Одули Ли преобразований. Траектории и поверхности траекторий. Собственная геометрия поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

А. И. Долгарев

ОДУЛИ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.

ТРАЕКТОРИИ И ПОВЕРХНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ. СОБСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ

Траектории геометрических преобразований получены одулярным методом. Исследованы свойства траекторий преобразований. Получены поверхности траекторий, в частности одулярные поверхности траекторий, указаны их геодезические. Эти поверхности обладают собственной геометрией - одуляр-ной, она отлична от внутренней геометрии поверхности. Одулярная поверхность траекторий, аналог аффинной плоскости, может иметь ненулевую гауссову кривизну.

Геометрия многих пространств строится в векторной аксиоматике Г. Вейля, при этом используется арифметическая модель действительного линейного пространства. На основе других, неарифметических моделей линейного пространства получаются новые геометрии в той же схеме Г. Вейля. В одном и том же определении аффинного пространства можно получить аффинную плоскость (пространство размерности 2) и можно получить поверхность ненулевой гауссовой кривизны. Здесь линейное пространство моделируется геометрическими преобразованиями.

Рассматривая неоднократное применение одного преобразования, приходим к 1-параметрическим группам преобразований. Возникает одулярное описание траекторий точек в преобразованиях. Параметрические уравнения траекторий точек в преобразовании а некоторого пространства есть формулы преобразования га, параметр г пробегает поле И действительных чисел. Траектория точки в преобразовании пространства является 1-мерным одулярным пространством, ее одуль - линейное пространство. Траектория обладает свойствами прямой линии, поэтому ее называют геодезической.

Выделяются траектории движений. Движения всякого пространства с метрикой есть его преобразования, в которых метрика инвариантна. Траектории движений являются линиями, кривизны которых постоянны.

Для двух преобразований в одуле Ли преобразований пространства можно рассматривать оболочки - пододули, порожденные этими преобразованиями. Такие оболочки не всегда 2-мерны, их размерность может быть и выше. Существует один абелев 2-мерный одуль Ли - линейное пространство, и один неабелев 2-мерный одуль Ли - растран (состоящий из параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства). 2-мерный одуль Ли преобразований всякого пространства порождает одулярную поверхность траекторий в этом пространстве. Это, например, параболоиды в аффинном пространстве. Такая поверхность обладает собственной геометрией, аналогичной планиметрии. Траектории преобразований, входящих в одуль Ли поверхности, являются геодезическими линиями поверхности. Гауссова кривизна одуляр-ной поверхности траекторий может быть и ненулевой.

Можно образовать поверхность траекторий, одуль Ли которой имеет размерность, большую двух. Свойства одулярной поверхности траекторий определяются свойствами одуля Ли преобразований, траекториями которых заполнена поверхность. Размерность одуля Ли поверхности, большая двух,

наделяет поверхность свойствами, не присущими поверхности, как 2-мерному пространству. Например, сфера является 2-мерной поверхностью евклидова пространства. Она может быть получена как поверхность траекторий во вращениях вокруг координатных осей евклидова пространства. Это снабжает сферу другой геометрией, связанной с географией. Координатная сетка на сфере - меридианы и параллели - является сеткой геодезических в другой геометрии, которые отличаются от геодезических сферы, как поверхности евклидова пространства. Собственная геометрия сферы, как одулярной поверхности траекторий, отлична от сферической геометрии.

1 Разрешимые 3-мерные одули Ли

1.1 Одули Ли

Структура K-одуля - одуля над кольцом K - обобщает структуру K-модуля, введена Л. В. Сабининым в 1977 г. [1]. На алгебраической структуре (П, +) = П с внутренней бинарной операцией +, называемой сложением,

вводится связанная с ней внешняя операция oík (+) умножения элементов из структуры (П, +) на скаляры из кольца K. Получается структура П = = (П, +,oík(+)). Если для всех юеО и всех t,sе K выполняются аксиомы (ю.1) s(trn) = (st)ю ,

(ю.2) srn + trn = (s + t)ю, то структура (П,+, тк (+)) называется одулем над кольцом K или K-одулем, или просто одулем. Элементы одуля называются одулярами.

Если (П,+) группа Ли и K = R поле действительных чисел, то одуль

П = (П,+, rnR (+)) называется действительным одулем Ли или одулем Ли [2]. Абелев одуль Ли является линейным пространством (над полем R). Одуляры обозначаем а, в,..., ю,...; числа обозначаем t, s,.... Группа Ли (П,+) обладает нулевым элементом #; для каждого элемента ю в группе имеется противоположный элемент —ю. Поле R содержит 0,1, -1. Вместе с аксиомами (ю. 1), (ю.2) для одуля Ли выполняются еще аксиомы:

(ю.3) t# = #;

(ю.4) 0ю = #, 1ю = ю, (—1)ю = -ю.

Подгруппа в (П, +), порожденная одулярами а, в,...,у , обозначается <а, в,..., Y>. Вместе с каждым из одуляров а подгруппа <а, в,..., Y> содержит и одуляры ta , t е R , поэтому <а, в,..., Y> является одулем Ли - по-додулем одуля Ли П. Пододуль <а, в,..., Y> называется оболочкой одуляров а, в,..., Y . Оболочка <а, в,..., Y> содержит всевозможные комбинации Ц = ta + sв +... + VY данных одуляров, комбинации одуляров а, в,..., Y, Ц и т.д. Отметим, что 1-параметрический пододуль <ю> является линейным пространством.

