Кривые в галилеевых пространствах с 4-мерными растранами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.126

А. И. Долгарев, О. А. Подвалова

КРИВЫЕ В ГАЛИЛЕЕВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С 4-МЕРНЫМИ РАСТРАНАМИ

Аннотация. На множестве 4-мерных кортежей действительных чисел определено два вида растранов размерности четыре посредством задания операций над кортежами. Определено скалярное произведение растов, получены формулы дифференцирования растранных функций. Проводится аналогия с кривыми 4-мерного пространства-времени Галилея, рассматриваются кривые в естественной параметризации, определяется три вида кривизн, получены формулы Френе и вычислительные формулы кривизн.

Ключевые слова: кривые на множестве 4-мерных кортежей в некоммутативной галлилеевой геометрии.

Abstract. Detected two types of 4-dimentional rastrans. Lines in Galilean space with mentioned rastrans are examined. Arches are calculated and Frene formulas are received. This work is applied to noncommutative Galilean geometry.

Keyword: Lines in 4-dimensional arrays of noncommutative Galilean geometry.

На многообразии R4 кортежей действительных чисел ниже определено два вида растранов размерности четыре посредством задания операций над кортежами. 3-мерные растраны, как частные случаи одулей Ли, приведены в [1], где определены однородный растран и растран общего вида. В работе [1] развивается некоммутативная одулярная дифференциальная галилеева геометрия 3-мерного пространства-времени с однородным растраном. Первые положения теории кривых 4-мерного коммутативного пространства-времени Галилея содержатся в [2, 3]. Ниже проводится аналогия с кривыми из [2], рассматриваются кривые в естественной параметризации, определяется три вида кривизн, получены формулы Френе и вычислительные формулы кривизн.

1 Растраны размерности 4

1.1 Определение одуля

Пусть й = (й, +) - алгебраическая структура с бинарной внутренней операцией «+», коммутативности операции не требуется. Элементы структуры й обозначаем а, Р,..., ю,... Рассматривается кольцо K и отображение

fflK (+): K х й —— й,

называемое операцией умножения элементов структуры й на скаляр из кольца K ; в отображении

юк (+): Kхйэ (t,ю) — гюей .

Для всех t, s е K и юей требуется выполнение условий: s(to) = (st)ю, (t + s)ю = tю + sю.

Алгебраическая структура й = (, +, ю^^ (+)) называется одулем над кольцом K или K -одулем. Выписанные условия называются аксиомами

одуля. Элементы одуля называются одулярами. Если структура й = (й, +) является группой Ли и К = Я, то й = (, +, Шк (+)) называется одулем Ли. К указанным аксиомам К -одуля добавляются еще аксиомы:

1ю = ю, 0ю = Ф, t (£ю£-1) = £(ґю)£-1,

где Ф - нулевой одуляр,^ей .

К -одули введены Л. В. Сабининым в 1977 г. [4], одули Ли впервые рассматриваются в [1]. Частными случаями одуля Ли являются действительное линейное пространство и растран.

1.2 Растраны размерности 4

Рассмотрим два вида 4-мерных растранов, которые задаются разными операциями на многообразии Я4. Элементы растранов называются растами.

I. Однородный растран. Операции:

(х, х1, x2, x3) + ( у, у1, у2, у3 ) = (у + у, х1еу + у1 , xV + у2, х 3еу + у3 );

t(х, у1, x2, x3 )

( ХҐ л ХҐ л ХҐ 1 ^

1 е -1 2 е -1 3 е -1

ХҐ, х -------------, х -------------, х ------------

Х 1 Х 1 Х 1

е -1 е -1 е -1

х Ф 0:

t|, х1, х2, х31 = |, х1!, х2t, х3!1, Iе Я .

Нулевой раст: Ф = (0,0,0,0); раст, противоположный расту

1 О "3 / 1 О "2 \

р = (х, х , х , х ), равен -р = I -х, - хеу, - х еу, - х еу I. Обозначение однородного растрана: Р4.

