CC BY
33
МАТЕМАТИКА
УДК 514
А. И. Долгарев, О. А. Подвалова
КРИВЫЕ ПОСТОЯННЫХ КРИВИЗН НЕКОММУТАТИВНЫХ ГАЛИЛЕЕВЫХ 4-МЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ С РАСТРАНАМИ
Аннотация. Установлено, что в некоммутативных 4-мерных галилеевых пространствах с растранами двух видов кривые, все кривизны которых постоянны, имеют третью кривизну, равную нулю.
Ключевые слова: кривые 4-мерного пространства Галилея, растран, постоянные кривизны.
Abstract. Found that in the noncommutative 4-dimensional Galilean space with rastran two kinds of curwes, all which curvature are constant, have the third curvature equal to zero.
Keywords: curves of 4-demensional of Galileo, rastran, constant curvature.
Введение
Ранее [1, 2] были описаны кривые постоянных кривизн в 4-мерном пространстве-времени Галилея с коммутативной геометрией. Исследована зависимость между кривыми 4-мерного пространства Галилея и кривыми 3-мерного евклидова пространства. Получены соотношения между их кривизнами. Установлено, что условие постоянства всех кривизн кривой 4-мерного пространства Галилея влечет вложимость кривой в 3-мерное пространство. Ниже изучаются кривые постоянных кривизн в некоммутативных геометриях галилеевых пространств размерности 4, построенных на двух различных рас-транах. Оказалось, что все теоремы, справедливые для коммутативной геометрии пространства-времени Галилея, выполняются и в некоммутативном случае. Установлено, что третья кривизна линии, кривизны которой постоянны, обращается в нуль, а по заданной кривой скорости и начальным условиям однозначно определяется кривая.
1. Некоммутативные галилеевы пространства
1.1. ВО-пространство
Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получаем вейлевское одулярное пространство, кратко ВО-пространство, геометрия которого некоммутативна, если одуль Ли некоммутативен. ВО-пространство обозначаем W, его точки: A, B,...,M,..., одуль Ли: й = (й, +,(+)), элементы одуля - одуляры - обозначаются а, Р,..., ц,... Относительно внутренней операции (й,+) есть группа Ли, R есть поле действительных чисел, числа обозначаем латинскими буквами. Одули над кольцом
определены Л. В. Сабининым в [3], одули Ли и ВО-пространства рассматриваются в [4]. К ВО-пространствам относится и аффинное пространство.
1.2. Растраныразмерности 4 В работе [5] приведены два вида 4-мерных растранов, заданные операциями на Я 4.
I. Однородный растран Р4 определяется операциями:
(х, х1, х2, х3 )у, у1, у2, у3 )х + у, XV + у1, х2еу + у2, х3еу + у3);
(|х,х1,х2,х3 )
( х1 Л х1 Л х1 1
1 е -1 2 е -1 3 е -1
х1, х -----------------, х -, х ----
х 1 х 1 х 1
^ е -1 е -1 е -1 у
t|о,х1,х2,х31 = ^О,х1^х2^х3V|, )е Я .
х Ф 0;
Нулевой раст: # = (0,0,0,0); раст -р = |-х,-х1еу,-х2еу,-х3еу ) проти-
( Xt Л х^ Л \
1 е -1 2 е -1 3
xt, х -------------------------------------, х -, х V
ех -1 ех -1
х Ф 0;
воположен расту р.
II. У-растран Р3+1 задан операциями:
(х, х1, х2, х3 )у, у1, у2, у3 )х + у, х1еу + у1, х2еу + у2, х3 + у3);
V |х, х1, х2, х3 )
V^0,х1,х2,х3) = ^0,x1t,х2t,x3t), Vе Я.
123 / 1 2 3 \
Нулевой раст: х = (у, у , у , у ); раст -р = 1-х, -хеу, -х еу, -х I противоположен расту р.
12 3
В каждом растране расты (0, х , х , х ) называются трансляциями, рас-12 3
ты (х, х , х , х ), х Ф 0, называются расширениями. В дальнейшем, если не будет специально оговорено, будем оба 4-мерных растрана обозначать Р4 .
