Кривые 3-мерного галилеева пространства с растраном с 2-мерным временем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7

А. И. Долгарев, Е. В. Зелева

КРИВЫЕ 3-МЕРНОГО ГАЛИЛЕЕВА ПРОСТРАНСТВА С РАСТРАНОМ С 2-МЕРНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Аннотация. По кривизне и кручению кривой галилеева пространства с растраном с 2-мерным временем получены ее параметрические уравнения. Приведены примеры.

Ключевые слова: кривые 3-мерного галилеева пространства с растраном с 2-мерным временем.

Abstract. On curvature and twisted the curve Galilean space off rastran with 2-dimenzion time come of its parameter equation. To bring example.

Keywords: Curved 3-dimensional Galilean space rastranom with the 2-dimensional time.

Одулярные пространства введены Л. В. Сабининым в 1977 г. [1]. Пространства с одулями Ли в аксиоматике Г. Вейля называются ВО-пространст-вами, изучаются в [2]. Имеется несколько видов 3-мерных растранов [2, 3], один из них определен в [3], это W-растран, на котором введена галилеева норма с 2-мерным временем. Операции, задающие растран на действительном многообразии R , могут быть различны. В зависимости от выбранных

операций на R3 может получиться одна и та же алгебраическая структура, но определенные по разному операции выделяют ее различные свойства, позволяя получить различные геометрии с этой структурой. На основании свойств W-растрана из [3] ниже устанавливается, что W-растран является и V-растраном, т.е. является прямой суммой 2-мерного растрана и 1-мерного евклидова векторного пространства. Операции, определяющие W-растран, сообщают ему новые качественные свойства, приводящие к своеобразной галилеевой геометрии с 2-мерным временем. Изучение пространства с W-растраном начато в [3]. Ниже рассматриваются регулярные кривые галилеева пространства с W-растраном, определена их кривизна. Кручение кривых оказалось равным нулю. Скалярная функция кривизны является натуральным уравнением кривой - получено параметрическое задание кривой по функции ее кривизны. Приведены примеры нахождения векторного описания кривых по скалярной функции кривизны.

1 Пространство с W-растраном размерности 3, время в котором 2-мерно

1.1 W-растран размерности 3 с галилеевой нормой

3

На многообразии R троек действительных чисел W-растран задается следующими операциями:

(х1, х2, х) + (y1, y2, y) = (x1 + y1, x2 + y2, xey+y + y); (1)

t (x1, x2, x) =

^ e( x1 + x 2)t 1 ^

1 2 e 1

tx , tx , x 1 2

ex+x -1 ,

x1 + x2 Ф 0;

¿(х1, х2, х) = (¿я1, tx2, ¿х), x1 + x2 = 0, t е Я, (2)

3

см. [3]. Обозначение 3-мерного '-растрата: Р^ - это действительный одуль Ли, его элементы называются растами и обозначаются строчными греческими

1 2 - 1- 2

буквами. Нулевым растом является # = (0,0,0); раст -р = (-х , -х , -хе х х )

1 2

противоположен расту р = (х , х , х). Третья компонента результатов операций зависит от первой и второй компонент, поэтому они являются ведущими компонентами. Первые свойства '-растрат изучаются в [3].

Обозначим:

(1,0,0) = у, (0,1,0) = Р, (0,0,1) = у .

1 2

Всякий раст р = (х , х , х) однозначно представляется в виде разложения

12 12

р = (х ,х ,х) = х а + х Р + ху,

1 2

поэтому (а, Р, у) = Б является базисом '-растрата, числа х , х , х называ-

1 2

ются координатами раста р = (х , х , х) в базисе Б . Расты а, Р перестановочны, порожденный ими подрастран <а, Р> = Ь является 2-мерным действительным линейным пространством. Расты а, у и Р, у не перестановочны, они порождают 2-мерные растраны. Раст у порождает 1-мерный подрастран

<у> = Ь1, '-растран есть полупрямая сумма линейных пространств:

р3= Ь2 - Ь1.

Галилеевым скалярным произведением ра растов р = (х1, х2, х) и 1 2

а = (у , у , у) называется число, определяемое следующими условиями:

[ (х1 + х2)(у1 + у2), если х1 + х2 Ф 0 или у1 + у2 Ф 0; ра = <

12 12 [ ху, если х + х = у + у = 0.

