Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классе функций с весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.392

DOI 10.21685/2072-3040-2019-3-6

И. В. Бойков, А. И. Бойкова

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КЛАССЕ ФУНКЦИЙ С ВЕСОМ ((1 + х) / (1 - х)+1/2

Аннотация.

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В последнее время интерес к исследованию аналитических и численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений значительно усилился в связи с их активным применением при моделировании различных задач в радиотехнике и радиолокации. Оказалось, что одним из основных методов математического моделирования антенн являются гиперсингулярные интегральные уравнения. В данной работе предложены и обоснованы проекционные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго

2 +1/2

порядка. Исследуется случай, когда решение имеет вид х(/) = (1 - ( )~ ф(/).

Материалы и методы. Используются методы функционального анализа и теории приближения. Введены функциональные пространства, в которых действуют гиперсингулярные операторы. Для доказательства разрешимости предложенной вычислительной схемы и оценки точности приближенного метода используется общая теория приближенных методов Канторовича.

Результаты. Построена вычислительная схема приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений с особенностями второго порядка

2 +1/2

на классе решений вида х(/) = (1 -1 )~ ф(/). Получены оценки быстроты сходимости и погрешности вычислительной схемы.

Выводы. Построена и обоснована вычислительная схема приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте [-1,1]. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики (уравнение конечного крыла), электродинамики (дифракция на различных экранах), гидродинамики (теория подводного крыла), при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, метод коллокаций, метод механических квадратур.

© Бойков И. В., Бойкова А. И., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

I. V. Boykov, A. I. Boykova

APPROXIMATE SOLUTION OF HYPERSINGULAR

INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH SECOND ORDER FEATURES ON THE CLASS OF FUNCTIONS WITH WEIGHT ((1 + x) / (1 - x)+1/2

Abstract.

Background. Approximate methods for solving hypersingular integral equations are an actively developing area of computational mathematics. This is due to the numerous applications of hypersingular integral equations in aerodynamics, electrodynamics, physics, and the fact that analytical solutions of hypersingular integral equations are possible only in exceptional cases. In addition to direct applications in physics and technology, hypersingular integral equations of the first kind arise in the approximate solution of boundary-value problems of mathematical physics. Recently, interest in the study of analytical and numerical methods for solving hypersingular integral equations has significantly increased in connection with their active use in modeling various problems in radio engineering and radar. It turned out that one of the main methods of mathematical modeling of antennas is hypersingular integral equations. In this paper, projection methods for solving hypersingular integral equations of the first kind with second-order singularities are proposed and

2 + 1/2

justified. The case when the solution has the form of x(t) = (1 -t ) p(t).

Materials and methods. Methods of functional analysis and approximation theory are used. Function spaces in which hypersingular operators act are introduced. To prove the solvability of the proposed computational scheme and assess the accuracy of the approximate method, the general theory of Kantorovich approximate methods is used.

Results. A computational scheme is constructed for the approximate solution of

hypersingular integral equations with second-order singularities on a class of

2 +1/2

solutions of the form of x(t) = (1 -1 ) 9(t). Estimates of the speed of convergence and the error of the computational scheme are obtained.

Conclusions. A computational scheme for the approximate solution of first-type hypersingular integral equations defined on a segment [-1,1]. The results can be used to solve problems of aerodynamics (finite-wing equation), electrodynamics (diffraction on different screens), hydrodynamics (hydrofoil theory), and to solve equations of mathematical physics by the method of boundary integral equations.

Keywords: hypersingular integral equations, collocation method, mechanical quadrature method.

Введение

Необходимость исследования аналитических и численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений (ГИУ) вызвана их многочисленными приложениями в физике и технике. В течение более ста лет, с тех пор как Гильберт и Пуанкаре ввели сингулярные интегральные уравнения, а Адамар - гиперсингулярные интегральные уравнения, наблюдается бум в области исследования сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений и разработки их приложений. Краевая задача Римана, Римана -Гильберта, сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения являются одними из основных методов математического моделирования в физике (теория близкого и дальнего взаимодействия, теория солитонов, квантовая

механика, теория поля), в теории упругости и термоупругости, в аэродинамике и электродинамике и во многих других областях.

Методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в замкнутом виде известны только для небольшого класса уравнений. Для сингулярных интегральных уравнений эти методы представлены в книгах [1, 2], для ГИУ - в статьях [3, 4]. Поэтому чрезвычайно актуальна разработка приближенных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

Основные методы и достаточно подробные обзоры литературы по приближенным методам решения сингулярных интегральных уравнений приведены в [5-12].

Методы решения ГИУ разработаны намного слабее. Для приближенного решения ГИУ второго рода, определенных на сегменте [-1,1], получены следующие результаты. Построен метод механических квадратур для решения линейных уравнений с фиксированной особенностью [13], сплайн-коллокационные методы (со сплайнами первого порядка) для решения линейных и нелинейных ГИУ [14-16]. Исследованы методы коллокации и механических квадратур для решения линейных и нелинейных ГИУ второго рода с особенностями р -го порядка, р = 2,3,..., определенных на единичной окружности у с центром в начале координат [17]. Работы [18-20] посвящены приближенным методам решения гиперсингулярных интегро-дифференциальных уравнений второго рода на замкнутых контурах интегрирования.

Большое число работ посвящено приближенным методам решения одномерных ГИУ первого рода. Большинство из них посвящено уравнениям,

2 1/2

решения которых имеют вид х(^) = (1 -1 ) ф(^), где ф() - непрерывная функция. Уравнения с этими особенностями имеют многочисленные применения в аэродинамике, электродинамике, моделировании композитных материалов. Для их решения предложены различные методы - проекционные [21-23], метод гомотопий [24], численно-аналитический [25], дискретных особенностей [26]. Приближенным методам решения многомерных ГИУ первого рода посвящены работы [27] (глава 10) [14, 28].

В работах авторов [29, 30] построены вычислительные схемы проекционного типа для решения одномерных ГИУ первого рода, решения которых

имеют вид х^) = (1 -12)+1/2 ф(^), х^) = ((1 -1)/(1 +1))+1/2 ф(^), где ф() - непрерывная функция. Обоснование проведено для случаев, когда решение имеет вид х^) = (1 -12)+1/2 ф(^).

Данная работа является продолжением статьей [29, 30]. В ней построены методы коллокаций и механических квадратур для приближенного решения одномерных ГИУ первого рода, решения которых представимы в виде +1 /2

х(^ ) = ((1 -1 )/(1 +1))~ ф(^), где ф() - гладкая функция, и даны их обоснования в пространствах функций Гельдера.

1. Определение гиперсингулярных интегралов

В 1903 г. Ж. Адамар ввел [31] в математику новый вид интегралов.

Определение 1 [31, 32]. Пусть функция А(х) имеет р производных в окрестности точки Ь,р = 1,2,..., 0< а <1. Интеграл вида

г Л(х)ёх | (Ь — х) р+а

определяется как предел при х ^ Ь суммы

Ь х

г Л(х)^х

- lim

A(t) dt

B( x)

(b - x)p+a x^b J (b -1)p+a (b - x)P+a

Здесь В(х) - любая функция, которая удовлетворяет двум условиям:

а) предел существует;

б) В(х) имеет р производных в достаточно малой окрестности точки

х = Ь .

Замечание. В монографии [33] Ж. Адамар описывает творческий процесс решения математических проблем и, в частности, описывает (с. 104) психологические проблемы, связанные с открытием им гиперсингулярных интегралов.

Л. А. Чикин [34] объединил понятия интеграла в смысле главного значения Коши и интеграла в смысле Адамара. Определение 2 [34]. Интегралом

г ф(т)^т

a < c < b,

в смысле главного значения Коши - Адамара называется предел

9(i)d т

- lim

(т-c)p v^Q

I

+

I

ф(т) d т +_^(v)

9(x)d т

(т-c)p ' c+v(т-c)p ' vp-1

где ^(у) - любая функция, которая удовлетворяет двум условиям:

а) предел существует;

б) ^(у) имеет р — 1 непрерывную производную в достаточно малой окрестности точки х = с.

Рассмотрим гиперсингулярный интеграл

ю(т)ф(т)

l

I

_1 (т-t г

d т,

(1)

где

®(t )-i, ®(t)-(i -12)±1/2, ffl(t)-;1 t

i+1

±1/2

Интеграл (1) определяется формулой [35]

ю(т)ф(т) =

-1

г ш(т)ф(т) dт - Г -1 (т-t )2 J

ф(т)-ф^)-ф^ (т-1)

ю(т)

(т-t )2

d т +

1

+Ф^) {

+ )1 d т, -1< t <1.

