Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений с применением рядов Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИРЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕНАУКИ. 2019. № 4

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4

УДК 517.392 Б01 10.23683/0321-3005-2019-4-47-51

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ЧЕБЫШЕВА

© 2019 г. Ш.С. Хубежты1'2

1Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, Владикавказ, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

AN APPROXIMATE SOLUTION OF HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS USING CHEBYSHEV SERIES

Sh.S. Khubezhty1,2

1Khetagurov North Ossetian State University, Vladikavkaz, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Хубежты Шалва Соломонович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362025, Россия; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]

Shalva S. Khubezhty - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematical Analysis, Khetagurov North Ossetian State University, Vatutina St., 46, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 362025, Russia; Leading Researcher, Southern Mathematical Institute -Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 362027, Russia, e-mail: shalva5 7@rambler. ru

Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в различных областях математики и с тем обстоятельством, что аналитические решения таких уравнений возможны лишь в исключительных случаях.

Предложен и обоснован метод разложения функций в ряды Чебышева решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, неограниченного на концах интервала интегрирования [-1; 1].

Коэффициенты разложения неизвестной функции в ряд Чебышева находятся с помощью решения систем линейных алгебраических уравнений. Для обоснования вычислительной схемы используются методы функционального анализа и теории ортогональных многочленов. Вводится пространство Гёльдеровых функций с соответствующими нормами. В этом пространстве рассматриваются заданные сингулярные и соответствующие приближенные операторы. Приводятся условия существования обратного сингулярного оператора и доказывается существование обратного приближенного оператора. При выполнении условия существования у заданных функций производных до некоторого порядка, принадлежащих классу Гёльдера, оценивается погрешность вычисления и дается порядок ее стремления к нулю.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегралы, ряды Чебышева, формулы обращения, обоснование метода.

Approximate methods for solving hypersingular integral equations are an actively developing area of computational mathematics. This is due to the numerous applications of hypersingular integral equations in various fields of mathematics and the fact that analytical solutions to such equations are possible only in exceptional cases.

In this paper, we propose and substantiate a method for expanding functions in Chebyshev series for solving hypersingular integral equations of the first kind, unbounded at the ends of the integration interval [-1; 1].

The expansion coefficients of an unknown function in a Chebyshev series are found by solving systems of linear algebraic equations. To substantiate the computational scheme, methods offunctional analysis and the theory of orthogonal polynomials are used. The space of gelder functions with the corresponding norms is introduced. In this space, given singular and corresponding approximate operators are considered. Conditions for the existence of an inverse singular operator are given and the existence of an inverse approximate operator is proved. When the conditions for the existence of given functions are satisfied, derivatives up to a certain order belonging to the Holder class estimate the calculation error and give the order of its tend ency to zero.

Keywords: hypersingular integrals, Chebyshev series, inversion formulas, method justification.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 4

Введение

Применение метода граничных интегральных уравнений к задачам механики разрушения, механики композитных материалов, аэродинамики, электродинамики [1, 2] приводит к гиперсингулярным интегральным уравнениям первого рода:

\ Л й к(х' ММ аь = (!)

где к(х, Ь) и f(x) - непрерывно дифференцируемые функции; ^(р) — неизвестная функция.

Интеграл Н(тр,х) = - f_

2 rl ф(t)

It J-1 (t-x)2

в смысле Адамара, т.е. справедливо

J-1 (t-x)2

dt понимается

= lim (f^^Ldt + f\ ЖLdt

£^0+\J-1 (t-x)2 -b-----

■>x+s (t-x)2

Разложим функции <р(£), к(х, Ь) и [(х) в ряды Чебышева 1-го рода [3]. <К0 = 1к=оакТк(0, к(х,0 = %°=о1,Г=оСиТ1(х)Т1Ю, Г(х)=Ъ?=ой1Т1(х), (3)

где коэффициенты ак (к = 0,1,2,...) — неизвестные, так как (р(Ь) — функция неизвестная. Остальные коэффициенты вычисляются по формулам:

;■f(x)Ti(x)dx■

п J-1 41-х2

Подставляя (3) в уравнение (1), получаем

(4)

1

1

- с1__

n}-lVl-t2(t-x)2^k-0

Т.к=0 akTk(t)dt +

+ -f1-17rb.^?=0Y?=0Cü Ti(x)Tl (t)Z%=0akTk(t)dt =

В работах [1, 2] рассмотрено применение проекционных методов к приближенному решению уравнений вида (1) в предположении: а) ifj(±1) = 0; б) гр(±1) = ж; в) \р(1) = ж; хр(-1) = 0 или хр(—1) = хр(1) = 0; даны их обоснования в весовых пространствах. Значения неизвестных функций ifj(t) получаются в дискретных точках.