Согласно [3], галилеева норма ||р|| раста р = ( х1, х2, х) равна

х1 + х2 , если х1 + х2 Ф 0;

(3)

1 2 х |, если х + х = 0.

Первые две компоненты х1, х2 раста р = (х1, х2, х) называются временными, а третья - пространственной. Мы имеем растран с 2-мерным временем, 3 2

его обозначение Р^ . Обе временные координаты растов являются ведущими. Это означает, что время имеет воздействие на пространственную компо-1 2

ненту события (х , х , х). Проявляется воздействие в формулах операций над растами и далее в дифференцировании растов. Раст р называется евклидо-1 2

вым, если х + х = 0, среди них раст р = (0,0, х); евклидовы расты также на-56

зываются векторами; для них используются и обозначения а,..., г,... Линейное пространство <у> = Ь1 превращается в евклидово векторное пространст-

1 2 во V . Линейное пространство <а, Р> = Ь становится 2-мерным временным

векторным пространством со скалярным произведением, однако это скалярное произведение векторов своеобразно: скалярное произведение Ац векто-

12 12 1212 ров А = (х , х ,0) и ц = (у , у ,0) равно Ац = (х + х )(у + у ); скалярный

2 12 2 12 квадрат: А = (х + х ) , теперь норма | А | вектора А такова: | А | = | х + х |.

Раст р называется галилеевым, если хотя бы одна ведущая компонента ненулевая. Два раста являются перпендикулярными, если один из них евклидов, а

другой - галилеев. Обозначаем временное пространство через Т2 . Существует полупрямое разложение:

Р3,2 = Т2 - V1.

12 12 Раст р = (х , х , х) имеет временную составляющую А = (х , х ,0) и

пространственную, векторную, составляющую г = (0,0, х):

р = (х1,х2,х) = (х1,х2,0) + (0,0,х) = А + г .

В Т2 существует изотропное направление, определяемое галилеевым растом т = ^, -,0), тФ#,| т|=0. Однако направление т не изотропно в

3 2

'-растране Р^ .

Растранная функция р^) есть упорядоченная тройка

12 12 р^) = (х ^), х ^), х^)) действительных функций х ^), х ^), х^) действительного параметра t с общей областью определения t е I с Я . Считаем, что

12 3

х (¿), х (¿), х(0 есть функции класса С , растранная функция р(0 прини-

3 2 3

мает значения на растране Р^ , ее класс тоже С . Производная растранной

функции на '-растране, по [3], равна

р'а)=

х'ц), *'2«), Г А')+м!

х'(')

\\

X (') + X (')

— х(ґ)

для х'1 + х'2 Ф 0 . (4)

/у

В изотропном временном направлении т производная растранной функции находится как производная векторной функции:

р'^) = (х'1 ^), х'2 ^), х([)), х1 + х2 = 0 . (5)

1 2

В частности, если функции х ^), х (¿) принимают постоянные значе-

ния, то

( (г \

р'(') = (С,х2('),х(0)) = 0,х'2('),(ех'2(') -іу

х'(' ) х'2(')

- х(')

/у

(

р'(') = (('),С,х('))) = х'1('),0,1 ех'1(') -1

х'(' ) х'1(')

- х(')

у

(С, С, хЦ))' = (0,0, x'(t)).

В первом и втором случаях формулы дифференцирования растранных функций такие же, как для 2-мерных растранных функций, т.е. как для функций со значениями в однородном растране [2, с. 126]. Правила дифференцирования векторных функций на растранные функции не распространяются; в том числе производная суммы растранных функций не равна сумме производных этих функций.

1.2 '-растран и V-растран

В работе [3] перечислены действительные растраны размерности 3, ;ден и 1 операциями

3 3

приведен и У-растран Ру, который может быть на многообразии Я задан

(х, х , х ) + (у, у , у ) = (х + у, хеу + у , х + у );

' (х, х1, х2) =

(

х' 1 ^

1 е -1 2 х', х ---------------------, х '

ех -1

, х Ф 0; '(0,х1,х2) = (0,х1',х2'), 'є Я ;

причем -р = (-х,-х1е х,-х2). Если (1,0,0) = а, (0,1,0) = Р, (0,0,1) = у, то вся-12 3

кий раст р = (х , х , х) из Ру однозначно представляется в виде разложения

12 12

р = (х ,х ,х) = х а + х Р + ху,

и (а, Р, у) = Б является базисом У-растрана.