2 v J (т —t)

-1(T-t Г _v

Замечание. Такая регуляризация была ранее описана в [36].

(2)

2. Весовые функции ((1 +1) / (1 -1 ))+1/2

В этом разделе исследуются проекционные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений вида

Kx = — Г x(T)2 dт + Гh(t, т)x(T)dт = f (t), _ 1< t < П_1 (т-t )2 _1

1

1,

(3)

+1/2

решение которых ищется в классе функций х(^) = ((1 +1)/(1 -1))_ ф(^), где ф(^) - гладкая функция.

При построении и обосновании вычислительной схемы нам понадобятся следующие формулы [35]:

Г0, п = 0,1,

П Г

п J

где

ek

1V1 _т2 (т_ t )2

0,

г Г n — к — 1

к +1 I 2

d т =

n_2

Yf/, n = 2,3,...,

к=0

л/п г Г n _ к

n _ к = 21 +1,

n — к = 2/,n > 2,к < n — 2,

I = 0,1,..; Г - гамма функция.

Для определенности ограничимся рассмотрением случая, когда весовая

1/2

функция равна ((1 +1) / (1 -1)) .

Приближенное решение уравнения (3) будем искать в виде функции

/ч 1 +1 /ч 1 + ^ к

xn (t)=VTT7^n (t)=J— Ya^

V ' к=0

с заранее заданным коэффициентом ao = const. Это соответствует тому, что

в качестве дополнительного условия, налагаемого на решение уравнения (3),

*

берется x (0) = ao.

Неизвестные коэффициенты {ак} функции xn (t) находятся из системы уравнений

K x = T ^n^n ~1n—1

п Ч1

—1

1 г 1 + т Фп (т)

d т +

-т (т — t)2

n

т

+

1 1

Г -==#[(1 + т)Щ, т)фи (т)]d т

-iV1 -т2

- Тп [ f (t)],

(4)

где Тп - проектор на множество интерполяционных полиномов п -го порядка

по узлам полиномов Чебышева первого рода. Нетрудно видеть, что

1

1 Г 1 + т фп (т) d т = 1 Г _1 +т Фп (т) n^Vi -т (т-t)2 nJ^TH

-Г- (т-t)

! 1 (п+1 )

ПI№^)

-Л k-Q

т2 (т-t)2

d т -

п—1

1 , 1 ^ k

V1 -т2 (т-t)

-dт - - £|3ktk.

"k-Q

Поэтому

Т

п—1

1 f I1 dт

-т (т-t)2

п Ч1 -

-1

п Ч1 -

-1

1 f I1 +тфLdт

-т (т-t)2

и уравнение (4) можно представить в виде

-nJV1

1 Г 1 + т Фп(т)

к^п-- | j— гпУ'; dт+

-т (т-t)2

+Г

п—1

1 1 т

Г Тпт[(1 + т)Щ, т)фп (т)]d т

-iV1 -т2

- Тп[f (t)].

(5)

1 +1

Пусть X - пространство функций вида х(^) = ^—ф(^), где функция

ф(0е ЖгИа(М), г = 2,3,..,0<а<1, и ф(0) = с0. Норма в X вводится формулой

2

II х(0 ||= 2 II Ф(]](<) Ис[—1,1] +И(ф(2),в), в < а. ]=0

Пусть У - пространство непрерывных функций у(^) с нормой

| I у(Г) I I=I I У(Г) I |С[—1,1] + И (у, в). Через Хп обозначено подпространство пространства X, состоящее из

1 +1

функций Xn (tФп (т), гДе Фп (t)- 2akt , aQ- cQ. НоРма в хп индуцирована пространством X.

k-Q

Через Уп обозначено подпространство пространства У, состоящее из по-

линомов вида уп (г)= ^Рк^. Норма в Уп индуцирована пространством У.

к=0

Покажем, что оператор К отображает X в У. Для этого достаточно рассмотреть характеристическое уравнение

,0 _ 1 г х(т)

K0 x = 1 J-i^L d т = f (t). п —1 (т — t )2

Оценим модуль К х. Очевидно,

1 f-^L d т

п —1(т — t )2

1 г 1 + т Ф(т)

п /1V1 —

■d т

-т (т — t)2

1 г 1 + т Ф(т)

^ J

п

TVT—2 (т — t у

d т

J

1 1

(т—t )2

[Ф1(т) — ф— (t) ^ — ФТ(Г

d т + -

Ф— (t) 1 d т =

2!

