Получение поверхностей одулярного галилеева пространства с сибсоном по коэффициентам их квадратичных форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 + 514.7

И. А. Долгарев

ПОЛУЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОДУЛЯРНОГО ГАЛИЛЕЕВА ПРОСТРАНСТВА С СИБСОНОМ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ИХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

Аннотация. На основе коэффициентов квадратичных форм поверхности одулярного галилеева пространства с сибсоном (единственным 3-мерным нильпотентным одулем Ли) составлена система дифференциальных уравнений с частными производными, решение которой приводит к определению поверхности.

Ключевые слова: некоммутативное галилеево пространство, поверхность, коэффициенты квадратичных форм.

Abstract. As a result of solution of combined differential équations with partial derivatives we have surface of noncommutative Galilean space in sibson by value coefficients of quadratic forms.

Keyword: noncommutative Galilean space, surface, coefficients of quadratic forms.

В геометрии свойства поверхностей характеризуются некоторыми функциями или константами, получаемыми в процессе дифференцирования функций, задающих поверхности. Большой интерес представляет обратная задача: получение поверхностей, свойства которых описываются заданными функциями - коэффициентами квадратичных форм поверхности. Поверхностям сопоставляются квадратичные формы, их коэффициенты позволяют решать метрические задачи на поверхности, вычислить кривизну поверхностей, линий на поверхностях. Ставится задача - по коэффициентам квадратичных форм поверхности найти поверхность. В евклидовой геометрии эта задача решена, а именно доказана теорема Бонне о том, что поверхность определяется заданием коэффициентов ее первой и второй квадратичных форм [1]. Заданы шесть скалярных функций двух параметров - коэффициентов первой и второй квадратичных форм поверхности. Эти функции и их производные связывают три уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Требуется найти три скалярные функции двух параметров, являющиеся компонентами векторной функции, задающей поверхность в евклидовом пространстве. В галилеевом пространстве имеется четыре скалярные функции двух параметров - коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности и три уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Требуется найти две скалярные функции двух параметров, которые служат компонентами в общем случае одулярной функции, задающей поверхность в галилеевом пространстве. Поверхность галилеева пространства определяется векторным полем евклидовой плоскости, но при этом может получиться и поверхность в некоммутативной одулярной галилеевой геометрии.

Примеры получения одулярных поверхностей по евклидовым 2-мерным векторным полям с помощью дифференциальных уравнений содержатся в [2]. Основы дифференциальной геометрии некоммутативного одулярного пространства с сибсоном изложены в [3, 4]. Монография [4] рассматривает 3-мерные разрешимые действительные одули Ли и вейлевские одулярные

пространства с этими одулями. Существует пять видов действительных разрешимых одулей Ли, к ним относится и абелев одуль Ли - линейное пространство. Вейлевские одулярные пространства обобщают аффинное пространство, имеют с ним общую аксиоматику. Вводя на одуле Ли галилееву норму, получаем галилеевы одулярные пространства. Среди них содержится и классическое пространство-время Галилея. Дифференциальная геометрия 3-мерного пространства-времени Галилея изложена в [4]. Отличные от пространства Галилея пространства с галилеевой нормой называются галилеевыми. Основная теорема теории поверхностей пространства Галилея, аналог теоремы Бонне, доказана в [5], подробные исследования проведены в [6]. Наиболее близким к пространству Галилея является одулярное галилеево пространство с растраном, растран - это одуль Ли, составленный из параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства. Основная теорема теории поверхностей некоммутативного галилеева пространства с растраном доказана в [7]. Сибсон является единственным нильпотентным одулем Ли, он состоит из галилеевых движений.

Ниже доказывается аналог теоремы Бонне для поверхностей ЕС-пространства, т.е. галилеева пространства с касательным отображением о одуль Ли галилеевых движений. В процессе доказательства используются дифференциальные уравнения. Трудности в доказательстве связаны с тем, что полная кривизна поверхности ЕС-пространства не относится к внутренней геометрии поверхности и формулы Гаусса-Петерсона-Кодацци содержат, кроме коэффициентов квадратичных форм поверхности, еще дополнительные функции.

