CC BY
15
УДК 514.7
Д. В. Валовик
КРИВЫЕ В ОДУЛЯРНОИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА С РАСТРАНОМ ОБЩЕГО ВИДА
Указанное пространство является одним из трехмерных разрешимых одулярных галилеевых пространств - пространств с касательным отображением в одуль Ли. Построена теория кривых трехмерного пространства на растра-не общего вида. Вычислены кривизна и кручение кривой, получены формулы Френе. Найдены кривые постоянных кривизны и кручения.
Одули и одулярные пространства определены в [1]. Мы рассматриваем
одули Ли, заданные на многообразии №” , где М. - поле действительных чисел. Наиболее простым из таких одулей является линейное пространство над М. Одулем Ли называется структура, полученная в результате введения внешней операции на группе Ли. На одулях Ли мы задаем галилееву норму.
Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получаем вейлевские одулярные пространства, кратко -ВО-пространства [2]. Нормируя одуль Ли, вводим метрические понятия в ВО-пространство. Это дает возможность изучать одулярную дифференциальную геометрию ВО-пространств и одулярную геометрию одулей Ли. В [2, 3] изучается ВО-пространство с однородным растраном. Ниже мы приступаем к изучению геометрии с растраном общего вида.
1. Растран общего вида
1.1 Определение растрана
3 3
Многообразие № превращается в растран общего вида Р} посредством операций
( ) + (у, У1, У2 ) = ( + У, ( у + у1, X2еу + у2);
3
Элементы растрана Р} называются растами и обозначаются а, в,...,ю,... Нулевой раст есть # = (,0,0); противоположный для
р = ( х, х1, х2 ) есть раст
Н>И )=( )•
Растран Р| является полупрямой суммой линейного пространства па-
2
раллельных переносов Ц аффинного пространства и одномерного линейно-
го пространства гомотетий Г+ аффинного пространства, имеющих положительные коэффициенты и общий центр.
1.2 Базис
Для всякого раста p = (x,у,z) имеется разложение
p = (x,y,z) = х(1,0,0) + у(0,1,0) + z(0,0,1).
Обозначим (1,0,0) = а, (0,1,0) = ß, (0,0,1) = у. Имеем базис Б = (а,ß,у) растрана Р^; х, у, z есть координаты раста р в базисе Б.
Норма на растране Галилеевой нормой ||р|| раста р(х,у,z) называется
||р|| = |x|, если х Ф 0 ; ||р|| = yjу2 + z2 , если х = 0.
3 3
Нормированный растран Р1 обозначается Х1. Из того, что
Р3 = L2Г+ (где знак обозначает полупрямую сумму), следует, что норт 2 т^+ ^
мированные подрастраны L1 и Г являются евклидовыми линейными пространствами.
1.3 Дифференцированиерастранных функций
Пусть аргумент t растранной функции
p(t) = ((t), x1(t), x2(t)), te I сM
в точке t0 получает приращениеAt, тогдаp(t0 +At) = p(t0) + Ap(t0), откуда Ap(t0 ) = -p(t0) + p(t0 + At). Ввиду некоммутативности внутренней операции слагаемые в правой части переставить нельзя. Обозначим At = h ,
Ap(t0 ) = -p(t0 ) + p(t0 + h ) = _(^ x(t0), x1(t0), x2(t0) j +
+ ^x(t0 + h), x (t0 + h), x (t0 + h)j =
= ^-x(t0), -x1(t0)ex(t0), -x2(t0)e-x(t0)j +
+ ^x(t0 + h), x (t0 + h), x (t0 + h)j =
= ^-x(t0) + x(t0 + h), - x1(t0)e_(x(t0+h)-x(t0)) + xl(t0 + h), - x2(t0)ex(t0+h)-x(t0) + x2(t0 + h)j.
