Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.126

А. И. Долгарев

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ 4-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ГАЛИЛЕЯ

Продолжается изучение кривых 4-мерного пространства-времени Галилея. Исследуется зависимость между кривыми 4-мерного пространства Галилея и кривыми 3-мерного евклидова пространства. Получены соотношения между их кривизнами. Рассмотрены вопросы уплощения кривых. Найдены кривые, имеющие постоянные кривизны. Оказалось, что условие постоянства всех кривизн кривой 4-мерного пространства Галилея влечет вложимость кривой в 3-мерное подпространство.

Геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея содержится в [1]. 3-мерное пространство-время объединяет 1-мерное время и 2-мерное евклидово пространство. В [1] определено галилеево скалярное произведение векторов и на его основе - галилеево расстояние между точками (его свойства отличны от свойств евклидова расстояния между точками); построена теория кривых. В [2] положения 3-мерной геометрии Галилея использованы для описания траекторий движущейся материальной точки по заданному полю ускорений точки. Тем самым решена задача И. Ньютона описания механического движения точки с двумя степенями свободы. О задаче И. Ньютона см. [3]. Первые свойства кривых 4-мерного пространства-времени Галилея содержатся в работе [4]. При этом взяты за основу методы теории кривых евклидовой геометрии, это означает, что в [4] рассматривается стандартная теория кривых пространства Галилея. Настоящая работа является непосредственным продолжением [4], в ней изучаются специальные вопросы теории галилеевых кривых, использующие специфику одулярных галилеевых пространств. Пространство Галилея является коммутативным и линейным одулярным пространством. Об одулярных галилеевых 3-мерных пространствах см. [1]. Ниже рассматриваются зависимости между кривыми пространства Галилея и евклидовыми кривыми, получены соотношения между их кривизнами; описаны кривые, имеющие постоянные кривизны, изучены случаи уплощения кривых. Установлено, что если все кривизны галилеевой кривой постоянны, то кривая не более чем 3-мерна.

1 Пространство Галилея размерности 4

Начало изучению кривых 4-мерного пространства-времени Галилея положено в [4]. Ниже в разделах 1 и 2 приведены основные определения и результаты из этой работы.

1.1 Галилеево векторное пространство

4-мерное пространство-время Галилея определяется на аффинном пространстве А посредством введения галилеевой нормы векторов в его линейном пространстве. Векторы записываем в виде х = (х,X), / = 1,2,3 выделяя первую компоненту. Галилеевой нормой (модулем) ||Х| вектора х называется

||х|| = |Х, если х Ф 0 ; ||х|| = (X )2 , если х = 0 .

Галилеева норма векторов относится к квазинормам. Обозначение галилеева векторного пространства: Ур. Первая компонента х вектора х яв- 12 3

ляется временной, смысл этой компоненты - время; компоненты х , х , х -

12 3

пространственные. Векторы (0, х , х , х ) имеют евклидову норму. Если

х Ф 0 , то векторы (х, х) называются галилеевыми; а векторы (0, х1) называ-

_ 12 3

ются евклидовыми, они еще записываются в виде г = (х , х , х ), как 3-мерные евклидовы векторы. Всякий галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору. Векторы х = (^,0,0,0) составляют 1-мерное евкли-

1 12 3 12 3

дово пространство Уд, векторы (0, х , х , х ), как и векторы г = (х , х , х ),

3

составляют 3-мерное евклидово пространство Уд. Имеем галилеево вектор-

Лт4

ное пространство Ур как прямую сумму евклидовых пространств

у4= уД + уЗ.

Базис Б=(е,/,у,к) пространства У4 состоит из базисного вектора

1 3 ^

пространства Уд и базиса пространства Уд. Вектор е является единичным

вектором направления времени. Всякий вектор х = (х, х1) однозначно разлагается по векторам базиса:

1 ^ 2 ^ 3 ^

х = хе + х 1 + х у + х к = хе + г ,

хе - временная составляющая вектора х ; г - пространственная составляющая. Векторные функции у (у) = (х(у), х1 (у)) одного параметра, V е I, где I -

интервал в Я, со значениями в галилеевом пространстве Ур дифференцируются покомпонентно.