1.3. Скалярное произведение растов
12 3
Галилеево скалярное произведение растов р = (х, х , х , х ),
12 3 12 3
т = (у, у , у , у ) и галилеева норма раста р = (х, х , х , х ) соответственно
равны:
Г ху, если х Ф 0 или у Ф 0;
р^ = I 11 22 33
I х у + х у + х у , если х = у = 0;
|х|, если х Ф 0;
[V(х1)2 + (х2)2 + (х3)2, если х = 0.
Трансляции каждого из растранов составляют 3-мерное евклидово векторное пространство V3 . Трансляции являются векторами, используется векторная символика.
1.4. Дифференцирование на растране Производная растранной функции
р(У) = (x(t), x1 (V), x2 (V), x3 (V)), t є I с Я,
согласно [5], вычисляется по формуле
p'(t)=x), ^ (t)
x'(t),(ex'(t) -1)
' - xi (t)
x'(t)
yj
В частности, если x(t) = t, то
p'xt) = (1,(e -1)(x"(t) -xi(t))), i = 1,2,3;
Производная V-растранной функции такова:
/
p'(t) = (x(t), xl (t) ) =
{ x'(t),(ex'(t) -1) [^ - x1(t) ^ x (t)
,(ex'(t) -1)
, x '3(t)
p^t ) = ^1,(e -1)( xl (t) - xl (t)), x'3(t) ), i = 1,2; при x(t) = t.
Если x(t) = const, то растранные функции дифференцируются как векторные. Правила дифференцирования растранных функций не совпадают с правилами дифференцирования векторных функций, т.е.
/ /
(p + a)' Фp' + a', xcp) Ф cp', ^p) Ф u'p + up'.
2. Кривые 4-мерных галилеевых пространств с растраном
2.l. Галилеевы 4-мерные пространства с растраном
ВО-пространство, в растране P4 которого введена галилеева норма,
называется ЕМ-пространством, см. [4], пространство обозначается M4, ВО-пространство с V-растраном Pv3+1 называется VЕМ-пространством и обозначается M3+ 1, см. [5]. Далее рассматриваем кривые ЕМ-пространств как M4, так и M3+1.
Ортонормированный репер ЕМ-пространства обозначаем B =(G,а,i, j,k), здесь ||а|| = 1, xi, j,k) - ортонормированный базис вектор-
3
ного пространства V трансляций растрана ЕМ-пространства.
Обозначаем кривые:
р = р^) = ( х^),х (t)), tе I с Я . (1)
Дифференцируемой кривой класса Ск ЕМ-пространства М4 (М3+1) называется дифференцируемое отображение класса С интервала I в М4 (М3+1). Рассматриваем регулярные кривые класса Ск, это кривые (1), для которых р',(t) Ф # и расты р'^), р*(t) независимы (неколлинеарны). Через каждую точку ЕМ-пространства проходит единственное евклидово 3-мерное подпространство, это подпространство есть < О, 1, /, к > .
2.2. Естественная параметризация кривой Считаем, что в (1) х' х ) Ф 0 . Функция х^) обратима, и функция (1) записывается в виде р(х) = р(х,хг (х)). Переобозначая параметр, имеем
р^) = (t,х1 х)), tе Iс Я. (2)
Согласно формулам дифференцирования растранных функций, п. 1.4, р'(t) Ф # и расты р' ^), р'(t) независимы. Для tl, t2 е I, t2 > ^ , имеем:
P(t2) -р(^) = t2 - tl. Таким образом, (2) - это естественная параметризация
кривой ЕМ-пространства.
2.3. Кривизны галилеевой кривой
Рассмотрим кривую (2) р^) = (,х1 х)), tе I, в ЕМ-, УЕМ-пространст-
вах в естественной параметризации. Евклидову проекцию кривой (2) обозначаем
F(t) = (х1 ^)) = (х1 (t), х2 (t), х3 (t)),
тем самым кривая (2) представляется в виде разложения на временную и пространственную (евклидову) составляющие:
р^) = ta + г X).
Составляющая г х) является векторной.
Раст производной функции (2) согласно п. 1.4 в пространстве М4 равен т^) = р(t) = (1,(е -1)х х) - х1 х))), 1 = 1,2,3,
и в пространстве М3+1 равен
т(t ) = р^) = х 1,(е -1) (х1 (t)- х1 (t ),(е -1) (2 (t)- х2 (t)), х3).