II. V -растран. Операции:

|х, х1, х2, х3 ) + (у, у1, у2, у3 ) = (х + у, х1еу + у1, х2еу + у2, х3 + у3|

( „х! 1 & 1 \

і(х, у1,

х2, х3 I =

V

лі і лі і

1 е -1 2 е -1 3

ХҐ, х ---------------, х ---------------, х Ґ

ех -1 ех -1

х Ф 0;

ґ(0, у1, х2, х3) = (, у1ґ, х2ґ, х3ґ|, Iе Я .

Нулевой раст есть Ф = (0,0,0,0); раст, противоположный расту

123 ( 1 2 3 \

р = (х, х , х , х ), равен -р = I -х, - хеу, - х еу, - х ). Обозначение V -растрана: Р3+1.

12 3

В каждом растране: расты (0, х , х , х ) называются трансляциями,

расты (х, х1, х2, х3), х Ф 0 , называются расширениями; число ех называется

12 3

коэффициентом расширения (х, х , х , х ). Все вычисления над растами производятся на основе операций, определяющих растран. Расты вида

(х, х1, х2, 0), х Ф 0 , составляют в V -растране Р3+1 подрастран, являющийся

3 3

однородным 3-мерным растраном Р , см [1]; расты (0,0,0, х ) составляют

подрастран, являющийся 1-мерным действительным линейным пространством Ь1; см. операции на V -растране. V -растран Р3+1 есть прямая сумма

31

3-мерного однородного растрана Р и 1-мерного линейного пространства Ь :

Р3+1 = Р3 + ь1.

В дальнейшем, если не будет специально оговорено, будем оба

4-мерных растрана обозначать Р4 .

1.3 Растранные функции

Обозначим: (1, 0,0, 0) = а, (0,1, 0,0) = Р, (0,0,1, 0) = у, (0,0,0,1) = 8. 12 3

Для всякого раста р = (х, х , х , х ) имеется однозначное разложение:

12 3 12 3

р = (х, х , х ,х ) = ха + х Р + х у + х 8.

Поэтому Б = (а,Р,у,8) является базисом каждого из растранов Р4 . Пусть I есть интервал в Я. Растранная функция р = р(!), ! е I, одного параметра есть отображение I ^ Р4 интервала I в растран Р4 , в котором числу !е I соответствует раст р = р(!) из Р4 :

р = р(! ) = (х (!), х1 (!), х2 (!), х3 (!)), ) е I .

Четыре действительные скалярные функции х(!), х1 (!), х2 (!), х3 (!)

аргумента !, заданные на интервале I и взятые в рассматриваемом порядке, и есть растранная функция аргумента ! на интервале I.

1.4 Скалярное произведение растов

Норму растов можно определить на основе скалярного произведения растов. Введем галилеево скалярное произведение растов по аналогии с галилеевым скалярным произведением векторов [1].

Пусть а, т - расты из Р4 . Галилеевым скалярным произведением рас-

12 3 12 3

тов а = (х, х , х , х ), т = (у, у , у , у ) называется число, обозначаемое ат

и равное

Гху, если х Ф 0 или у Ф 0,

ат = <!

111 22 33

[х у + х у + х у , если х = у = 0.

Выполняются следующие равенства:

ат = та; а(т + р) = ат + ар; (!а)т = а(!т) =!(ат), !е Я.

2

Скалярным квадратом раста р называется число рр = р . По определению скалярного произведения растов

2 I х2, если х Ф 0,

{(х1)2 + (х2)2 + (х3)2, если х = 0.

Нормой раста называется корень квадратный из его скалярного квадрата ||р|| = д/р2". Для раста р = (х, х1, х2, х3) выполняется

П х |, если х Ф 0,

^ ^ IV(х1)2 + (х2)2 + (х3)2, если х = 0.

Растраны Р4 нормированы посредством галилеева скалярного произведения растов. Это галилеевы растраны. Первые компоненты растов считаются временными, остальные компоненты считаются пространственными.