1.2 Пространство-время Галилея

Аффинное пространство, в линейном пространстве которого задана галилеева норма векторов, называется пространством Галилея, 4-мерное пространство Галилея обозначается Г4 . Оно является прямой суммой действительной оси времени Я = Е1 т.е. 1-мерного евклидова пространства и

3-мерного евклидова пространства Е3 : Г4 = Е1 + Е3 . Репер В = (О,е, 1,у,к)

пространства Г4 состоит из начала отсчета О - точки из Г4, и базиса векторного пространства Б = (е,1,у,к). Через начало О проходит 3-мерное евклидово пространство Е = < 0,1, у, к > , через всякую точку Р пространства Галилея Г4 проходит единственное 3-мерное евклидово пространство Е3 = < Р, 1, у, к >. Направление времени в пространстве Галилея Г4 в точке Р есть полупространство пространства Галилея Г4 с границей < Р, 1, у, к >,

которое содержит точку М, определяемую условием: вектор ОМ = е есть вектор времени.

Точки пространства Галилея называются еще событиями, Г4 называется пространством событий. Если заданы точки А = (а, а1), В = (Ь, Ь1), то вектор АВ равен

АВ = (Ь - а,Ъ - а1).

Расстоянием |АВ| между точками А и В называется норма вектора АВ . Галилеево расстояние между точками А и В, согласно п. 1.1, равно

| АВ| = |Ь - а| , если а Ф Ь ; | АВ| = , если а = Ь .

События А и В одновременны при а = Ь . Множество всех событий, одновременных между собой, есть 3-мерное евклидово пространство. Расстояние между неодновременными событиями (точками) равно интервалу времени между этими событиями. Расстояние между одновременными событиями - это евклидово расстояние между точками евклидова пространства.

2 Кривые пространства Галилея Г4

2.1 Кривые в естественной параметризации

Регулярные кривые пространства-времени Галилея Г4 изучаются в [4]. Рассматриваются кривые класса С4 естественной параметризации, имеющие галилеевы касательные векторы:

у^) = ^, х1 ^)), t е I с Я, (1)

они называются г-кривыми. Длина дуги кривой у^) от точки ^ до точки t1

равна ^ - ^. г-кривая (1) записывается в виде

у^) = ^ + х* ^)е?г-.

Векторная функция хг ^)ег- - евклидова, линия хг ^)ег- лежит в пространстве Е3, обозначается г ^), т.е. г(^) = х1 ^)ег-; теперь

у^ )= ^ + г(0. (2)

Кривая г ^) называется евклидовой проекцией г-кривой у^). Первое

слагаемое ^ в (2) является временной составляющей г-кривой у^), параметр t обозначает время, второе слагаемое г (t) является пространственной составляющей г-кривой Y(t). Время течет вперед, т.е. t > 0 . Функция у^) описывает некоторое событие во времени, это функция мировой линии события.

_ 3

Имеется биекция между евклидовыми кривыми г ^) пространства Е и г-кривыми у^) пространства Галилея:

^ tё + ), t е I.

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

2.2 Кривизны галилеевой кривой

Кривую (1) рассматриваем в окрестности обыкновенной точки Р . Вектор касательной

? = у(0 = (1, х (0)

г-кривой у^) (1) является единичным, см. определение нормы вектора в п. 1.1. Время в пр Далее получаем

п. 1.1. Время в пространстве Галилея Г4 течет равномерно, поэтому ||у|| = const.

= У (ґ )= (0, X (ґ)) = г (ґ).

Вектор г(ґ) евклидов. По п. 1.1 г ± ?. Вектор г (ґ) называется вектором главной нормали кривой у(ґ) в точке Р. Если щ - единичный вектор главной нормали, то у = к щ . Величина кі = ||г| = ||у|| называется первой

кривизной кривой (1).