По галилеевой норме раст касательной кривой (2) галилеевых пространств М4 и М3+1, рассматриваемых в окрестности обыкновенной точки Р, является единичным.
6
Как и в [4], убеждаемся, что положение касательной к линии ЕМ-про-странства не зависит от параметризации линии. В конце п. 1.4 отмечено, что функции вида т^ ) = р(0 дифференцируются как векторные. Получаем:
Раст р(^ евклидов, поэтому р±т. Вектор Т = р называется вектором главной нормали кривой р(^ в точке Р. Величина
называется первой кривизной кривой р^), единичный вектор главной нормали кривой обозначим «1.
Выполняется равенство:
Получим векторы сопровождающего репера (Р, т, «і, «2, «3) кривой р^). Вектор «2 получим из равенства « =||«і|| «2, «2 ^ «1, величина ||«і|| = £2 называется второй кривизной кривой. Имеем
«1 = ^2 «2 .
Четвертый вектор «3 репера определим, положив «3 = «і X «2. Находим: «3 = «і X «2 + «і X «2 . Здесь «і X «2 = ^2«2 X «2 = 0 . Из «2 ^ «2 следует «2 Є «і, «3), обозначим «2 = и«і + у«2 .
Вычислим
«і X«2 = «і X(и«і + у«3) = -у(«і X«3) = -У«2 .
Таким образом, «3 = £3^2, £3 =—V = ||«3||. Величина £3 называется третьей кривизной кривой р^). Теперь «2 = и«і — £3^3 . Так как «2 = «3 X «і и «2 = «3 X «і + «3 X «і = —£3^3 — £2«і, то и = -£2 . Поэтому «2 = “£2«і — £3^3 .
Векторы «2, «3 и величины £2, £3 в пространствах М3+і и М4 одинаковы. Мы получили формулы Френе для кривой галилеева пространства и М3+і:
т^) = р^) = (0,(е — і)(х1 X) — Xі (V)) = (е — і)(г — г);
T(t) = р^) = (0,(е — і)( (V) — Xі (V)),X3) = (е — і)^0,(( (V) — Xі (V)), —)х3 ^
т = р = (е — і)£і«і.
Т = £і«і, «і = £2«2 , «2 = —2«і — £3«3, «3 = £3^2 . Единичные векторы сопровождающего репера кривой р^) таковы:
Т 7 _ «і 7
і
ТXТ.
Согласно [і] отыскивается производная единичного вектора «і, а затем
^ ТТ
„2 =-.£2.
• і 2 3
Пусть а = (а , а , а ) - произвольный евклидов вектор, обозначим « = ||^ )||' По [і], каппа-функцией к(а) вектора а (V) называется норма ЦЯ'Ц вектора « . По [і]:
||а X а II
к
(а Н
/2/3 3 /2\2 . / і /3 3 / і /2 2 /і\2
Іа а — аа ) +1аа — аа ) +1аа — аа )
(3)
Теперь £і = ||р|| = ||Т| = 1— г II, и в координатах:
е — і е — і 11 11
£і = -у/(х"Х — хі)2 + (х 2 — х 2)2 + (х"3 — х/3)2. (4)
Вторая кривизна £2 кривой р^) есть к -функция вектора Т, т.е. £2 = к(Т), по (3):
І^ТІІ ||(г — г) X ( г— г
£2 =^Г = —-^--- (5)
|.||2 и •• ч |2
Т г — г
По аналогии с [і], третья кривизна кривой равна
Т Т т • ИТ llтx Т
,3+і
В пространстве М раст касательной т^ ) запишем в виде Ту () = ру ^) = ^1, (е -1)(х - х),(е -1)(у - у), —-у И^ =
= а + (е -1)( ()- Гу ()).
Кривизна к1 находится по формуле
к1 =-Ц-|Ы=1 К- к\=-Ц- ||ру|.
е - 1Н II е -1
Кривизны к2, к3 определяются формулами, аналогичными (5), (6), с учетом новых обозначений.
2.4. Вычисление кривизн в пространстве Галилея М3+1, М4
Найдем кривизны к\,&2,к3 в пространстве М . Для сокращения записей в (4) и использования (3) положим
#1 /1 1 #2 /2 2 #3 /3 3
х - X = и , х - X = и , х - X = и .