Рассмотрен также случай, в котором коэффициенты квадратичных форм поверхности являются постоянными величинами.

Поверхности ЕС-пространства изучаются в [3], одулярные галилеевы пространства описаны в [4]. Результаты описания поверхности ЕС-прост-ранства по коэффициентам ее первой и второй квадратичных форм доложены на Лобачевских чтениях в Казанском университете в 2007 г. [8], о поверхностях одулярных галилеевых пространств сообщено в Международной школе-семинаре памяти Н. В. Ефимова в 2006 г. [9].

1 Сибсон и ЕС-пространство

1.1 Нормированный сибсон

Действительный 3-мерный сибсон 13 определяется на многообразии Я следующими операциями над тройками чисел, см. [4]:

(х, х1, x2) + ( у, у1, у 2) = (x + у, x1 + у1, x2 + у 2);

((г, г1, х2) =(Я, А, г2, + хх1^), г в Я .

Операция сложения некоммутативна. Элементы сибсона называются сибсами и обозначаются а, Р,..., а,... Пусть а = (1,0,0), Р = (0,1,0), у = (0, 0,1). Имеется разложение

12 12

а = (х,х ,х ) = ха + х Р + х у.

3

Упорядоченное множество Б = (а, Р, у) является базисом сибсона 2 .

Сибсы (х, 0,0) составляют линейное пространство L1 над R, сибсы

12 2 (0, х , х ) составляют линейное пространство L над R . Сибсон является

3 2 I 1

полупрямой суммой линейных пространств: 2 = L L . На линейных пространствах L1, L2 определена евклидова норма, превращающая их в евкли-

1 2

довы пространства V , V . На сибсоне задается галилеева норма: галилеевой

II 12

нормой а сибса а = (х, х , х ) называется

i i i i ii i 1 2 2 2 а = х, если х Ф 0; а=у(х ) + (х ) , если х = 0.

1 2

Компонента х всякого сибса является временной, компоненты х , х являются пространственными.

Сибсон по сложению является нильпотентной группой Ли ступени 2. Как группа Ли, сибсон порождается двумя сибсами. Неперестановочные сиб-

3

сы а, р порождают сибсон 2 . Всякие два перестановочных сибса порождают 2-мерное евклидово векторное пространство или 2-мерное галилеево пространство.

1.2 Сибсонные функции

Сибсонная функция одного параметра является совокупностью трех действительных функций одного действительного параметра

a(t) = (х(Г), х1 (t), х2 (t)), t е I с R .

12 3

Считаем, что функции х^), х (t), х (t) есть функции класса C . Формула дифференцирования сибсонных функций такова:

a'(t) = х'^), х'1 (t), х/2 (t) + х Í1 х'1 - х1

V V2

см. [4]. Сибсонная функция двух параметров - это тройка действительных функций двух действительных параметров:

12 2 а(и, v) = (х(и, v), х (u, v), х (u, v)), (u, v) е D с R .

3

Рассматриваем функции класса C . Для функции а(и,v) частные производные находятся по правилу дифференцирования сибсонных функций одного параметра [4]. Смешанные производные второго порядка зависят от порядка дифференцирования: auv Ф avu .

1.3 ЕС-пространство

3

Рассматривается множество {A, B,...,M,...} точек и сибсон 2 . Ото-

3

бражение пар точек (A, B) в сибсон 2 удовлетворяет аксиомам Г. Вейля. Тем самым определяется вейлевское одулярное пространство - ВО-прост-ранство с сибсоном [4]. ВО-пространство с нормированным сибсоном, п. 1.1,

называется ЕС-пространством. Точка О и базис Б = (а, Р,у) сибсона составляют репер ЕС-пространства В = (О, а, Р, у). ЕС-пространство является оду-

лярным галилеевым пространством-временем. Координаты сибса ОМ в бази-

1 2

се Б есть координаты точки М в репере В. Если ОМ = (х, х , х ) - сибс

12 12 в репере В, то М = (х, х , х ). Компонента х всякой точки М = (х, х , х ) яв-