Векторы сопровождающего репера (Р,?,«і,«2,«3) кривой таковы. Вектор «2 получим из равенства «і = || «2 , «2 ^ «1, величина || = к2 называется второй кривизной кривой (1) у(ґ). Наконец, «3 = «1X «2 . Имеем аналог

формул Френе для кривой пространства Галилея Г4 :

? = к1 «1, «1 = к2 «2, «2 = - к2 «1 - кз «3, «3 = кз «2,

величина к3 называется третьей кривизной кривой (1).

Приведем вычислительные формулы для векторов сопровождающего репера и кривизн кривой (1):

- г _ «1 ~ (г г) _ ^ 1 _ ^

«1 = Т", «2 =тЧг-г---------«3 = «1 х«2 = “^— г Xг ;

к1 к2 к1 к1 к2

к1 = М = И =4X2 + у2 + *2 . (3)

Пусть а(ґ) - произвольный евклидов вектор, обозначим « = Р(ґ^ .

ІР (ґ )||

Каппа-функцией к(а) вектора а (ґ), согласно [1, с. 60], называется норма Щ вектора и . Имеем:

\\а X а\\ л/(а 2аЪ - а3 а'2)2 + (о1о/3 - о3о/1)2 + (о1о/2 - а2 а1)2

к(а) = ,, ,,2 -----------------П--------П-------П----------------. (4)

\\а\\ (а1)2 + (а2)2 + (а3)2

Вторая кривизна к2 кривой у(ґ) является к -функцией вектора г (ґ): к2 = к(г), по соотношению (4) имеем векторное выражение:

к хг

к2= |ГЙ|2 . (5)

К7

Согласно соотношению (4), вычислительная формула для второй кривизны:

д/(у г - г у )2 + (х г - г х) + (х у - у х)

к2 = ~-------------------..2 ..2 -2---------------------------------------------------. (6)

х + у + г:

Третья кривизна кривой у(^ равна

г г г • г

к3= - ,,, .2 , (7)

г хг

выражение в координатах:

, _ ((у г - г У)*' - (х г - гг х)у + (х у - у х)?)^ ,оч

к3 = 2----------------2------------------2—. (8)

(у г - гг у) + (х г - гг х) + (х у - у х)

3 Связь между кривой и ее евклидовой проекцией

3.1 Кривая скорости

Пространство Галилея относится к обширному классу одулярных галилеевых пространств, в основе которых лежат одули Ли, определенные на группах Ли посредством введения внешней операции умножения элементов группы Ли на действительные числа. Коммутативным частным случаем оду-

ля Ли является арифметическое линейное пространство . Одулярные галилеевы пространства строятся в общей схеме в векторной аксиоматике Г. Вейля. Из всех галилеевых пространств выделяется классическое пространство Галилея коммутативностью и линейностью своей геометрии. Одулярные галилеевы геометрии с 3-мерными разрешимыми одулями Ли изучаются в [1]. По методам исследования и результатам одулярная геометрия существенно отличается от геометрии групп Ли. В [1] рассматриваются 3-мерные геометрии с пятью видами одулей Ли: линейным пространством, растраном, сибсоном, диссоном и осцилляторным одулем. Геометрические свойства пространств с разными одулями Ли различны. Чем больше размерность одулей Ли, тем больше их видов существует. Регулярные кривые и поверхности оду-лярных пространств описываются одулярными функциями, превращающимися в коммутативном случае в векторные функции. Дифференцируются одулярные функции по своим правилам, но начиная с производных второго порядка в некоторых случаях правила дифференцирования одулярных функций совпадают с правилами дифференцирования векторных функций. Этот факт позволяет в разных одулярных геометриях применять для решения одних и тех же геометрических задач одинаковые приемы. В [5] решается задача получения кривых одулярных пространств по функциям кривизны и кручения. При этом производные первого порядка одулярных функций, описывающих кривые, по функциям кривизны и кручения во всех одулярных пространствах находятся одинаково. А для получения самих функций, описывающих кривые, используются специфические свойства кривых каждого из одулярных пространств. Если задана кривая ю(0 одулярного пространства,