В данной работе предложена вычислительная схема приближенного решения уравнения (1) с применением рядов Чебышева. Решение

i

ищется в виде ф(Ь) = -j==^(t) , где <p(t) -

дифференцируемая до 2-го порядка функция, второй производной которой удовлетворяет

условие Гёльдера Н(а) (1< а < 1) , т.е.

(p(t) Е Н2(а). Решение (p(t) получается в виде ряда, т.е. для любой точки отрезка [-1,1].

Вычислительная схема

Как уже отметили, решение уравнения (1) бу-

i

дем искать в виде ip(t) = -j==q)(t), т.е. уравнение (1) принимает вид

Kep = 2-f\ 'rV(tldt+ (2)

^ п J-l^l-t2 (t-x)2 v '

+ -i^i:/=2k(x,t)V(t)dt = f(x).

Многочлены Чебышева 1-го рода Tn(t) = cos narccost (n = 0,1,2,...) являются

ортогональными многочленами с весом

l

p(t) = на отрезке [-1,1] . Выполняются формулы

- rl i т /ал (0,m^n,

l,T=odiTi(x). Учитывая формулу [4]

(5)

-f1 nJ-1

J-2 (t-x)2

Tk(t) dj. _ 2 xUk-1(x)-kTk(x)

1-х2

т, , Л бШЛ^ГССОБЯ: тт _ где ик_1(х) = —--многочлен Чебышева

второго рода, равномерную сходимость рядов Чебышева [3] и ортонормированность многочленов Тп(Ь) из (5), получим

Тк=0 аkQk(x) + 1,к=0 ак 1,1=0 (х) = (6) = ЪТ=оЛ1их).

Здесь Qk(x) = 2

xUk-i(x)-kTk(x)

1-х2

Разложим функцию Qk(x) также в ряд Чебы-шева.

Qk(x) = T1^r=obikTi(x), (7)

2 г1 1

где bik=2j_l7=Qk(t)Ti(t)dt.

Отметим, что функции Qk(x) (к = 0,1,...) являются многочленами степени к — 2. Тогда (0,к = 0,1,1 = 0,1,2,..., = {0, к = 2,3,...Л>к — 1. С учетом этого равенства (6) принимает вид Т,к=0(Т,к=0акЬ1к)Т1(Х) + ^<к=0(^к=0акс1к)^1(х) = = !.Г=0*Л(х). Отсюда следует равенство !.к=о ак(Ь1к + с1к) = аь 1 = 0,1,... (8) Следовательно, получили систему, эквивалентную уравнению (2).

Равенства (8) являются системой линейных алгебраических уравнений бесконечного порядка. Для получения приближенного решения рассмотрим систему

1п=0ак(Ь1к + сш) = ¿ = 0,1,.,п. (9)

1

1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 4

Коэффициенты , с^ , (1,к = 0,1,2,...) можно вычислить с наивысшей точностью по формуле Гаусса [5].

Как известно, уравнение (2) не имеет единственного решения. Доказано [6], что оно имеет единственное решение при дополнительных условиях:

О 1 -1

-Lll=ïTo(t)<pWt = Co,

(10)

^k=2ak(Pik + Cik) = = dt- a0(bi0 + ci0) - a1(bil - сц).

(11)

Решая систему (11), получим приближенное решение уравнения (2) в виде

(12)

Фп(0 = ïk=oakTk(t).

2 çl 1

<P(t)

dt =

w-ifl—t2 (t-x)2 _2r1 1 <p(t)-<p(x)-i<p'(xXt-x)-i<p"(0(t-x)2 = n^-lH-t2 (t-x)2

dt +

2 ri i <p(x)+<p'(x)(t-x)+-<p"(O(t-x)2

+2j1

-

nJ-1fl-t2

(t-x)2

dt =

= lù7=(<p"(r])-l<p"(0) dt + <p"(0 = = 2(p"(r\) е Н(а) œ Y.

Здесь использовано равенство

2 çl 1

-

„■■-^иё^+^+У«)!*^'1«).

п-'-гЛ—2

где С0, Сг — некоторые произвольные постоянные, от которых зависит решение.

Подставляя ф(Ь) = ^Т=оакТк(Р) в (10), с учетом ортогональности получаем

2 т0(0 £к=0 акТк(0 dt = c0 ^ а0 = С0,

2 /-17Г=р Т±({:) Ж=о акТк(О б.г = Сг ^ а1 = С1.