1.2 Одули Ли размерности 2

Группы Ли могут быть определены на кортежах из Rn. Имеется две

2-мерные группы Ли - абелева и неабелева. На них задаются внешние опера-

2 1 ции. Пары из И записываем в виде (х, х ). Два 2-мерных одуля Ли зададим

операциями на парах чисел:

2

1. Линейное пространство Ь :

(х, х1)+ (у, у1) = (х + у, х1 + у1); г(х, х1) = (хг, х1;) , г є И.

2. Растран Р :

г (х, х1) =

(х, х1)+ (у, у1) = (х + у, х1еу + у1);

хг, х

1 _еМЛ

ех -1

, х ф 0; г (0, х1) = (0, х1;), г є И.

Операции на парах чисел, задающие линейное пространство и растран, могут иметь и другой вид. Растран является неабелевым одулем Ли. Элементы растрана называются растами. Нулевой раст: # = (0,0). Противоположным

для раста р = (х, х1) является раст

-р = (-х, -ехх1).

1.3 Одули Ли размерности 3

Существует пять видов 3-мерных разрешимых одулей Ли [2]: линейное пространство, растраны, сибсон, диссон и осцилляторный одуль. Они задаются операциями на И3:

3

1. Линейное пространство Ь :

(х, х1, х2)+ (у, у1, у 2) = ( х + у, х1 + у1, х2 + у2); г(х, х1, х2) = (хг, х1;, х2г), г е И.

2. Растран общего вида Р(? :

(х,х1,х2)+ (у,у1,у2) = (х + у,х1е~у + у1,х2еу + у2);

г (х, х1, х 2) =

хг л хі і

1 е -1 2 е -1

хг, х----------------, х ------------

е_х -1 ех -1

хг

, х ф 0; г(0,х1,х2) = (0, х1;,х2г), г є И.

Растран однородный Р :

(х,х1,х2)+ (у,у1,у2) = (х + у,х1еу + у1,х2еу + у2);

г (х, х1, х2) =

хг і хг і Л

1 е -1 2 е -1

хг, х----------------, х --------------

ех -1 ех -1

, х ф 0; г(0, х1, х2) = (0, х1;, х2г), г є И.

3. Сибсон 2'

3

(х,х1,х2)+ (у,у1,у2) = (х + у,х1 + у1,х2 + у2 + х1 у);

г (х, х1, х2) =

1 2 1 г (г -1)

хг, х г, х г + хх----------------

, г є И.

3

4. Диссон А :

(х,х1,х2) + (у,у1,у2) = (х + у,х1ву + у1 + х2уву,х2ву + у2);

2 у 2 у

' \1Ру Г Ру

г (0, х1, х2) = (0, х1;, х2 г), г е и.

3

5. Осцилляторный одуль П :

12 12 11 2 • 2 1 • 2

(х, х , х )+ (у, у , у ) = (х + у, у + х cos у - х Sin у, у + х Sin у + х cos у);

1 2

при х Ф 2пк : г (х, х , х ) =

. г -1 sin---------х

Л

sin— 2

sin— 2

х Sin----+ х cos—

1 . хг 2 хг

2

К

г(2кп,х1,х2) = (2кпг,х1;,х2г), ге и, к = 0, ± 1, ± 2,....

Каждый из 3-мерных одулей Ли представляется аффинными преобразованиями аффинной плоскости и матрицами [2]. Произвольный одуль Ли обозначаем П. Все вычисления в одулях Ли производятся на основании операций над одулярами.

Порождаемость одуля Ли понимаем как порождаемость группы, на которой одуль определен. Коммутатор двух одуляров [р, а] =-р-а+р+а может быть комбинацией гр + яа данных одуляров, а может не быть такой комбинацией. В каждом из 3-мерных одулей Ли обозначим: (1,0,0) = а, (0,1,0) = в, (0,0,1) = у . Всякий одуляр всякого из 3-мерных разрешимых оду-

1 2

лей Ли однозначно представляется в виде разложения ю = (х, х , х ) =

1 2

= ха + х в + х у . Базис каждого из рассматриваемых одулей Ли есть Б = (а, в, у).

В однородном растране Р имеем [в, а] = (в - 1)в и коммутатор [в, а] есть комбинация растов а, в : [в, а] = 0а + (в - 1)в. Расты а, в порождают в

3 2 3

3-мерном растране Р 2-мерный подрастран Р . В сибсоне X : [в, а] = у и

сибс у = (0,0,1) порождается сибсами (1,0,0) = а, (0,1,0) = в. Коммутатор

[в, а] не является комбинацией гр + яа. Два сибса а, в порождают 3-мерный

сибсон. Тремя одулярами порождаются 3-мерные линейное пространство и

растран; двумя одулярами порождаются сибсон, диссон и осцилляторный

одуль Ли [2].