3

В '-растране Р^ рассмотрим раст 8 = Р-а. Его координаты: 8 = (-1,1,0). Вычисляем коммутаторы:

[ 8, у] = -8-у + 8 + у = (1, -1,0) + (0,0, -1) + (-1,1,0) + (0,0,1) = #,

[8, а] = #, [у, а] = (е - 1)у .

Подгруппа <а, 8,у > группы (Р^, +) имеет генетический код:

< а, 8,у >= (а, 8,у| [8, а] = [у, 8] = #, [у, а] = (е -1)у) .

Эта подгруппа содержит раст 8 + а = Р- а + а = Р, следовательно,

3 3 3

<а, 8, у > = Р(у и одули Ли Р^ и Ру совпадают, как алгебраические структу-

3 2 1

ры. Имеет место разложение Р(у = Р + Ь . Таким образом, различные виды операций на одном и том же одуле Ли выделяют различные свойства одуля Ли, что естественно приводит к различным геометриям с одним и тем же одулем Ли, построенным в одной схеме.

1.3 Пространство-время с '-растраном с 2-мерным временем

Пусть Л - непустое множество, элементы которого называются точками и обозначаются А, В,... Рассматривается отображение пар точек

3 2

в '-растран Рф , удовлетворяющее аксиомам Г. Вейля аффинного пространства, в которых линейное пространство заменено '-растраном [3], это одно из вейлевских одулярных пространств - ВО-пространств [2]. По размерности

3 2

'-растрат Рф оно считается 3-мерным, называется 'Л-пространством

3

и обозначается Лф . В работе [2, с. 136] введено ВО-пространство с однородным растраном, называемое ЛМ-пространством, а также ЕМ-пространство -это ВО-пространство с нормированным однородным растраном. Изучаем 3

'Л-пространство Лф , используя аналогию с ЛМ- и ЕМ-пространствами.

33 Точка О из Лф и базис Б = (а, Р, у) '-растрана Рф задают репер

33 В = (0, а, Р, у) 'Л-пространства Лф . Всякой паре точек (А, В) из Лф соот-

1 2

ветствует единственный раст АВ . Если ц = ОМ = (х , х , х) в базисе Б, то

12 12 координаты точки М в репере В есть М(х , х , х). Две точки А(а , а , а) и

1 2

В(Ь ,Ь ,Ь) определяют раст

АВ = (Ь1 - а1, Ь2 - а2, Ь - аеЬ +Ь"-а'-а") . (6)

1 2

Точка А и раст р = (г , г , г) порождают прямую < А, р>, параметрические уравнения которой таковы:

х1 = ¿г1 + а1, х2 = ¿г2 + а1, х = ге—■—--1 + ае(г +г )г. (7)

е(г+г ) -1

1 2

В случае г + г Ф 0 уравнения прямой < А, р > нелинейны; если 1 2

г + г = 0 , то уравнения прямой являются линейными:

х1 = ¿г1 + а1, х1 = ¿г1 + а1, х = Л + а . (8)

Уравнения прямой < А, р > нелинейны, если раст р прямой галилеев и его временная составляющая неизотропна; и линейны в случае, если временная составляющая раста этой прямой изотропна или раст прямой евклидов.

На '-растране рассмотрим галилееву норму (3), т.е. рассматриваем '3 2

растран Рф . Введение нормы превращает 'Л-пространство в 'М3

пространство-время Мф , время в котором 2-мерно. Всякое событие

12 3 12

М(х , х , х) в Мф имеет две временные координаты х , х и одну пространственную координату х .

Всякие два базисных раста порождают 2-мерные подрастраны, подра-

2

стран <а, Р> коммутативен, является векторным пространством Т , подра-

страны <а, у> и <Р, у> являются 2-мерными подрастранами. В указанных подрастранах операции (1) и (2) принимают, соответственно, следующий вид:

- в < а,Р > : (х1,х2,0) + (у1,у2,0) = (х1 + у1,х2 + у2,0);

t(х1, х2,0) = (¿х1, ¿х2, 0), х1 + х2 Ф 0; t(х1, х2,0) = (¿х1, ¿х2,0), х1 + х2 = 0, t е Я ;

- в < а,у > : (x1,0, x) + (y1,0, y) = (x1 + y1,0, xey + y);

A — 1

t(x1,0, x) = (tX, 0, x—1----), x1 Ф 0; t(0,0, x) = (0,0, tx), t є R ;

X 1

e — 1

- в <Р, у > : (0, х2, х) + (0, у2, у) = (0, х2 + у2, хеу + у);

ех2' -1

'(0,х2,х) = (0,'х2,х—--), х2 Ф 0; '(0,0,х) = (0,0,'х), 'є Я .