Умножим раст Др(г0) на число 1:
ДР('0 > = 1 Др(о ) =
h h
x(to + h) - x(to)
h
x(to+h)-x(to)
(-x1(t0)e"(x(to+h)-x(to)) + x!(t0 + h) (- x2(to)ex(to+h)-x(to) + x2(to + h)
-1
e-(x(to+h)-x(to)) -1’
x(to+h)-x(to) ^
? h -1
ex(to+h)-x(to) -
Ap(t0)
Предел lim -—- , если он существует, называется производной рас-
h^0 h
Ap(t0)
транной функции и обозначается lim—^—- = р '(?0). Переходя в выражении
Др(^)
h
h^o h
к пределу при h ^ o, используя, при необходимости, правило Лопи-
таля, получаем
Р'(t ) =
■('), -(‘"x'(')-1)i^x1«) , (»-x'(')->)
:'(t)
Ax ’2 (t)
ЛЛ
:'(t)
//
В случае х(t) = C - const имеем p'(t) = ^0, x11 (t), x,2 (t)j .
2. ЕМ-пространство
2.1 Определение ЕМ-пространства
Линейное пространство в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства заменяем растраном Pi с галилеевой нормой. Полученное пространство
3
называется ЕМ-пространством и обозначается Mi.
2.2 Координаты
Пусть O - точка из Mj5 и Б = (а,в,у) - базис растрана Pj5, множество
В = (, а,в,у) называется репером пространства M3 . Координаты раста OM в базисе Б называются координаты точки M в репере В. Пусть A = (a, a1, a2), B = (,b1,b2) - точки пространства M3. На основе равенств AB = AO + OB = -OA + OB и операции сложения растов находим
AB = I Ь - a, - ale у 1)+ Ь1, - a2еь 1 + Ь2
Расстоянием |АВ| называется норма ||АВ|| раста АВ. По 1.3 получаем
і 2 2 |АВ| = |Ь -1, если Ь Ф а и |АВ| ^(ь1 - а1) + (2 - а2) , если Ь
' = а.
2.3 Прямые и плоскости
Как во всяком ВО-пространстве, точка А и раст р определяют прямую (А,р) = {М | АМ = tр, г е М} . Всякие две точки А, В определяют единственную прямую, здесь р = АВ . Координатные оси ЕМ-пространства: Ох = (0, а), Оу = (0, р), Ог = (0, у). Существуют координатные плоскости Оху = (0, а, р), Охг = (0, а,у), Оуг = (0, в,у). Для любой точки Р плоскости (Р, в,у) - евклидовы, плоскости {Р, а, ^ и {Р, а,у) являются ЕМ-плоскостями с двумерным растраном, операции на котором задаются равенствами
(х, х1 )(у, у1 )(х + у, х1еу + у1);
( ^ 1 ^ г(х, х1 )= їх, х1 Єх--- , ї(, х1 )(, їх1),
3. Кривые ЕМ-пространства
3.1 Регулярные кривые ЕМ-пространства
Регулярной кривой класса Ск, к > 3 в М3 называется дифференцируемое отображение р(г) класса Ск числового интервала I в М3. Кривая в М3 есть множество точек I ={М | ОМ = р(г),ге I} . В репере В = (, а, в, у) кривая определяется растранной функцией р (г ) = = (х (г), у (г), г (г)), г е I.
3.2 Касательное отображение вдоль кривой
Пусть р (г ) = (х (г), у (г), г (г)) - кривая в М3. С каждой точкой М = М (г ) = М (х (г), у (г), г (г)) сопоставляется раст р' (г). Тем самым задается касательное отображение вдоль кривой р( г): М (г )^р' (г). Множество растов р '(г) для всех точек кривой называется растранным полем вдоль данной кривой.
Прямая (М (г),р'(г) , определяемая точкой М (г) и растом производной р'(г), называется касательной к кривой р(г) в точке М (г).
Выясним геометрический смысл касательной. Составим уравнение касательной в точке М0 = М (р). М0 = М (р),р'0 =р'(р) и N(х,у,г)- любая точка.