Ниже понадобятся следующие свойства пододулей 3-мерных разрешимых одулей Ли:

1.4 Порождаемость одулей Ли

1.5 Пододули 3-мерных одулей Ли

1. Оболочка <ю, т> 2-мерна, если и только если она является линейным пространством или растраном.

2. Всякий 2-мерный подсибсон сибсона X3 является линейным пространством.

2 Вейлевские одулярные пространства

2.1 Определение ВО-пространств

Заменяя линейное пространство одулем Ли в аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства [3], получаем ВО-пространство - вейлевское одуляр-ное пространство [2]. Рассматривается непустое множество точек W , их обозначение A, B,..., M,... и п -мерный одуль Ли П . Каждой паре (^, B) точек соответствует единственный одуляр ю из П, пишем AB = ю. Множество W называется ВО-пространством, если выполняются следующие аксиомы Г. Вейля:

(".1) Для всякой точки A и всякого одуляра ю существует единственная точка B , что AB = ю.

(".2) Для любых трех точек A,B,C: если AB = ю, BC = а, то AC=ю+а.

Одуль П называется одулем ВО-пространства W, размерность одуля

П называется размерностью ВО-пространства W. Если П = Ьп , то W = А п аффинное пространство.

Все построения в аффинном пространстве переносятся в ВО-прост-ранства. Геометрия ВО-пространств строится в общей схеме с геометрией аффинного пространства, у них общая аксиоматика. Но геометрия пространств с некоммутативными одулями Ли имеет свою специфику, см. [2].

2.2 Прямые и плоскости аффинного пространства

Точка A и ненулевой вектор V определяют прямую < A, V > аффинного пространства, прямая есть множество точек:

< A, V > = {М | ЛМ = гу, г е Щ.

Если Ве< A,V > и и е< V >, и Ф о , то < В,и > = < A,V >. Прямая есть

1-мерное аффинное пространство. Различные точки A, В определяют единственную прямую < A, AB >.

Независимые векторы V, и порождают 2-мерное подпространство

2

< V, и > ={гу + яи | (г, я) е И }. Точка A и независимые векторы V, и определяют плоскость

< A, V, и > = {М | КМ = г^ + яи,( г, и)е К }.

Если В е < A, V, й >, щ г е < V, й > и щ г неколлинеарны, то < В, щ г > =

= < A, V, и >. Всякие три неколлинеарные точки A, В, С определяют единственную плоскость < A, AB, AC > . Плоскость является 2-мерным аффинным

пространством, подпространством в Ап.

2.3 Координаты точек

Пусть Б - базис одуля Ли О. Множество В = (О, а, в,у), где О точка,

называется репером ВО-пространства W. Координаты одуляра ОМ в базисе

Б называются координатами точки М в репере В. Если ОМ = (х, у,г), то

12 3 12 3

М =(х,у,г). Пусть А = (а ,а ,а ) и В = (Ь ,Ь ,Ь ), тогда в аффинном про-

3 1 1 2 2 3 3

странстве А : АВ = (Ь - а , Ь - а , Ь - а ). Отложить вектор V = (х, у, г)

12 3 12 3

от точки А = (а , а , а ) означает найти точку В = (а + х, а + у, а + г).

123 123 123

Пусть даны А = (а ,а ,а ), т = (т ,т ,т ), п = (п ,п ,п ) и М =

= (х,у,г) произвольная точка. Уравнения прямой < А, т > :

1 1 2 2 3 3

х = тї + а , у = т ї + а , г = т ї + а .

Уравнения плоскости < А, т, п > :

111 222 333

х = тї + п s + а , у = т ї + п s + а , г = т ї + п s + а .

3 Преобразования аффинного пространства

3.1 Преобразования 3-мерного аффинного пространства

Преобразование аффинного пространства называется аффинным, если оно коллинеарные точки отображает на коллинеарные точки. Множество всех аффинных преобразований плоскости и множество всех аффинных преобразований пространства являются группами. Групповую операцию называем сложением. Эти группы неабелевы.

Пусть а - аффинное преобразование аффинного пространства А , М = (х, у, I) произвольная точка и М а = М' = ( х, у, I). Формулы аффинного преобразования и его матрица имеют вид

х = а^х + а2 у + (І3 г + Ь ,

у' = а^х + а2 у + а| г + Ь2, т =

/ 3.3.3. ї3

г = а1 х + а2 у + а3 г + Ь ;

1 0 0 0 '

Ь1 а^ а2 а3

Ь 2 а2 а| а32

Ь3 а^ а а33,

Матрицы аффинных преобразований называются галилеевыми и группа всех этих матриц одинакового порядка относительно умножения называется галилеевой. Определителем преобразования а называется

А =

а1 а2 а3

2 2 2

а1 а2 а3

3 3 3

а1 а2 а3

Для аффинного преобразования: Дф 0. При сложении преобразований матрицы преобразований перемножаются. Всякая галилеева матрица с нену-

левым определителем задает аффинное преобразование. Аффинные преобразования плоскости составляют одуль Ли [4]. Аналогично, аффинные преобразования пространства составляют одуль Ли.

