2-параметрические кривизна и кручение 3-мерных галилеевых одулярных разрешимых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 514.7

А. И. Долгарев

2-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ 3-МЕРНЫХ ГАЛИЛЕЕВЫХ ОДУЛЯРНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ПРОСТРАНСТВ

Поверхности одулярных пространств являются 2-параметрическими галилеевыми многообразиями. В ортогональных прямолинейных координатах введена 2-параметрическая кривизна одулярных пространств, напоминающая секционную кривизну. 2-параметрическая кривизна пространства Галилея равна нулю, некоммутативных пространств - отлична от нуля и в каждом пространстве имеет свое значение. Введено также 2-параметрическое кручение одулярных пространств. Для пространства Галилея оно равно нулю, для некоммутативных пространств 2-параметрическое кручение отлично от нуля, имеет свое значение.

Одулярные разрешимые 3-мерные галилеевы пространства определены в аксиоматике Г. Вейля на основе одулей Ли [1]. В исследовании этих пространств используются аффинные методы, распространяемые на некоммутативные структуры. Одули, как обобщение модулей, введены Л. В. Сабининым [2]. Определяя внешнюю операцию на группах Ли, получаем одули Ли

[1]. Действительные одули Ли определяются на многообразии И”, где И -поле действительных чисел.

Имеется два 2-мерных одуля Ли - линейное пространство и растран, один коммутативный, другой некоммутативный. Существует пять видов 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли: линейное пространство, растран, сибсон, диссон и осцилляторный одуль. Эти одули Ли представляются пододулями аффинного одуля Ли (т.е. аффинными преобразованиями). Растран есть одуль параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства, сибсон - одуль Ли движений галилеева пространства, осцилляторный одуль - одуль Ли движений евклидова пространства.

На всех одулях Ли введена галилеева норма. Всякий одуляр (элемент одуля) является либо галилеевым, либо евклидовым. Евклидовы одуляры составляют в 3-мерном одуле Ли 2-мерное евклидово векторное пространство. Определено классическое дифференцирование одулярных функций. Осцил-ляторные функции оказались недифференцируемы. В аксиоматике Г. Вейля построены одулярные галилеевы пространства (кратко ВО-пространства); в коммутативном случае имеется пространство Галилея, его одуль Ли - галилеево векторное пространство.

Поверхности ВО-пространств являются 2-параметрическими галилеевыми многообразиями. Регулярная поверхность задается одулярной функцией класса С3 двух параметров. Смешанные производные второго порядка этих функций зависят от порядка дифференцирования. Ниже в ортогональных прямолинейных координатах введена 2-параметрическая кривизна

ВО-пространств, отдаленно напоминающая секционную кривизну. 2-пара-метрическая кривизна пространства Галилея равна нулю, некоммутативных ВО-пространств - отлична от нуля. Для поверхностей всех ВО-пространств ранее найдены символы Кристоффеля. Оказалось, что в некоммутативных

ВО-пространствах Г^ Ф Г^. Введено 2-параметрическое кручение ВО-пространств. Для пространства Галилея оно равно нулю, для некоммутативных пространств 2-параметрическое кручение отлично от нуля.

1. Действительные разрешимые 3-мерные одули Ли

1.1 Галилеево многообразие

Пусть М - хаусдорфово топологическое пространство. Считаем, что задано гомеоморфное отображение каждого открытого множества иа из М

во множество Ип . На множестве Ип могут быть определены различные расстояния между точками - евклидово, псевдоевклидово, галилеево и др. Считаем, что на Ип определена галилеева метрика.

Определение галилеева расстояния между точками предполагает выделение одной из компонент кортежей, составляющих Ип. Выделим первую компоненту, и кортежи из Ип записываем в виде X = (х, х1, х2,..., хп-1). Пусть У = (у, у1, у2,..., уп-1) - еще одна точка. Галилеевым расстоянием |ХУ | между точками Хи У называется

|ХУ| =|у - X , если у Ф х ,

\ХУ\ = 7(у1 - х1)2 +... + (уп-1 - хп-1)2 , если у = х .

Тем самым имеем галилеево многообразие Ип [1].

2 2 1 Открытыми множествами Б в И являются множества пар (х, х ),

где а < х < Ь , а 1< х1 < Ь1 и (а, Ь), (а1, Ь1) - интервалы из И. Открытые мно-

3 3 12

жества Б в И есть множества троек (х, х , х ), где а < х < Ь,

1 2 2 2 2 3

(х ) + (х ) < с . Множество Б есть внутренность цилиндра радиуса с и

высоты Ь - а . Открытое множество Бп в Ип есть внутренность п -мерного цилиндра радиуса с и высоты Ь - а , для точек (х, х1, х2,..., хп-1) открытого

цилиндра выполняются неравенства а < х < Ь , (х1)2 +... + (хп-1)2 < с2 .