Точка N принадлежит искомой прямой а тогда и только тогда, когда
М0N = гр'0 или а = (М0,р о) = {N | М0N = гр'0,ге М}. Уравнения прямой:
х(Р))
,(р)) -, = _ у - у (Р)е (
у(р)+4Р) '
х(р) -1 = -г-г(Р)
х' (Р)
-х(р)
г(р)-гШ '
г(Р) х' (р)
теперь составим уравнение секущей (М0М}), где М} = М (г). М0 = М (р), М} Ф М0 и N (х, у, г) - любая точка. Точка N принадлежит прямой а' тогда
и только тогда, когда М0N = гМ0М} или
а' = (М0,М0М^ = ^ | М0N = гМ0М},ге М} ,
е-(х-х(р))- , = у - у (р)е-(х-х(р))
х(1)-х(р)) - 1 у (ї)- у (р)е-(х(1)-х(р))
г-г(р)
,х-х(р)
ех(ї)-х( р)-1 г (ї)- г (р )ех(ї)-х( р)' Перепишем эти равенства в таком виде:
-(х-х(р))- 1 = у - у(р)е_(х-х(р))
у (г)- у (р )е~х)-х( р)) е~(х(г)-х( р)) -} с-х(р) -} г - г(рК-х(р)
г (г)- г(р)ех(г)-х(р) ' ех(г)-х(р) -}
Теперь найдем значение этих выражений при г ^ р
-(х( ()-х|
(р))
ї —— р
-(х( ї)-хі
(р))-1
у(р) х(р)
+ у (р)
е
е
е
Пт
г (ї)- г (р )ех(ї)- х( р)
ї—р ех(ї)-х(р) -
1
г' (р ) х(р )
- г (р )
т.е. при г ^ р секущая кривой р(г) занимает положение ее касательной.
Ниже, в пункте 3.3, установлено, что положение касательной не зависит от параметризации кривой.
3.3 Естественная параметризация кривой
Пусть дана регулярная кривая класса С3: р (г ) = (х (г), у (г), г (г)),
х (г)ф 0, ге I. Обозначим х(г) = 5 . Так как р(г) - регулярная кривая и
х (г) Ф 0, то существует г = г(5), и кривая может быть задана в параметризации
р(5) = (5, у(5), г(5)), 5е /}.
и
Для точек А (5}) и В (52), 52 > 5}, кривой р (5) длина дуги АВ, согласно определению расстояния между точками, равна 52 - 5}. Длина дуги
и
АМ , где М = М (5), равна 5 - 5}. Поэтому 5 является естественным параметром кривой р(5).
Теорема. Положение касательной к кривой р (г) не зависит от параметризации этой кривой.
#. Производная р (5) функции р( 5) равна
. г г. л г. V
р(5)= ^-(е_1 -}) у(5) + у(5) ,(е-}) г(5)-г(5) .
V V ) V ))
Пусть р (г) = р (5 (г)). Находим р( (г ))'г = р '5 (5) 5 \ (г),
р(5(гу)'г =(5', -(' -^(у'(5у+ у(5у, (' -^'(5)-г(5у
Теперь найдем произведение р(5) на 5\ (г):
5'(г)р(5)= 5',-( -^ у(5) + у(5) ,(е5 -^ г(5)-г(5)
Л Л
/у
Получилось, что р(5(г))'г = 5 '(г)р(5) . #.
Следует отметить, что существуют пространства, где такое положение неверно, например пространство на диссоне [4].
3.4 Аналог формул Френе
Для кривой I в естественной параметризации р = (я, у (я), г (я)), в про-
извольной ее точке Р считаем, что р, р, р линейно независимы. Имеем
( . .(. Л (. ^
р =
р =
р =
,-(е 1 -1) у(я) + у(я) ,(е-1) г(я)-г(я)
V ) V
0,-(е_1 -1) у(я) + ;у(я) ,(е-1) г(я)-г(я)
0,-(е 1 -1) у (я) + у(я) , (е-1) г (я)-г(я)
уУ
\Л
р можно представить так: р = (е-1) 0,— у (я) + у (я) , г (я )-г (я)
V У У
Л г
значим
р= т,р = (е-1) с, с =
V е V
( 1 Г.. . \ Ґ.. .\\
0,- у + у , г -г
V уу
ЛЛ
Обо-
УУ
V V у
,тогда
— 1 ( ** *} 2 ( ** * ^
с 2 у + у + г - г
1 е2 V У V У
1 — 1
= к1, и — с = — 1 кх кх
( л Л.