то ее кривизны определяются на основе производных Ю^),ю',г^),... более вы-

сокого порядка, которые являются векторными функциями. Получение функции Ю(0 по функциям кривизн использует свойства векторных функций, а получение функции ю(г) по ее первой производной ю'(г) уже использует специфику одулярных функций того пространства, в котором кривая лежит.

Если функция ю(г) описывает мировую линию движущейся материальной точки, то функция ю'(г) описывает мировую линию скорости движения точки, которая в качестве пространственной составляющей имеет евклидову кривую г' (г), это кривая скорости движущейся точки. Свойства кривой скорости для траекторий точек во всех одулярных пространствах одинаковы и совпадают со свойствами кривой скорости пространства Галилея.

3.2 Зависимости между кривизнами

Вместе с галилеевой кривой (1) у (г)= ге + г (г) пространства Г4 рассматриваем кривую у(г) = е + г (г) . Евклидова кривая г (г) называется кривой скорости для галилеевой кривой у(г). Сравним кривизны кривых у (г) и г (г). Параметр г для галилеевой кривой (1) является естественным, а для евклидовой кривой г(г) он естественным не является. Поэтому для записи производ-

ных функции г (г) используем штрихи. Кривую скорости обозначаем

с(о=г а). (9)

Кривизны галилеевой кривой ранее обозначены к1, к2, к3. Евклидова кривая с (г) обладает двумя кривизнами, которые обозначаем к^, к| .

Теорема 1. Кривизна к{ и кручение к% кривой скорости с (г) = г'(г) движения материальной точки с мировой линией у (г) = ге + г (г), имеющей кривизны к1, к2, к3, выражаются через эти кривизны равенствами

к\ = т2, к{ =к3, ||Х| = к , (10)

к1 к1

причем к1 есть величина скорости движения по кривой с (г) и величина ускорения движения точки по траектории г (г).

# Кривизна к{ евклидовой кривой с (г), как известно, вычисляется по формуле

='с х 511

с\ |3

С использованием обозначения (9) имеем выражение кривизны к1с через производные функции г (г):

с г х г

к1с =^^. (11)

г/г 3

Для галилеевой кривой (1) у (г) выполняются формула (3) к1 = Щ и

г х г

формула (6) ко = -------г-11, сравнивая равенства (11) и (6), приходим к соот-

г ||2

ношению

кс = к2 к1 1 , к1

первому из (10). Известно, что кручение к| евклидовой кривой с (г) в произвольной параметризации равно

, с ссс к2=-

—*112

с х с

С учетом выражения (9) эта формула принимает вид

10 г г г

к2=-------ГГ . (12)

г х г

Для третьей кривизны к3 галилеевой кривой у(г) выполняется (7); сравнивая (12) и (7), получаем

к2с = к3,

2 к1 ’

это второе из соотношений (10). Третье соотношение в (10) получается на основе (9). Равенства (10) выражают кривизны к^, к2 евклидовой кривой скорости с (г) = г (г) через кривизны галилеевой кривой (1) у(г) = ге + г (г) . #

Из теоремы 1 получается

Теорема 2. Если задана кривая скорости движения материальной

точки

с(г ) = (с1(г), с2(г), с3(г)),

то определяются кривизны к\, к2, к3 мировой линии движения у (г) = = ге + г (г), где с (г) = г'(г):

к1 = I\с(0||, к2 = к{кь к3 = к^^ ,

здесь к1 и к| - кривизна и кручение евклидовой кривой с (г), и компоненты х(г), у (г), г (г) функции у(г) отыскиваются как решения дифференциальных уравнений

х (г) = с1 (г), с2 (г) = у '(г), с3 (г) = г '(г);

начальные условия г = ^, х(^) = х0, у (^) = у0 , г (^) = 20 линию у (г) определяют однозначно.