х2

е -1

Координатная плоскость < О, а, Р > является 2-мерным временным

1 2

пространством, состоит из точек-событий (х , х ,0). Как уже отмечалось, со-

1 2

гласно определению галилеевой нормы (3), норма раста р = (х , х ,0) равна

11р|| =1 х1 + х2 | .

12 12

По формуле (6) расстояние между событиями A(a , a ,0) и B(b , b ,0)

равно

I AB I = I b1 + b2 — a1 — a 2I .

Координатная плоскость < О, а, у> состоит из событий (х1,0, х). На основании (3) для растов р = ( х1,0, х) имеем

если x1 Ф 0;

I x I, если x1 = 0.

Расстояние между событиями A(a1,0, a) и B(b1,0, b) по (6) таково:

I AB I=

b1 — a1

, если b1 Ф a1;

b — a I, если b1 = a1.

Это обычная галилеева плоскость с нормированным растраном такая

3

же, как галилеевы плоскости в ЕМ-пространстве M с однородным норми-

3

рованным растраном P , см. [1].

Свойства координатной плоскости < O, ß, у> такие же, как и галилеевой координатной плоскости < O, а, у >.

12 12 События М одновременны с событием А (а , а , а), если М (а , х , х)

12 12 12 или М(х , а , х), или М(а , а , х). Множество событий М(а , х , х) составляет галилееву плоскость < А, Р, у>, проходящую через точку А и опреде-

1 2

ляемую растами а, у ; множество событий М(х , а , х) составляет галилееву

1 2

плоскость < А, а, у > . Множество событий М(а , а , х) совпадает с пересечением плоскостей < А, Р, у > и < А, а, у > , это прямая < А, у > .

На основании (3) заключаем, что галилеево 'М-пространство-время

3

Мф не содержит евклидовых плоскостей.

2 Кривые 'М-пространства

2.1 Регулярные кривые

3

Кривой или линией в 'М-пространстве Мф называется отображение

3

р некоторого числового интервала I с Я в пространство Мф. Числу t со-

3

ответствует точка М из Мф , которая является функцией параметра t, пробегающего интервал I. Класс отображения называется классом кривой. Рассматриваются кривые класса С3. Кроме того, считаем р'Ф#, т.е. кривые считаем регулярными. Точки регулярной кривой называются обыкновенными. Изучаем кривые в окрестности их обыкновенных точек. Положим: 1 2

М^) = (х ^), х ^), х^)). Кривая является следующим множеством точек:

I = { ОМ| ОМ = р(0, t е I} ,

точка М определяется растом ОМ = р^) и описывается векторной функцией

р = р^) = (х1 ^), х2 ^), хЦ)), t е I. (9)

1 2

Функция р^) = (х , х , х), компоненты которой задаются равенствами

(7) или (8), является регулярной класса С3 , р'^) Ф # . Такая функция задает прямую линию.

3

Вдоль регулярной кривой р^) 'М-пространства Мф определено касательное отображение в '-растран Рф . Точке Р^) кривой (9) соответствует раст касательной р'^) (4).

1 2

Пусть в (9) функции х ^), х (¿) непостоянны. Ввиду регулярности

12

кривой (9) эти функции обратимы. Используя t = t(х ) или t = t(х ) от параметризации (9) переходим к параметризациям

р(х1) = (,х2(х1),х(х1)| или р(х2) = ((х2),х2,х(х2)).

1 2

Учитывая, что первая и вторая компоненты векторов р(х ), р(х ) яв-

1 2

ляются временными, и обозначая параметры t , t , перепишем полученные функции в новых обозначениях:

р('1) = (, х2('1), х('1)), и р('2) = (х1('2), '2, х('2)). (10)

В общем случае в задании кривой одна временная компонента есть функция другой временной компоненты. Если такой зависимости не существует, то кривые в 'М-пространстве задаются функциями

полученными из (10). Это линии в 2-мерных подпространствах 'М-прост-ранства, являющихся галилеевыми плоскостями с растраном. Такие кривые изучаются в [2, с. 137-148]. Из кривых (10) достаточно рассмотреть первую, свойства второй кривой такие же, как свойства первой. Ниже рассмотрим случай зависимости временных компонент в задании кривых, но учитываем и независимость этих компонент.