Нормированный V -растран Р3+1 является прямой суммой галилеева 3-мерного галилеева однородного растрана Р и 1-мерного евклидова векторного пространства V1:

Р3+1 = Р3 + V1.

1.5Предел и непрерывность

Предел растранной функции, как и векторной функции в галилеевом

(1 2 3 \

И, И , И , И I

называется пределом функции р = р(/) = (х(7), х1 (), х2 (), х3 (7)), tе I, в точке , если

Нш х() = И , Нш х () = И1, 1 = 1,2,3.

( —)■to t —)^0

Правила предельного перехода для растранных функций такие же, как для векторных функций.

Функция р^) называется непрерывной в точке ^, если предел функции в точке t = to равен р(г^0). Функция р^) непрерывна на интервале I, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

1.6 Дифференцирование на однородномрастране Р4

Наличие внешней операции на одуле позволяет традиционно определять производную одулярной функции.

Производным растом функции р^) в точке р е I назовем раст

р-(р )== 1,ш-^= нш-^ др = 1,ш .

Л г—pt - р г—pt - р г—р t - р

Производной функцией от функции р^) на некотором интервале I назовем функцию, значение которой в каждой точке интервала равно производному расту данной функции.

Вычислим производный раст функции р^) в точке р е I для однородного растрана. Сначала найдем отношение приращений:

-р(р ) + р() = 1

t - p t - p 1

t - p 1

t - p

(x(()x (p)) + (x(t)x (t) -x(p), -е-x(p)xi (p)) + (x(t), xl (t) x (t)-x ( p ), x (t)-x1 (p )е^) x( p)

-x(p)+x(t)

• ’,***p) _V (x'(t) - J(p)‘xi‘y4p)'

t - p

' = 1,2,3.

Так как

x (t) - x (pV(t)-x(p) = . xri (t) - x (pV(t)-x(p)x(t)

™p еX(t)-x(p) -1 = t7p x(t^)-x(p)

= x'1 (p) - x (p) x (p) = xl (p) - x' (p)

x (p)

x' ( p))

то окончательно получаем

p' (p) =

x'(p),(еx'(p) -1)

^ - x (p)

x (p)

Sj

На основании этого равенства производная функции p(t) такова:

p'(t) = (x(t), xl (t)

x'(t),(еУ(t) -1)

/j

В частности, если x(t) = t, то

p'(t) = (1,(е -1)(x"(t) - x (t))), t = 1,2,3; если x (t) ^ 0 при t ^ p или x(t) = const, то

p' (t) = (0, x (t))' = (0, x' (t)).

Выражения для координат раста производной p'(t) через координаты раста p(t) сложнее, чем соответствующие выражения для векторных функций. Вычисления показывают, что правила дифференцирования растранных

функций в общем случае не совпадают с правилами дифференцирования векторных функций, т.е.

/ /

(р + а)' Фр' + а', (ср) Ф ср', (ир) Фи'р + ир'.

1.7 Дифференцирование на V -растране Р3+1

По аналогии с предыдущим на основе операций на V -растране вычислим производный раст функции р^) со значениями в V -растране в точке р е I. Находим:

-р(р ) + р() = 1

-(х(р) х1 (р) х2 (р) х3 (р)) +

t - р t - р

+ (х^), х1 (t), х2 (t), х3 (t)

1 ^-х(р), - е~х(р)х1 (р), -е~х(р)х2 (р), - х3 (р)) +

+ (х^), х1 (t), х2 (t), х3 (t)) =

1 гх(t)- х(р), х1 (t)- х1 (р)ex(t)-х(р),

t - р

t - р

х2 ()- х2 (р)ех() х(р), х3 (t)- х3 (р)

- х(р)+х() х(t)-х(р) е г~р -1 1 1

t - р

-х(р)+х()

ех(с)-х(р) -

1

(x1(t) - х1( р)ех(г)-х( р)),

е '-р ) - 1 (х2 (,) - х2 (р)е-х^)-х(р)),

ех^)-х( р) - 1 V V' ^ ь t - р

Предел во второй и третьей компонентах вычислен в предыдущем п. 1.6, поэтому

р' (р) =

( ( л, ч >

^ - х1( р)