1 2 т-.^

ляется временной, компоненты х , х являются пространственными. ЕС-прост-ранство является галилеевым пространством-временем. Расстояние |АВ| между точками А и В определяется как норма сибса АВ . Координатная плоскость < О, Р, у > ЕС-пространства является евклидовой, координатная плоскость < О, а, у > является галилеевой; не существует плоскости, определяемой точкой О и сибсами а, Р. Через всякую точку А ЕС-пространства проходит единственная евклидова плоскость < А, Р, у >. Всякая другая плоскость, проходящая через точку А, является галилеевой плоскостью. Существуют неколлинеарные точки, через которые не проходит никакой плоскости [3, 4].

1.4 Поверхности ЕС-пространства

Регулярная поверхность ЕС-пространства в естественной параметризации, см. [4], задается сибсонной функцией двух параметров:

а(ґ, и) = (ґ, х(ґ, и), у(ґ, и)), (ґ, и) є Б с Я2. (1)

и -линии поверхности ст(^0, и) = (¿0, х(Ґ0, и), у(¿0, и)) являются линиями евклидовых плоскостей ґ = ¿о ЕС-пространства, ґ -линии поверхности с(ґ, ио) = (ґ, х(ґ, ио), у(ґ, ио)) есть кривые ЕС-пространства в естественной па-

3

раметризации. Сибсы аг, аи порождают сибсон 2 , поэтому поверхность не обладает касательной плоскостью [3, 4]. Основные сведения о поверхностях ЕС-пространства содержатся в [3, 4].

Сибсонную функцию (1), задающую поверхность, запишем в виде двух составляющих:

а(ґ, и) = ґа + г (ґ, и). (2)

Составляющая ґа является временной, ґ есть время; составляющая г(ґ,и) = (х(ґ,и), у(ґ,и)) является пространственной. Функция г (ґ, и) - евклидова векторная функция, она является проекцией поверхности ЕС-прост-ранства на евклидову плоскость Е =< О, Р, у>. Для того чтобы задать поверхность в ЕС-пространстве в естественной параметризации, достаточно задать векторную функцию г (ґ, и).

Согласно правилу дифференцирования сибсонных функций, п. 1.2, производные первого порядка функции (1) равны

=а + (хґ, Уґ + 1 хґ - х) = а + г ^1 хґ - х ^ у , аи =(0, хи, Уи) = ги, (3)

здесь у - третий сибс репера В = (О, а, Р, у) ЕС-пространства. Единичный

сибс нормали поверхности таков:

n = X (~ Уи• xu )• (4)

4хи + Уи

Производные второго порядка функции (1) равны:

att = rtt + ^-2xtt - xt j Y • °tu = rtu + ^-2xtu - xu j Y • aui = rut• °uu = ruu • (5)

Первая квадратичная форма поверхности есть

2 I dt2, если t Ф const, ds2 = j ’ (6)

[Edu , если t = const.

Ненулевой, тождественно не равный единице коэффициент первой квадратичной формы поверхности таков:

E = x2 + yu • (7)

Функция E = E(t, u) называется еще метрической функцией поверхности галилеева пространства. Вторая квадратичная форма поверхности:

II = Adu2 + 2 Bdudt + Cdt2, (8)

ее коэффициенты

A=^ •B=fut* • C=(r”+(ix-- xt )Y j *• (9)

Полная кривизна поверхности равна

^ = AC - B2. (10)

Деривационные формулы поверхности ЕС-пространства:

E E

°uu = ruu =~^u ru ^ An • °ut = rut = ~ F ru ^ Bn ;

2E 2E

Et + xtuyu 2xuyu

2E

і - ? 2 ^ B ^ xtu xu 2 xu

2 E

V

Я, ай = Cn . (11)

l.5 Основные уравнения теории поверхностей ЕС-пространства

В работе [4] получены формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци для поверхностей ЕС-пространства. Имеется два аналога формулы Гаусса:

e} - 2EEtt і BEt і— і— ^ xu і 1 K = _L------tji -1 — t + BwE - ^E |— +1 xtu — x,

4E V 2VE'^ " ) yu T* 2^ J yu

K = E—2EEl -+ B^-^VE]yu-; (12)

4E V 24E '

и формулы Петерсона-Кодацци:

2Е(Би - Л,) = ВЕп - ЛЕг; (13)

ВЕг - 2Е(Си - Б,) = 4Ё(2■% - хш)х„ . (14)

Согласно формулам (12) полная кривизна поверхности не относится

к внутренней геометрии поверхности ЕС-пространства.