J

1

I

1 1

1ЛЯ—2 (т — t)2

|(ф1 (V) — Ф— (t ))(т — v)dv

d т + ! Ф— (t),

где ф1(Г) = (1 + г )ф(г).

Из этого представления следует, что 1

J^

1

17Г—2 (т—hj-

^l(t)(^)dт ||C[—1,1]< C || x ||.

Введем обозначение

V(t) = — f-X?Kdт = — fl—+l-ФфTj-dт = — f (1 + т)ф(т)

п* (т — t)2 1 — т (т — t)2 п-1.

пД(т-г) пт (т-г)" Оценим Н (у, в). Имеем

п—W1—т2(т — t )2

-d т.

п

I (н V)(t1)—(н V)(t2) |< 21 ф1 (t1)—ф1 (t2) I +

+

J I 1 2 1 2 J (фГТ(V) — Ф11 (t1) )(т —v)dv —TV1 — т2 (т —11)2 J

IГ1

d т-

Jt—

TVl —т2 (т —12)2

J (ф— (v) — фФ (t2) )(т — v)dv

V 2

d т

=|/i I + I/2I.

Очевидно,

|/iI<| н (ф1, в) | ti -12 |в.

Приступим к оценке | /2 |.

Пусть р — (11, '1, —1< 1 <0, А1 =[—1,1] П( —р,¿2 +р], Д2=[—1,1]\А1.

Представим выражение | /2 | следующим образом:

II2 I<

1 1

Vi-т2 (т-ti)2

I (((v) - фТ(^1> Нт-v) dv

v Г1

d т

+

+

J

1 1

л/i-2 (т-2)2

I (((V) -фí(t2) )Cr-v)dv

v f2

d т

+

J

1 1

Vi-2 (т-ti)2

+

I (i(v) - ф1(?1) )(т-v)dv

v r1

d т-

1 1

I (i(v) -фф) )(т- v)dv

h

V 2

d т |-1121 | + 1122 I + 1123 I-

Оценим выражение | /21 | (выражение | /22 | оценивается аналогично). Очевидно,

| /211< С | | т — ¿1 |в ат < С^+1/2 < С | ¿2 — ¿1 |в+1/2;

1123 I <

f_J_

(т-ti)2 (т -12 )2

I (( (v) - фТ (ti) )(т-^v

v Г1

dт

+

+

J

1 1

л/i-2 (т-2)2

I (фТ (v) - ф1 (ti)) (т- v)dv)d т-

-1 (i(v) -ф(t2) )(т- v)dv

d т

-| 12311 + 11222 1 -

А

А

А

t

2

Оценим каждое выражение в отдельности. Проведя несложные вычисления, имеем

I'23lI< C J Д2

VT—

1 112 — tl 11 2т — tT —12 II т — t—Ie dт<

< C 11,

—t—I J "IT"

VT—2 I т —12

h —12

1 d^ C112 — tl Iе;

1232

I<

/ T"

An

VT—2 (т —12)2

Z.

J (((v) — Ф—(tl) )(т —v)dv

d т

+

+

/ Т"

A

л/Т^(т —12)2

J (Фт (tl) — Ф—(t2))(т — v)dv

d т

-112321I + 112322

Очевидно,

'2321

I< C

J

1 It2 — tl Iе

ТТ^(т —12)2

(т —12)2 — (т — tl)2 dт < C I t2 — t"

112322 \<С | || фф-ф\ ¿т < С \\ ф-ф\\< С | -^2 1в .

Собирая полученные оценки, убеждаемся в справедливости включения К0х е Нр и, следовательно, включения К0 е [X, У]. Итак, доказано включение К е [X, У].

Покажем, воспользовавшись общей теорией приближенных методов Канторовича [31], что если оператор К е [X,У] имеет линейный обратный

оператор К 1 е [У, X], то начиная с п таких, что выполняется неравенство

q = Сп~г-а+в 1пп <1, оператор Кп е[Xn,Уп] непрерывно обратим и справед-

и * * - г-а+В * *

лива оценка | |х (г) - хп (г) 11< Сп н1п п, где х и хп - решения уравнений

(3) и (4), соответственно.