3.2 Пододули аффинного одуля Ли

3 3

Линейное пространство Ь аффинного пространства А изоморфно

пространству параллельных переносов аффинного пространства. Аффинные

преобразования плоскости с матрицами

( 1 0 0' Г 1 0 0' ( 1 0 0 л

а1 1 0 а1 еа 0 а1 е~а 0

V а2 0 1, у а 2 0 еа у а2 0 еа

(1 0 0л

а 1 0

V С Ь 1,

составляют соответственно линейное пространство, однородный растран, растран общего вида и сибсон.

4 Траектории преобразований

4.1 Уравнения траекторий преобразований

Рассматриваем 3-мерное пространство W (аффинное, евклидово, ри-маново и т.д.), в котором введены координаты - локально или глобально. Ограничение размерности несущественно. Пусть а - преобразование про-

12 3

странства W, в котором точка М = (х , х , х ) отображается на точку М =(х'1,х 2,х'3), и преобразование а задано формулами

а : хг = /г(х1,х2,х3), г = 1,2,3.

Предполагается, что а входит в некоторый одуль Ли преобразований пространства W. Значит, определены преобразования га, г е И , считаем, что заданы формулы преобразования га, и М (га) = М',

га: хп = к1 (г,х1,х2,х3), г = 1,2,3.

12 3

При фиксированной точке М = (т , т , т ) и меняющемся параметре г имеем изменяющуюся точку М :

хп = к1 (г,т1,т2,т3), г = 1,2,3.

Точка М' описывает некоторую линию в пространстве W - траекторию точки М в преобразовании а . Выполняется, см. [2],

Теорема 1. Если преобразование а пространства W входит в некоторый одуль Ли преобразований пространства W, то параметрическими уравнениями траектории точки М в преобразовании а являются формулы преобразования га, г е I с И .

Имеется другой способ получения уравнений траекторий преобразований по формулам преобразований. Рассматриваются инфинитезимальные преобразования, что позволяет получить системы дифференциальных урав-

нений преобразования. Решения этой системы дифференциальных уравнений и являются уравнениями траекторий [5]. В работе [6] одулярными методами найдены траектории аффинных преобразований плоскости. Результаты совпали с результатами из работы [5].

4.2 Примеры траекторий

12 3

1. Траектория точки A = (a , a , a ) в параллельном переносе

_ 123 — 123

m = (m , m , m ) описывается параллельным переносом tm = (mt, m t, m t),

это прямая < A, m > ; параметрические уравнения траектории:

1 1 2 2 3 3

x = mt + a , y = m t + a , z = m t + a .

2. В повороте в евклидовой плоскости вокруг начала координат на угол ф точка A(a,0) отображается на точку M (x.y): x = a cos ф, y = a sin ф. Формулы поворота tP : x = a cos фt, y = a sin фt - это уравнения траектории точки A в повороте P. Считаем угол ф равным 1 радиану. Уравнения траектории:

x = a cos t, y = a sin t.

3. Винтовые траектории. Точка A(a,0,0) движется в повороте P вокруг координатной оси Oz и в параллельном переносе вдоль оси Oz . Поворот tP на изменяющийся угол t описывается формулами x = a cos t, y = a sin t. Перенос b = (0,0,b), повторенный t раз, есть x = x, y = y, z = bt. Траектория точки A(a,0,0) в сумме движений tP + tb :

x = a cos t, y = a sin t, z = bt.

4. Траектории галилеевых движений. Формулы движения галилеевой плоскости и его матрица:

Y :*

| x = x + a,

I y' = cx + y + b;

1 0 0Л

a 1 0

c b 1,

t -кратное движения y описывается формулами

tY:

x = x + at,

y' = ctx + y + bt + ac

t(t -1).

ac

1 0 0 ' 1 0 0Y

at 1 0 = a 10

t (t -1) bt 1 vc b 1,

см. [2]. Движения галилеевой плоскости составляют сибсон. Формулы преобразований гу - это параметрические уравнения траекторий точек в преобразовании Y , теорема 1. Преобразование Y является параболическим поворотом

2

аффинной плоскости. Выберем параметры параболического поворота у: a = 1, Ь = 1, c = 2 и рассмотрим поворот

у0 : х = x +1, у = 2x + у +1.

1 2

Найдем траекторию точки H (Ь , h ), текущую точку траектории обозначим M (x, у). Уравнения траектории точки H :

г = Ь1 +1, у = 2h1t +1 +1(г -1) + Ь2.

Проследим, как преобразование Уо отображает точку 0(0,0); сначала находим А = 0у о , затем А2 = А^у о , А3 = А2 у о и т.д. Вычисляем по формулам Уо :

(0,0) ^ (1,1) ^ (2,4) ^ (3,9) ^...

2

Эти точки лежат на параболе у = х . Подставим в уравнения траектории Ь1 = 0, Ь2 = 0 :

2

х = t, у = t .

Это параметрические уравнения параболы у = х2.

5. Преобразование аффинной плоскости

Г 1 А л Л

| х' = хеа + а1,

Р: 1 ^

I у = уеа + а2;

1 0 0

а1 еа 0

а 2 0 еа

1 2

(а,а , а )

входит в однородный 3-мерный растран преобразований. По тройке

1 2

t (а, а , а ) (см. п. 1.4 и п. 3.2) имеем формулы преобразования tp и траек-1 2

торию точки Н (Ь , Ь ):

х = № + а1 е-—1, у = № + а2—

еа -1

еа -1

Это уравнения вида х = р1ва + д1 , у = р2ваа + д2. Исключая параметр t, приходим к уравнению вида

у = кх + Ь ,

следовательно, траектории точек в преобразовании р прямолинейны.

