КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ НАИВЫСШЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ, СОДЕРЖАЩИЕ НАПЕРЕД ЗАДАННЫЕ УЗЛЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 1, С. 131-140

УДК 519.64

Б01 10.46698/19013-9196-4430-х

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ НАИВЫСШЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ, СОДЕРЖАЩИЕ НАПЕРЕД ЗАДАННЫЕ УЗЛЫ#

Ш. С. Хубежты12

1 Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46; 2 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: shalva57@rambler. ru

Аннотация. Приближенные методы вычисления определенных интегралов являются актуальными по сегодняшний день. Среди них самыми популярными оказываются методы квадратур, которые позволяют приближенно вычислить интеграл при помощи конечного числа значений интегрируемой функции. Кроме того, во многих случаях требуются затраты меньшего вычислительного труда, сравнительно с другими методами. С применением многочленов Чебышева первого, второго, третьего и четвертого родов соответственно весовым функциям р{х) = 1 , р{х) = \/1 — х2, р{х) = \ ,

Jl-x2 '

р(х) = ^J j-^, на отрезке [—1,1] строятся квадратурные формулы с наперед заданными узлами a1 = -1, a2 = 1, степени точности 2n + 1 c оценками остаточных членов. В этом деле особое место занимает построение ортогональных многочленов по весу p(x)(x2 — 1) и нахождение их корней. Эта задача оказалась трудоемкой и решались методами вычислительной математики. Ключевые слова: весовые функции, ортогональные многочлены, квадратурные формулы, наперед заданные узлы, остаточные члены, степени точностей. AMS Subject Classification: 65R10, 65R20.

Образец цитирования: Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, содержащие наперед заданные узлы // Владикавк. мат. журн.—2023.—Т. 25, вып. 1.— С. 131-140. DOI: 10.46698/l9013-9196-4430-x.

Введение

В прикладных задачах математической физики, механики и техники часто возникает необходимость построения таких квадратурных формул, часть узлов которых задается заранее, другая часть узлов может быть взята произвольно [1-3]. Это встречается, например, при решении граничных задач дифференциального уравнения второго порядка на отрезке [а, Ь].

В таких случаях при выборе квадратурной формулы естественно принять во внимание, что значения неизвестной функции на концах отрезка [а, Ь] нам известны, и взять формулу вида

b n

/ f (x) dx « Af (а) + Bf (b) + ^ Akf (xk), (1)

a k=i

#Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации, соглашение № 075-02-2022-80090. © 2023 Хубежты Ш. С.

содержащую два фиксированных узла a и b. Прочие узлы Xk (k = 1, 2,... , n) являются произвольными.

В общем случае квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы имеют вид [1]

b n m

/ p(x)f (x) dx ^ Akf (Xk) + ^ Bf (а), (2)

a k=i i=i

в которых m узлов ai, a2, ..., am фиксированы. Они содержат 2n + m параметров Xk, Ak (k = 1,..., n) и Bi (l = 1,..., m). Попытаемся их выбрать так, чтобы равенство (2) стало точным для многочленов возможно более высокой степени.

Введем два многочлена, связанных с узлами ai и Xk:

Q(x) = (x — a1)(x — a2)... (x — am),

w(x) = (x — x1)(x — x2)... (x — xn).

За счет выбора коэффициентов Ak и Bi формулу (2) можно сделать верной для многочленов степени n + m — 1. Для того чтобы равенство (2) было верным для многочленов степени 2n + m — 1, необходимо и достаточно (см. [1, с. 168]) выполнение следующих условий.

Теорема 1. Для того чтобы формула (2) была точной для многочленов степени 2n + m — 1, необходимо и достаточно, чтобы

1) она была интерполяционной;

2) многочлен w(x) был ортогонален на отрезке [a, b] по весу p(x)Q(x) ко всякому многочлену Q(x) степени ниже n.

Таким образом, построение квадратурных формул (2), верных для многочленов степени 2n + m — 1, приводится к нахождению многочлена w(x) степени n, ортогонального на [a, b] по весу p(x)Q(x) ко всякому многочлену меньшей степени. Корни многочлена w(x) должны быть действительными, различными и принадлежать отрезку [a, b]. Кроме того, они должны быть отличны от фиксированных узлов ai (l = 1, 2,... , m). Таким образом, решение этих задач обычным путем представляет большие математические трудности.

В литературе [1, 4, 5] описывается правило построения указанных квадратурных формул. Но конкретные квадратурные формулы, в основном, построены в случаях m = 1, m = 2 и p(x) = 1.