Таким образом, в системе (9) а,о и аг считаются известными значениями.

Следовательно, система (9) принимает вид

Также очевидно, что

7 1 1

- Us^i к(х, t) <p(t)dt е H (а) е Y. В пространство X вводится норма [7]

-1<t<1 -1<t<1

+ max \<p''(t)\ + sup

\<p"(t1)-<p"(t2)\ \t1-t2\P '

Обоснование метода

Вводятся пространства X и У; X - это про-

г

странство функций вида ^(0 = ^—¡^ ф(0, где

фЮ - непрерывно дифференцируемые функции до второго порядка, вторые производные которых удовлетворяют условию Гёльдера Н(а) (1< а < 1), т.е. 6 Н2(а); Y - пространство

функций у(£) 6 Н(а). Нетрудно видеть, что оператор К действует из пространства X в пространство Y = Н(а). Действительно,

2 ,1 1 y'(x+-d(t-x))(t-x)-y'(x)(t-x)-1y"(Ç)(t-x)2

-J -';-2-dt +

ТГ J -1 Л 4-2

(t-x)2

<Р(Х) +!Ax) + 1y„(0] dt =

+ и . .

n}-141-t2 \(t-x)2 t-x 2

2 ,1 1 <р"(№-х)2-2Р"Ш-х)* ,

= 2J-1HÏ-ë -0-02-dt + V W =

0 < /3 < a.

Через Xn обозначим подпространство пространства Х, состоящее из функций

= j=î<Pn(t) , где (pnit) = Yk=oaktk -множество полиномов до n-го порядка. Норма в пространстве Хп определяется так же, как в пространстве X.

В пространствах Y норма вводится следующим образом:

Wy(t)W= max \y(t)\ + sup ,

~1<t<1 tl±t2 \t-L~t2\P

0 < p < a.

Пространство Yn - это множество функций y(t) = Yk=0aktk , норма такая же, как в пространстве Y.

Через Рп обозначим проектор, действующий из пространства Y в пространство Yn по формуле

УпЮ = P-n[y(t)], а из пространства X в Хп - по

1

формуле Рп[фп] = Следовательно,

Pn[y(t)] - оператор проектирования на множество интерполяционных многочленов степени п по узлам многочлена Чебышева 1-го рода. Известно [8], что ||Pn|| ^ Clnn, где С = const.

Будем считать, что существует линейный обратный оператор К-1, действующий из Y в X.

Приближенное решение ищем в виде функции <Pn(t) = 1к=0акТк(0.

Коэффициенты ак (к = 0,1,2, ...,п) определяются из системы линейных алгебраических уравнений (9) (или (11)), которая в операторной форме имеет вид

Kn<Pn(t)=p4-fli7ii= ^ dt +

*nLп■}-141-2 (t-x)2

+ k(X't)<pn(t)dt] = Pn[f(x)]. (13)

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 4

Так как интеграл -f^-^1

- r1 1 Vn(t)

n"-1j1-t2 (t-x)2

dt явля-

ется многочленом порядка < n — 2, то

P l-t1 vn(tLdt] = -c1 1

rn[nj-14T=I2 (t-x)2 UL ] nJ-1

VnW) 41-t2 (t-x)2

d t.

Воспользовавшись этим тождеством и свойством квадратурных формул Гаусса, уравнение (13) представим в виде

1 <Рп(1)

-1

+ Pn

nJ-14T-t2 (t-x)2

1

d t +

P£[k(x,t)]<pn(t) dt \=Pn[f(x)]

n UJ-1Vr-t2

Оценим норму разности Knpn(t) — Knpn(t) . Имеем

\\Kn<Pn(t) — KnPn(P)\c[-i,1] =

- 1 1

= W Pr,

[k(x, t)

kn(x, t)]<pn(0 dt

—РП?[к(х,т ^^ (рп(0 аь < шах\к(хЛ) — Р*[к(х,Ь)]\ \\(Рп(тС[_1,1] < <СЕ*(к(х,Ъ)(1 + Лп)\\<РпШ\,

где Е%(к(х,^ - наилучшее равномерное приближение функции к(х, ^ при фиксированном t по переменной х полиномами степени п; Ап -константа Лебега.

Так как КпфпЮ — КпфпЮ является многочленом (п — 2)-го порядка, то из обратной теоремы Бернштейна [9] следует, что \\КпФпЮ — КпФпШ <

С[-1,1] 1

< max|k(x, t)

<

<CEZ(k(x,t))(1 + K)nl3\\<Pn(t)\\,

где E%(k(x,t)) = sup En(k(x,t)). -i<t<i

Из теоремы Банаха [10] следует, что при п, для которых q = C\\K-1\\E*(k(x, t)(1 + Лп)) < 1, оператор Кп непрерывно обратим и справедлива оценка

\\(рп -фп\\ < CnP\\K-1\\E%(k(x, 0)Лп, где (рп -решение уравнения (13).