2 Определение поверхности ЕС-пространства коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм

2.1 Постановка задачи

В ЕС-пространстве рассматриваем поверхность, заданную сибсонной функцией а(,,и) (1) в естественной параметризации. Ее пространственная

_ 2 составляющая г (,, и) задана на односвязной области Б с Е евклидовой

плоскости ЕС-пространства. Для поверхности (1) на области Б определяются четыре скалярные функции класса С2 :

Е = Е(,,и) > 0 , Л = Л(,,и), В = В(,,и), С = С(,, и), (15)

являющиеся коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверх-

ности. Эти функции связывают уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци и выполняются четыре деривационные формулы (11) для производных второго порядка сибсонной функции ( 1). Ставим задачу: по заданным функциям (15) найти векторную функцию г (,, и) - пространственную составляющую поверхности ЕС-пространства, записанную в виде (2), чтобы эта поверхность имела первую и вторую квадратичные формы, коэффициенты которых есть функции (15). Для однозначного определения поверхности заданы начальные условия

г(,о,ио) = а , Ги(¿о,ио) = Ь , Ь =4Е , гг(^,ио) = с , (16)

где (¿о, ио) £ Б и а, Ь, с - известные векторы, причем векторы Ь и с некол-

линеарны.

Так как г (,, и) - векторная функция, то выполняется следующее условие.

Условие (р). Компоненты х(,,и), у(,,и) функции г (,,и) удовлетворяют обычным условиям С -функций: смешанные производные этих функций не зависят от порядка дифференцирования.

Сформулированная задача сводится к доказательству теоремы, аналогичной теореме Бонне, см. [1], евклидовой геометрии.

Основная теорема. Если на односвязной области Б евклидовой плоскости заданы функции (15) класса С , для них выполнены условия (12)-(14), то на области Б существует функция г(,,и) = (х(,,и),у(,,и)), являющаяся евклидовой, т.е. пространственной составляющей сибсонной функции а(,,и) =,а + г (,,и), задающей поверхность в ЕС-пространстве, единственную, удовлетворяющую условиям (16), первой и второй квадратичными фор-

мами которой являются (6) и (8), коэффициенты которых совпадают со значениями заданных функций (15) в точках области Б .

Доказательство теоремы содержится в п. 2.3-2.5.

2.2 Системы дифференциальных уравнений с частными производными

Определить компоненты векторной функции г (',и) по функциям (15) можно на основе формул (3), (4), (8), (10), составив по ним систему дифференциальных уравнений с частными производными:

-2 г

ги = Е,

г + Д х - х )У = Е' + х'иУи 2ХиУи г +

гги^(~ хы хи) I ~ ^ 'и '

2 2Е

1

В +

ХЩ хи 2 х

2Е

(17)

га +(- х''-х') У = Сп.

Это система уравнений в векторной форме. Второе уравнение системы получено из второй формулы в (5) и третьей деривационной формулы в (11). Третье уравнение системы получено из первой формулы в (5) и четвертой деривационной формулы в (11). Формулы (12), (13) представляют собой условия интегрируемости системы уравнений (17), к ним относится и условие (р).

Второе и третье уравнения в (17) запишем в компонентах входящих в них векторных функций. Для компонент векторов из второго уравнения с учетом (4) и у = (0,1), как евклидова вектора, выполняются равенства:

х'и

Е' + хшУи 2 хиУи

2 Е

хи +

В +

ЧиЛи

2Е

V + 1 х - х = Е' + х'иуи 2 хиУи у +

■Уш т ~ Л'и Ли ~ ^ Уи^

2 2Е

(

В +

2 хи2 ^ Г УиЛ .