называется естественной, если параметр 5 есть длина дуги кривой, отсчитываемый от некоторой ее точки. В этом случае вектор касательной г к кривой имеет постоянную единичную длину. Производная г вектора касательной г

функция кривизны кривой г (5). В этой же схеме изучаются кривые галилеевых пространств. В одулярных галилеевых пространствах с 1-мерным временем, в том числе и в случае, если одуль пространства является векторным пространством, рассматриваются кривые в естественной параметризации

параметр t есть время. Длина дуги кривой от точки Р(^) до точки М^) равна 11 - ¿0 |, одуляр производной со является галилеевым, норма одуляра производной | ю | постоянна и равна 1; одуляр производной второго порядка ¿о является евклидовым вектором, перпендикулярным к ю; | ю | есть функция кривизны галилеевой кривой ).

3

Для кривых 'М-пространства Мф введем естественную параметризацию. Для того чтобы параметр t кривой (9) был естественным, должны выполняться условия:

От параметризации (9) переходим к параметризации вида (10); записываем функцию (9) в форме

р('1) = (,С,х('1)), и р('2) = (С,'2,х('2)),

(11)

2.2 Естественная параметризация кривой

Напомним, что параметризация кривой евклидова пространства г(5) = (х(5), у (5), г(5))

ему перпендикулярна, определяет главную нормаль кривой г (5), | г (5) | есть

ю(') = (',х('),у(')) ,

р (') - евклидов раст.

Записываем эти условия в координатах:

х1 + х2 = 1, х1 + х2 = 0.

(12)

р(') = (Р', х2 ('), х(')) , Р Ф 0 , Р = СОП8І . (13)

Здесь х1 = р'. Условия (12) означают:

р + х2

= 1, х2 = 0,

откуда следует, что

х2(') = (1 - р)' + с.

Можно считать с = 0 . Кривая (13) приобретает вид

р(0 = (р^(1 - рУ,х(0), tе I с Я . (14)

Полученная параметризация включает в себя оба случая (11) при р = 1 и при р = 0 .

Раст производной первого порядка функции (14) таков:

р = ( Р,1 - Р,(е -1)( х -х)). (15)

Согласно (3) в любой точке кривой (14): ||р ^) = 1. Это единичный галилеев раст. Пусть Р(^) = р(to) - фиксированная точка кривой (14),

М^) = р^) - ее произвольная точка. Находим:

-р(^) + P(t) = (Р^ - ¿0), (1 - Р)^ - ¿0), х^) - x(to )ег-?0),

| РМ |=| р(: - ¿0) + (1 - р)^ - ¿0)|=и - ¿0 | .

Таким образом, получена естественная параметризация (14) кривой

3

'М-пространства-времени Мф .

2.3 Кривизна и кручение кривой

Как во всех галилеевых пространствах, см. [2], кривизну кривой (14)

3

пространства Мф в естественной параметризации определим на основе нормы второй производной р. Дифференцируем функцию (15) согласно п. 1.1:

р ^) = (0,0, (е - Щх^) - х ^)). (16)

Норма раста р есть

||р|| = (е -1)|х - х|.

По аналогии с теорией кривых ЕМ-пространства с однородным растра-ном полагаем по определению

к=- 1 """

е -1...

или в координатах:

к = |х - х|, (17)

кривизна кривой (14) равна норме раста второй производной от функции, задающей кривую в естественной параметризации. Функция

к ^) = х^) - х^) (18)

называется функцией кривизны кривой (14).

Кручение кривой всякого галилеева пространства определяется как

норма производной V , где у=р [2]. По формуле (17), у = (0,0, е -1), вектор

к

постоянен, V = #. Поэтому кручение всякой кривой галилеева пространства

3

Мф равно нулю.