0,1
у + у
V V У
Ї.. .\\
г - г V уУ
= п .
В наших обозначениях
—
= (е - 1) с =(е - 1) п.
Далее получаем
— 1 п =^Т
к1 е
(•• • ^
у + у
V у
(.....Л
г - г
(.....Л
у + у
( (.. . \ 1 (•• • 1
0, -
г - г
V V у
у + у
V. уУ
Ясно, что п ± п . Обозначим п = кз Ь ,
к2 =-
(•• • Л ( Л ( Л (•• • Л
у + у г - г - у + у г - г
V у V У V У V У
(•• • Л
у + у
V у
2 У Л2
I •• • I
г - г V у
при этом
1 — —
п = Ь
<ч
= 1. Также видно, что Ь ± Ь и Ь ± п . Находим
е
1
2
е
ь=-4-
кі3е
(•• • ^
у + у
V у
(......Л
г -г V у
(.....Л
у + у
V у
(•• • ^
г - г V у
( 1 (.. . ^ (.. .\\
0,
у + у
V
г - г V уу
или Ь = -^2 п . Число ^, вычисленное в точке Р, назовем кривизной линии I в точке Р , число &2 , вычисленное в точке Р, назовем кручением линии I в точке Р. Кривизна и кручение кривой ЕМ-пространства вводится по аналогии с кривизной и кручением кривой евклидова пространства [5]. Формулы
т = (е - п, п = &2 Ь, Ь = -&2 п
являются аналогами формул Френе для кривой трехмерного евклидова пространства.
3.5 Кривые постоянных кривизн
По п. 3.3 и 3.4 кривые р(5) = (5, у(5), г(5)), ЕМ-пространства, имеющие постоянную кривизну ^ = к и постоянное кручение &2 = т , задаются функциями у(5) и г(5), удовлетворяющими системе дифференциальных уравнений:
1
ґ \2 / \2 I •• • 1 I •• • I
у + у
V у Ґ.. . Л
у + у
V
г - г V у
= к 2;
Ґ.....Л
г - г V у
Ґ......Л
у + у
V у
Л. .Л’
г - г V у
= к 2т.
Вводя обозначения у + у = ем, г - г = V, получаем систему уравнений:
\ы2 + V2 = к2;
- мv = к 2 т.
Интегрируем эту систему уравнений, затем находим у (я) и г (я). Функции у (я) и г (я) таковы:
у (я) =
г (я )=
ек1
/
1 + к|
1
л
------008 (2я + С1 )-8ІИ (2 я + С1 ) - С2е я + С3;
к2
1 + к%
1
л
-8ІП
(к2 я + С1) + 008 (к2я + С1) - С4е + С‘
Кривые, имеющие постоянную кривизну к и постоянное кручение т , определяются растранными функциями р(5) = (5, у(5), г(5)), где у(5) и г (5) выписаны выше.
2
Список литературы
1. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977. - № 5. - С. 800-803.
2. Долгарев, А. И. ЕМ-пространства ; дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. И. Долга-рев. - Красноярск ; КГПИ, 1991. - 95 с.
3. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств / А. И. Долгарев. - Пенза ; Информационно-издательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.
4. Долгарев, А. И. Кривые в одулярной дифференциальной геометрии пространства на диссоне / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2003. - № 6(9). - С. 43-49. - (Естественные науки).
5. Рашевский, П. К. Курс дифференциальной геометрии / П. К. Рашевский. -4-е изд. - М., 1996.