х (р)

х'(р),(ех (р) - 1)

,(ех'(р) -1)

( '2/ ч

^ - х2(р)

х (р)

, х '3( р)

Таким образом, производная функции р^) такова:

/

р' (t) = ( ), x2(t), x3(t) ) =

x'(t),(ex'(‘) -1)\^-x'(t)

. x (t)

(ex'(t) - 1)

Ф - x (t)

x (t)

\

.x' 3(t)

Если x(t) = t, то

p' (t ) = (,(e -1)(xn (t) - xl (t)), x,3 (t) ), t = 1, 2; если x (t) ^ 0 при t ^ p или x(t) = const, то

p (t) = (0, x (t))' = (0, x'1 (t)).

2 Галилеево 4-мерное пространство с растраном. ЛМ-, ЕМ-пространства

В аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства заменяем одулем Ли линейное пространство. Линейное пространство является коммутативным одулем Ли. Получаем обобщение аффинного пространства, называемое вейлевским одулярным пространством, или коротко ВО-пространством. Геометрия ВО-пространства строится по аналогии с аффинной геометрией с учетом специфики одуля Ли. ВО-пространство с ненормированным однородным

растраном называется ЛМ-пространством, оно обозначается Л4, в случае

V -растрана имеем УЛМ-пространство, обозначаемое Л3+1.

ВО-пространство с нормированным однородным растраном называется

ЕМ-пространством, оно обозначается M4, если V -растран нормирован, то

имеем УЕМ-пространство, его обозначение M

3+1

2.1 Пространства Л4, М4. Уравнения прямых и плоскостей.

Евклидовы подпространства

В ЛМ-пространстве Л4 выбираем репер В = (О, а, Р, у, 8), где О -точка и (а, Р, у, 8) - базис растрана. Координатами точки М в репере В называются координаты раста ОМ в базисе (а, Р, у, 8). Если А(а, а1, а2, а3) и

12 3

В(Ь, Ь , Ь , Ь ) - точки ЛМ-пространства, то на основании операций на рас-тране и равенства АВ = -ОА + ОВ получаем раст

АВ = (Ь - а, Ь1 - а1еЬ-а, Ь2 - а2еЬ-а, Ь3 - а3еЬ-а).

Координатные плоскости (О, Р, у}, (О, Р, 8), (О, у, 8) являются аффинными, а координатные плоскости (О, а, Р^, (О, а, у), (О, а, 8) - ЛМ-плос-костями. По аналогии с 3-мерным ЛМ-пространством, см. [1], имеем, что для любых независимых растов р и а и любой точки А в Л4 существует плоскость (А, р, а} . Она либо аффинна, либо ЛМ-плоскость. Через всякие три не-коллинеарные точки ЛМ-пространства проходит единственная плоскость.

Во всякой ЛМ-плоскости через всякую ее точку проходит единственная прямая, параллельная прямой (Р, р^, если р - трансляция; и две различные

параллельные прямые (ко-параллельная и тран-параллельная), если р есть расширение.

Формулы замены координат точек при переходе к другому реперу ЛМ-пространства имеют вид

Г х = кх' + с,

{X = к1екх + Ъ1/+ с1,I, ] = 1, 2,3.

/\ 123 123

Прямая (В, р^ ЛМ-пространства, где В(Ъ, Ъ , Ъ , Ъ ), р = (г, г , г , г ),

описывается параметрическими уравнениями:

г^ 1 гЬ 1 г1 л

, ,1 п е —11 ,2 п е —12 т ,3 л е — 1 з

х = М + Ъ , у = Ъ е Н-----г , г = Ъ е Н------г , й = Ъ е Н--------г .