Аналогично доказывается, что \\<р-фп\\ <C\K-1\E^(k(x,t))An. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема. Пусть оператор K непрерывно обратим, функции k(x, t),f(x) Е Аг(а) (г > 1) (т.е. имеют непрерывные производные до ( - 1 )-го порядка, а производная порядка удовлетворяет

условию Гёльдера с показателем а (0 < а < 1)). Тогда при n таком, что

C\\K-1\\nß(E^(k(x, t)) + E*(k(x, t))) lnn<1, система (11) однозначно разрешима и справедлива оценка

\\p — Pn\\<C\\K-1\\nß (En(k(x,t)) +

+E%( k(x, t)j)lnn,

или \\p — Pn\\<0 (J+la-f), где pupn- решения соответственно уравнений (2) и (13).

Литература

1. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус, 1995. 520 с.

2. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: Янус-К, 2001. 508 с.

3. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.

4. Плиева Л.И. Квадратурные формулы интерполяционного типа для гиперсингулярных интегралов на отрезке интегрирования // Сиб. журн. вычисл. математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 413-422.

5. Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые их применения. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. 236 с.

6. Бойков И.В., Бойкова А.И. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании : материалы XIII Междунар. конф. Саранск, 12-16 июля 2017 г. Саранск, 2017. С. 446-461.

7. Бойков И.В., Бойкова А.И., Сёмов М.А. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Приволжский регион. Физ.-мат. науки. Математика. 2015. № 3 (35). С. 11-27.

8. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.

9. Натансон И.Н. Конструктивная теория функций. М.; Л.: ГИФМЛ, 1949. 688 с.

10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 750 с.

References

1. Lifanov I.K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravnenii i chislennyi eksperiment [The method of singular integral equations and numerical experiment]. Moscow: Yanus, 1995, 520 p.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION.

2. Vainikko G.M., Lifanov I.K., Poltavskii L.N.

Chislennye metody v gipersingulyarnykh integral'nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equations and their applications]. Moscow: Yanus-K, 2001, 508 p.

3. Pashkovskii S. Vychislitel'nye primeneniya mnog-ochlenov i ryadov Chebysheva [Computation applications of polynomials and Chebyshev series]. Moscow: Nauka, 1983, 384 p.

4. Plieva L.I. Kvadraturnye formuly interpolyatsion-nogo tipa dlya gipersingulyarnykh integralov na otrezke in-tegrirovaniya [Quadrature formulas of interpolation type for hypersingular integrals on the integration interval]. Sib. zhurn. vychisl. matematiki. 2016, vol. 19, No. 4, pp. 413422.

5. Khubezhty Sh.S. Kvadraturnye formuly dlya sin-gulyarnykh integralov i nekotorye ikh primeneniya [Quadrature formulas for singular integrals and some of their applications]. Vladikavkaz: YUMI VNTS RAN i RSO-A, 2011, 236 p.

ECTECTBEHHblEHAYKH. 2019. № 4 NATURAL SCIENCE. 2019. No. 4

6. Boikov I.V., Boikova A.I. [An approximate solution of hypersingular integral equations of the first kind with singularities of the second order]. Differentsial'nye uravneniya i ikh prilozheniya v matematicheskom mod-elirovanii [Differential equations and their applications in mathematical modeling]. Proceedings of the XIII International Conference. Saransk, July 12-16, 2017. Saransk, 2017, pp. 446-461.

7. Boikov I.V., Boikova A.I., Semov M.A. Priblizhennoe reshenie gipersingulyarnykh integral'nykh uravnenii pervogo roda [An approximate solution of hypersingular integral equations of the first kind]. Izv. vuzov. Privolzhskii region. Fiz.-mat. nauki. Matematika. 2015, No. 3 (35), pp. 11-27.

8. Sege G. Ortogonal'nye mnogochleny [Orthogonal polynomials]. Moscow: GIFML, 1962, 500 p.

9. Natanson I.N. Konstruktivnaya teoriya funktsii [Constructive theory of functions]. Moscow; Leningrad: GIFML, 1949, 688 p.

10. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsional'nyi an-aliz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1984, 750 p.

Поступила в редакцию /Received_2 сентября 2019 г. /September 2, 2019