Итак, для каждого открытого множества иа, ае А , из хаусдорфова топологического пространства М задано гомеоморфное отображение фа в

галилеево многообразие Ип. Тем самым, в пространстве М локально введены координаты, в которых определено галилеево расстояние между точками. Имеем атлас {(иа,фа) | ае А}. Выполняются условия:

а) и и а = М ,

аеА

б) фa о фр-1 класса Ck , как и фa, фр;

в) семейство ^a j aє A} максимально.

1.2 Одули Ли размерности 2 и 3

Действительным одулем Ли является структура, полученная на действительной группе Ли в результате определения внешней операции умножения элементов группы Ли на действительные числа. Внешние операции на 2- и З-мерных одулях Ли введены автором [1]. Групповая операция записывается аддитивно.

2-мерные одули Ли задаются следующими операциями на многообразии R2 :

- линейное пространство L2 : (х, х1) + (y, y1) = (х + y, х1 + y1); t(х, х1) = = ( %t, х1t), t є R ;

eXt - 1

- растран P2 : (х,х1) + (y, y1) = (х + y, х1єу + y1); t(х,х1) = (хt, х1-),

х

e -1

t є R ; в случае х = 0 имеем t(0, х1) = (0, х1t), t є R .

2

Растран P является единственным некоммутативным 2-мерным оду-лем Ли.

Имеется пять видов 3-мерных разрешимых действительных одулей Ли. З

На многообразии R они задаются следующими операциями (i = 1, 2 ; t є R):

- линейное пространво L3 : (х, х1) + (y, y1 ) = (х + y, х1 + y1); t(х, х1 ) =

= ( хt, хlt);

- растран однородный P3 : (х, х1 ) + (y, y1 ) = (х + y, х1єу + y1); ^х, х1 ) =

■ Єх -1 = (хt, х1------);

єх -1

З 12 12 1 1

- растран общего вида P 1: (х, х , х ) + (y, y , у ) = (х + у, х e~y + y ,

e~хл - 1 eXt -1

х2єу + y2); t(х,х1,х2) = (%t,х1----------------,х2-);

єх -1 єх -1

- сибсон Z3 : (х,х1,х2) + (y,у1,у2) = (х + у, х1 + у1,х2 + у2 + х1у);

t(х,х1,х2) = (хt,х1t,х2t + t(t 1) хх1);

- диссон A3 : (х,х1,х2) + (y, y1, у2) = (х + у,х1єу + у1 + х2yey,х2єу + у2);

х^ і . Xt х^ і Xt і

1 2ч 1 e -1 2, te e -1 х, 2 e -1

t(х, х, х ) = (хt, х ----+ хх (--------------— e ), х ------).

єх -1 єх -1 (єх -1)2 єх -1

12 12

В растране и диссоне t(0, х , х ) =(0, хt, х t);

З 12 12

- осцилляторный одуль Ли П : (х, х , х ) + (y, y , у ) =

11 2 • 2 1 • 2

= (х + y, у + х cos у - х sin y, у + х sin у + х cos у);

t (х, х1, x 2) =

. t -1 . t -1

sin---x „ sin---

1 2 .1 xt 2 • xL 2 2 , 1 ■ xt 2 ■ xt„

= (xt, x +------ — (x cos-----x sin—), x +-— (x sin—+ x sin—)),

• x 2 2 • x 2 2

sin— sin—

2 2

x Ф 2nk ; t(2nk,x1,x2) = (2nkt,x1t,x2t), k = 0, ± 1, ± 2,....

Всякий одуль Ли обозначаем Q. Элементы одулей называются одуля-рами (и, соответственно, векторами, растами, сибсами, диссами) и обозначаются а, в,..., ю,...; # = (0,0,0) - нулевой одуляр: ю + # = # + ю = ю. Пусть (1,0,0) = а , (0,1,0) = в, (0,0,1) = у . Во всяком из рассматриваемых одулей Ли имеется разложение

12 12

ю = ( x, x , x ) = xa + x P + x у.

Упорядоченное множество (а, в, у) = Б является базисом одуля Ли Q. В каждом из одулей Ли одуляры (x,0,0) составляют пододуль Ли, яв-

1 12 ляющийся 1-мерным линейным пространством L ; одуляры (0, x , x ) со-

2

ставляют 2-мерное линейное пространство L . Всякий одуль Ли Q является

21

полупрямой суммой линейных пространств Q = L ■] L и превращается в

прямую сумму в случае линеиного пространства является инвариантным в одуле О.