) 1 л/Е, 5

2 2 1 Я* 3 X хи

2Е У л/Е

(18)

. (19)

Перепишем (18) в виде

Е' хи. -2хи В

х'и = 2Е хи + 2Е Уихи — Уи

х'и 2 хи

2Е

Уихи

отсюда получаем

=-Л. -_В_

хы 2е хи Уи .

(20)

В равенстве (19) производим тождественные преобразования.

1 - = Уи + 2 хи хи =

хшУи 2 хиУи + хихи 2 хихи , Е'

2 Е

+------Уи + В

2 Е

у[Е ’

+ 1 х -х = х?и (хи + Уи ) 2 хи (хи + Уи ) + Е' ,, +

У'и + 2х'и хи = 2Е 2ЕУи + В^ '

2 2

С учетом Е = хи + Уи , см. (6), получаем

- Е. в

Уш — 2Е уи ^ Хи '

(21)

Третье векторное уравнение системы (17) легко заменяется двумя покомпонентными уравнениями и система векторных уравнений (17) эквивалентна следующей системе дифференциальных уравнений с частными производными, куда вошли уравнения (20) и (21):

хіи

уи

2 Е

2Е

С

в

4Е

в

Уи,

(22)

х'' 4ЕУи,

1 с

У" + 2 х"хи хгхи = ^е хи.

Составляющие х(',и), у(',и) сибсонной функции а(',и) = 'а +

+(х(', и), у(', и)) являются решением системы дифференциальных уравнений с частными производными (22).

В доказательстве основной теоремы используются заданные функции -коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности. Эти функции не являются производными искомых функций, описывающих поверхность, но выражаются через них. Поэтому сначала отыскиваются частные производные ги и г неизвестной функции г (', и) по коэффициентам квадратичных форм поверхности с использованием деривационных формул поверхности и уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци. Затем по найденным функциям ги и Г находится функция г (', и). В этом состоит метод последовательного интегрирования системы уравнений (22).

Функция ги (', и) для поверхности ЕС-пространства отыскивается так же, как для поверхности коммутативного пространства Галилея [5]. Условия нахождения функции г' осложняются тем, что деривационные формулы поверхности и уравнения Петерсона-Кодацци содержат не только заданные функции Е, А, В, С , но и отдельные компоненты функций га, г . Чтобы найти функции х', У' - компоненты функции г (', и), приходится решать вспомогательные дифференциальные уравнения в частных производных, затем используется условие (р). После этого возникают уравнения с полным дифференциалом функций х(', и), У(', и) .

2.3 Функция ги

Согласно виду формулы (6) для коэффициента Е первой квадратичной формы поверхности обозначим

xu = VE cos w , yu = VE sin w, (23)

где w = w(t,u) - функция, которую предстоит найти. Как в [5], находим по второму и третьему уравнениям системы (22)

В_

VE’ ’Ч~ТЕ’

на основе (13) получаем уравнение с полным дифференциалом:

wu =~г=г, wt =—; (24)

А ¡ В —¡=du + —=• at = 0,

VE VE

решением которого является функция w = w(t,u). Начальные условия, см. (16), определяют единственную функцию

ru (t, u) = (VE cos w, VE sin w). (25)

Теперь единичный вектор нормали поверхности есть (согласно (4) и (24))

n = (-sin w, cos w). (26)

2.4 Функция rt(t,u)

Функцию rt пространственной составляющей поверхности a(t, u) (1) находим по компонентам производных второго порядка otu , att, сибсонной функции a(t, u), входящим в систему уравнений (22). Сначала мы отыщем векторные функции rtu и rtt, а затем функцию rt будем находить по ее производным rtu и rtt по условию (р) из п. 2.1. В третье уравнение системы (22),

т.е. в уравнение (20), подставляем уже найденные функции (23):