Введем вспомогательное уравнение

= п Ч1

—1

pi г 1+т ф(т

Kx = — | J1-^- TV~/_ dт + -т (т — t)2

+Tn

n—1

[ I 1 Г(1 + т)И(г, т)ф(т)]^т -1>/1 -т2 .

Можно показать, что справедливо включение

= f (t).

(6)

2

1 1

¥ (О = [ [(1 + т)Л((, т)ф(т)]а те Жг И а (М). —т2

Отсюда следует неравенство

I К К — К) х 11 = 11 Оп—1[х¥(()] 11 < Сп~ г—а+в 1п п 11 ФС[—1,1] < Сп ~г—а+в 1п п I I х I I ,

где Вп—1 = / — Тп—1.

Из полученного неравенства следует, что, при достаточно больших значениях п, выполнены условия теоремы Банаха [37]. Тогда при п таких,

что ql = СI IК 1 11 п г а+в 1п п <1, уравнение (6) имеет единственное решение и справедливы оценки

I !К—1 I |<| I К"1! !/(1 — q) и I |х* — x*| I < Сп~г—а+в 1п п,

_*

где х - решение уравнения (6). Рассмотрим уравнение

Кхп = /п—1= Тп—1[ / ]. (7)

Очевидно,

| | х* — хп | | < Сп~г+в 1п п,

_*

где хп — решение уравнения (7).

Отметим, что из структуры уравнения (7) следует, что оператор К отображает пространство Хп на Уп.

Для этого достаточно рассмотреть характеристическое уравнение

KQ x -1 К 1+ф (т)^ - fn-l (t)- (8)

п--т (т-t)2

В пространстве X уравнение (8) имеет единственное решение. Покажем, что решение принадлежит подпространству Xn. Для этого представим уравнение (8) в виде 1

1 f-^-^iVi-2

(1 + т)-фт^т-fn-i(t). (9)

-т2 (т — ()2

Будем искать решение уравнения (9) в виде полинома

п

Ф (' )= .

к=0

Тогда

1 1 1 1 п п к—2

П ^ТТ? 7Л? 2Ук Л т = 2Ук 2е1'';

П—— т2 (т —() к=0 к=2 '=0

n к—1

—JTT TtV If ткт=I, Ik+1tl

п—Wl — т2 (т —t) к=0 к=1 /=0

и

Л 1 Л ~ i \ n к—1 n к—2

i J ' (1 ^-З^ d т = Ik 1ек+V + ^ ^. п—Wl — т2 (т —t)2 к-1 /=0 к=2 /-0

Здесь е/ =0, если к -1 - нечетное. Подставляя это выражение в уравнение (9), имеем

п к-1 п к-2 п-1

& Ьк+м + ^ ^ ^ = 2 с/.

к=1 /=0 к=2 /=0 к=0

Из уравнения (10) вытекает система уравнений:

vnen—1 cn—1,

vn—1еи—2 + vne«—2 = cn—2, vn—2 + vn—1^—" = cn—3,

(10)

Из этой системы следует, что коэффициенты \к, к = 0,1,...,п, определяются однозначно.

Следовательно, уравнения (7) и (8) имеют решения в подпространстве Xn. Так как уравнение (8) имеет единственное решение в пространстве X,

то отсюда следует, что оператор К0 е [Xn, Уп ] имеет обратный оператор

[К0]-1 е [Уп,Xn].

Отсюда следует, что оператор К е[Xn, Уп ] непрерывно обратим: К 1 е [Уп,Xn].

Введем промежуточное ГИУ:

= п^1

1 Г 1 + т Фп (т)

Knxn = - | J^-^ rnx~2 dт + -т (т — t)2

+T

n—1

1 1-^(1 + т) Pn—2 [h(t, т)]Фп (т)d т п—Wl — т2

= fn—l(t).

Здесь через Рпт[Л(г, т)] обозначен полином наилучшего равномерного приближения (по второй переменной ) степени п к функции Н(г, т). Оценим норму разности операторов:

1 1Кхп - Кпхп 1 С[-1,1] < Сп~Г~а 1пп| 1хп 1X .

Так как выражение (Кхп — Кпхп) является полиномом п -й степени, то из результатов работы [13] следует неравенство

" " |< Сп~г—а+в 1п п 11 хп 11.