По формулам (4)-(6) имеем
к1 =-у/(и1)2 + (и2)2 + (и3)2;
к2 =
=
и2и/3 - и3и/2
1/3 3/1
и и — и и
и1и/2 — и 2иг1
(и1)2 +(и2 )\(и3
Гг 2 /3 3 /2П //1 г 1 /3 3 /1п //2 , г 1 /2 2 /1п »31 ,
{[и и —и и ]и — [и и — и и ]и + [и и — и и ]и } к1
2/3 3/2 2 Г 1/3 3/11 2 Г 1 2 2 41
і к і к — к к і і + и и —и и + и и —и и
к3 =
В пространстве М3+1 обозначим
^1 /1 1 *2 /2 2 /3 / 1 \ /
х - х =и ; х - х =и ; х = (е - 1)и .
Запишем вычислительные формулы с учетом введенных обозначений: к1 =,] (и1)2 + (и2)2 + (и#)2;
к2 =
V
2 т # /2
и и —и и
1т # А
и и —и и
иУ2 — и2и4
(и1)2 + (и2)2 + у)2
к3 = —
—1 2 2 1 1 т » /1 2 2 2
и и —и и и — и и —и и и + и и —и и и
г 2 г* # /2 т2 , г 1 т " /1 т2 , г 1 /2 2 /1п2
[и и —и и ] + [и и — и и ] + [и и —и и ]
к .
Вычислительные формулы для кривизн к\, к2, к3 в обоих пространствах совпадают. Это достигнуто за счет различия обозначений в третьих компонентах производных функции р(^).
3. Связь между кривой и ее евклидовой проекцией
3.1. Зависимости между кривизнами Вместе с галилеевой кривой (2), записанной с использованием ее евклидовой проекции р() = ta + г () пространств М3+1, М4, рассматриваем
кривую р(t) = а + (е-1) (г (t)-r ^)), соответственно р^) = а + (е -1) X х( (t)- гу ()). Евклидова кривая г ()- г (), соответственно гV ()- гу ()
называется кривой скорости для галилеевой кривой р^). Кривую скорости
в пространствах М3+1, М4 обозначаем одинаково:
)= г'()- г () = % ()- % (). (7)
Сравним кривизны кривых р^) и V (t). Параметр t для галилеевой кривой (2) является естественным, а для евклидовой кривой V^) он естественным не является. Поэтому для записи производных функции V ^) используем штрихи. Для р^) найдены кривизны к[, к2, к3, евклидова кривая V(t) обладает двумя кривизнами, которые обозначаем к\ , к^ .
Теорема 1. Кривизна к1 и кручение к^ кривой скорости V^) движения материальной точки с мировой линией р() = ta + г (), имеющей кривизны к1, к2, к3, выражаются через эти кривизны равенствами
к\ = к-, кз = ^, ||%|| = к1, (8)
к1 к
причем к1 есть величина скорости движения по кривой V^) и величина ускорения движения точки по траектории V^).
# Кривизна к1 евклидовой кривой г (^, как известно, вычисляется по формуле
11%' ч х
V = «V хУ II к =
С использованием (8) имеем выражение кривизны к^ через производные функции V(ї):
у ||г?/ х у1|
к. (9) ||тх х||
Для кривой (2) выполняется формула (5) к2 = ^ ^ , соответственно
11^ х ху||
к2 = -—■—^; сравнивая равенства (9) и (5), приходим к соотношению
к У = к2 к1 =~г, к1
первому из (8).
Известно, что кручение к2 евклидовой кривой г (ї) в произвольной параметризации равно
гг г
к2 = —
С учетом обозначения (7) эта формула принимает вид
Л, vvv
к'2 =~------г. (10)
11% X V' II2
Для третьей кривизны к3 галилеевой кривой р(t) выполняется (6); по (10) и (6), получаем
к| = к3,
2 к/
это второе из соотношений (8).