2

Преобразование аффинной плоскости зададим растом (а, 0, а ). Его формулы:

| х = х1,

Р: і ^

I у' = уеа + а2;

1 0 0

0 1 0

а 2 0 еа

„at і

2 2 Є — 1

Имеем t(a,0, a ) = (at,0, a ------------------). Уравнения траектории преобразо-

ea — 1

1 2

вания точки H (h , h )

x = h1t, у = h2eat + a

at і 2 Є_______—1

a

e —1

Явное уравнение траектории:

у = рех + Ь.

Это экспоненциальная кривая.

6. Преобразования аффинной плоскости

I x = xe a + a1, т: « ^

I у' = yea + a2;

1 0 0

a1 e"a 0

a 2 0 ea

1 2

(a,a , a )

1 2

составляют растран общего вида (см. п. 1.4 и п. 3.2). По тройке г (а,а , а )

1 2

записываем уравнения траектории точки Н (Н , Н ) в преобразовании гт : х = Н1е~аг + а1

„—at л at і

,1 —at , 1 e — 1 ,„2 at , „2 e — 1

:, у = h2 eat + az

е"“ -1

Отсюда, исключая параметр г, получаем

к

у = — + Ь. х

Траектории точек - гиперболы.

7. Рассмотрим преобразования вида

e“ — 1

I x = a}x + a\ у,

П: ' , 2 2 m =

I у' = axx + a2 у

А 1 1 ^ a^ a2

a 2 «2

V "

, det m Ф 0.

Щ а2 ^

Матрица т может иметь 0,1, 2 собственных значений или бесконечно много собственных значений. Не имеет собственных значений матрица эллиптического поворота плоскости

m0 =

^cos ф — sin ф ^ sin ф cos ф

Траектория точки H (h ,0) имеет уравнения

x = h1 cos ф, у = h1 sin ф.

Это эллипс. Матрица m с одним собственным значением имеет вид

(1 b > mi = .0 1.

это матрица галилеева движения плоскости, см. пример (4). Траекториями движения являются параболы. Матрица т1 задает параболический поворот плоскости. Матрица т с двумя различными собственными значениями подобна матрице

т2 =

а 0

0 Ь

, а Ф Ь .

Положим, а = 2, Ь = —. Формулы преобразования с матрицей т2 :

х = 2х, у = — у .

2

Точка Н (1,1) отображается последовательно

(1,1) ^ (2,1) ^ (4,1) ^ (8,1) ^...

2 4 8

Произведение координат всякой точки этой последовательности постоянно и равно 1. Следовательно, все точки лежат на гиперболе

ху = 1 .

Матрица вида т2 задает гиперболический поворот плоскости. Преобразование с матрицей т2, в которой а = Ь , является гомотетией. В гомотетии всякое направление на плоскости является инвариантным.

4.3 Траектории преобразований, составляющих 3-мерные одули Ли

Согласно п. 3.2, 3-мерные разрешимые одули Ли являются пододулями аффинного одуля Ли, см. также [2, 4]. Одуляр (р, а,Ь) каждого из одулей Ли представляется аффинным преобразованием; траектории точек в преобразовании определяются тройкой г(р, а, Ь). Рассматриваем тройку (1, а, Ь), р = 1. В одулях Ли имеем:

) = (г, аг, Ьг) - в линейном пространстве;

ї (1, а, Ь г (1, а, Ь

ї (1, а, Ь ї (1, а, Ь ї (1, а, Ь ї (1, а, Ь

ї, аї, Ьї + а

ї (ї -1)

еї -1 иєї -1

ї, а----------, Ь----------

є -1 є -1

є- -1 е -1'

ї, а— -----------, Ь

є-1 -1

є -1

■ в сибсоне;

■ в однородном растране;

■ в растране общего вида;

/

єї -1 ї, а----------------, Ьї

ї, а-

є-1

єї -1 є -1

- в V -растране;

,,їєї єї -1 ,єї -1

+ Ь(------- +----------2 є), Ь---------

є -1 (є -1)2 є -1

л

- в диссоне;

. t -1

. t -1

Л

t (1, a, Ь) = t, a +

V

/

в осцилляторном одуле Ли.

Здесь v -растран есть прямая сумма 2-мерного растрана и 1-мерного линейного пространства. Траектории точек в аффинных преобразованиях, определяемых тройками (1, a,Ь) , являются прямыми линиями в соответствующих одулярных пространствах. Согласно работе [2], в каждом из одулей Ли выполняется равенство ^п)' = п, где п - постоянный одуляр. По формулам дифференцирования одулярных функций ^(1, a,Ь))' = (1,а,Ь). Следовательно, рассматриваемые траектории являются геодезическими линиями одулярных пространств. Кривизны траекторий в соответствующих одулярных пространствах равны нулю. Уравнения траекторий получаем по компонентам одуляров t(1, a,Ь) . В пространстве с диссоном:

Примеры уравнений траекторий содержатся в предыдущем п. 4.2. Во многих одулярных пространствах уравнения прямых нелинейны.