L3 = L2 -\ L1. Пододуль L2

1.3 Галилеева норма на одуле Ли

II II 12

Галилеевой нормоИ ю одуляра ю = (х, х , х ) называется

||ю|| = |х|, если х Ф 0 ;

||ю|| = д/(х1)2 + (х2)2 , если х = 0.

Если О есть линейное пространство, то галилеева норма превращает

3 2 1

его в галилеево векторное пространство Уг = V + V - прямую сумму

евклидовых пространств. Остальные одули Ли являются полупрямой суммой

2 1 1 евклидовых пространств О = V \ V . Составляющая этой суммы V -

времениподобна, составляющая V2 - пространственноподобна. Базис одуля Ли (а, в, у) = Б является ортонормированным.

1 2

Одуляры (0, х , х ) называются евклидовыми, это векторы евклидова

2 12 пространства V в одуле Ли О, одуляры (х, х , х ), х Ф 0 , называются галилеевыми. Всякий галилеев одуляр перпендикулярен всякому евклидову одуляру.

1.4 Порождаемость 3-мерных одулей Ли

^ 3

Всякие два независимых вектора a, Ь из галилеева пространства V

порождают 2-мерное векторное пространство (Й, Ь ) (или оболочка векторов

Й, Ь ); оно является либо евклидовым, либо галилеевым.

Одуляры р, а из одуля Ли й называются независимыми, если р £ (а) , т.е. одуляр р не содержится в оболочке (а) одуляра а. Оболочка (а) состоит из одуляров га, г е И. Оболочка (р, а) есть подгруппа в группе Ли (й,+), порожденная двумя элементами р, а .

Всякие два независимых раста из Р3 порождают либо 2-мерный рас-тран, либо 2-мерное евклидово векторное пространство. (Мы рассматриваем нормированные одули Ли.) Базисные расты а, в,у порождают 2-мерные рас-траны (а, Р) и (а,у) и евклидово пространство (Р,у). В сибсоне:

3 3

Р + а = а + Р + у . Поэтому сибсон 2 порождается двумя сибсами 2 = (а, Р) . Два независимых сибса либо порождают весь сибсон, либо евклидово пространство, либо галилеево пространство. То есть всякий нетривиальный под-

сибсон сибсона 23 является евклидовым или галилеевым пространством, 2-мерным или 1-мерным. Имеем (а, Р) = 2 , (а,у) - галилеево пространство, (Р,у) - евклидово пространство. В дисоне выполняется: у + а = а + еР + у,

33 следовательно, диссон А порождается двумя диссами: А = (а,у) . Кроме того, (а,Р) - 2-мерный растран, (Р, у) - евклидово пространство. Осциллятор-

ный одуль порождается двумя одулярами: й = (а, Р) = (а,у) , и (Р,у) есть евклидово 2-мерное пространство.

1.5 Дифференцирование одулярных функций

Отображение И ^й называется одулярной функцией одного параметра. Обычно рассматривается интервал I в И или И. Значению г е I со-

1 2

ответствует одуляр ю(г) =(х(г), X (г), х (г)). Одулярная функция ю(г) пред-

1 2

ставляет собой упорядоченную совокупность (х(г), х (г), х (г)) трех действительных функций действительного параметра. Рассматриваем функции клас-

3 12

са С , т.е. каждая из действительных функций х(г),х (г), х (г) обладает производными до третьего порядка включительно.

Производное число ю'(р) одулярной функции ю(г) в точке г = р определяется равенством

'/ Л 1- Аю ю (р)= 11т---,

г^р Аг

где г = р + Аг, ю(р + Аг) = ю(р) + Аю ; из последнего равенства: Аю = = - ю( р) + ю( р + Аг). В некоммутативном одуле Ли слагаемые переставить нельзя, а в векторном пространстве Аю = ю(р + Аг) - ю(р). Если значение р изменяется, то имеем производную функцию. Вычисляем указанный предел в каждом из рассматриваемых одулей Ли. Используем обозначения: ю = у -в галилеевом векторном пространстве; ю = р - в растране; ю = а - в сибсоне; ю = 8 - в диссоне. Получены следующие формулы дифференцирования оду-лярных функций:

/ / / /1 /2\ Т7З

у = (х , х , х ) - в векторном пространстве Уг ;

Л ( п. \\

Р =

ї /1

х .- X1 X

V У

Ґ /2 ^ - X2 х

V

■ в растране Р ;

а =

/ /1 /2

X , X , X + X

/

1 /1 -

— X - X 2

5- =

2

X - X2 X

V

лл

/У

- в

диссоне А .