Для примера подсчитаем кривизну прямой линии 'М-пространства-

времени Мф. Прямая < А, р> обладает следующим свойством: если

а = ¿р, : Ф 0, то < А, р > = < А, а >. Пусть прямая < А, р > определяется га-

12 12

лилеевым растом р = (г ,г , г), т.е. г + г Ф 0. Возьмем раст а = ир, где

1 г1 е -1

и = —----2. Тогда а = (р, 1 - р, 5), где р = —;--2, 5 = —-1---. Всякая прямая

г1 + г2 г1 + г2 еи -1

1 2

с галилеевыми растами, проходящая через точку Н(И ,И ,И), описывается параметрическими уравнениями вида (7):

е 1

х1 = p: + И1, х2 = (1 -р): + И2, х = 5-----+ Ие:. (19)

е -1

Эта параметризация тоже является естественной, т.к. условия (12) выполняются. Находим

5 ^1/^" 5 : , 1 : •• * с\

х =----е + Ие , х =----е + Ие ; х - х = 0.

е -1 е -1

По формуле (17) кривизна прямой линии с галилеевыми векторами равна нулю.

Прямая (8) определяется евклидовым вектором, для которого 1 2

г + г = 0. В таком случае расстояния по прямой измеряются по третьей компоненте, а эти расстояния евклидовы. Кривизна евклидовой прямой равна нулю.

2.4 Натуральные уравнения кривой

3

В геометрии пространства Мф , как и в других геометриях, возникает задача о нахождении кривой р^) по заданной функции кривизны. Если функция кривизны к^) известна, то, по (18), задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения

х - х = к^). (20)

Замена х = и позволяет понизить порядок уравнения

и - и = к ^).

Решением последнего уравнения является функция и ^) = (к к(¿) е-1^ + с | е1, теперь решение уравнения (20) находится в результате интегрирования:

х = I(I^(¿) е-1^ + с| е1 & . (21)

Единственность решения уравнения (20) обеспечивается начальными условиями:

: = ¿0, x(:o) = х0, х(^) = х0.

По найденной функции х = х(^) - решению уравнения (20), записываем параметрические уравнения кривой с полученной пространственной компонентой (21) при условии, что задано направление во времени т = (р,1 - р,0), р - постоянная,

р(:) = (p:, (1 - рУ, I к к к) е-1& + с | е1&). (22)

Кривизна найденной кривой рк) равна модулю заданной функции | к(¿) |. Таким образом, функция кривизны к (¿) является натуральным уравне-

3 3 2

нием кривой галилеева 'М-пространства-времени Мф с растраном Рф

с 2-мерным временем.

Приведем примеры получения векторных функций, описывающих кривую, по заданной скалярной функции кривизны.

Пример 1. к к) = к - кривизна линии постоянна.

Находим функцию х = х([) по формуле (21):

хк) = 11 ке~1Ж + С11 е1 Ж = I(-ке- + С1) е1& =

= I (-к + C1e:) Ж = -Ы + C1e: + С2.

Пусть направление во времени есть т = (р,1 - р,0), р - постоянная. Имеем кривые:

рк) = (p:, (1- р), -к + Сег + С2).

Все указанные кривые имеют кривизну к . В частности:

- если р = 0, то рк) = (0,:, -Ы + С^г + С2);

- если р = 1, то рк) = (¿, 0, -Ы + С^г + С2).

В случае к Ф 0 начальные условия ¿0 = 0, х0 = 0 , х0 =-к выделяют

кривую

р(:) = (p:,(1- рУ, -к).

При к = 0 функция (21) есть х^) = С^1 + С2 . С начальными условиями

5.5

¿0 = 0, х0 =-, х0 =----------V а получаем линию

е -1 е -1

р(') =

ч е' - 1

р',(1- р)', 5---------------V а'

е -1

Полученная растранная функция описывает прямую < А, р >, где А(0,0,а), р = (р,1- р,5), см. (19).

Пример 2. к^) =:. Имеем

х(') = |—'е '& + С ) е) = |((-'- 1)е ' + С

' 2

= Г (-' -1 + С1е' )ё' =------' + С1е' + С2.

2

Получено семейство кривых вида (21) р(') =

еа' =

( '2 ^ р', (1 - р)', - — - ' + С^ + С2

В случае к (') =' определяется семейство

( '3

р(') = р',(1 - р)', - — -'2 - 2' + С^г + С2

Л

Вообще, для функции кривизны к (') = 'п

х(') = Г (Г 'пе~'а'+ С1) е) = Г ( + п Г 'п-1е-'а' + С1е')' =

п+1

= Г('п + е'пГ'п~ 1е-'а' + С1е') )' = —1 + пГе'Г'п-1е-'а' +Схе' + С2 .