Пусть а преобразование пространства W и определены преобразования ta, t е И . Имеют место следующие свойства.

1. 1-параметрический одуль Ли преобразований <а> = ^а11е И} является 1-мерным линейным пространством. Линейное пространство преобразований <а> является оболочкой любого своего нетождественного преобразования: если Ре <а> и Р^#, то <Р> = <а>.

2. Траектория точки H в преобразовании а есть множество точек

l =< H, а > = {М | HM = tа, t е И}. Это 1-мерное аффинное пространство.

3. Траектории точек пространства W в преобразованиях пространства W, входящих в некоторый одуль Ли преобразований, обладают такими же свойствами, как и прямые аффинного пространства. Свойства аффинных прямых см. в п. 2.3.

4. Если Р е < Н, а > и Ра = Q , то Q е < Н, а >.

5. При применении любого преобразования ta к траектории < Н, а> траектория < Н, а> скользит сама по себе, т.е. образ траектории < Н,а> в преобразованиях ta совпадает с траекторией < Н, а> и tа есть преобразования траектории < Н,а>. Преобразование Р из одуля <а> траектории

< Н, а > является преобразованием траектории.

Перенесение преобразования Р вдоль траектории < Н, а> означает, что Р применяется к точкам Р траектории. Свойство 4 утверждает, что образы точек Р в преобразовании Р лежат на траектории < Н, а>. Свойство 5

х = t, х = а-------------------

е -1

+ Ь ------+--------—е , х = Ь---------

^е -1 (е -1)2 ) е -1

4.4 Свойства траекторий. Геодезические

означает, что траектории преобразований пространства W являются кривыми постоянного направления в пространстве W, т.е. геодезическими пространства W, см. [7, с. 135].

6. Траектории преобразований пространства W , входящие в некоторый одуль Ли преобразований пространства W, являются геодезическими линиями пространства W.

4.5 Траектории движений

Рассматривается пространство W, в котором введена метрика. Преобразование 8 пространства W называется движением пространства W, если метрика инвариантна в преобразовании 8 .

Теорема 2. Траектории движений являются кривыми постоянных кривизн пространства W.

# Пусть I - траектория движения 8 пространства W , и Р - точка кривой I. Пусть &1, ^2,..., кп - кривизны кривой I в точке Р (п кривизн имеет кривая (п +1) -мерного пространства). Пусть Q - любая точка кривой I. Существует движение пе<8 > , что Q = Рп , значит, кривизны кривой I в точке Q равны &1, ^2,..., кп , т.е. во всех точках кривой I ее кривизны постоянны. #

Существуют траектории точек только в движениях, не изменяющих ориентации пространства. Движения евклидовой плоскости, не изменяющие ее ориентации, - параллельные переносы и повороты. Их траектории - прямые и окружности, линии постоянной кривизны. В евклидовом пространстве существует еще винтовое движение. Его траектории - винтовые линии. См. примеры траекторий (1—3) в п. 4.2. Параболический поворот галилеевой плоскости есть ее движение, пример 4 в п. 4.2. Траектории параболического поворота называются циклами галилеевой плоскости. Прямые линии и циклы - линии постоянной кривизны галилеевой плоскости. Гиперболический поворот, пример 6 в п. 4.2, есть движение псевдоевклидовой плоскости. Кривые постоянной кривизны псевдоевклидовой плоскости - это прямые и гиперболы.

5 Поверхности траекторий

5.1 Одулярные поверхности траекторий

Считаем, как и выше, что в пространстве W введены координаты и что некоторые преобразования пространства W образуют одуль Ли. Пусть а, Р -преобразования W и оболочка <а,Р> 2-мерна. По п. 1.3 <а,Р> есть либо линейное пространство, либо растран. Рассматриваем множество точек

П = {М | НМ = uа + vР, (ы,у) еИ2},

оно состоит из образов точки Н во всех преобразованиях иа + vР из одуля

12 3

Ли <а,Р>. Уравнения траектории < Н,а> точки Н(к ,к ,к ) в преобразовании а имеют вид: X = /г (и, к1, к2, к3), и е И, г = 1,2,3, а уравнения траекторий точек, лежащих на траектории < Н, а>, в преобразовании Р:

X = /1 (и,V,к1,к2,к3), (и,V)е И2, г = 1, 2,3. Последними уравнениями опре-

делена поверхность П . Она называется одулярной поверхностью траекторий. Обозначаем ее < Н, а, Р >.

Теорема 3. Одулярная поверхность траекторий является 2-мерным ВО-пространством.