е —1 е —1 е —1

Прямую можно также задать в виде

р(5) = (5, ае5 + с, Ъе* + й, /е* + £) или р(5) = (Ъ, г1^ + Ъ1, г25 + Ъ2, г35 + Ъ3),

если г = 1, или, соответственно, г = 0 . В ЛМ-плоскости уравнения прямой таковы:

х1 = кех + с или х = а .

Параметрические уравнения ЛМ-плоскости в случае однородного рас-

трана:

Г х = гу + Ъ,

I ( гУ .(.(■ л ъ ^

Г х = ре Н ап Н с , / = 1,2,3.

Уравнения аффинной плоскости ЛМ-пространства:

Г х = V,

|х = ргеУ + д1 + г1,1 = 1, 2,3.

Общее уравнение ЛМ-плоскости в ЛМ-пространстве имеет вид

Аех + В(х1 + £ = 0 .

Уравнения прямых и плоскостей ЛМ-пространства нелинейны.

Репер В ЕМ-пространства является ортонормированным. Расстояние

II 12 3 12 3

|АВ| между точками А(а, а , а , а ) и В(Ъ, Ъ , Ъ , Ъ ), как во всяком

ВО-пространстве с галилеевой метрикой, равно

| АВ| = |Ъ — а| , если Ъ Ф а ;

|АВ| = 7(Ъ1 — а1)2 + (Ъ2 — а2)2 + (Ъ3 — а3)2 , если Ъ = а .

Через всякую точку А ЕМ-пространства проходит единственное 3-мерное евклидово подпространство Е3 = ^А, Р, у, 8) . В ЕМ-пространстве существуют евклидовы плоскости - это плоскости с коммутативными подрастранами:

<Р,у>, <Р,8>, <у,8>, остальные - ЕМ-плоскости. Движения ЕМ-прост-ранства задаются двумя ортонормированными реперами; их формулы:

Г х = х + с,

"Гх1 = к1ех + Ъ1 ух] + с1,1, у = 1, 2,3; матрица (у ) ортогональна.

2.2 Пространства Л3+1, М3+1. Уравнения прямых и плоскостей. Евклидовы подпространства

В КЛМ-пространстве Л3н1 выбираем репер В = (О,а,Р,у,8) по аналогии с репером ЛМ-пространства Л4, также определяем и координаты точек.

12 3 12 3

Если А(а, а , а , а ) и В(Ъ, Ъ , Ъ , Ъ ) - точки КЛМ-пространства, то на основании операций на V -растране и равенства АВ = —ОА + ОВ получаем

лт) /и г.1 1 Ъ—а >2 2 Ъ—а >3 3\

ABv = (Ъ — а, Ъ — а е , Ъ — а е , Ъ — а ).

Координатные плоскости (О, Р, у}, (О, а, 8), (О, Р, 8), (О, у, 8) являются аффинными, а координатные плоскости {О, а, Р), {О, а, у} - ЛМ-

плоскостями. Для любых независимых растов р и а и любой точки А

в Л3н1 существует плоскость (А, р, а} . Некоторые из них аффинны, остальные - ЛМ-плоскости. Через всякие три неколлинеарные точки КЛМ-прост-ранства проходит единственная плоскость.

Во всякой ЛМ-плоскости через всякую ее точку проходит единственная прямая, параллельная прямой (Г, р^, если р - трансляция; и две различные параллельные прямые (ко-параллельная и тран-параллельная), если р есть расширение.

Формулы замены координат точек при переходе к другому реперу КЛМ-пространства имеют вид

х = кх + с,

«х1 = Хекх + Ъ(/у + с1,1, у = 1, 2,

3 , 3 '3 , 3

х = к х + с .

/\ 123 123

Прямая (В, р} КЛМ-пространства, где В(Ъ, Ъ , Ъ , Ъ ), р = (г, г , г , г ),

описывается параметрическими уравнениями:

г^ 1 г1 л

, ,1 г> е —11 ,2 ^ е —12 , 3 ,3

х = Н + Ъ , у = Ъе Н-----г , г = Ъ е Н------г , й = г (+ Ъ .