I К^п Кп^п

(11)

Так как оператор К е [Xn, Уп ] непрерывно обратим, то из последней оценки и теоремы Банаха следует, что при п таких, что выполняется неравенство ql = С | | К_1 11 п~г—а+в 1п п < 1, оператор Кп е [Xn, Уп ] имеет непрерывный обратный оператор с нормой | | К,—1 | | < 11К_1 | | /(1 — ql).

Оценим | | Кхп — Кпхп 11. Имеем

\\Kx - К x

||ju-п г^пхп |С[—i1]

Т

-L г

п-1

iVi-

Т [(1 + т) Dl-2[h(t, т)]фп (т)]d т

<

< Сп г а 1п2п I |фп| |< Сп г а 1п2п| | хп 11,

где Вп—2 = / — Тп—2.

Так как выражение Кпхп — Кпхп является полиномом п -го порядка, то [13]:

I I Кпхп — Кпхп 11 < Спг—а+в 1п2п I I хп 11. Из этой оценки и теоремы Банаха об обратном операторе следует, что при п таких, что имеет место неравенство q2 = С | |Кпг1| |п г а+в 1п2п, оператор Кп е[Xn,Уп] непрерывно обратим и справедлива оценка

I К1 11 <| I К—^|/(1 — q2).

Таким образом, показано, что приближенное уравнение имеет единственное решение.

**

Обозначим через х и хп решения уравнений (3) и (4) соответственно.

Справедлива оценка | |х — х* | | < Сп г а+в 1п2п . Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) И((, т) е Жг,гИаа(М), /(О е ЖгИа;

2) оператор Ке [X,У] непрерывно обратим.

Тогда при п таких, что выполняется неравенство q = Сп

- Гп~г-a+P

ln п <1,

система уравнений (4) однозначно разрешима и справедлива оценка

| |x - xfj | < Сп (3) и (4).

-r-a+P,„ 2

п, где x и xn - соответственно решения уравнений

Библиографический список

1. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - Москва : Наука, 1977. - 640 с.

2. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхе-лишвили. - Москва : Наука, 1968. - 612 с.

3. Бойков, И. В. Аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2. -С. 63-78.

4. Boykov, I. V. Analytical methods for solution of hypersingular and polyhypersingu-lar integral equations / I. V. Boykov, A. I. Boykova // arXiv:1901.04880v1 [math.NA] 15 Janury 2019. 22 p.

5. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. - Киев : Наукова думка, 1968. - 287 с.

6. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. - Москва : Наука, 1971. - 352 с.

7. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов. - Москва : Наука, 1985. -256 с.

8. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. - Москва : ТОО «Янус», 1995. - 520 с.

9. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, B. Silberman. - Berlin : Acad. Verl., 1991.

10. Mikhlin, S. G. Singular Integral Operatoren / S. G. Mikhlin, S. Prossdorf. -Berlin : Acad. Verl., 1980.

11. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

12. Boykov, I. V. Numerical methods for solution of singular integral equations / I. V. Boykov // arXiv: 1610.09611[math.NA]. 182 p.

13. Бойков, И. В. Приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма с интегралом в смысле главного значения Коши - Адамара / И. В. Бойков // Функциональный анализ и теория функций : сб. - Вып. 7. - Казань, 1970. - С. 3-23.

14. Boykov, I. V. New iterative method for solving linear and nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, V. A. Roudnev, A. I. Boykova, O. A. Baulina // Applied Numerical Mathematics. - 2018. - Vol. 127. - P. 280-305.

15. Boykov, I. V. An approximate solution of hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. -2010. - Vol. 60, № 6. - P. 607-628.

16. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. - 2014. - Vol. 86. - P. 1-21.

17. Бойков, И. В. Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокаций / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Сёмов, А. А. Есафьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3. - С. 101-113.

18. Бойков, И. В. Приближенное решение интегродифференциальных уравнений с интегралом в смысле Адамара / И. В. Бойков // Ученые записки Пензенского политехнического института. - Вып. 4. - Пенза, 1973. - С. 42-61.

19. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегродифферен-циальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки - 2010. - № 1. -С. 80-90.

20. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 99-114.

21. Golberg, M. A. The convergence of several algorithms for solving integral equations with finite- part integrals I / M. A. Golberg // Journal of Integral Equations. -1983. - Vol. 5. - P. 329-34Q.

