ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ I РОДА, ОГРАНИЧЕННОЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ОТРЕЗКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ, С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ЧЕБЫШЕВА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1

УДК 517.392

doi 10.18522/1026-2237-2021-1-33-38

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ I РОДА, ОГРАНИЧЕННОЕ НА ОБОИХ КОНЦАХ ОТРЕЗКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ, С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ЧЕБЫШЕВА

© 2021 г. Ш.С. Хубежты1'2

'Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Владикавказ, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

APPROXIMATE SOLUTION OF A HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATION OF THE FIRST KIND BOUNDED AT BOTH ENDS OF THE INTEGRATION SEGMENT

USING CHEBYSHEV SERIES

Sh.S. Khubezhty1'2

1Hetagurov North Ossetian State University, Vladikavkaz, Russia, 2Southern Mathematical Institute-Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Хубежты Шалва Соломонович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, Северо-Осетинский университет им. К. Л. Хетагурова, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания, 362025, Россия; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания, 362027, Россия, e-mail: shalva57@rambler.ru

Shalva S. Khubezhty - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematical Analysis, Hetagurov North Ossetian State University, Vatutina St., 46, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 362025, Russia; Leading Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Markusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Ala-nia, 362027, Russia, e-mail: shalva57@rambler.ru

Рассматривается гиперсингулярное интегральное уравнение на отрезке интегрирования [-1, l]. Гиперсингулярный интеграл понимается в смысле Адамара, т.е. по конечной части. Класс таких уравнений находит широкое применение в задачах математической физики, в технике и, самое главное, в последние годы является одним из основных аппаратов моделирования задач электродинамики.

С применением многочленов Чебышева второго рода в уравнении заменяются неизвестная функция, правая часть и ядро. Коэффициенты разложения указанных функций вычисляются с помощью квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности, т. е. квадратурными формулами Гаусса. Таким образом, происходит дискретизация уравнения. В итоге получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения неизвестной функции. Учитывается, что гиперсингулярное интегральное уравнение в рассматриваемом случае имеет единственное решение в классе достаточно гладких функций.

Построенная вычислительная схема обосновывается с использованием общей теории функционального анализа. Оценивается погрешность вычисления при некоторых условиях относительно правой части и ядра уравнения.

Изложенный метод решения гиперсингулярного интегрального уравнения иллюстрируется на тестовых примерах, которые показывают высокую эффективность метода.

Ключевые слова: гиперсингулярный интеграл, многочлены Чебышева, погрешность вычисления, квадратурные формулы Гаусса, обоснование вычислительной схемы.

A hypersingular integral equation on the interval of integration [-1, l] is considered. The hypersingular integral is understood in the sense of Hadamard, that is, in the finite part. The class of such equations is widely used in problems of mathematical

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2021. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1

physics, in technology, and most importantly: in recent years, they are one of the main devices for modeling problems in electrodynamics.

With the use of Chebyshev polynomials of the second kind, the unknown function, the right-hand side and the kernel are replaced in the equation. The expansion coefficients of these functions are calculated using quadrature formulas of the highest algebraic degree of accuracy, i.e., Gauss quadrature formulas. Thus, the equation is discretized. The result is an infinite system of linear algebraic equations for the expansion coefficients of the unknown function. The fact that the hypersingular integral equation in the case under consideration has a unique solution in the class of sufficiently smooth functions is taken into account.

The constructed computational scheme is substantiated using the general theory of functional analysis. The calculation error is estimated under certain conditions relative to the right-hand side and the kernel of the equation.

The described method for solving the hypersingular integral equation is illustrated by test examples that show the high efficiency of the method.

Keywords: hypersingular integral, Chebyshev polynomials, computation error, Gauss quadrature formulas, justification of the computational scheme.

Введение

Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения (ГСИУ) появились в математической литературе в начале двадцатого столетия в задачах аэродинамики. Начиная с этого времени методы решения таких уравнений активно развиваются, превратившись в отдельное направление. В работах [14], рассматривается гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода вида

2

К 2V--J

# )

-1 (t - х)2

2

J K(x,t )y(t)dt=f (х), (1)

-1

где К(х,Х) и /(х) - непрерывно дифференцируемые функции; ) - неизвестная функция. Интеграл Ы(у,х)-

i(t - х)2

dt понимается в смысле

Адамара, т.е. справедливо равенство

v(t)

(t - х)2

dt =

= lim

s^Q +

I

y(t)

(t - х)2

dt + |

У(т) dt _ 2У(х)

(t - х)2

тегрирования, т. е. она имеет вид

V(t 9(t) •

л/1 -12

производная которой удовлетворяет условию Гёль-дера Ы(а) (0 <а< 1). Решение ф(х) получается в виде ряда по многочленам Чебышева II рода в любой точке отрезка [— 1,1].