# Пусть Р еП. Для любого преобразования иа + vР из <а, Р> обозначим Р (иа + vР) = Q , т.е. PQ = иа + vР. Так как Р еП , то существует преобразование tа + ^Р , что НР = tа+ ^Р . В композиции преобразований ta + ^Р + иа + vР имеем преобразование вида к а + тР. В линейном пространстве <а, Р>: к = t + и, т = 5 + V . В 2-мерном растране выражение чисел к и т через t, 5, и, V несколько сложнее, но оно существует. Значит, точка Q , как образ точки Н в преобразовании к а + тР, лежит на поверхности П . Для любых точек Р, Q, Я поверхности П : QR = QH + НЯ, PQ = РН + HQ , тогда PQ + QR = РН + НЯ и РЯ = РН + НЯ , значит, PQ + QR = РЯ . Аксиомы ВО-пространства выполняются, см. п. 2.1 и 2.2. #

5.2 Примеры одулярных поверхностей траекторий

1. Плоскость < А, т, п > аффинного пространства является множеством

12 3

образов точки А(а , а , а ) в параллельных переносах из линейного про-

_ 123 - 123

странства < т, п > , т = (т , т , т ), п = (п , п , п ); параметрические уравнения плоскости:

111 222 333

х = т и + п V + а , у = т и + п V + а , г = т и + п V + а .

2. Линейное пространство параболических поворотов. Параболоиды. Параболический поворот вокруг координатной оси Ох (его сужение на

плоскость Оуг есть параболический поворот этой плоскости):

а: х = х, у = у +1, г = г - у -1.

Параболический поворот пространства вокруг координатной оси Оу :

Р: х = х +1, у = у, г = г + х +1.

Находим суммы преобразований:

а + Р: х = х + 1, у = у + 1, г' = г - у + х, Р + а: х = х + 1, у = у + 1, г' = г + х - у .

Получилось совпадение а + Р = Р + а. Преобразования а, Р перестановочны, поэтому одуль преобразований <а, Р> является линейным пространством. Имеем

и 2

иа: х' = х, у = у + и, г = г - уи - —,

2

уР : х' = х + V, уг = у, г' = г + ху + — , и,Vе И .

Формулы композиции преобразований:

2 2

о / / / V и

ua + vp: х = х + V, у = у + и, г = г + хг + — - уи - —.

123

Траектория точки Н (к , к , к ) в преобразовании ua + vР есть

2 2

А ,2 V и ,1 ,2 ,3

х = V + к, у = и + к , г =---+ к V - к и + к .

2 2

Это параметрические уравнения одулярной поверхности траекторий

12 3

< Н, а, Р>. Она заполняется траекториями точки Н (к , к , к ) в преобразо-

12 3

ваниях иа + vР. Для любого образа (х, у, г) точки (к , к , к ) в преобразова-

2 2 1 2 2 2 3

ниях иа + vР выполняется равенство х - у - 2г = (к ) - (к ) - 2(к ).

1 2 2 2 3

Число (к ) - (к ) - 2(к ) постоянно для рассматриваемой одулярной поверхности траекторий, проходящей через точку Н , следовательно, полученная поверхность является гиперболическим параболоидом.

Возьмем еще преобразование

у: х = х, у' = у +1, г = г + у +1.

Имеем линейное пространство преобразований <а,у> и одулярную поверхность траекторий < Н, а, у > :

2 2

А ,2 V и ,1 ,2 ,3

х = V + к, у = и + к , г = — + — + кv + ки + к .

2 2

Это эллиптический параболоид.

3. Поверхность с растраном.

Преобразование аффинного пространства

р: х = х +1, у = еу + а, г' = г представляет раст. Поэтому

^ -1

/ , / V , с А /

vр: х = х + V, у = е у + а-, г = г .

е-1

Преобразование, обратное к р, есть -р: х = х -1, у = е_1 у - ае_1, г = г. Рассмотрим еще параллельный перенос:

п: х = х, у = у, г = г + р .

Находим -р + п + р = еп , имеем растран <р,п>. Сумма преобразований vр + ип при всех V, и е И задает поверхность < Н, р,п > , как одулярную поверхность траекторий точки Н , уравнения поверхности

„V,2 , -1

1 2 ^ — 1 3

х = V + й, у = вуН + а---------------, г = ри + й .

е — 1

Полученная поверхность является ЛМ-плоскостью (2-мерным ВО-прост-ранством с растраном) некоммутативным 2-мерным одулярным подпро-

3

странством аффинного пространства А . В плоскостях, параллельных координатной плоскости Оху , лежат V -линии поверхности

1 2 ^ -1

х = V + к, у = еук + а---, г = С3.

е-1

Это экспоненциальные кривые; и - линии поверхности - прямые: 3

х = С1, у = С2, г = ри + к , параллельные оси Ог. Имеем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Ог и экспоненциальной направляющей в плоскости Оху .

5.3 Собственная геометрия поверхности траекторий

Определенные выше, в п. 5.1, одулярные поверхности траекторий П есть 2-мерные одулярные подпространства того пространства W, преобразованиями которых они определены, теорема 3. Геометрия поверхности П изучается методами геометрии пространства W. Но одулярная поверхность траекторий обладает и собственной геометрией - геометрией этой поверхности, как одулярного пространства.

Собственная геометрия поверхности - геометрия поверхности как 2-мерного одулярного пространства, построенного в аксиоматике Г. Вейля на основе свойств одуля Ли преобразований объемлющего пространства и являющегося одулем Ли этой поверхности. Например, для аффинного пространства это одулярная геометрия его поверхностей и обобщение аффинной геометрии.

Теорема 4. Одуляры одулярной поверхности траекторий обладают свойством абсолютного параллелелизма.