Настоящая заметка посвящена часто встречающимся случаям

[a,b} = [-1,1], m = 2, p(x) = -=L=,

V1 — x2

p(x) = л/l-x2, p(x) = p(x) =

В этих случаях существуют ортогональные многочлены [1, 6] по указанным весам на отрезке [—1,1]. Их называют многочленами Чебышева соответственно весовым функциям:

I рода, Tn(x) = cos(arccos x);

sin(n + 1) arccos x

II рода, Un(x) = —_

cos

III рода, Cn(ж) =

2n — 1

cos íd±7T± arccos x

cos ^ arccos x

2

sin arceos х

IV рода, Sn(x) = —-.

sin ^ arceos х

Так как формула (2) является интерполяционной, ее коэффициенты Ак и В1 должны иметь следующие значения:

i

Ak = J p(x) -1

1

Bi = j p(x) 1

w(x)Q(x)

(x - xk)w'(xk)H(xk)

dx,

w(x)Q(x) (x - ai)u(ai)Q'(ai)

dx,

(3)

где

w'(xk) = (xk - xi), ü'(ai) = (ai - ai).

i= 1,

i=k

i=1, i=i

Для остатка квадратуры ) справедлива формула

1 (2п+т)(л)

Д(/) = / р(х)П(х)ш2(х) , «¿Ж, -1 < С < 1.

1

(2 n + m)!

(4)

В [1, с. 173] доказано, что многочлены ш(х) при т = 2, а\ = —1, а2 = 1 вычисляются по формуле

w(x) =

1

Afi(x)

P^n+2(x) pPn+2(-1) Pn+2(1)

Pn+i(x) Pn+ i(-1) Pn+l(1)

Pn(x) Pn(-1) Pn(1)

(5)

где

Q(x) = x2 - 1, A =

Pn+i(-1) PPn+i(1)

pPn(-1) Pn(1)

а Рп (х) — многочлены Чебышева, соответствующие весу р(х) со старшими коэффициентами единицы, т. е. вида Рп(х) = хп + а1хп-1 + ■ ■ ■ + ап-1х + ап. Будем рассматривать отдельно каждый случай веса р(х).

1. Вычисление интеграла вида

1

f (x) dx

В этом случае формула (2) принимает вид

/1

-== f(x) dx * Af(-l) + 5/(1) + £ Akf{xk)

_1 v1 x k=i

= т^гт Tn{x), Tn{x) = cos(n arceos x).

1

1

2

1

После вычисления по формуле (5) получаем

тт / \ sin(n+1) arccosx тт ,- тт

где ип{х) = —v х2--многочлены Чеоышева 11 рода.

Для коэффициентов A, B, A& получены значения

л П п п kn

Л = —--, В = —--, Afc =-, = cos-, А; = 1,2,.... гг.

2(п + 1)' 2(71 + 1)' 71 + 1 71 + 1'

Следовательно получается квадратурная формула

1 n 1 п п п

= /(ж) dx = ———-/(-1) + —-—-/(1) + — -X2 2(тг + 1) ' 2(п + 1) п

/1

ТтзрЛ»)<fe - 2(^ТТ)Л-1»+ + ^т£/(**) + *•</>■ <7>

-i

Остаточный член формулы имеет вид

7Г /(2га+2)(С)

2. Вычисление интеграла вида J л/l — ж2 /(ж) dx

-1

В этом случае по формуле (5) с подстановкой Рп(х) = i^Un{x) для ш{х) получается выражение

= 2"+2(п + 1)(ж2-1) {(п + 1)ип+2{х)-{п + Ъ)ип{х)), (8)

тт / \ sin(n+1) arccosx

где Un{ж) = —-.

v ' sin 2 arccos x

Далее для построения квадратурной формулы (2) необходимо знание узлов Xk (k = 1,..., n), т. е. корни многочлена (8). Но они в общем случае не выражаются формулой. Поэтому будем рассматривать частные случаи относительно степени n. Эти случаи при n = 1, 2,... , 6 приведены ниже.