Вычислительная схема

Решение уравнения (1) будем искать в виде ) = л/1 — X2 (О), т.е. решается уравнение

2

кф=—/л/Т-Т^-^^^ dt+

п -1 (t - х)2

/V1 -12 K (х,Т )ф(т ) dt = f (х).

(2)

+ 2 п -1

Многочлены Чебышева II рода

sin(« + 1)arccos х , ч

- (n = Q,1,2,...) ортого-

Un (x ) =

V1-

.2

В работе [5] рассмотрено применение многочленов Чебышева I рода к приближенному решению уравнения (1) в предположении, что неизвестная функция не ограничена на обоих концах отрезка ин-

нальны с весовой функцией ) = л/!—"2" на отрезке [— 1,1]. Справедливы формулы

2 1 I-Т / \ / \ Г0, т ^ п,

- |л/1—х2ит (х) ип (х) ах = ]' ,

п — 1 [1, т = п.

Разложим функции ф(?), К (х,Х) и / (х) в ряды по многочленам Чебышева II рода [6].

w

ф(т ) = Е a kUk (t), K (х,Т ) =

В данной работе предложена вычислительная схема приближенного решения уравнения (1) с применением многочленов Чебышева II рода для случая, когда неизвестная функция ) обращается в нуль на обоих концах отрезка интегрирования

[— 1,1], т.е. вида ) = л/1 — х2ф(х), где ф(х) - дифференцируемая до второго порядка функция, вторая

k=0

w w

(3)

= ЕЕcl7Ui(х)U(t), f(х) = sdi Ui(х).

Коэффициенты aк (к = 0,1,2,...) - неизвестны, так как ф(х) - функция неизвестная. Остальные коэффициенты в разложении (3) вычисляются по формулам

+

i

s

0

х +s

l=0i=0 i=0

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2021. № 1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1

ca =- }v 1 -x2 | - }yl 1 -12K{x,t)Ui(t)dt x Ui (x) dx, i, i = 0,1,...

или

x

да да да f да \

- S S 2(i +1) b^. Ui (x) + El S akclk U (x) =

i=0k=0 i=0V k=0 У

d = 2 } л/Т—^f (x) U, (x) dx, i = 0,1,... = iS0diUi (x)

Л-1

Подставляя (3) в уравнение (2), получаем где

2 1 I-7 1 да / Ч f0, i ^ к,

2 fv 1 -12-^ S а^к 1

1 i- 1 да

W1 - t2T-û S akUk(t) dt + (4) bik =, ,

(t - x) к=0 [1 i = k.

9 1 i-— да да _ ч _ ч да Отсюда следует равенство

22

1 I- да да да

JV1 -12 s S cUi (x) Ul (t)S akUk (t) dt -

l=0i=0 k=0 -S 2(i +1) abk +S «A = d„ i = 0,1,...

да / ч ¿=0 ¿=0

= S i i (x). Коэффициенты bik, c^, di (i = 0,1,... ) можно

,= o ik , Cik :

да вычислить с наивысшей алгебраической степенью

Известно [6, с. 108], что ряды X dnTn (t), где точности по формуле Гаусса [8]. Получена беско-

i=0 нечная система линейных алгебраических уравне-

,* 2 1 1 г1Лгт (\ ^ гт, t ч ний относительно неизвестных ап, а , ... Ее можно

d п =-J- /(t)тй (t)^ Tn (t) = cosn arccost, 0' 1

к _ ^2 решить приближенно после решения системы

п

- многочлен Чебышева I рода, для широкого класса — 2(i +1) а + X ас = ^ i = 01 п (6)

1 тч V / i k iik i ' ' ' '

функций равномерно сходятся. Ряды, построенные k=0

функции p(t) = V1 — t2 , также равно- Решая систему (6), получаем приближенное решение уравнения (2) в виде

для весовой ----------------Л

мерно сходятся. Действительно, коэффициенты d-i

можно свести к коэффициентам di таким образом: фф(^ ~ фп ^^ = ^акик ()•

2 1 I--2 1 1 — t2

di = - К1—t2и,0)/(t)dt = - Г (t)и.(t)dt = л„

1 Л Обоснование метода

2 1 1

=2/ (t № ^) — Г1+2 (t)) dt = d* — d*+2. Отметим, что обоснование метода проходит ана-

% — 1V 1 — t2 логично статье [4].