е —1 е —1

Прямую можно также задать в виде р(5) = (5, ае5 Н й1, Ъе5 Н й2, с5 Н й3) или р(5) = (Ъ, г15 Н Ъ1, г25 Н Ъ2, г35 Н Ъ3).

В ЛМ-плоскости уравнения прямой таковы:

x1 = kex + с или x = a .

Параметрические уравнения ЛМ-плоскости:

x = rv + b,

i i rv , i , i 1 Л x = p e + an + с , i = 1, 2,

x3 = r 3v + b3.

Уравнения аффинной плоскости КЛМ-пространства:

x = v,

i i v . i . i 1 О x = pe + q + r , i = 1, 2,

3 3

x = ^.

Общее уравнение ЛМ-плоскости в КЛМ-пространстве имеет вид

Aex + Bjx1 + D = 0 .

Уравнения прямых и плоскостей КЛМ-пространства нелинейны.

Репер B = {O, a, Р,у,8) КЕМ-пространства является ортонормирован-

ным. Через всякую точку A КЕМ-пространства проходит единственное

3-мерное евклидово пространство E3 =(A, Р, у, 8}. Расстояние |AB| между

12 3 12 3

точками A(a, a , a , a ) и B(b, b , b , b ), как во всяком ВО-пространстве с

галилеевой метрикой, равно

| AB| = |b - a , если b Ф a;

|AB| = -у/(b1 - a1)2 + (b2 - a2)2 + (b3 - a3)2 , если b = a .

Движения КЕМ-пространства задаются двумя ортонормированными реперами; их формулы:

x = x + с,

x* = klex + bl jx^ + сг, i, j = 1, 2,

3 3 3

x = x + о ;

матрица

ортогональна.

3 Кривые в ЕМ-, FEM-пространстве

3.1 Определение кривой. Естественная параметризация

Ортонормированный репер пространств M

4 М3н1 обозначаем

В = (0, а, 1, у, к), коэффициент базисного расширения а равен е , его норма

есть ||а|| = 1, и (1, ], к) - ортонормированный базис векторного пространства

Лт3

V трансляций растрана каждого пространства.

Дифференцируемой кривой Ск в М4, М3н1 называется дифференцируемое отображение класса Ск интервала I соответственно в М4, М3н1 . Значению параметра t из I соответствует точка М = М (^) кривой. В репере В

положим М(0 = М(х(0, х1 ^)). Параметр t пробегает интервал I = (а, Ъ) в Я или совпадает с Я. Обозначаем кривые:

р = р(0 = (х(t), х1 (^), ^е I. (1)

Кривая есть множество точек

I = { ом|ом = р(), t е I}.

Точка М кривой определяется растом ОМ = р^), кривая р^) описывается растранной функцией (1) класса Ск.

Рассматриваем кривые с условием х' ( )ф 0. В противном случае кривая (1) лежит в евклидовом подпространстве пространств М4, М3н1 и является евклидовой. Функция х^) обратима, существует обратная функция

t = t(х), и функция (1) записывается в виде р(х) = р(х,хг (х)). Переобозначая параметр, имеем

р(5 ) = (, х (5 ), у (5 ), г(5) ), 5 е I. (2)

Для точек А = А(51) и В = В(З^), 52 > 51, кривой (2) выполняется | АВ |= 52 — 51. Кроме того, | р'(5) |= 1. Поэтому (2) - естественная параметризация кривой.

Пусть р^) = (и(t), V^), w(t), g(0) - произвольная параметризация

кривой I, р( 5) - естественная параметризация той же кривой I, 5 = и ^). Имеем в точке Р кривой I касательные: (Р,р'^) и (Р,р(5). Пусть Г - обыкновенная точка кривой I, т.е. р).

Точке М ^) кривой сопоставляется раст р'^) при том же значении t е I. Имеем касательное отображение вдоль кривой и касательное отображение ЕМ-пространства в растран. Прямая (М(^), р'(^)) называется касательной к кривой р^) в точке to этой кривой.