Пусть n = 1. w(x) = x, т. е. корень x1 = 0, после вычисления по формуле (3) получаем

п л п . 3п А = —, В = —, Ai = —, 16' 16' 8 '

т. е. справедлива формула 1

-1

Пусть n = 2. По формуле (8) получаем

2 1 1 1

„(ж)=ж--, = х2 = 7=,

1

а по формуле (3) имеем

п „ п 9п 9п

А = —, В = —, Ах = —, А2 = —, 40' 40' 40' 40'

т. е. справедлива формула

/ * » ® '<-» + £+1' ВО +1'

1

(10)

Пусть п = 3. По формуле (3), (8) получаем

ш(х) = х3 — - X, Х\ = — \ Х2 = 0, Хз =

п „ п 2п 5п 2п

А = —, Б = —, = —, = —, = —, 80' 80' 15' 24' 15'

и имеем формулу

/ УГ^ /(а) <*г « /(—1) + ^ /(1) + ^ / ( /?\ + ^ /(0) + ^ / J 1 \ ) 80 1 \ ; ^ 80 ^ 1 ; 15 ^ ^ V 8у 24 ^ 1 ; 15 ^

(11)

Аналогично получается для п = 4. ш(х) = х4 — - х2 + —, А = В = ,

5 80 140 140

узлы хк (к = 1, 2, 3, 4) и коэффициенты Ак (к = 1, 2, 3, 4) вычисляются приближенно с

точностью е = 10_8, и получаем

х1 = —0.727412 х2 = —0.266216 хз = 0.266216 х4 = 0.727412

А1 = 0.261508 А2 = 0.501451 Аз = 0.501451 А4 = 0.261508

п = 5. ш(х) = х5 — ^ х3 + ^ х, А =

х1 =

х2 =

хз =

х4 =

х5 =

—0.798214 —0.442930 0.000000 0.442930 0.798214

1 П

-х, А =-

8 ' 224

А1 = 0.172198

А2 = 0.370102

Аз = 0.458149

А4 = 0.370102

А5 = 0.172198

1

В=

224'

„ / \ б 15 4 15 2 1 . п л

п = 6. идж) = х--х--х--, А =-, В =

К J 14 56 112' 336 336

х1 =

х2 =

хз =

х4 =

х5 =

хб =

—0.844751

—0.564399

—0.198187

0.198187

0.564399

0.844751

А1 = 0.118702 А2 = 0.273839 Аз = 0.383508 А4 = 0.383508 А5 = 0.273839 Аб = 0.118702

1

Погрешности построенных квадратурных формул равны

ад) = ^ + 2)? / ^2 (ж2 - dx> ~1 < ч < L

i

3. Вычисление интеграла вида ¡ —- f(x) dx

i

В этом случае весовая функция р{х) = и для отрезка [—1,1] ортогональны-

ми являются многочлены Чебышева III рода [4, с. 84], Сп(х) = ——\—arccosх ^ рп(х) =

cos ^ arccos х

^Сп(х). Многочлен ш{х) после вычисления по формуле (5) имеет вид

Ф) = 2п+2(та+1)(ж2_!) + 1)сп+2(х) + Сп+1(х) - (п + 2)Сп(х)). (12)

Корни многочлена со(х) как в случае р(х) = -\/1 — х2 не выражаются формулой. Поэтому пришлось рассматривать частные случаи n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 и вычислить их приближенно с коэффициентами A, B, Ak (k = 1,... ,n). Результаты приведены ниже. т-т , % 1 1 п л 5п . 8п

Пусть п = 1. а; (ж) = ж — —, Ж1 = —, = ^^, = ^2' Т5'И полУчается Ф°РмУла

^ /(ж) ¿ж « ^ /(_!) + ^ /(1) + ^ f

l-xJy ' 20 ; 12 м ; 15

-i

1 + л/7

Пусть n = 2. ш(ж) = ж2 - 1 зж" 11 с' Xl = 6 6 V7 -, Х2

56' B -- 7тг ~ 24' 29 Ai =- 84 -7Г,

Пусть n = 3. w(x) = жз - 3 2 Г - 31 — ж Н--, 8 16' A 7Г _ 120'

жi = -0.537986 Ai = 0.339999

Ж2 = 0.1528279 A 2 = 0.822336

жз = 0.760157 Аз = 1.246275

Пусть n = 4. ш(ж) = ж4 - 2з 5* " 3 2 3 - - х2 Н-- 5 20 3 ж Н--, 80'

A = 0.014279 B= 0.575959

жi = -0.682753 Ai = 0.190731

ж2 = -0.161469 A2 = 0.488488

жз = 0.405626 Аз = 0.812411

ж4 = 0.838596 A4 = 1.059724

Пусть n = 5. ш(ж) = ж5 - 5 4 12 Х 5 з 1 - - ж - - 6 4 ж2 1 + 8Ж"

29 + 4^7 Аз = —

9. 40

1

64'

i

6

A = 0.008637 B= 0.486199

xi = —0.769541 Ai = 0.117139

x2 = —0.370814 A2 = 0.309853

xs = 0.110027 A3 = 0.542254

x4 = 0.562906 A4 = 0.370102

x5 = 0.884088 A5 = 0.916375

Пусть n = 6. w(x) = x6 — 35 7* 15 4 15 3 - — ж4 + — ж3 + 14 4 15 . 56 X

A = 0.008637 B 0.420749

xi = —0.825326 Ai = 0.076907

x2 = —0.513453 A2 = 0.207544

x3 = —0.114422 A3 = 0.374688

x4 = 0.302831 A4 = 0.549469

x5 = 0.666169 A5 = 0.701664

x6 = 0.912772 A6 = 0.804959

56 Х 112'

Для остаточного члена справедлива формула

1

Rn(f) =

/(2га+2)Ю

(2п + 2)!