3

В осцилляторном одуле П рассматриваемого предела не существует, т.е. функции со значениями в осцилляторном одуле не дифференцируемы, иначе говоря, осцилляторный одуль недифференцируем [1]. Для обозначения производной функции произвольной одулярной функции ю(г) используется

символ ю'(г) .

Свойства дифференцирования векторных функций на одулярные функции не распространяются. Выполняются соотношения:

(Сю(г))' ф Сю'(г),

постоянный множитель не выносится за знак производной;

(ю(г) + х(г))' ф ю(г) + х (г),

производная суммы одулярных функций не равна сумме производных этих функций и т.д. Таким образом, операция дифференцирования не коммутирует с операциями над одулярами. Но если ю - постоянный одуляр, то

(гю)/ = ю

для всех одулей Ли.

Производные второго порядка одулярных функций есть производные от производных первого порядка.

2

Отображение И называется одулярной функцией двух парамет-

2 2

ров. Обычно рассматривается некоторая область Б с И или И . Паре

1 2

(и, V) є Б соответствует одуляр ю(и, V) =(х(u, V), X (и, V), X (и, V)). Частные Эю Эю

производные — = юи , — = юг, отыскиваются как производные функций од-ди дv

ного параметра (либо и, либо V). Для всех одулей Ли, кроме векторного пространства:

ю^ ф юуи ,

смешанная производная одулярной функции ю(и, V) зависит от порядка дифференцирования.

2. Одулярные галилеевы пространства

2.1 Определение ВО-пространств

Пусть W - непустое множество, его элементы называются точками и обозначаются: А, В,...,М,...; П - одуль Ли. Задано отображение

W X W ^ П пар точек (А, В) в одуль Ли П , т.е. всякой паре (А, В) точек соответствует единственный одулярю , пишем: АВ = ю; выполняются аксиомы Г. Вейля:

(в.1) для всякой точки А и всякого одуляра ю существует единственная точка В, что АВ = ю;

(в.2) для любых трех точек А, В, С, если АВ =ю, АС = %, то АС=ю+х.

Множество W называется ВО-пространством; одуль Ли П называется одулем ВО-пространства W. Одуляры из П называются одулярами ВО-пространства W.

Из аксиом следует: для любых трех точек А, В, С: АВ + ВС = АС; если АВ = ю, то ВА = —ю ; АА = #.

ВО-пространство является частным случаем одулярных пространств

Л. В. Сабинина [2]. Если П = , то W - аффинное пространство. Размер-

ность одуля Ли П называется размерностью ВО-пространства W. Далее рассматриваются 3-мерные ВО-пространства.

Если П1 - пододуль одуля П ВО-пространства, W и W1 есть подмножество точек из W, то подмножество W1, являющееся ВО-пространством с одулем П, называется подпространством ВО-пространства.

Пусть О - точка ВО-пространства W, Б = (а, в, у) - базис одуля Ли П. Множество В = (О, а, в,у) называется репером ВО-пространства. Это орто-нормированный репер каждого из ВО-пространств. Координатами точки М в репере В называются координаты одуляра ОМ в базисе Б. Если ОМ = (х, у, г), то и М = (х, у, г).

ВО-пространство с галилеевым векторным пространством называется пространством Галилея. Это единственное коммутативное одулярное галилеево пространство, мы его выделяем и названием - пространство Галилея. ВО-пространство с нормированным однородным растраном называется ЕМ-пространством, ЕС-пространство имеет своим одулем Ли нормированный сибсон, ЕД-пространство есть ВО-пространство с нормированным диссоном. ВО-пространство с осцилляторным одулем Ли не обладает дифференциальной геометрией в связи с недифференцированностью осцилляторных функций; это пространство мы не рассматриваем.

12 12

Для точек А = (а, а , а ) и В = (Ь,Ь ,Ь ) имеем:

112 2

АВ = (Ь — а,Ь — а ,Ь — а ) - в пространстве Галилея;

АВ = (Ь — а, Ь1 — а1еЬ—а, Ь2 — а2вЬ—а) - в ЕМ-пространстве;

112 2 1

АВ = (Ь — а,Ь — а ,Ь — а — (Ь — а)а ) - в ЕС-пространстве;

АВ = (Ь — а, Ь1 — (а1 — а 2(Ь — а))еЬ—а, Ь2 — а 2еЬ~а) - в ЕД-пространстве.

Расстоянием |АВ| между точками А и В в ВО-пространстве равно

норме одуляра АВ. Согласно п. 1.3, во всех рассматриваемых ВО-пространствах

| АВ| = |Ь - а|, если Ь Ф а,

|АВ| = 7(Ь - а1)2 + (Ь2 - а2)2 , если Ь = а .