# Параметрические уравнения кривой скорости с (г), как евклидовой кривой, позволяют вычислить модуль вектора производной с (г): || с'(г)|| = к1 в

произвольной точке и функции кривизны к1 и кручения к| кривой с (г). По формулам (10) отыскиваются кривизны к2 и к3 галилеевой кривой у(г). Компоненты х(г), у(г), г (г) кривой у(г) находятся как решения указанных дифференциальных уравнений. #

4 Постоянные кривизны

4.1 Уплощение кривой

Рассмотрим случаи равенства нулю кривизн галилеевой кривой. Утверждение 3. Галилеева кривая у(г) = ге + г (г) вкладывается в

3-мерное пространство, если и только если к3 = 0.

# Пусть к3 = 0. С использованием второй и третьей формул Френе в [4]

пп " 1 1 1 2

найдено: г"" = к1 «1 + к1 к2«2 + к1 к2«2 + кк «2 - кк «1 - к1к2к3«3 . При к3 = 0 вектор г является линейной комбинацией единичных векторов «1, «2 сопровождающего репера кривой у(г), и четвертый вектор «3 = «1 х «2 этого репера появиться не может. Следовательно, кривая у(г) 3-мерна. Обратно, если кривая у(г) 3-мерна, то векторы г', г", г" компланарны и г'г'г" = 0 . Дифференцируя равенство г'гТ = 0, находим т’г" гт ' = 0, т.е. г”"е< г'г" > и векторы г”, г", г"" компланарны, следовательно, по формуле (7), к3 = 0. # Далее используем свойства кривых 3-мерного пространства Галилея, полученные в [1]. При к2 = 0 кривая у (г) плоская и к3 = 0. При к1 = 0 также к2 = 0 и по формуле (7) к3 = 0.

4.2 Все кривизны постоянны

Компоненты х(г), у (г), г (г) галилеевой кривой у(г) и ее кривизны к1, к2, к3 связаны системой дифференциальных уравнений.

Теорема 4. Пусть галилеева кривая (1) у(г)= (г, х(г), у(г), г (г)) имеет кривизны к\,к2,к3. Если заданы функции к1 = к1 (г),к2 = к2(г),к3 = к3(г), то компоненты х(г), у(г), г (г) кривой у(г) являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений

»2 . »2 . »2 /2 х + у + г = к1 ,

/ » т » т\2 ,/ я /я * М\2 , / » /г т\2 7 4? 2

(у г - г у ) + (х г - г х ) + (х у - у х ) = к1 к2 , (13)

/ » т » т\ » т\ /г» т » т\ »» 7 3 7 3 7

(у г - г у ) х + (х г - г х )у + (х у - у х ) г = -к1 к2 к3.

Начальные условия г = г0, х(г0) = х0, у (^) = уд, г (г0) = выделяют из множества решений системы дифференциальных уравнений функции х(г), у (г), г (г), задающие единственную кривую у (г).

# Первое уравнение системы (13) есть результат возведения в квадрат равенства (3) после подстановки в него компонент функции ?"((). Второе уравнение системы (13) получаем из выражения (6) с помощью (3). Находя числитель дроби (8) и воспользовавшись вторым уравнением системы (13), приходим к третьему уравнению. #

Система уравнений (13) для компонент х(^), у(^), г(^) имеет место в

случае постоянных и непостоянных кривизн &1, &2, £3.

Исследуем кривые пространства-времени Галилея Г4, все кривизны которых постоянны.

Теорема 5. Если кривизны £1,£2,£3 галилеевой кривой у(^) постоянны, то кривая скорости с ^) может быть либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой линией евклидова пространства.