1 +ж 1 — x

(x2 — 1)w2(x) dx.

-1

3

1

2

4. Вычисление интеграла вида J \jр— /(ж) dx

-1

В этом случае р(х) = f > и ортогональными являются многочлены Чебышева IV рода (см. [4, с. 84]), 5"га(ж) = ? J™***- Тогда = ^ и по формуле (5)

i>lll тг cliCCOisX ^

2

получаем

^(ж) = 22+га(та+11^ж2 _ X) ((п + 1)бп+2(х) - 5га+ 1(ж) - (п + 2)5,„(ж)). (13)

Аналогично предыдущему случаю для различных п = 1, 2, 3, 4, 5, 6 получаются значения приведенные ниже.

т-т , ч 1 1 5п л п . 8п

Пусть п = 1. ш(ж) = ж + -, хг = --, А = —, В = —, А\ = —,

2.1 1 -1-^7 -1 + ^

Пусть П = 2. ш(х) = X + -х — Х\ = ---, Х2 =

A = 0.688794 B = 0.056099

xi = —0.607625 Ai = 1.480401

x2 = 0.274292 A2 = 0.688794

i—г / \ 3 3 2 3 1

Пусть n = 3. а;(ж) = x H—ж--ж--.

8 8 16

A = 0.706858 B = 0.026179

xi = —0.760157 Ai = 1.246279

x2 = —0.152829 A2 = 0.822279

xs = 0.537986 A3 = 0.339999

1

6

2 3

Пусть п = 4. ш(х) = х4 + - х3 — - х

5 5

33

--х Н--.

20 80

А = 0.575958

= -0.838596 Х2 = -0.405625 жз = 0.161469 Х4 = 0.682753

В = 0.0142799 А1 = 1.059724 А2 = 0.812412 Аз = 0.488488 А4 = 0.190731

5

1

гу _ _ гг>° _ _ гр _ пр

«А/ «А/ «А/ | «А/ |

6

4

64

Пусть п = 5. ш(ж) = ж5 +

А = 0.486199 Х1 = -0.884088 Х2 = -0.562906 хз = -0.110027 Х4 = 0.370814 Х5 = 0.769541

3 15 5 15 Пусть п = 6. а;(ж) = ж6 + - ж5 — у^^4- ~ + ~ х2 + х ~ 777Т-

В = 0.008631 А1 = 0.9163748 А2 = 0.7611406 Аз = 0.5422544 А4 = 0.309853 А5 = 0.1171396

7

14

15 56

_3_

56

1 112

А = 0.4207493 Х1 = -0.9127718 Х2 = -0.6661694 хз = -0.3028313 Х4 = 0.1144215 Х5 = 0.5134534 же = 0.8253261

В = 0.0056099 А1 = 0.8049599 А2 = 0.7016636 Аз = 0.5494689 А4 = 0.3746883 А5 = 0.2075442 Ае = 0.07690723

Для остаточного члена справедлива формула

ад) =

/(2га+2)ю

(2п + 2)!

1-х 1+х

(ж2 - 1)ш2(ж) ^ж, -1 <£< 1.

1

Все построенные квадратные формулы проверяли на тестовых примерах и получили точные значения интегралов.

Замечание. Квадратурные формулы для интегралов при весовых функциях Р(х) = ^1 х2 и Р(х) = VI — ж2 докладывались на XIV и XV Международных научно-технических конференциях города Пенза в 2020-2021 годах и опубликованы в материалах этих конференций [7-8].

1

Литература

1. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов.—М.: Наука, 1967.—500 с.

2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.—2-е изд.—М.: Физматлит, 2002.—598 с.

3. Ильин В. П. Численный анализ. Ч. 1.—Новосибирск, 2004.—334 с.

4. Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые их применения.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2011.—235 с.

5. Марданов А. А. Вычисление интегралов с особенностями и решение сингулярных интегральных уравнений.—Санкт-Петербург: Изд-во Петербург. ун-та, 2017.—104 с.

6. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева.—М.: Наука, 1983.— 382 с.

7. Хубежты Ш. С., Нартикоев Н. Б. Квадратурные формулы с наперед заданными узлами с весовой функцией р(х) = , 1 // Материалы XIV Междунар. науч.-техн. конф. (Пенза, 1-4 декабря,

2020).—2020.—С. 22-25.

8. Хубежты Ш. С., Нартикоев Н. Б. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы с весовой функцией р(х) = \/1 — х2 // Материалы XV Международной научно-технической конференции (Пенза, 1-4 июня, 2021).—2021.—С. 98-102.

Статья поступила 12 ноября 2021 г.

Хубежты Шалва Соломонович

Северо-Осетинский государственный университет

им. К. Л. Хетагурова, профессор

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44-46,

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,

ведущий научный сотрудник

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: shalva57@rambler. ru

Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 1, P. 131-140

QUADRATURE FORMULA OF THE HIGHEST ALGEBRAIC DEGREE OF ACCURACY CONTAINING PREDEFINED NODS

Khubezhty, Sh. S.1'2

1 North Ossetian State University, 44-46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia; 2 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia E-mail: shalva57@rambler. ru

Abstract. Approximate methods for calculating definite integrals are relevant to this day. Among them, the quadrature methods are the most popular as they enables one to calculate approximately the integral using a finite number of values of the integrable function. In addition, in many cases, less computational labor is required compared to other methods. Using Chebyshev polynomials of the first, second, third, and fourth kind corresponding to the weight functions p{x) = p(x) = Vl — x2, p{x) = ^Jp(x) = ^j j-^,

on the segment [— 1,1], quadrature formulas are constructed with predefined nodes a1 = -1, a2 = 1, and estimates of the remainder terms with degrees of accuracy 2n + 1. In this case, a special place is occupied by the construction of orthogonal polynomials with respect to the weight p(x)(x2 — 1) and finding their roots. This problem turned out to be laborious and was solved by methods of computational mathematics.

Key words: weight functions, orthogonal polynomials, quadrature formulas, predetermined nodes, remainder terms, degrees of accuracy.

AMS Subject Classification: 65R10, 65R20.

For citation: Khubezhty, Sh. S. Quadrature Formula of the Highest Algebraic Degree of Accuracy Containing Predefined Nods, Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 1, pp. 131-140 (in Russian). DOI: 10.46698/z4764-9590-5591-k.

References

1. Krylov, V. I. Approximate Calculation of Integrals, New York, Macmillan Co, 1962.

2. Bakhvalov, N. S., Zhidkov, N. P. and Kobelkov, G. M. Chislennye metody [Numerical Methods], 2nd ed., Moscow, Fizmatlit, 2002, 598 p. (in Russian).

3. Il'in V. P. Chislennyy analiz. Ch. 1 [Numerical Analysis. Part 1], Novosibirsk, 2004, 334 p. (in Russian).

4. Khubezhty, Sh. S. Kvadraturnye formuly dlja singuljarnyh integralov i nekotorye ih primenenija [Quadrature Formulas for Singular Integrals and Some of their Applications], Vladikavkaz, SMI VSC RAS, 2011 (in Russian).

5. Mardanov, A. A. Vychislenie integralov s osobennostjami i reshenie singuljarnyh integral'nyh uravnenij [Calculation of Integrals with Singularities and Solution of Singular Integral Equations], St. Petersburg, Publ. House, 2017 (in Russian).

6. Pashkovsky, S. Vychislitel'nye primeneniya mnogochlenov i ryadov Chebysheva [Computational Applications of Polynomials and Chebyshev Series], Moscow, Nauka, 1983, 382 p. (in Russian).

7. Khubezhty, Sh. S. and Nartikoev, N. B. Quadrature Formulas with Predetermined Nodes with the Weight Function p(x) = , 1 , Proceedings of the XIV Intern. Sci.-Tech. Gonf., Penza, December

Y 1 —x2

1-4, 2020, 2020, pp. 22-25 (in Russian).

8. Khubezhty, Sh. S. and Nartikoev, N. B. Quadrature Formulas Containing Predetermined Nodes with the Weight Function p(x) = y/1 — x2, Proceedings of the XIV Intern. Sci.-Tech. Gonf., Penza, December 1-4, 2020, 2020, pp. 98-102 (in Russian).

Received November 12, 2021

Shalva S. Khubezhty

North Ossetian State University,

44-46 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia,

Professor;

Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutina St., Vladikavkaz 362025, Russia, Leading Researcher E-mail: shalva57@rambler. ru