey T.C., Sapatinas T. Wavelet analysis and its statistical applications / The Statistician, 2000. Vol. 49. Pp. 1-29.

T-Comm "Гом 10. #10-2016

7T>