По аналогии с кривыми в 3-мерном ЕМ-пространстве [1, с. 138] для кривых в 4-мерном ЕМ-пространстве получаем

и ()р(5) = р'() и (Р, р', р") = (Р, р, р) .

Свойство 1. Касательная прямая {М(to), р'(^)) и соприкасающаяся плоскость {М(^), р'(to), р'(^)) кривой ЕМ-пространства не зависят от параметризации кривой.

В VЕМ-пространстве выполняется равенство u (t)p(s) = p'(t), а равенство {P, p', p') = (P, (7, p) не выполняется.

Свойство 2. Положение касательной прямой (M(t0), р'(^)) в VЕМ-пространстве не зависит от параметризации, а положение соприкасающейся плоскости (M(t0), р'(^), р'(^)) зависит от параметризации.

Кривую (2) в ЕМ-пространстве записываем в виде

p(s) = sa + г (s), (3)

где r (s ) = xP + у у + z5 = (x(s), y (s), z (s)) - евклидова кривая, лежащая в евклидовом подпространстве E3 пространства с нормированным растраном, см. п. 2.1, 2.2, растран которого есть (P, у, 5} , это 3-мерное евклидово векторное пространство.

3.2 Кривизны галилеевой кривой

Рассмотрим кривую (2) p(t) = (t, хг (t)), tє I, в ЕМ-, КЕМ-пространст-

вах в естественной параметризации. В ЕМ-пространстве используем разложение (3). Раст касательной кривой p(t) (2) таков:

т = р(t) = (1, (e -1)(хХ -X)) = а + (e -1)(r-г) в ЕМ-пространстве, і = 1, 2,3 ;

т = p(t) = (l, (e -1)(X1 - х1), (e -1)(X2 - х2), X3 ) в ^ЕМ-пространстве.

В окрестности обыкновенной точки P раст является единичным. Далее получаем

т = Р(t) = (О, (e _ 1)(X —X)) = (e _ 1)(r _ r);

т = p(t) = (О, (e -1)(X1 - х1), (e - 1)(X2 - х2), X3).

Раст p(t) является трансляцией, т.е. это евклидов вектор, поэтому p(t) L т . Вектор p(t) называется вектором главной нормали кривой p(t)

в точке P. Пусть Пі - единичный вектор главной нормали: р = (e -1)|^ - r ||щ ,

соответственно р =|р Пі . Величина

kl = Цг7 - r|| = —|р|| в ЕМ-пространстве,

kl = ||р| в ^ЕМ-пространстве

называется кривизной кривой p(t), точнее, первой кривизной кривой; выполняются равенства:

т = (e - 1)^Пі в ЕМ-пространстве; x = kln1 в ^ЕМ-пространстве.

Создадим ортонормированный репер (Р, т, щ, «2, «3) пространства М4 с началом в точке Р кривой и движущейся вдоль кривой вместе с изменением параметра t . Вектор «2 получим из равенства « =|«Ц «2 , «2 ^ «1, величина

|| = ^2 называется второй кривизной кривой,

«1 = ^2 «2 .

Четвертый вектор «з репера определим, положив «3 = «1 X«2. Имеем: «3 = «1 X «2 + «1 X «2 . Здесь «1 X «2 = £2 «2 X «2 = 0 . Из «2 ^ «2 следует

«2 е(«ь nз),

обозначим «2 = и«1 + у«2 . Вычислим: «1 X «2 = «1 X (и« + у«з ) = —у(« X «3) = = —у«2 . Таким образом, «3 = ^«2, £3 = _V = ||. £3 называется третьей кривизной кривой. Теперь «2 = и«1 — ^«3 . Так как «2 = «3 X «1 и «2 = «3 X «1 + «3 X «1 = -^«3 - ^2«1, то и = —2 . Поэтому

«2 = —^2«1 — ^3«3 .

При нахождении векторов «2, «3 и величин £2, £3 результаты в пространствах М3+1 и М4 одинаковы.