2.2 Прямые и плоскости одулярных галилеевых пространств

1 2

Прямой, определяемой точкой А = (а, а , а ) и ненулевым одуляром

ц = (т, т1, т2), называется множество точек

(А, ц) = |АМ = гц | г е И}.

Через всякие две различные точки А и В проходит единственная прямая (А, АВ). Прямые (А, ц) и (В, ц) называются ко-параллельными; прямые

< А, ц) и (В, V) , где V = -А + у + А, называются тран-параллельными. Если В £ (А, ц) и одуляр АВ неперестановочен с одуляром ц , то прямые (В, ц) и (В, V) различны.

Пусть ц - галилеев одуляр. Имеем следующие параметрические уравнения прямых:

- в пространстве Галилея:

1112 2 2

х = тг + а , х = т г + а , х = т г + а ;

- в ЕМ-пространстве:

„тг 1 тг 1

1 1 е 1 1 тг 2 2 е 1 2 тг

х = тг + а, х = т --+ а е , х = т --------+ а е ;

тт

е -1 е -1

- в ЕС-пространстве:

1 1 12 2 1 г (г -1) 1 2

х = тг + а , х = тг + а , х = т г + тт -+ таг + а ;

2

- в ЕД-пространстве:

етг -1 гетг етг -1

х = тг + а, х1 = т1----------------+ а1етг + тт2(-------------------— ет),

ет -1 ет -1 (ет -1)2

тг

2 2 е -1 2 тг

х = т2------------+ а ет .

ет -1

Уравнения линейны только в пространстве Галилея.

Если ц - евклидов одуляр, то (А, ц) есть прямая евклидовой плоскости. Прямые (О, а), (О, в) и (О,у) являются координатными осями. Плоскостью, определяемой точкой А и независимыми одулярами ц, V . в случае, если оболочка (ц, V) 2-мерна, называется множество точек

(А, ц, V) = {АМ = иц + уу |(и, V) е Б с И2}.

2-мерные одули Ли - это векторные пространства или растраны. Поэтому всякая плоскость любого из одулярных галилеевых пространств есть либо евклидова плоскость, либо галилеева плоскость, либо ЕМ-плоскость. Через три неколлинеарные точки А, В, С в ВО-пространстве проходит плоскость и притом единственная, если и только если одуляры АВ и АС порождают 2-мерный пододуль в одуле Ли ВО-пространства.

Во всяком из рассматриваемых ВО-пространств через всякую точку А проходит единственная евклидова плоскость (А, в,у). Все плоскости пространства Галилея евклидовы или галилеевы. Через всякие три неколлинеарные точки проходит плоскость. Координатные плоскости (О, а, Р) и (О, а, у) галилеевы, (О, Р,у) евклидова. Все плоскости ЕС-пространства также либо евклидовы, либо галилеевы, но по сравнению с пространством Галилея в ЕС-пространстве существуют неколлинеарные точки, через которые не проходит плоскость, например, не существует плоскости, имеющей сибсы а и Р, т.к.

з

(а,Р) = 2 . Координатная плоскость (О,Р,у) евклидова, (О,а,у) галилеева, точка О и сибсы а , Р не определяют никакой плоскости.

Каждая из плоскостей ЕМ-пространства либо евклидова, либо ЕМ-плоскость. Через всякие три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость. Плоскость (О, Р,у) евклидова, плоскости (О, а, Р) и (О, а,у) являются ЕМ-плоскостями. Каждая из плоскостей ЕД-пространства также либо евклидова, либо ЕМ-плоскость, но не через всякие три неколлинеарные точки проходит плоскость. Плоскость (О, Р, у) евклидова, (О, а, у) есть ЕМ-

плоскость, не существует плоскости с диссами а , Р.

В одулярных галилеевых пространствах плоскости описываются следующими параметрическими уравнениями:

- в пространстве Галилея:

х = г + а,

< х1 = ь1г + с1и + а1,

2 и2. , 2 . 2

х = Ь г + си + а ,

- в ЕМ-пространстве:

х = г + а,

< х1 = р1ег + с1и + а1,

2 2 г , 2,2

х = ре + си + а ,

- галилеева плоскость в ЕС-пространстве:

х = г + а,

1 К + 1

< х = с г + а ,

2 1 г (г — 1) 2 1 2

х = с1 —---- + с г + а г + и + а2;

- ЕМ-плоскость в ЕД-пространстве:

х = г + а,

< х1 = (а2г + а1)ег + и,

2 2 г

х = а е .

Только в пространстве Галилея уравнения плоскости линейны.