Здесь использованы формулы Вводятся пространства X и У. X - простран-

и (I) = Т +2 — Т () [6, с. 23]. Следовательно, по- ство функций вида ф^), где ф^) -

— 1) непрерывно дифференцируемые функции до вто-

лучен ряд, соответствующий равномерно сходя- рого порядка, вторые производные которых удовле-

щему ряду. Отсюда следует, что ряды (3), построен- творяют условию Гёльдера Ы(а) (0 <а< 1), т.е.

ные по многочленам Чебышева II рода, также рав- ф(1 )е н (а). у - пространство функций

номерно сходятся. 2

Учитывая этот факт, формулу У() е Н(а). Нетрудно видеть, что оператор к дей-

2 1 _ и (А ствует из пространства X в пространство У. Дей-

— N1 — г2 к () йг = — 2(к +1) и 00 ствительно,

-1 (г — х) 2 и-2 ф(0 л 2 1 г-2

ггч-1 Т1 л Ф(хN1 — Г dt = — N1 — I2 X

[7] и ортонормированность многочленов Чебышева % ^ к - х)2 п \

II рода, после изменения порядка суммирования

уравнение (4) можно представить в виде ф(1 ) — ф(х) —1 ф' (х) (t — х) —1 ф'' (£) (t — х)2

да , ч / ч да да / ч x__

- S 2(к +1) ак Uk (x) + S ак S clkUl (x)= x t - x)

к=0 к=0 i=0 ф v 7 да

= SdtUt(x) 2 + (x)(t-x)+ 2!Ф''-x)2 ,

i=0 ^^1 - t -Z-42-dt =

n -1 (t - x)2

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1

U

= - rv 1 -12 X

ф'(x + - x))(t - x)- Ф'(x)(t - x)-1Ф''- x)2

2

x dt + — fV 1 -1

Ui

(t - x)2 r ф(^ , Ф'(xк 1.. ^

Xt - x)2 t - x 2 = ф' ' (r) - 2ф(х) - 2хф' (x) e H (a), -1 r|< 1,0 <â< 1.

Здесь использованы равенства 1,2^

1 Ф''(5)

dt =

2 jVî-t^dt=î, - = -2 x,

л -1 л -1 t - x

2

-}a/Î -1 л-1

2

dt

(t - x)2

= -2,

л

dt = -(n +1) Un (x ),

1 (t - x )2

iVÎ-t2 dt = -2Tn+1 (x).

2 [V1 -

л

-1 t - x

Очевидно, что 2 1 I-

JV1 -12 K (x, t ) ф^ ) dt e H (a) e Y. Следова-

л,

1

оператор проектирования на множество полиномов

П

степени n вида Еа Uk (t) •

k=0

Известно [9, с. 342; 10, с. 540], что ||Pn ||c[-i i] - C ln n, где C = const.

Отметим [4, с. 346-461], что ГСИУ в случае ве-

совой функции р(х) = л/Т— X2 при достаточно гладких функциях ядра и правой части, если разложим их в ряды по полиномам Чебышева второго рода, имеет единственное решение в классе достаточно гладких функций. Следовательно, в этом классе функций оператор К непрерывно обратим, и для обоснования численных методов решения ГИУ первого рода может быть использована общая теория приближенных методов [11, гл. XIV].

Приближенное решение ищем в виде функции

п

фп (х) = ¿акик (х). Коэффициенты ак (к = 0,1,..., п)

к=0

определяются из системы линейных алгебраических уравнений (6), которая в операторной форме имеет вид

К n Ф n = Pn

П

dt+

-1

(t - x)2

тельно, оператор K действует из пространства X в пространство Y.