# Пусть < Н, а, Р> - одулярная поверхность траекторий в некотором пространстве. Пусть <у,8> - два одуляра из < Н, а, Р>. В линейном пространстве: -8 + у + 8 = у, в растране: -8 + у + 8 = к у , к Ф 0. Таким образом, в параллельном перенесении всякого одуляра у всяким одуляром 8 получается или тот же одуляр у , или ненулевой одуляр к у ; направление одуляров у , к у одно и тоже. Это и есть свойство абсолютного параллелелизма одуляров из <а, Р> . #

Теорема 5. Траектории всякой точки поверхности < Н, а, Р> в преобразованиях иа + vР являются геодезическими линиями поверхности

< Н, а, Р > в ее собственной геометрии.

# 1-параметрический одуль Ли <у> = <иа + vР> есть одуль Ли траектории < А, иа + vР > точки А одулярной поверхности траекторий. По теореме 4 одуляр у = иа + vР обладает абсолютным параллелелизмом, следовательно, < А, у> есть геодезическая поверхности < Н, а, Р>. #

Свойство. Если Ае < Н,а,Р > и у,8е < а,Р>, 8е< у >, то < А,у,8 > = = <а, Р > .• одулярная поверхность траекторий определяется любой своей точкой и любыми своими двумя независимыми одулярами.

Теорема 6. На одулярной поверхности траекторий < H, а, Р> через каждую точку во всяком направлении проходит единственная геодезическая.

# Пусть Aе< H, а, Р>. Поверхность < H, а, Р> является ВО-прост-ранством, теорема 3. Согласно аксиомам Г. Вейля, от любой точки A поверхности можно отложить любой одуляр из <а, Р> и образ точки A в любом преобразовании иа + vP лежит на поверхности. Всякие две точки поверхности A и P определяют единственный одуляр из <а,P>. Точка A и одуляр иа + vP определяют единственную траекторию < A, иа + vP > , она лежит на поверхности. #

Свойства одулярной поверхности траекторий повторяют свойства аффинных плоскостей. На метрические свойства одулярной поверхности траекторий влияют метрические свойства окружающего поверхность пространства. Например, геодезические линии на плоскости евклидова пространства -прямые, линии нулевой кривизны; геодезические линии одулярной поверхности с линейным пространством параболических поворотов - параболы, кривизна параболы отлична от нуля. Точно так же кривизна одулярной поверхности траекторий в евклидовом пространстве может иметь ненулевую кривизну. Указанная только что поверхность, пример 2 в п. 5.2, имеет гауссову кривизну K =-----------^——.

(1 + и + v )

5.4 Поверхности с одулем размерности больше 2

Взяв любые два независимых нетождественных преобразования, не обязательно получаем поверхность, как одулярную поверхность. Пусть а, в -преобразования пространства W, Р^<а,Р> и пусть их оболочка не 2-мерна. Записывая формулы композиции преобразований иа + vP, получаем

2-параметрические уравнения (с параметрами и, v), они в пространстве W определяют поверхность. Например, рассмотрим вращения евклидова пространства вокруг координатной оси Oz и вокруг оси Oy . В повороте вокруг оси Oy точка A(a,0,0) описывает траекторию x = a cos и, y = a sin и ; точки этой траектории в повороте вокруг оси Oz описывают траектории x = a cos и, y = a sin и, z = z . В композиции поворотов сначала вокруг оси Oy , а затем вокруг оси Oz имеем сферу, заполненную траекториями точки A в указанных поворотах, уравнения сферы

x = a cos и cos v, y = a cos и sin v, z = a sin и .

Взяв повороты в обратной последовательности, получаем уравнения сферы

x = a cos и cos v, y = a sin v, z = a sin и cos v.

Рассматриваемые повороты неперестановочны.

Известно, что повороту евклидова пространства соответствует кватернион единичного модуля [8], композиции поворотов - произведение кватернионов. Мультипликативная группа кватернионов не 2-мерна. Поэтому сфера не является 2-мерным одулярным пространством, она не имеет

собственной одулярной геометрии; не всякая из рассмотренных траекторий -

геодезическая на сфере.

Список литературы

1. Сабинин, Л. В. Одули как новый подход к геометрии со связностью / Л. В. Сабинин // ДАН СССР. - 1977. - № 5. - C. S00-S03.

2. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии оду-лярных пространств / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2005. - 310 с.

3. Вейль, Г. Пространство. Время. Материя : лекции по общей теории относительности / Г. Вейль. - М. : Едиториал УРСС, 2004. - 456 с.

4. Долгарев, А. И. Одулярное описание аффинных преобразований плоскости / А. И. Долгарев // Деп. в ВИНИТИ 07.02.97, № 369 - В 97. - 59 с.

5. Широков, П. А. Аффинная дифференциальная геометрия / П. А. Широков, А. П. Широков. - М., 1959. - 320 с.

6. Долгарев, А. И. Одулярное описание траекторий аффинных преобразований плоскости / А. И. Долгарев // Деп. в ВИНИТИ 03.0S.9S, 2473 - В98. - 19 с.

7. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу. -М. : Наука, 1981. - 1 т. - 344 с.

S. Кантор, И. Л. Гиперкомплексные числа / И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. -М. : Наука, 1973. - 144 с.