Уравнение евклидовой плоскости во всяком ВО-пространстве: х = а .

Можно задать плоскость одулярной функцией, записав правые части ее параметрических уравнений как компоненты одулярной функции. Например, плоскость в ЕМ-пространстве:

1 г 1 12 г 2 2

р(г,и) = (г + а,ре + си + а ,р е + с и + а ).

3. 2-параметрические многообразия ВО-пространств

3.1 Поверхности как 2-параметрические многообразия

В ВО-пространстве рассматриваем 2-параметрические многообразия

п3

класса С :

12 2 ю(и, у) = (х(и, V), х (и, V), х (и, V)), (и, V) е Б с И .

Эти многообразия являются поверхностями ВО-пространств. В галилеевых пространствах содержатся поверхности, имеющие евклидовы касательные плоскости, и поверхности, имеющие неевклидовы касательные плоскости (галилеевы, ЕМ-плоскости), или вовсе не имеющие касательных плоскостей. Поверхности с евклидовыми касательными плоскостями могут быть изучены средствами евклидовой геометрии, поэтому в галилеевой геометрии интересны оставшиеся поверхности. Ввиду того, что рассматриваются многообразия класса С , вместе с функцией х(и, V) существует функция V = у(и, г). Поэтому многообразия интересующего нас вида описываются одулярными функциями

ю(и,г) = (г,х(и,г), у(и, г)), (и,г) е Б с И2.

Такая параметризация многообразия ю(и, г) называется естественной [1].

Во всяком галилеевом ВО-пространстве в его репере В = (О, а, в,у) имеем разложение

ю(и, г)= га + г (и, г),

^ 2 где г (и, г )= (х(и, г), у (и, г)) - векторная функция евклидовой плоскости Е =

(О, в, у) ВО-пространства [1]. Это также векторное поле евклидовой плоскости, евклидова проекция одулярного многообразия ю(и, г) на Е . Слагаемое га есть времениподобная составляющая многообразия; г (и, г) - пространственноподобная составляющая.

Многообразие ю(и,г) является галилеевым. Действительно, пусть

Р(щ,го) - точка многообразия, Р(щ,го) = ю(ио,го) ; Ли и Дг - приращения

параметров. Множество точек М(ио ±еДи,го ±5Дг) = ю(ио ± еДи,го ±5Дг), где е и 5 - бесконечно малые, является окрестностью точки Р ; окрестность гомеоморфна прямоугольнику. Многообразие ю(и, г) покрывается такими окрестностями, оно является галилеевым (п. 1.1).

На основании формул дифференцирования одулярных функций в каждом из одулей Ли имеем следующие частные производные многообразий ю(и, г):

1) юм = уи = ги , юг = уг = а + гг - в пространстве Галилея;

2) юм = ри = ги , юг = рг = а + (е-1)(г -г) - в ЕМ-пространстве;

3) юм = ам = ги , юг = аг = а + гг + (1 хг - х)у - в ЕС-пространстве;

4) Ю = 5и = Ги , Юг = 5г = а + (е-Щ-г) + (у{-еу)в - в ЕД-

пространстве.

Репер В = (О, а, в, у) ортонормированный. Частные производные оду-лярных функций в сибсоне и диссоне выражаются не только через производные векторной функции г (и, г), а имеют еще слагаемые, зависящие только от одной из компонент функции г (и, г). Производная сибсонной функции зависит от первой компоненты х(и, г) функции г (и, г); производная диссонной функции выражается еще и через вторую компоненту у (и, г) векторной функции г (и, г) .

Нормальная кривизна кп поверхности выражается через производные второго порядка одулярной функции ю(и, г). Имеем:

!) Юиг = У иг = гиг, Юги = Уги = гш - в пространстве Галмея;

2) Юиг = Риг = гиг, Юги = Рги = (е - 1)(ггм - ги) - в ЕМ-пространстве;

3) Юиг = = гиг, Югм = аг« = ^ + (2хги - хм )У - в ЕС-пространстве;

4) Юиг = 5иг = гиг, Юги = 5ги = (е — 1)(гги — ги) + (уги — еуи)в - в ЕД-

пространстве.

Нормальная кривизна поверхности равна

кп = Ац + 2Бц + С , коэффициенты нормальной кривизны есть

А = гммп , Б = гкгп , С = Юггп , Ц = — ,

аг

и п = тггпЧ-ум , хм ) - единичная нормаль поверхности.

3.2 2-параметрическая кривизна галилеева ВО-пространства

Для 2-мерных многообразий ю(и, г) = га + г (и, г) в каждом из одуляр-ных галилеевых пространств W найдем одуляры

^[2]^ = Юиг - Юги ,

h = 1 в пространстве Галилея и в ЕС-пространстве и h = e -1 в ЕМ- и ЕД-пространствах.