В пространство X вводится норма

||у|| = max |ф(т) I + max |ф'(т) I + max ф'' (т) I +

-1-т-1 -1-т-1 -1-Т-1

+ sup Ф''(Т1)-Ф'р(Т2)1, 0<р<а. Т1фТ 2 Т1 - Т2|

Введем обозначения: Xn - пространство X , состоящее из функции полиномов степени n . Норма

2

+ —

П -1

jV 1 -12 K (x,t )ф n (t ) dt

(8)

= Pn [f (x)],

Так как интеграл — jV 1 -12 фп ( ^ dt является

П

-1

(t - x)2

многочленом степени < n , то Фnv

P„

dt =

П -1 (t - x)2 П -1 (t - x)2

(t - x)2

-dt.

Воспользовавшись этим тождеством и свойством пространства Хп определяется так же, как в про- квадратурных формул Гаусса, уравнение (8) пред-странстве X . ставим в виде

У - пространство непрерывных функций у() класса Гёльдера, определенных на отрезке [— 1,1] с нормой

.. КА)-^)!

(7)

2jv

1 -1dt +

П -1 (t - x)2

|= max|y(t)| + sup |j(t1 ) )[,0<ß<a.

K n Фп =

2 1 I-

JV 1 -12РП[k(x, t)]фп(t) dt

+ P„

-1<î<1

^ -

t1 *t2 t - t-

пространство

полиномов

П

-1

= Pn [f (x )] .

вида

Уп (t)= ёakUk (t) с нормой (11).

Оценим норму разности Kn фи - Ки фи . Имеем

Кn фп - Кn фп

11с[-1,1]

k=0

Pn - проектор, действующий из Y в Yn по фор-

муле Уп

= Pn [y(t)], а из пространства X в Xn - по

Р

формуле Pn [y(t)] = VÏ-^Pn [ф(t)]. Здесь Pn [y(t)] - ^ mx

- jV 1 -12 [k(x,t) - Kxn (x,t)]фп (t) dt r-1

K (x, t )-Pnx [K (x, t )]

c[-U]

л

1

X

X

2

<

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1

-1 -,P(

X

2 1 I-

- JV1 -t2 фи(t)dt

n -1

<

c[-U]

< max

K (x, t )-PX [K (x, t )]|||фи (t

c[-i,i]

<

< CEX (K (x,t ))(1 + X „ )||ф„ (t

q = C

K

-1

E%„ (K (x, t ))(1 + X„ )< 1

фп -ФП < c

E П (K (x, t ))X„.

||ф-фл|| < C K-1 npl En (K(x, t)) + Ex (K(x, t))

X

X ln n.

Замечание. Учитывая неравенство [9, с. 122] 1

En(f )< O

где Я п - константа Лебега; Ех (К(х, г)) - наилучшее приближение функции К (х, г) многочленами. Так как

Кп фп — Кп фп - многочлен п -го порядка, то из обратной теоремы Бернштейна [9, с. 165] следует, что

Кп Фп — Кп фп < СЕх(к(х,г))(1 + )иРЦфп(г)||,

Ex„ (K(x, t))= max E„ (K(x, t)).

-i<t<1

Далее из теоремы Банаха [11, с. 211] следует, что при n таких, что

имеем

||ф-фп|| < 0

ln n

r+a-ß

п

где ф и фп - решения уравнений (2) и (8) соответственно.

Тестовые примеры

Рассмотрим следующие уравнения:

1)-JVî -1

ж -1

ф(0

(t - x)2

-dt +

2 1 I-

+ - JV 1 -12 (x + t)^t)dt = x - 2. ж -i

Точное решение этого уравнения: ф^ ) = 1;

оператор К „ непрерывно обратим и справедлива оценка

фп — фп\\ < Сир Ехп (к (х, г ))х„,

где фп - решение уравнения (8). Аналогично доказывается, что

К—1

2) -JV1

-JV 1 -1

Ж -1

(t - x)2

-dt +

Таким образом, доказана

Теорема. Пусть К непрерывно обратим, функции К(х, г), /(х)е Аг (а) (г > 2), т.е. имеют непрерывно дифференцируемые производные до порядка г — 1, а производные порядка г > 1 удовлетворяют условию Гёльдера. Тогда при п таких, что

2 1 I--1

+ - JV1 -12 (x +1)ф^)dt = -4x + -. ж -1 4

Точное решение: ф^) = t ;

3) jsÉL

П -1 (t - x)2

+ — |л/1 -12 (x +1)ф^)dt = 1 + x - 6x2.

dt +

n

-1

C

K

-1

Точное решение: ф(г) = г2 .