Таким образом, степень параметра ' в подынтегральном выражении уменьшилась на 1; применяя рекурсию, находим х('). Но возможен другой

способ решения - представить интеграл ^'пе-1ё' в виде суммы ряда, тогда

х(') = Г—'пе~1Ж + С1) е) =

= Г(е-'(-'п-п'п_1 -п(п- 1)'п-2- ... -(п-1)!'-пі) + С1) е) =

= ГХ'п ~п'п_1 ~п(п- 1)'п_2- ... -(п-1)!'-п!+ С1е') )' =

'п+1 п!' 2

=-'п -п'п-1 -п(п-1)'п-2- ... —!-------------п!' + С1е' =

п +1 2

= __+_ Ц 'ісп^+і^+се +С2.

п +1 гг /!

і=1

Получается соответствующее семейство кривых р^) с функцией кривизны к(¿) = ¿п .

Пример 3. Функция кривизны к(') = -

(1 -' )2

определяет пространст-

венную составляющую х(') галилеевой кривой р(')

х(')=|[ Г

'е

-'

(1 -' )2

‘ + С1

Л

е'ж = Г 1— + С1

I-'

е1ё' =

:|( -р-+с1е' ^ а' = -іп\-'+1 + с1е' + с2

и семейство кривых р(') вида (22) с полученной функцией х(') пространственной составляющей.

Пример 4. к (') = — . Находим рекурсивную формулу для х(') из (21): 'п

х(') = /I/£

+ С

Л е'а' = г(-------------е-.

1 ге

(п - 1)'п-1 п -1- '

Л

+ С

егё' =

■л

' -'

е ге

(п - 1)'п 1 п -1- '

1

(п - 1)(п - 2)' Возможен другой вариант:

1 е ге а' '

-I------г + С1е'

Р 'п-1 1

I +С1«'.

п -2

п -1" '"

х(')=ГІГ V

‘ + С1

е а' =

( е-'

(п -1)'п -1 (п - 1)(п -2)'п -2

(-1)пе~' + (-1)п -1 ¡е~'с" (п -1)!' п-

1 (-1)п

Л

(п - 1)(п - 2)'п-2 (п - 1)(п - 2)(п - 3)'п -3

+ . . . -

+С 1 ^ ' 1

У

1п '| +

е а'=

(-1)п-1 г '¡е-'аг „ '

+-----------1 е |---------а' + с^ =

(п -1)! (-1)п

1

(п-1)! 1

1п ' +

'

(-1)пЧ г.<

(п - 1)(п - 2)'п -2 (п - 1)(п - 2)(п - 3)'п -3

+ ...

е I 1п '-------------------V

2 3

' '2 '3

(п -1)М' (п-1)М I 11 1! 2 • 2! 3 • 3!

и семейство кривых р(') вида (22).

-+ ...-

(-1)п'п

п • п!

+...

+ С1е

'

Пример 5. Для функции кривизны k(t) = sin t получаем

x(t) = J|J"e~l sintdt + Cj j eldt = J^ sin ^ cost e~t + c j etdt = rí -sint-cost tj cost sint t

= Jl--------2-+ C1e I dt = “2-----2~+ CJe + C2 .

В случае k(t) = sinn t для x(t) имеется рекурсивная формула x(t) = J(Je-t sinn tdt + Cj) etdt =

• n —1

Г / — t sin t . . n 1 í* —t . n—2 i ^ \ ti

= I (e ----2—(-sint-ncost) H--------I e sin tdt + Ccj) e dt =

J n2 n J

= Д- J e-r sinn -11 • (-sin t-n cos t)dt + n—1 J J e-t sinn -2 tdtdt +Qer.

n2 n

Далее записывают кривые вида (22).

Список литературы

1. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977 - № 5. - C. 800-803.

2. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств. / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2005. - 306 с.

3. Зелева, Е. В. Растран с 2-мерным временем / Е. В. Зелева, А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 3. - С. 30-38.

Долгарев Артур Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Dolgarev Artur Ivanovich

PhD in Mathematics, associate professor,

sub-department of mathematics

and supercomputer modeling,

Penza State University

Зелева Елена Владимировна студент, Пензенский государственный университет

Zeleva Elena Vladimirovna

graduate student,

Penza State University

УДК 514.7 Долгарев, А. И.

Кривые 3-мерного галилеева пространства с растраном с 2-мерным временем / А. И. Долгарев, Е. В. Зелева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1 (9). -С.55-68.