1) V[2]r = Yut -Ytu = rut -rtu = 0 - в пространстве Галилея;

3 1 ^ ^ ^ ^

2) V[2]M = Put--------Ptu = rut -(rtu - ru) = ru - в ЕМ-пространстве;

e -1

3 - - 1 1

3) V[2]S = Cut -Ctu = rut -rtu - (- xtu - xu )Y = -(-xtu - xu )Y - в ЕС-

пространстве;

3 1 _ _ _ 1

4) V[2]D = ^ut 7^tu = rut - (rtu - ru ) 7 (ytu - eyu )в =

e -1 e -1

= ru---Ц-(ytu - % )в - в ЕД-пространстве.

e -1

Одуляр V[2]W называется одуляром 2-параметрической кривизны галилеева ВО-пространства. Мы получили

3.2.1 Теорема. В ортонормированных координатах одуляр 2-парамет-рической кривизны 3-мерного ВО-пространства является нулевым только в пространстве Галилея. В ЕМ-, ЕС- и ЕД-пространствах одуляр 2-парамет-рической кривизны отличен от нулевого. В ЕМ-пространстве одуляр V[2]W

зависит только от ru — производной пространственноподобной составляющей r (u, t) 2-параметрических многообразий ю(м, t). В ЕС-пространстве одуляр 2-параметрической кривизны зависит только от производных первой компоненты x(u, t) пространственноподобной составляющей r(u, t) его 2-параметрических многообразий. Одуляр 2-параметрической кривизны ЕД-пространства зависит от производной ru и от производных второй компоненты y(u,t) пространственноподобной составляющей r(u,t) 2-парамет-рических многообразий. #

Выполняется

3.2.2 Свойство. Одуляр 2-параметрической кривизны ВО-пространства является евклидовым вектором. #

Полученная теорема позволяет сформулировать критерий галилеева ВО-пространства по значению одуляра его 2-параметрической кривизны.

3.2.3 Теорема. Галилеево ВО-пространство является пространством Галилея, если одуляр его 2-параметрической кривизны является нулевым; является ЕМ-пространством, если одуляр его 2-параметрической кривизны совпадает с ru ; является ЕС-пространством, если одуляр его 2-параметри-ческой кривизны выражается через производные первой компоненты пространственноподобной составляющей r (u,t) многообразий ю(м, t); является ЕД-пространством, если одуляр его 2-параметрической кривизны выражается через ru и производные второй компоненты пространственноподобной составляющей r(u,t) многообразий ю(м,t).

# Пусть W - галилеево ВО-пространство. Рассматриваем его 2-пара-метрические многообразия ю(м,t) = ta + r(u,t) и вычисляем их одуляры 2-параметрической кривизны. Получаем результат согласно теореме 3.2.1,

и невозможно, чтобы, например, в ЕМ-пространстве получился одуляр V[2]W , зависящий не только от производной ru функции r (u, t), или был бы

тождественно нулевым. Это относится к каждому из остальных ВО-пространств. #

Выше, в п. 2.2, приведены уравнения плоскостей ВО-пространств. Подсчитаем 2-параметрическую кривизну V[2](B плоскостей:

1) в пространстве Галилея V[2]Y = Ь ;

1 2

2) в ЕМ-пространстве V[2]P = (0, с ,с );

3) в ЕС-пространстве V[2]CT = Ь;

4) в ЕД-пространстве V[2]8 = (0,1,0).

Для получения ненулевых значений 2-параметрической кривизны многообразий ВО-пространств достаточно рассмотреть в некоммутативных пространствах 2-мерные многообразия, задаваемые линейными одулярными функциями, причем в ЕС-пространстве достаточно иметь линейную функцию от параметра и в компоненте x(u, t), а в ЕД-пространстве - в компоненте y(u,t). Эти условия выполняются, т.к. рассматриваются всевозможные 2-мерные многообразия ВО-пространств.

2-параметрической кривизной галилеева ВО-пространства называется

норма ^1[2] = ||V[2]W|| его одуляра V[2]W 2-параметрической кривизны.

Имеем, что 2-параметрическая кривизна галилеева одулярного пространства принимает следующие значения:

K1[2] = 0 - в пространстве Галилея;

K1[2] = \\ru\\ = yjxu2 + yu2 =\ТЁ - в ЕМ-пространстве;

K1[2] = |1 xut - xu | - в ЕС-пространстве;

1 / 1 2 2

K [2] = J(xu + e-1 (yut - eyu )) + yu - в ЕД-пространстве.