22. Golberg, M. A. The convergence of several algorithms for solving integral equations with finite- part integrals II / M. A. Golberg // Journal of Integral Equations. -1985. - Vol. 9. - P. 267-275.

23. Eshkuvatov, Z. K. Projection Method for Bounded and Unbounded Solution of Hypersingular Integral Equations of the First King / Z. K. Eshkuvatov, A. Narzullaev // Indian Journal of Industrial and Applied Mathematics. - 2Q19. - Vol. 1Q, № 1 (Special Issue). - P. 11-37.

24. Eshkuvatov, Z. K. Modified homotopy perturbation method for solving hypersingular integral equations of the first kind / Z. K. Eshkuvatov, F. S. Zulkarnain, N. M. A. Nik Long, Z. Muminov // SpringerPlus. - 2Q16. - Vol. 5. - Р. 1473.

25. Eminov, S. I. The rate of convergence of hypersingular equations numerical computation / S. I. Eminov, S. Yu. Petrova // Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr. -2Q18. - Vol. 11, iss. 2. - P. 139-146.

26. Лифам ов, И. К. К решению составных интегральных уравнений / И. К. Лифа-нов // Успехи современной радиоэлектроники. - 2QQ6. - № 8. - С. 62-67.

27. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. -Москва : Янус-К., 2QQ1. - 5Q8 с.

28. Оселедец, И. В. Приближенное обращение матриц при решении гиперсингулярного интегрального уравнения / И. В. Оселедец, Е. Е. Тыртышников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2QQ5. - Т. 45, № 2. -С. 315-326.

29. Бойков, И. В. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классах функ-

2 _1/2

ций с весами (1 -1 ) / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2Q17. -№ 2. - С. 79-9Q.

3Q. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Сёмов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2Q15. - № 3. - С. 11-27.

31. Hadamard, J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique / J. Hadamard. - Herman. - Paris, 19Q3. - 32Q p. (reprinted by Chelsea. - New York, 1949).

32. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - Москва : Наука, 1978. - 351 с.

33. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар. - Москва : Советское радио, 197Q. - 152 с.

34. Чиким, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 1953. - Т. 113, кн. 1Q. - С. 57-1Q5.

35. Kaya, A. C. On the solution of integral equations with strongly singular kernels / A. C. Kaya, E. Erdogan // Quatery of applied mathematics. - 1987. - Vol. 45, № 1. -P. 1Q5-122.

36. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гель-фанд, Г. Е. Шилов. - Вып. 1. - Москва : ГИФМЛ, 1958. - 439 с.

37. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. -Москва : Наука, 1977. - 75Q с.

References

1. Gakhov F. D. Kraevye zadachi [Boundary value problems]. Moscow: Nauka, 1977, 640 p. [In Russian]

2. Muskhelishvili N. I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow: Nauka, 1968, 612 p. [In Russian]

3. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 2, pp. 63-78. [In Russian]

4. Boykov I. V., Boykova A. I. Analytical methods for solution of hypersingular and polyhypersingular integral equations. arXiv:1901.04880v1 [math.NA] 15 Janury 2019, 22 p.

5. Ivanov V. V. Teoriya priblizhennykh metodov i ee primenenie k chislennomu resheniyu singulyarnykh integral'nykh uravneniy [The theory of approximate methods and its application to the numerical solution of singular integral equations]. Kiev: Naukova dumka, 1968, 287 p.

6. Gokhberg I. Ts., Fel'dman I. A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Convolution equations and projection methods for solving them]. Moscow: Nauka, 1971, 352 p. [In Russian]

7. Belotserkovskiy S. M., Lifanov I. K. Chislennye metody v singulyarnykh integral'nykh uravneniyakh [Numerical methods in singular integral equations]. Moscow: Nauka, 1985, 256 p. [In Russian]

8. Lifanov I. K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravneniy i chislennyy eksperiment [The method of singular integral equations and numerical experiment]. Moscow: TOO «Yanus», 1995, 520 p. [In Russian]

9. Prossdorf S., Silberman B. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations. Berlin, Acad. Verl., 1991.

10. Mikhlin S. G., Prossdorf S. Singular Integral Operatoren. Berlin, Acad. Verl., 1980.

11. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [An approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p. [In Russian]

12. Boykov I. V. Numerical methods for solution of singular integral equations. arXiv: 1610.09611[math.NA]. 182 p.

13. Boykov I. V. Funktsional'nyy analiz i teoriya funktsiy: sb. [Functional analysis and theory of functions: selected articles]. Issue. 7. Kazan, 1970, pp. 3-23. [In Russian]

14. Boykov I. V., Roudnev V. A., Boykova A. I., Baulina O. A. Applied Numerical Mathematics. 2018, vol. 127, pp. 280-305.

15. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. Applied Numerical Mathematics. 2010, vol. 60, no. 6, pp. 607-628.

16. Boykov I. V., Ventsel E. S., Roudnev V. A., Boykova A. I. Applied Numerical Mathematics. 2014, vol. 86, pp. 1-21.

17. Boykov I. V., Zakharova Yu. F., Semov M. A., Esafev A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 3, pp. 101-113. [In Russian]

18. Boykov I. V. Uchenye zapiski Penzenskogo politekhnicheskogo instituta [Proceedings of Penza Polytechnic Institute]. Issue 4. Penza, 1973, pp. 42-61. [In Russian]

19. Boykov I. V., Zakharova Yu. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2010, no. 1, pp. 80-90. [In Russian]

20. Boykov I. V., Zakharova Yu. F. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2012, no. 3 (23), pp. 99-114. [In Russian]

21. Golberg M. A. Journal of Integral Equations. 1983, vol. 5, pp. 329-340.

22. Golberg M. A. Journal of Integral Equations. 1985, vol. 9, pp. 267-275.

23. Eshkuvatov Z. K., Narzullaev A. Indian Journal of Industrial and Applied Mathematics. 2019, vol. 10, no. 1 (Special Issue), pp. 11-37.

24. Eshkuvatov Z. K., Zulkarnain F. S., N. M. A. Nik Long, Muminov Z. SpringerPlus. 2016, vol. 5, - p. 1473.

25. Eminov S. I., Petrova S. Yu. Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr. [Proceedings of South Ural State University. Series of mathematical modeling and programming]. 2018, vol. 11, iss. 2, pp. 139-146. [In Russian]

26. Lifanov I. K. Uspekhi sovremennoy radioelektroniki [Advances in modern electronics]. 2006, no. 8, pp. 62-67. [In Russian]

27. Vaynikko G. M., Lifanov I. K., Poltavskiy L. N. Chislennye metody v gipersingulyarnykh integral'nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equations and their applications]. Moscow: Yanus-K., 2001, 508 p. [In Russian]

28. Oseledets I. V., Tyrtyshnikov E. E. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2005, vol. 45, no. 2, pp. 315-326. [In Russian]

29. Boykov I. V., Boykova A. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 2, pp. 79-90. [In Russian]

30. Boykov I. V., Boykova A. I., Semov M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3, pp. 11-27. [In Russian]

31. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique [Lessons on wave propagation and hydrodynamic equations]. Herman. Paris, 1903, 320 p. (reprinted by Chelsea. New York, 1949).

32. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlya lineynykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi giperbolicheskogo tipa [Cauchy problem for linear partial differential equations of hyperbolic type]. Moscow: Nauka, 1978, 351 p. [In Russian]

33. Adamar Zh. Issledovanie psikhologii protsessa izobreteniya v oblasti matematiki [The study of the psychology of the invention process in the field of mathematics]. Moscow: Sovetskoe radio, 1970, 152 p. [In Russian]

34. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, bk. 10, pp. 57-105. [In Russian]

35. Kaya A. C., Erdogan E. Quatery of applied mathematics. 1987, vol. 45, no. 1, pp. 105-

36. Gel'fand I. M., Shilov G. E. Obobshchennye funktsii i deystviya nad nimi [Generalized functions and actions on them]. Issue 1. Moscow: GIFML, 1958, 439 p. [In Russian]

37. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1977, 750 p. [In Russian]

122.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 4Q)

E-mail: [email protected]

Boykov Il'ya Vladimirovich

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the subdepartment of higher and applied

mathematics, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)

Бойкова Алла Ильинична кандидат физико-математических наук доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Образец цитирования:

Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классе функций

±1/2

с весом ((1 + х)/(1 - х)~ / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2019. - № 3 (51). - С. 76-92. - DOI 10.21685/2072-3040-2019-3-6.

Boykova Alla Il'inichna

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40, Krasnaya street, Penza, Russia)