Третье соотношение в (8) получается на основе (7). Равенства (8) выражают кривизны к1, к'2 евклидовой кривой скорости V^) через кривизны галилеевой кривой (2) р^) = tа + г (). #
На основании теоремы 1 получается
Теорема 2. Если задана кривая скорости движения материальной
точки
і(, )= (у1 (| ), V2 (|), V3 (| )
то определяются кривизны к\_, к2, к3 мировой линии движения р(t) = ta + г (), где V^) - кривая скорости линии р^):
к =11%'(t)||, к2 = к1 къ к3 = к\къ
здесь к1, к2 - кривизна и кручение евклидовой кривой V^); и компоненты 12 3
х ^), х ^), х ^) функции р^) отыскиваются как решения дифференциальных уравнений
х ) - х1^) = V1 (t), V2 (t ) = х'2 (t) - х2 ^), V3 (t) = х '3(t) - х3 ^) -
в пространстве М4,
х'-^) - х1^) = V1 (t), V2 (t ) = х 2 ^) - х2 (t), V3 (t) = х'3(t) -
в пространстве М3+1;
1 12 2 3 3
начальные условия t = tо, х ^о) = хо, х ^о) = хо, х ^о) = хо линию р(t)
определяют однозначно.
# Параметрические уравнения кривой скорости V(t) как евклидовой
кривой позволяют вычислить модуль вектора производной V' ^): IV' ^)|| = к1 в произвольной точке и функции кривизны к1 и кручения к2 кривой V(t).
По формулам (8) отыскиваются кривизны к2 и к3 галилеевой кривой р(t). 12 3
Компоненты х (}), х (}), х (}) кривой р(t) находятся как решения указанных дифференциальных уравнений. #
4. Постоянные кривизны 4.1. Уплощение кривой
Рассмотрим случаи равенства нулю кривизн галилеевой кривой.
Теорема 3. Галилеева кривая р^) = tа + г () вкладывается в 3-мерное
пространство, если и только если к3 = о.
# Пусть к3 = о. С использованием второй и третьей формул Френе // ' ' '2
т” = к1 «1 + к1 к2«2 + к к2«2 + к1к2 «2 - к1к2 «1 - ккк3«3. При к3 = о вектор
т* является линейной комбинацией единичных векторов «1, «2 сопровождающего репера кривой р^), и четвертый вектор «3 = «1 X «2 этого репера появиться не может. Следовательно, кривая р^) 3-мерна. Обратно, если кривая р^) 3-мерна, то векторы т,т',т' компланарны тт'т' = о. Дифференцируя
/ // ъ / /// ъ т / / // т
равенствотт т = о, находимтт т = о, т.е. т £<т,т> , и векторы тт т компланарны, следовательно, к3 = о. #
Далее используем свойства кривых 4-мерного пространства Галилея из [1]. При к2= о кривая р^) плоская и к3= о. При к1 = о также к2= о, и по
формуле (6) имеем к3 = о.
4.2. Все кривизны постоянны
12 3
Компоненты х ^), х ^), х ^) галилеевой кривой р^) и ее кривизны ^1, к2, к3 связаны указанной ниже системой дифференциальных уравнений.
Теорема 4. Пусть галилеева кривая (2) р^) = ^,х1^),x2(t),x3(t)) пространства М4 имеет кривизны к1, к2, к3. Если заданы функции
12 3
к1 = к^), к2 = k2(t), к3 = kз(t), то компоненты х ^), х ^), х (t) кривой р^) являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
(и1)2 + (и2)2 + (и3)2 = к12,
и 2и '3 - и 3и '2
2/3 3/2
и и - и и
1/3 3/1
и и - и и
и1и'2 - и2и'
= к14 к22,
(11)
1/3 3/1
и и - и и
2
и +
1/2 2/1
и и - и и
*3 _ 1 3] 3/
и — —к к2 к3,
где и1 = х"г - х'1, 1 = 1, 2, 3. Начальные условия t = tо, x1(t о) = хо, x2(t о) = х^ , 3 3
х ^о) = хо выделяют из множества решений системы дифференциальных 12 3
уравнений функции х ^), х ^), х ^), задающие единственную кривую р^).
12 3
Кривая проходит через точку (^,хо,хо,хо) и имеетраст касательной:
(1,(е -1)(х( - хо),(е -1)(х'о2- хд),(е -1)(хо3- хо)) =
= (,(е - 1)ио,(е - 1)ио, (е - 1)ио3) = ос + (е - 1)т .