После решения систем линейных алгебраиче-система (6) однозначно разрешима и справедлива ских уравнений (6) для каждого примера при п = 5

En (K(x, t )) + EXn (K(x, t ))] ln n < 1

оценка

получены численные результаты (таблица).

Численные результаты решения уравнения (6) / Numerical results of solving equation (6)

n

Коэффициенты разложения решения Уравнение 1. Решение ф(/ ) = 1 Уравнение 2. Решение ф(t ) = t Уравнение 3. Решение ф(/ ) = t2

a0 0,999999 2,980232E-08 0,25

ai —1,538184E—08 0,5 2,179913E-08

a2 2,909118E-09 -3,342312E-08 0,25

a3 -9,163395E-09 9,83061E-09 -3,025337E-08

a4 -8,65739E-10 -2,264674E-08 8,671888E-09

Приближенное решение уравнения Ь Z «k-Uk-1(tЬ 1 k=1 ф(0* Z«k-1Uk-1(tbt k=1 ф(tЬ Z «k-1Uk-1(tЬ 12 k=1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1

Полученные результаты показывают высокую эффективность метода.

Литература

1. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус, 1995. 520 с.

2. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы гиперсингулярных интегральных уравнений и их приложения. М.: Янус-К, 2001. 508 с.

3. Бойков И.В., Бойкова А.И. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании: материалы XIII Междунар. конф. Саранск, 2017. С. 446-461.

4. Бойков И.В., Бойкова А.И., Семов М.А. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Приволжский регион. Физ.-мат. науки. Математика. 2015. № 3 (35). С. 11-27.

5. Хубежты Ш.С. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений с применением рядов Чебышева // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2019. № 4. С. 47-52.

6. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.

7. Плиева Л.И. Квадратурные формулы интерполяционного типа для гиперсингулярных интегралов на отрезке интегрирования // Сиб. журн. вычисл. математики. 2016. Т. 19, № 9. С. 413-422.

8. Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые их применения. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. 236 с.

9. Натансон И.Н. Конструктивная теория функций. М.; Л.: ГИФМЛ, 1949. 688 с.

10. Сеге Г.Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.

11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 750 с.

Поступила в редакцию /Received

Referenses

1. Lifanov I.K. (1995). The method of singular integral equations and numerical experiment. Moscow, Yanus Publ., 520 p. (in Russian).

2. Vainikko G.M., Lifanov I.K., Poltavskiy L.N. (2001). Numerical methods in hypersingular integral equations and applications. Moscow, Yanus-K Publ., 508 p. (in Russian).

3. Boikov I.V., Boikova A.I. (2017). Approximate solution of hypersingular integral equations of the first kind with second-order singularities. Differential equations and their applications in mathematical modeling. Proceedings of the XIII International Conference. Saransk, pp. 446-461. (in Russian).

4. Boikov I.V., Boikova A.I., Semov M.A. (2015). Hypersingular approximate solution of integral equations of the first kind. Izvestiya vuzov. Privolzhskii region. Fiziko-matematicheskie nauki. Matematika, No. 3 (35), pp. 11-27. (in Russian).

5. Khubezhty Sh.S. (2019). An approximate solution of hypersingular integral equations using Chebyshev series. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestven-nye nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 4, pp. 4752. (in Russian).

6. Pashkovskiy S. (1983). Computational applications Chebyshev polynomials and series. Moscow, Nauka Publ., 384 p. (in Russian).

7. Plieva L.I. (2016). Interpolation-type quadrature formulas for hypersingular integrals in the interval of integration. Numerical Analysis and Applications, vol. 9, No. 4, pp. 326-334.

8. Khubezhty Sh.S. (2011). Quadrature formulas for singular integrals and some of their applications. Vladikavkaz, SMI VSC RAS and RNO-A Press, 236 p. (in Russian).

9. Natanson I.N. (1949). Constructive function theory. Moscow, Leningrad, GIFML Press, 688 p. (in Russian).

10. Sege G. (1962). Orthogonal polynomials. Moscow, Leningrad, GIFML Press, 500 p. (in Russian).

11. Kantorovich L.V., Akilov G. P. (1984). Functional analysis. Moscow, Nauka Publ., 750 p. (in Russian).

25 декабря 2020 г. /December 25, 2020