# Если £1 = 0, то £2 = £3 = 0, см. п. 4.1. В этом случае у(^) есть прямая и с (^) - прямая. Если £1 Ф 0 и постоянна, £2= 0, то £3 = 0, см. п. 4.1. По формуле (10) £1 = 0 и линия с(^) является прямой. Если £1 Ф 0, £2 Ф 0 и постоянны, то по равенствам (10) £1 Ф 0 и постоянна; £2 = 0. В этом случае евклидова кривая с (^) является окружностью. Пусть £1, £2,£3 постоянны и

отличны от нуля. По формулам (10) кривизны £\, £| кривой скорости с(^) постоянны и отличны от нуля. Известно, что если кривизны 3-мерной евклидовой кривой постоянны, то эта кривая является винтовой линией. #

Теорема 6. Если кривизны £1 =£, £2 = т, £3 = I галилеевой кривой ) постоянны, то третья кривизна равна нулю:

и кривая у(^) является не более чем 3-мерной, т.е. лежит в 3-мерном пространстве Галилея; кривая скорости с ^) кривой у(^) является либо окружностью, либо прямой, кривая у^) описывается одной из следующих функций:

k, m, l галилеевой кривой y(t) = (t, x(t),y(t), z(t)) равенствами (10):

l = О,

V m m

m

/

Y(t) = b1t + Cb b2t + C2, b3t + C3 )

(17)

2 2 2

здесь Q = const, k Ф 0, m Ф 0, ai + a2 + 03 Ф 0 .

# Кривизны kf, k| кривой скорости c (t) выражаются через кривизны

; с т ; с ^ II—/II I

£1 = —, £? = —, с = £;

1 £ £ 11 11

следовательно, и кривая с(^) имеет постоянные кривизны. Евклидова кривая с (^) с постоянными кривизнами является либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой.

Предположим сначала, что с(^) - винтовая линия; с учетом [1, с. 67] она может быть записана в виде

с ^)=(И cos(mt + с), И sin(mt + с), gt); согласно теореме 2 выполняются дифференциальные уравнения:

х = И cos(mt + с), у = И sin(mt + с), г' = gt. (18)

Имеем следующие значения производных компонент функции у^): х" = -Иm sin(mt + с), у" = Иm cos(mt + с), г" = g ;

х" = -Иm2 cos(mt + с), у" = -Иm2 sin(mt + с), гда = 0 .

Значение кривизны £ линии у^) с заданной кривой скорости с ^) таково:

£ = 4И2m2 + g2 см. (3), (19)

Получим значения кривизн m, I . Для этого вычислим согласно (6):

Р1 = у V*-у^ = Иgm2 sin(mt + с), Р2 = х"гт- х^г* = Иgm2 cos(mt + с),

N М МП 7 2 3

Р3 = х у - х у = И m .

Находим с использованием (19):

2 2 . 2 . 2 ,2 2 4 , ,4 6 ,2 4, 2 . ,2 2Ч ,2 4,2

Р = Р1 + Р2 + Р3 = И g m + Иm = Иm (g + И m ) = И m £ .

Согласно второму уравнению системы (13)

2 ,2 4,2 ,4 2

Р = И m £ = £ m ,

откуда

,22 ,2 И m = £ ,

2 2 2

теперь по формуле (19) £ = £ + g , следовательно, в задании кривой с ^)

g = 0.

Это означает, что кривая скорости с ^) не может быть винтовой линией, а является окружностью

) = (И cos(mt + с), И sin(mt + с), 0). (20)

Кривая c(t) плоская. Следовательно, в этом случае k-f = — = 0, т.е.

k

l = 0.

Интегрируя уравнения (18) с учетом g = 0, по кривой (20) кривую y(t) получаем в виде

( h h Л

y(t) = l t, —sin(mt + c) + Ci,---cos(mt + c) + C2, C3 I,

V m m )

где Cj = const.