# Первое уравнение системы (11) есть результат возведения в квадрат равенства (4) после подстановки в него компонент функции тг(^). Второе уравнение системы (11) получаем из выражения (5) с помощью (4). Находя числитель дроби (6) и воспользовавшись вторым уравнением системы (11), приходим к третьему уравнению. #
Решением системы дифференциальных уравнений являются функции
и1 (^) . Относительно этих функций настоящая теорема повторяет соответствующую теорему из [2]. По дифференциальным уравнениям и1 = хп - х'1 отыскиваются функции х1 - компоненты функции р(^).
Теорема 4*. Пусть галилеева кривая (2) р(^) = (^, х1^),х2(^), х3(0) пространства М3+1 имеет кривизны £1, £2, £3. Если заданы функции
12 3
£1 = ),£2 = £2^),£3 = £3^), то компоненты х (^),х (^),х (^) кривой р(^)
являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
(и1)2 + (и2)2 + (и ")2 = £12,
< [и V - и и,2]2 + [и1и" - и ил]2 + [и1и,2 - иV1]2 = £14£22, (11*)
1 2 * 2 "1 1 т 0 А *2 і 2 2 і
и и - и и и - и и - и и и + и и - и и
где х"1 - хп = и1, 1 = 1, 2 ; х/3 = (е - 1)иг. Начальные условия ^ = ^, х1 (^0) = х0,
2 2 3 3
х ^о) = х0 , х (^о) = хо выделяют из множества решений системы диффе-
12 3
ренциальных уравнений функции х (^), х (^), х (^), задающие единственную
12 3
кривую р(^). Кривая проходит через точку (^,хо,хо,хо) и имеет раст ка-
(1 1 ~ 2 ,3\
1, (е - 1)(хо - х о),(е - 1)(хо - х о), хо I.
# Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 4. #
12 3
Системы уравнений (11), (11*) для компонент х (^), х (^),х (^) имеют место в случае постоянных и непостоянных кривизн £1, £2, £3 .
Исследуем кривые пространства М3+1, М4, все кривизны которых постоянны.
Теорема 5. Если кривизны £1,£2,£3 галилеевой кривой р(^) постоянны, то кривая скорости ) может быть либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой линией евклидова пространства.
# Если £1 = о, то £2 = £3 = о , см. п. 4.1. В этом случае р(^) есть прямая
и ) - прямая. Если £1 Ф о и постоянна, £2= о, то £3= о, см. п. 4.1. По формуле (8), £у = о и линия ) является прямой. Если £1 Ф о, £2 Ф о и постоянны, то, по равенствам (8), £у Ф о и постоянна; £{= о . В этом случае евклидова кривая | является окружностью. Пусть £1, £2, £3 постоянны и
отличны от нуля. По формулам (11), кривизны £у, £2 кривой скорости )
постоянны и отличны от нуля. Известно, что если кривизны 3-мерной евклидовой кривой постоянны, то эта кривая является винтовой линией. #
Теорема 6. Если кривизны £1 = £, £2 = т, £3 = I галилеевой кривой р(^)
пространства М3+1 постоянны, то третья кривизна равна нулю:
I = о,
и кривая р^) является не более чем 3-мерной, т.е. лежит в 3-мерном пространстве; кривая скорости ) кривой р(^) является либо окружностью, либо прямой, кривая р^) описывается одной из следующих функций:
Г
P(t ) =
t, Q + C2 el----------^—2 cos(mt + c)------- —— sin(mt + c),
1 + m m(1 + m )
k
t k k Л C3 + C4e H---------— cos(mt + c)----— sin(mt + c), C5 + C6t ;
m(1 + m ) 1 + m y
p(t) = ^t, C1 H C—e _ at, C3 H C4e - a—t, C5 H C6t H—— t j; (12)
2 2 2
здесь Cj = const, k Ф 0, m Ф 0, a1 + a2 + аз Ф 0.
# Кривизны k1V, k2" кривой скорости V(t) выражаются через кривизны k, т, l галилеевой кривой p(t) = (t, x1(t),x2(t), x3(t)) равенствами (8), следовательно, и кривая V(t) имеет постоянные кривизны. Евклидова кривая V(t)
с постоянными кривизнами является либо винтовой линией, либо окружностью, либо прямой.