Оправдана следующая терминология - 2-параметрическая кривизна

3

- ЕС-пространства эллиптична, т.к. выражение V[2]S не содержит производных пространственноподобной составляющей г (и, г) многообразий;

3

- ЕМ-пространства параболична, т.к. выражение ^2]М содержит только производную пространственноподобной составляющей г (и, г) многообразий;

3

- ЕД-пространства гиперболична, т.к. выражение V[2]D содержит, кроме производной пространственноподобной составляющей г (и, г) многообразий, еще и производные компоненты у (и, г) этой составляющей.

Величина ги = Е является коэффициентом первой квадратичной фор-

2 2

мы многообразия ю(и, г) = га + г (и, г), Е = хи + уи . Мы получили

3.2.4 Теорема. Только в ЕМ-пространстве 2-параметрическая кривизна К 1[2] = ^хи2 + уи2 = у[е совпадает с корнем квадратным из коэффициента Е первой квадратичной формы многообразия. #

3.3 2-параметрическое кручение галилеева ВО-пространства

Для 2-мерных многообразий ю(и, г) = га + г (и, г) дифференцируемых галилеевых ВО-пространств в работе [1] вычислены символы Кристоффеля. Во всех пространствах Г2 = 0.

ч

1) В пространстве Галилея Г^ = Г21 = 0;

1 Е 1

2) в ЕМ-пространстве Г12 =—-, Г21 = (е -1)

2Е

-Е^ -1 2Е

3) в ЕС-пространстве Г^ = , г2х = +

2 хги - хи | Уги ;

1 е 1

4) в ЕД-пространстве Г^ =—-, Г21 = (е -1)

2Е

Е(

-, 1 = I е - 11 ,

2Е ) Е

В каждом из ВО-пространств W найдем разности

Н г121 = Г12 = Г[1,2]W = К[2],

как и раньше, Н = 1 - в пространстве Галилея и в ЕС-пространстве и Н = е -1 -в ЕМ- и ЕД-пространствах.

2 13

1) В пространстве Галилея К[2] = Г^2] Г = 0;

2) в ЕМ-пространстве К[2>] = Г^] М3 = -1;

2 13

3) в ЕС-пространстве К[2] = Гм2]8 =

/

[2] [1,2]

2 Г1

[2] = Г [1,2]1

2 хш - хи | Уги

/

4) в ЕД-пространстве КЗл = Гм 2]Б3 = -1 + (Уги—е>и )вГ< = -1 +

+

(е -1) Е

(Уги - еУи) хи

(е -1) Е

Величина Гр_ 2] W = К[2>] называется 2-параметрическим кручением

галилеева одулярного пространства W. Мы получили

3.3.1 Теорема. В ортонормированных координатах ВО-пространства его 2-параметрическое кручение является постоянным только в пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве — одулярных пространствах, где символы Кристоффеля относятся к внутренней геометрии поверхностей. 2-пара-метрическое кручение равно нулю только в коммутативном пространстве, пространстве Галилея. В ЕС-пространстве 2-параметрическое кручение зависит от производных обоих компонент пространственноподобной составляющей г (и, г) его 2-параметрических многообразий. 2-параметрическое кручение ЕД-пространства зависит от производных компонент простран-

ственноподобной составляющей г (и, г) 2-параметрических многообразий и от коэффициента Е первой квадратичной формы многообразий ю(и, г). #

По значениям 2-параметрического кручения имеем

3.3.2 Теорема. 2-параметрическое кручение ЕД-пространства, не являющееся константой, зависит от коэффициента Е первой квадратичной формы многообразий и производных обоих компонент пространственноподобной составляющей г (и, г) его 2-параметрических многообразий. #

Полученная теорема позволяет сформулировать критерий галилеева ВО-пространства по значению его 2-параметрического кручения.

3.3.3 Теорема. Галилеево ВО-пространство является пространством Галилея, если его 2-параметрическое кручение является нулевым; является ЕМ-пространством, если его 2-параметрическое кручение равно -1; является ЕС-пространством, если его 2-параметрическое кручение выражается через производные обоих компонент пространственноподобной составляющей г (и, г) многообразий ю(и, г); является ЕД-пространством, если его 2-пара-метрическое кручение выражается через Е и производные компонент пространственноподобной составляющей г (и, г) многообразий ю(и, г). #

Некоммутативные ВО-пространства характеризуются ненулевыми 2-параметрическими кривизной и кручением. Единственное коммутативное галилево одулярное пространство характеризуется нулевыми кривизной и кручением.

Список литературы

1. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : ИИЦ ПГУ, 2005. -306 с.

2. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977. - № 5. - С. 800-803.