Et

x,

tu

= —— cos w - B sin w . 2E

Интегрируем равенство по параметру и, в результате в качестве постоянного слагаемого интегрирования имеем функцию с (^) параметра ^:

x=

J— cosw -BsinwJdu + q(t). (27)

Для нахождения функции c¡(t) воспользуемся четвертым уравнением системы (22); дифференцируем (27) по параметру t:

x=

Г[ El— cosw - Bsin w |du + ci(t) =-Csin w . (28)

Л 24E ) Jt

Получаем

Et

=cos w - B sin w I du

E ' Jt

c{ (t) = -C sin w - I Je cos w - B sin w

С (t) = -J"C sin w - Jj^ 2 Je cos w - В sin w

Подставляя c (t) в (27), находим

xt =-J C sin wdt + С2 . (29)

По третьему уравнению системы (22), т.е. по уравнению (21), с использованием функций (23) получаем

Уг = —— sinw + Bcosw jdu + c3(t).

По аналогии с предыдущим, привлекая пятое уравнение из (22) и выражения (28), (29), имеем функцию

yt = Í Ccos wdt + -2 JC sin wdt - JC sin wdt^jdt - + c¡ . (30)

Таким образом, найдена векторная функция rt =( xt, yt), ее компоненты

— — 1 2

есть функции (29) и (30). По начальному условию rt(to,uo) = c(c , c ) из (16) определяется единственная функция rt, для которой xt(to,uo) = c1, Уг(^ u0) = c2.

2.5 Отыскание функции r

Согласно условию (p) из п. 2.1 имеем уравнения с полным дифференциалом

xudu + xtdt = 0, yudu + ytdt = 0 .

Функции xu, yu, xt, yt найдены в п. 2.3, 2.4. Решения указанных уравнений составляют векторную функцию

r (t, u) = (x(t, u), y(t, u)).

— —12

Начальное условие r (^0, u0) = a (а , a ), см. (16), выделяет единственную функцию, определяемую функциями (3) и (5).

2.6Поверхность с заданными коэффициентами квадратичных форм

Условия основной теоремы из п. 2.1 обеспечивают существование единственной функции r(t,u) = (x(t,u), y(t,u)), отыскиваемой в п. 2.5. Следовательно, существует единственная поверхность

a(t, u) = (t, x(t, u), y(t, u)), (t, u) e D с E2,

ЕС-пространства, определяемая функциями (15) и удовлетворяющая начальным условиям (16). По условиям основной теоремы в п. 2.1 найдена функция

ru (xu, yu ) = (xu (t,u), yu (t,u)) . При этом au = ru . Получены

xu =4Ecos w, yu =4Esin w, n = (- sin w,cos w).

Вычисляем:

т.е. найденная поверхность a(t,и) имеет первую квадратичную форму с заданным в (15) коэффициентом — = — (t,и). Поверхность a(t,и) имеет вторую квадратичную форму с заданными коэффициентами A, B, C. Это следует из того, что для поверхности сначала найдена производная au = ru , п. 2.3, по которой получаем auu = ruu = (-A sin w, A cos w). Следовательно, <5uun = ruun = A, результат совпадает со второй заданной функцией в (15).

Кроме того, найдена функция rut, компоненты которой есть (20) и (21), вместе с (23) имеем:

см. (29), (21) и (23). Таким образом,

гпіп = В,

для векторной функции г выполняется гш = гиі. Коэффициент В второй квадратичной формы поверхности а(ґ, и) совпадает с третьей заданной в (15) функцией.

Производная , см. (5), и четвертая формула в (11), используемая в п. 1.5 при нахождении функции Г и входящая в условия основной теоремы, дают

Коэффициент С второй квадратичной формы найденной поверхности а(^,и) совпадает с заданной в (15) функцией С = С^,и), определяющей поверхность а(^, и).

Как показывают равенства (29) и (30) и предшествующие им формулы, функции х1, у{, а значит, и у = у(^, и), могут быть выражены или через функции В, Е, или через функцию С . Их связывает вторая формула для полной кривизны ЕС-пространства в (12), что и дает зависимость между различными выражениями для функции у{. Пример использования второй формулы в (12) имеется ниже.