Предположим сначала, что V(t) - винтовая линия; по [4, с. 67],
V(t) = (h cos(mt + c), h sin(mt + c), gt);
согласно теореме 2 имеем дифференциальные уравнения:
xr1 - x1 = h cos(mt + c), x 2 - x2 = h sin(mt + c), x/3 = gt.
Имеем следующие значения производных компонент функции p(t):
xv1 - xr1 = -hm sin(mt + c), x"2 - x 2 = hm cos(mt + c), x"3 = g ;
x- xv1 = hm2 cos(mt + c), xm2 - x"2 = hm2 sin(mt + c), x= 0 . (13)
Значение кривизны k линии p(t) с заданной кривой скорости V(t) таково:
k =
■\jh2 m2 + g2 , (14)
см. (4), получим значения кривизн т, I. Для этого вычислим согласно (5):
*2 мЪ "Ъ **2 1 2 . \
Р1 = xx - xx = hgm sin(mt H c);
Р2 = хЛхт3 - х"3х"1 = hgm2 со8(т^ + с);
#1 лг2 *2 л! 7 2 3
Р3 = хх - хх = h т .
Находим с использованием (14):
2 2 . 2 . 2 ,2 2 4 , ,4 6 ,2 4/ 2 , ,2 2Ч ,2 4,2
Р = Р1 + Р2 + Р3 = h g т + h т = hm (^ + h т ) = h т £ .
Согласно второму уравнению системы (11)
2 ,2 4,2 ,4 2 ,2 2 ,2
Р = h т £ = £т , откуда h т = £ ,
теперь, по формуле (14), £2 = £2 + g2, следовательно, в задании кривой У ^) g = °.
Это означает, что кривая скорости У(^ ) не может быть винтовой, а является окружностью
) = (cos(mt + с),hsin(mt + с),о).
Кривая V() плоская. Следовательно, в этом случае £2; = — = о, т.е.
£
I = о.
Решая уравнения (13) с учетом g = о, получаем
х1 = х1 (t) = С1 + C2et----cos(mt + с)---------£—— sin(mt + с);
1 + т т(1 + т )
х2 = х2 (1) = С3 + С4ег +------£—— cos(mt + с)-----sin(mt + с);
т(1 + т ) 1 + т
х3 = x3(t) = С5 + C6t.
Эти функции определяют кривую р^) = (t, х1^), x2(t), х3^)| постоянных кривизн УБЫ-пространства М3+1. Заменяя репер пространства М3+1, получаем задание кривой в виде
х1 = х1 (t) =---cos(mt + с)------------£—— sin(mt + с);
1 + т т(1 + т )
х2 = х 2(0 =----£—— cos(mt + с)-------k-r■ sin(mt + с);
т(1 + т ) 1 + т
х3 = x3(t) = С. (15)
12 3
Кривая р^), где компоненты х ^), х ^), х ^) есть (15), обладает свойством
2 2 £2
х2 + / =
т2(1 + т2)
т.е. р^) пространства М3+1 лежит на цилиндре, в основании которого находится окружность радиуса Я = —. £ . Кривизна окружности равна
тл/1 + т2
, т\] 1 + т2 „
£е =---------------, и мы получили зависимость между кривизной £ , кручением
£
т кривой р^) и кривизной £е основания цилиндра.
Наконец, возможно, что кривая скорости ) является прямой линией:
V() = (о^ + Ьу,+ 62,0зt + 63). (16)
В этом случае еще £1 = т = о и т = I = о. Для функции (16) получаем
£
) = (оь02,03), кривая с функцией скорости (16) есть (12):
)=(t •С1+C2et - 0lt •С3+C4et - 02t•С5+C6t+Т12) •#
Теорема 6*. Если кривизны £1 = £, £2 = т, £3 = I галилеевой кривой
р^) пространства М4 постоянны, то третья кривизна равна нулю:
I = о,
и кривая р^) является не более чем 3-мерной, т.е. лежит в 3-мерном пространстве; кривая скорости ) кривой р(0 является либо окружностью, либо прямой, кривая р^) описывается одной из следующих функций:
P(t ) =
^ t k k
t, C1 + C2e------------— cos(mt + c)-------— sin(mt + c);
1 + m m(1 + m )
k k ^
C3 + C4et H------------— cos(mt + c)-------- sin(mt + c), C5 + Сбel
m(1 + m ) 1 + m
p(t) = (t, C1 H C2et - a1t, C3 H C4et - a2t, С5 H С6et - a3t),
2 2 2
здесь Cj = const, k Ф 0, m Ф 0, a1 + a2 + a3 Ф 0.