Мы получили формулы Френе для кривых галилеевых пространств

М4, М3+1:

т = &!«1, «1 = £2«2 , «2 = —2«1 — ^3«3 , «3 = ^3«2 .

3.3 Вычисление кривизн в пространстве Галилея М3+1, М4

_ 12 3

к -функция евклидова вектора а = (а, а , а , а ) определяется из ра-

||а X а'II , .

венства к(а ) = ----^ = |« 11, где |« (0| = 1; см. [2]. Она равна

к

(а ) =

2/3 3 /2'2

а а - а а

+ (3 - а3а/1 ) + (2 - а2^1)

(а1 Г+(а2 Г+(а3 Г

Для вычисления кривизн линий сначала найдем значения р, р, р , р в М3+1 для функции р(t) = (t,( ()):

р = (1, (е —1)(х'1 —х1), х 3); р = (0, (е —1)( х"1 — х1), х”3);

р = (0,(е —1)(х"1' — х1), х"3); (4)

47

р = (0, (е -1)(х'"' -X), х"*3), * = 1, 2 .

Используя к -функцию, определения кривизн и векторов сопровождающего репера, п. 3.2, получим вычислительные формулы для кривизн кривой. Введем обозначения:

п * т *1 п т #1

х - х = и ; х - х = и ; х - х = и ;

/3 г *ъ » г»Ъ м 3 ** • 1 л

х = и , х = и , х = и , х = и , * = 1,2.

Запишем вычислительные формулы с учетом введенных обозначений:

*1 =4(е - 1)2(и1)2 + (е -1)2(и2)2 + и)2 ;

*2 =

1

(е -1)2 (и1)2 + (е -1)2 (и2)2 + (и О2

(е -1)

2 т » /2

и и —и и

2 /1

и

1/2

*3 =

(е - 1)и1и" - и\е - 1)иг1 + (е - 1)и1и/2 - (е - 1)и

___________________________________________*1___________________________________________

[(е -1)и V - и и/2 ]2 + [и\т - и иг1 ]2 (е -1) + [и1и/2 - и2иг1 ]2 (е -1)2

X

/г /2

(е -1)

2 /г1

(е -1)

2 *2

,1/2 „/2/1

(е -1)

Вычислим производные растранной функции в М :

р = (1, (е -1)(хп -х*));

Р = (0, (е -1)(хп -хп));

Р = (0, (е-1)( хГ-хГ)); р = (0,(е-1)(х”* -х'*)), * = 1,2,3.

Воспользуемся обозначениями (4), считая, что х*3 - х/3 = и3 и т.д. Най-

дем кривизны *1, *2, *3:

к1 =4(и1)2 + (и2)2 + (и3)2 ;

к2 =■

2/3 3/2

и и - и и

1/3 3/1

и и - и и

1/2 2/1

и и - и и

2 ' 3'2

(и1)2 +(и2) +(и

*3 =

1Г 2 /3 3 /2 т "1 г 1 /3 3 /Ь Г 1 /2 2 /1 т »3 -1;

{[и и - и и ]и - [и и - и и ]и + [и и - и и ]и 1*1

1 2 3 3 2 2 1 3 3 2 1 2 2 1

и и - и и + и и - и и + и и - и и

Тем самым получены вычислительные формулы всех кривизн линий

4-мерных одулярных пространств с двумя видами растранов.

Список литературы

1. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПГУ, 2004. - 306 с.

2. Долгарев, А. И. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 2-11.

3. Долгарев, А. И. Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 1 (5). - С. 41- 54.

4. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977. - № 5. - С. 800-803.

Долгарев Артур Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

E-mail: delivar@yandex.ru

Подвалова Оксана Анатольевна

студент, Пензенский государственный университет

E-mail: delivar@yandex.ru

Dolgarev Artur Ivanovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Podvalova Oksana Anatolyevna

Student, Penza State University

УДК 514.126 Долгарев, А. И.

Кривые в галилеевых пространствах с 4-мерными растранами /

А. И. Долгарев, О. А. Подвалова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3 (11). -С.35-49.