По основной теореме, п. 2.1, функции Е(^,и), А(^,и), В(^,и), С(^,и) (15) -коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности и начальные условия (16) однозначно определяют поверхность ЕС-пространства. Пусть коэффициенты квадратичных форм поверхности постоянны, т.е. функ-

Gttñ = Cnn = C .

3 Поверхность ЕС-пространства, коэффициенты квадратичных форм которой постоянны

3.1 Теорема для поверхности, имеющей постоянные коэффициенты квадратичных форм

ции A, B, C (15) постоянны. В этом случае определяется поверхность конкретного вида, она описывается следующей теоремой.

Теорема. Если коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности ЕС-пространства постоянны, то поверхность является аналогом квазиплоскости. В этом случае E Ф 0, A = B = 0, C Ф 0. Поверхность задается сибсонной функцией

a(t, u) = ^ t, u~JE cos Со + at + Q, u*JE sin о + ibt2 + C2t + C3 j,

это цилиндрическая поверхность с евклидовой образующей, направляющая которой является галилеевым циклом.

Квазиплоскости изучаются в [3]. Поверхность, определяемая точкой и двумя некоммутирующими сибсами, называется квазиплоскостью. Плоскость определяется точкой и двумя коммутирующими сибсами. Доказательству теоремы посвящены п. 3.2-3.5.

3.2 Производные по пространственному параметру

Полная кривизна поверхности описывается формулами Гаусса (12), в каждом слагаемом первой из формул содержатся как сомножители, производные коэффициентов квадратичных форм поверхности, которые равны нулю, т.к. коэффициенты постоянны. Следовательно, такая поверхность имеет нулевую полную кривизну:

K = AC - B2 = 0.

Для функции ru = (xu, yu) в п. 2.3 получено

xu =>¡Ecosw, yu =^sinw, wu =~Ae, wt=~Be■ (31)

Функция w = w(t, u) получается в результате решения уравнения с полным дифференциалом

A B

—¡=au + —=• at = 0 ;

VE VE

в случае постоянных коэффициентов его решением является функция

A B

w = —= u + —¡= t + С0 , С0 = const. (32)

Ve Ve

Вычисляем: \ru | = VE. Поверхность с выписанной производной (xu, yu)

пространственной составляющей имеет в первой квадратичной форме заданный коэффициент E. Единичный вектор нормали поверхности равен n = (-sin w,cos w), см. (26). По функциям xu и yu находим компоненты функции r :

i— г E i— i* ByfE

x = VE J cos wdu = asin w + Ci(t), y = VE J sin wdu = —a—cos w + C2(t). (33)

При интегрировании по параметру и получается слагаемое, зависящее от параметра t.

Полученные выражения (33) предстоит уточнить, функции Q(t), C2(t) найти.

3.3 Производные по времени. Пространственная составляющая По функциям (33) находим

Ву!е i C, By¡E . | C, (t)

xt =-cos w + Cf(t), yt =----------sin w + C2(t);

A A

B2 b2

Xtt = — sinw + Cf(t), ytí =— cosw + C2(t).

Из K = AC - B2 = 0 получаем B2 = AC . Тогда по (5)

CTtt = ^ 0 xtt, ytt + 1 xtt - xt j =

i i ^JE

-C sin w + Cf(t), C cos w + C2 (t) - - C sin w + - Cf(t) + —s— cos w + Cf(t)

Далее получаем:

Gtt« = C = C - Cf(t) sin w + C2 (t) cos w - 2 C sin w cos w +

i 1 B\J~E 2 ¡-if / ,\

+ — Cj(t)cos w--------cos w - Cj(t)cos w .

2 A

Значит,

1 ^VE 1

Í-Cf(t) - -2 C cos w 1 sin w + C2(t) + 1 Cf - B E cos w - C{(t)

V 2 /I 2 A

cos w = 0 .

Для выполнения этого равенства каждый из множителей при sin w и cosw должен обращаться в нуль. Имеем по первому слагаемому:

-Cf(t) - -2Ccosw = 0, Cf(t) = -2Ccos w .