По [1, c. 67] галилеева кривая с постоянной кривизной k и постоянным кручением m определяется функцией

( k k ^

y(t)= t, —2sin(mt + c) + Ci,-----2cos(mt + c) + C2, C3

V m m

Значит,

h = k. m

Галилеева кривая y(t) с постоянными кривизнами является 3-мерной (здесь l = 0, см. теорему 5), она описывается функцией (14):

( k k Л

y(t)= t, —2sin(mt + c) + C1,-----2cos(mt + c) + C2, C3

V m m

Пусть, далее, кривая скорости является окружностью c (t) = (h cos(mt + c), h sin(mt + c), g).

Изменяется третье уравнение в (18):

x = h cos(mt + c), y = h sin(mt + c), z = g . (21)

В этом случае k = h, находим l = 0. Решая уравнения (21), получаем

кривую

( h h Л

Y(t) = l t, —sin(mt + c) + C1,---cos(mt + c) + C2, gt + C3 I,

V m m )

k

и в соответствии с [1, c. 67] h = —. Окончательно:

m

( k k ^

Y(t)= t, —2sin(mt + c) + C1,-----2cos(mt + c) + C2, gt + C3

V m m

что совпадает с формулой (15).

Наконец, возможно, что кривая скорости c (t) является прямой линией:

c(t)=(a1t + i>1, 021 + 62, a3t + 63). (22)

В этом случае еще k-f = — = 0 и

k

m = l = 0 .

Для функции (22) получаем:

c(t) = (a1, a2, оз),

поэтому

к —^^^^7_ / 2 i 2 i 2

c = k = yj a1 + a2 + Оз .

При k Ф 0 галилеева кривая с функцией скорости (22) есть (16):

Y(t) = |^t, %2 + b1t + C1, + b2t + C2, a.t1 + b3t + C31.

Если k = 0 , то c = const и Y(t) есть прямая (17):

Y(t) = (t, 611 + C1, 621 + C2, 631 + C3). #

Выполнимость теоремы 6 означает следующее:

1. Всякая кривая 4-мерного пространства-времени Галилея Г4 , все три кривизны которой постоянны, является кривой не более чем 3-мерного галилеева подпространства пространства Галилея Г4 .

2. Галилеева кривая, пространственная составляющая которой является винтовой линией, есть 3-мерная кривая. Пространственная составляющая этой кривой имеет две евклидовы ненулевые кривизны.

3. В пространстве-времени Галилея Г4 существуют винтовые линии на круглом цилиндре, направляющая которого есть евклидова окружность, а образующая параллельна оси времени. Это галилеева кривая с двумя ненулевыми галилеевыми кривизнами, пространственная составляющая которой имеет одну евклидову ненулевую кривизну.

4. Всякая кривая 4-мерного пространства-времени Галилея Г4, имеющая постоянную ненулевую кривизну k Ф 0 и нулевое кручение m = 0, является плоской, это галилеев цикл.

До сих пор мы рассматривали зависимость между галилеевой кривой и евклидовой кривой, если евклидова кривая является кривой скорости для галилеевой кривой. Пусть теперь r (t) - произвольная евклидова кривая. Существует галилеева кривая Y(t) = te + r (t), для которой r (t) является пространственной составляющей, см. п. 2.1. Выполняется следующее

Следствие. Если евклидова кривая r (t) является пространственной составляющей галилеевой кривой, все кривизны которой постоянны, то r (t) есть либо винтовая линия, либо окружность, либо парабола (галилеев цикл), либо прямая линия. #

Заключение

Наблюдаемые нами события происходят во времени в окружающем нас пространстве, т.е. в пространстве-времени. Время считается 1-мерным, ось времени совпадает с R, и пространство локально (в небольшой окрестности

3

наблюдателя) считается евклидовым Е см. [3, с. 12-13]. Прямая сумма

Я + Е3 = Г4 называется 4-мерным пространством-временем Галилея. С изменением времени событие описывает мировую линию, задаваемую в виде векторной функции у^) = ^, х(V), у (V), г(V)), t е I с Я. Геометрия Галилея изучает геометрические свойства пространства-времени. В работе [4] и настоящей работе исследуются свойства кривых, т.е. мировых линий событий, 4-мерного пространства Галилея. Временная составляющая кривой у(У) есть te , где е -единичный вектор направления изменения времени, пространственная составляющая кривой у(У) есть евклидова кривая г (V) = (х(У), у(V), г(V)), которая в свою очередь является траекторией движения точки-события; таким образом, ) = te + г (V) .