# Доказательство теоремы проводим аналогично теореме 6. Выражения (13) заменяются следующими:
x',1 - xr1 = -hm sin(mt + c), x"2 - x/2 = hm cos(mt + c), x*3 - x/3 = 0,
а в (13) последнее уравнение имеет вид x"3 = g. Решение уравнения x'3 - x/3 = 0 есть z = С5 + C6et, согласно которому g = 0 . #
Выполнимость теорем 6, 6* означает следующее:
1. Всякая кривая 4-мерного галилеева пространства-времени М3+\
М 4 , все три кривизны которой постоянны, является кривой не более чем
3-мерного галилеева подпространства.
2. Галилеева кривая, пространственная составляющая которой является винтовой линией, есть 3-мерная кривая. Ее пространственная составляющая имеет две евклидовы ненулевые кривизны.
3. В пространстве-времени Галилея М3+1, М4 существуют винтовые линии на круглом цилиндре, направляющая которого есть евклидова окружность, а образующая параллельна оси времени. Это галилеева кривая с двумя ненулевыми галилеевыми кривизнами, пространственная составляющая которой имеет одну евклидову ненулевую кривизну.
4. Всякая кривая 4-мерного пространства-времени Галилея М3+1, М4 , имеющая постоянную ненулевую кривизну к Ф 0 и нулевое кручение т = 0, является плоской, это галилеев цикл.
До сих пор мы рассматривали зависимость между галилеевой кривой и евклидовой кривой, если евклидова кривая является кривой скорости для галилеевой кривой. Пусть теперь г (V) - произвольная евклидова кривая. Существует галилеева кривая р(^) = Ш + г (V), для которой г (V) является пространственной составляющей. Выполняется следующее
Следствие. Если евклидова кривая г(V) является пространственной составляющей галилеевой кривой, все кривизны которой постоянны, то г (V) есть либо винтовая линия, либо окружность, либо парабола (галилеев цикл), либо прямая линия. #
Тем самым мы описали все кривые пространств М3+1, М4, кривизны которых постоянны. Оказалось, что у таких кривых обязательно третья кривизна равна нулю.
Укажем примеры некоторых линий пространств М3+1 и М4, кривизна и кручение которых постоянны (рис. 1-4).
Рис. 2
5
Рис. 3
5
На рис. 1-4 сплошной линией изображены кривые из пространства, а
линией из звездочек изображены кривые из пространства М4 . На рис. 1 показаны линии (13) и (19); на рис. 2-4 заданы кривизна к = 2 и кручение
т = 1,25 . В функциях (12) и (18) на рис. 2: С2 = С4 = С5 = 0, Сб = 1; на рис. 3:
С2 = С4 = С6 = 1, С5 = 0; на рис. 4: С2 = С4 = С5 = 0, Сб(М3+1) = 2000,
Сб(М4) = 1.
Список литературы
1. Долгарев, А. И. Кривые 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев, И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 2-11.
2. Долгарев, А. И. Специальные вопросы теории кривых 4-мерного пространства-времени Галилея / А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 1. - С. 41-54.
3. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977. - № 5. - С. 800-803.
4. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. - 306 с.
5. Подвалова, О. А. Кривые в галилеевых пространствах с 4-мерными растра-нами / О. А. Подвалова, А. И. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3. - С. 35-49.
Долгарев Артур Иванович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Подвалова Оксана Анатольевна
студентка, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Dolgarev Artur Ivanovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,
Penza State University
Podvalova Oksana Anatolyevna
Student, Penza State University
УДК 514 Долгарев, А. И.
Кривые постоянных кривизн некоммутативных галилеевых
4-мерных пространств с растранами / А. И. Долгарев, О. А. Подвалова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2 (14). - С. 3-19.