Функция Q(t) зависит только от параметра t, поэтому в (32) отсутствует слагаемое, содержащее параметр и, что возможно только при A = 0. Так

2

как AC - B = 0, то B = 0. По (32) имеем, что w - постоянная величина:

w = С0.

Снова находим функции x(t,и),y(t,и), см. (33), при найденном значении w = С0:

x = u\¡E cos С0 + Q(t), y = u*J~E sin C0 + C2 (t); (34)

тогда

xt = Cf (t), yt = C2(t), xtt = Cf(t), ytt = C2(t);

C = attn = Cf(t )sin Co + (C2(t) + 2 Cf(t) - Cf(t ))cos Co.

Значение C постоянно, следовательно, Cf(t), C^(t) и Cf(t) постоянны. Обозначим: Cf(t) = a, C2(t) = b . Отсюда

Cf(t) = at + Cf, C2(t) = 212 + C2t + C3.

По (34) получаем компоненты пространственной составляющей поверхности a(t,и).

3.4 Поверхность

Поверхность одулярного ЕС-пространства задается функцией (2), см. п. 1.4, a(t,и) = ta + (x(t,и), y(t,и)), функции x(t,и), y(t,и) только что найдены в конце предыдущего пункта, поэтому отыскиваемая поверхность такова:

как указано в теореме. В предыдущем параграфе в основной теореме установлено, что функции Е(V, и), А(^, и), В(^, и), С(V, и) определяют поверхность

некоммутативного галилеева пространства с сибсоном. В частности, это относится и к случаю, в котором функции А, В, С постоянны. Начальные условия вида (16) определяют единственную поверхность.

Выше найдены поверхности ЕС-пространства по заданным коэффициентам их квадратичных форм, т.е. для поверхностей ЕС-пространства доказан аналог теоремы Бонне в евклидовой геометрии.

Список литературы

1. По зняк, Э. Г. Дифференциальная геометрия / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин - М. : Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

2. Долгарев, А. И. Дифференциальные уравнения поверхностей одулярных пространств. Нормальная кривизна поверхности / А. И. Долгарев // Труды Средневолжского математического общества. - Саранск : СВМО. - 2004. - Т. 6. - № 1. -С. 132-144.

3. Долгарев, А. И. Поверхности в дифференциальной геометрии пространства с касательным отображением в одуль галилеевых движений / А. И. Долгарев. -Саранск : Средневолжское математическое общество, 2003. - Препринт 62. - 40 с.

4. Долгарев, А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств : монография / А. И. Долгарев. - Пенза : Информационноиздательский центр ПензГУ, 2005. - 306 с.

5. Долгарев, И. А. Нахождение поверхности в пространстве Галилея по ее квадратичным формам / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2006. - № 5 (26). - С. 51-60. - (Естественные науки).

6. Долгарев, И. А. Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея : дис. ... канд. физ.-мат. наук / И. А. Долгарев. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. - 120 с.

7. Долгарев, И. А. Получение поверхности 3-мерного галилеева пространства с растраном по коэффициентам ее квадратичных форм / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2007. - № 6 (33). - С. 17-31. -(Естественные науки).

8. Долгарев, И. А. Система дифференциальных уравнений с частными производными для поверхностей в некоммутативном галилеевом пространстве с сибсо-ном / И. А. Долгарев // Лобачевские чтения - 2007 : труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань : Изд-во КМО-КГУ, 2007. - Т. 36. - С. 16-19.

9. Долгарев, И. А. Получение поверхностей 3-мерных одулярных галилеевых пространств по заданным коэффициентам их квадратичных форм / И. А. Долгарев // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова : труды участников. - Ростов-на-Дону, 2006. - С. 38-39.

Долгарев Иван Артурович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенский государственный университет

Dolgarev Ivan Arturovich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected]

УДК 517.9 + 514.7 Долгарев, И. А.

Получение поверхностей одулярного галилеева пространства с сиб-соном по коэффициентам их квадратичных форм / И. А. Долгарев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 68-82.