4-мерная кривая обладает тремя кривизнами: к = к, £2 =т, к3 =—. Первая из них называется кривизной, вторая - кручением мировой линии события. Для 4-мерной кривой I Ф 0 . Согласно п. 4.1, если I = 0, то кривая 3-мерна; если т = 0, то кривая 2-мерна (при этом обязательно I = 0) и обладает только кривизной; если к = 0, то мировой линией события является прямая линия (т = I = 0). В [4] определены кривизны мировых линий и получены их вычислительные формулы на основе производных функций, являющихся компонентами пространственной составляющей мировой линии события. Выше введена в рассмотрение кривая скорости с (V) = Г(V) мировой линии события. Как

3-мерная евклидова кривая, с (V) обладает двумя кривизнами к^, к2 . Оказалось, что между кривизнами мировой линии события и кривизнами кривой

скорости события имеется зависимость к1 =т, к2 =—, 1|с1| = к, см. (10), и

кк

кривая скорости определяет мировую линию события с точностью до положения в пространстве-времени. Механический смысл первой кривизны мировой линии события - величина ускорения движущегося события.

Выделяются мировые линии, имеющие постоянные кривизны, т.е. кривизны, не зависящие от времени. Плоская кривая с постоянной ненулевой кривизной есть галилеев цикл. Если у^) = ^, х()), то цикл описывается функцией

2 2 х = а + Ы + с , а Ф 0, и у^) = ^, а + Ы + с). Это более простое задание линии (16). Кривая с постоянными ненулевыми кривизной к и кручением т есть

( к к Л

винтовая линия у^) = V, —2C0s(mt + с), —2C0s(mt + с) в 3-мерном про-

V т т )

странстве Галилея; она лежит на круглом цилиндре с евклидовой направляющей и образующей, параллельной оси времени. Выяснилось, что в 4-мерном пространстве Галилея кривая, все кривизны которой постоянны, обязательно имеет третью кривизну, равную нулю I = 0; это только кривые 3-мерного подпространства 4-мерного пространства; 4-мерных кривых со всеми тремя постоянными ненулевыми кривизнами не существует. В этом существенное отличие

4-мерных галилеевых кривых от 3-мерных галилеевых кривых. Галилеева кри-

4

вая пространства 1 , кривизна и кручение которой постоянны и ненулевые, является винтовой линией на круглом цилиндре, расположенном в евклидовом подпространстве пространства Галилея - это кривая (15). Всякая евклидова

кривая является пространственной составляющей некоторой галилеевой кривой. Постоянные кривизны галилеевой кривой однозначно определяют евклидову кривую как пространственную составляющую. Евклидова кривая с непостоянными кривизнами не может быть пространственной составляющей галилеевой кривой с постоянными кривизнами.

Список литературы

1. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационно -издательский центр ПГУ, 2005. - 306 с.

2. Долгарев, А. И. Методы одулярной галилеевой геометрии в описании механических движений / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 12-24.

3. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. - М. : Наука, 1989. - 472 с.

4. Долгарев, А. И. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев, И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 2-11.

5. Долгарев, А. И. Кривые 3-мерных вейлевских одулярных пространств и кривые евклидовой плоскости / А. И. Долгарев // Дифференциальная геометрия многообразий фигур : межвуз. тем. сб. научн. тр. - Вып. 33. - Калиниград : КГУ, 2002. - С. 25-28.