CC BY
11
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ононов И. В., Логиновский С. Н. Использование полиномов Чебышева для вычисления на ЭКВМ склонения Солнца и уравнения времени // Геодезия и картография. 1985. № 8.
с. 34 — 36.
2. Пандул И. С. Астрономические опреде-
ления по Солнцу для географов, геологов и топографов. М.: Недра, 1983. 128 с.
3. Пучков В. Н. Программирование в среде TURBO-BASIC / Севастоп. приборострой. ин-т. Севастополь, 1993. 21$ с.
9
################### Математика
✓
КРИТЕРИЙ ПРИВОДИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Е. В. ВОСКРЕСЕНСКИЙ,
доктор физико-математических наук
В работе [1 ] обобщено понятие ля-пуновского преобразования для нелинейных дифференциальных уравнений и даны достаточные условия приводимости уравнений из некоторых классов. В предлагаемой статье дается критерий приводимости, обобщающий известную теорему Еругина [2, с. 154], и на его основе получены7 новые достаточные условия приводимости.
Пусть S — множество всех дифференциальных уравнений вида*
^f = f(t,x), (1)-
где f Е X, X = С(Р'Ф ([Т, + оо) х х Rn, Rn) — пространство всех вектор-функций (t, х) -> f(t, х), f(t, 0) = О размерности п, определенных на множестве [T, -h оо) х Rn, р раз непрерывно
дифференцируемых, по переменной t, р > 0 и q раз непрерывно дифференцируемых по компонентам вектора х, q > 1. Решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным данным (îq, xq) , будем обозначать символом x(t: to, хо). Пусть для всех уравнений
л
из Е все решения x(t: to* xq) определены при всех t > То-
Первоначально расширим понятие ляпуновского преобразования, введенное в работе [1].
■
Определение. Назовем группу преобразований О = {р: (р: Е Е} ляпуновской. группой преобразований
Е), если спектр и устойчивость
нулевого решения являются инвариантами. Если ф принадлежит какой-либо (№\> Е1), Е* С Е, то (р будем называть
ляпуновским преобразованием, а соответствующие уравнения — взаимно приводимыми.
Если дополнительно уравнение (1) обладает свойством I х) II < < Ч>(Х) 11x11, где е С([Т, + оо), [О, + оо)) и функция V зависит от функции fy то совокупность уравнений (1) обозначим символом Е4. Ясно, что
Ех С Е .
Теорема 1.ч Группа Ог всех преобразований <р: Е-> Е таких, что:.
1) х = <р(\у у), <р е ССРо.Яо) ([Т,+оо) х
х Я", Я"), Ро, Чо > 1,
I I <р(Х,у) I I < К0 I 1у1 I, К0 > О
для всех 1 > Т;
2) для обратной функции у = <р~1(Х, х),
<р~1е С(Ро,Чо) ([Т,+оо) х Кп)
и 11 <р-1(гух) м < К! 11x11,К! > о
для всех 1>Т,х6 является ляпуновской (ЬС2> Е).
Доказательство. Из неравенств I I <р(\, у) I I < К0 I I у I I,
I I х) I I < К] I 1x1 I следует, что
спектр и устойчивость нулевого решения — инварианты для группы Таким образом, эта группа является ля-пуновской (Ь02, Е).
Пусть уравнение
dt
f0(t; у)
(2)
Л
принадлежит множеству а и х = = <р\(Х, с), у = <р2с) — общие решения
соответственно уравнений (Г) и (2). Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы уравнения (1) и (2) были взаимно приводимыми, необходимо и достаточно, чтобы преобразование /
x = ^!(t, <p2l(ty у))
(3)
было ляпуновским.
Доказательство. Необходимость, Пусть ляпуновским преобразованием х = L(t, у) , уравнение (1) переводится в уравнение (2). Тогда L(t, У) = <Рл(*> с) и L(t, <р2(t, с))= с). Так как у = (p2(t, с), то с = <p2l(t, у).
Поэтому
L(t, у) = SPi(t, <P2l(t, У)).
»
Щ
Из равенства (4) следует, что преобразование х = Фгу)) является ляпуновским. с
Достаточность. Пусть преобразование (3) Является ляпуновским. Покажем, что оно переводит уравнение (1) в уравнение (2). Продифференцируем (3) по переменной I в силу уравнения (1):
дъ ду ' <И
dx d<pi
dt at
+
d<pi
где dfi
dt
z = <ргх(и у)- Тогда
'dx dt
,(5)
f(t, x),
f(t, <p\(X, с)). Поэтому из (5) по-
лучим:
д<р 1 д г
-1
&f>2 at
-1
+
Так как матрица
ду
ty 1
дг
dx dt
О
невырожденная
то
-1
д<Р2
at
-1
+
Из
д<Р2 ду
dt
0.
(6)
<P2l(U<P2(U Z))
д<р21
тождества
У = <P2(U <P2l(U У»>
д<Р2 дг
где Е Тогда
ду
Е,
следуют д<Р21
равенства
ду
д<Р2 dz
Е,
(пхп)-единичная матрица.
♦
Поэтому д<Р21 ^ _
at
д<Р2
dz
1
д<р2 ду
1
тг
д<Р2
dz
-1
dt£2 at
дуг1 ау>2
ду ' at
(7)
В данном случае с учетом (7) равенство (6) примет вид
а^1 д<р2 , а^1
ау
а^2
at
+
ay
dy dt
0.
(8)
Из равенства (8) следует:
dI dt
at'
fi(t, îP2(t, с» = ffCt, y)*
Теорема 2 доказана. В первом методе Ляпунова [3 ] важную роль" играет группа преобразований (инварианты — спектр и устойчивость) множества Ед всех линейных
ш
(4) однородных дифференциальных уравнений с непрерывными и ограничен-ными матрицами в это же множество Но. Как известно [1 — 3], данная груп-
па является ляпуновской (1Х>о, Ед) и
1 I
теорема Еругина [2, с. 154 ] — критерий приводимости двух линейных од-
J 1 в %
нородных дифференциальных уравнений. Если считать, что Е = Ед, то из
X
теоремы 2 вытекает вышеназванный критерий как частный случай.
Следствие» Рассмотрим преобразование х = <р\(\, у). ТогДа из теоремы 1
вытекает критерий приводимости уравнения (!) в уравнение
dy dt
0.
(9)
Уравнение (1) приводимо в уравнение (9) тогда и только тогда, когда преобразование х = у 1 (t, у) является ляпу*
новским. Отсюда вытекают результаты, полученные в работе [2, с. 157,
158]. ..
Теорема 3. Пусть
I I <Pl(t, У) I
Ki(t) 11 у 11,
I I <P2X{\, У) I I S K4(t) .l I у I I
IJ <p2(t, x) 11 < K3(t) I Ixl I,
II pTHt.x) I i < K2<t) I Ixl t
G Rn и t > Т. Тогда ec-
Cb K3(t) .- K2(t)<C2,
положительные
(1) и (2)
при всех х, у ли ВД) КА(Х)
X > Т, где С1 и С2 постоянные, то уравнения взаимно приводимы ляпуновским преобразованием из (1£г2, 3).
Доказательство. Из теоремы 2 вытекает, что ^преобразованием (3) уравнений (1) переводится в уравнение (2) и, наоборот, уравнение (2) переводится в уравнение (1). Докажем,
что это преооразование принадлежит
группе (Ш^, 2)*из теоремы 1.
» #
Так как
11 fi(t, 9г\ЪУ))1
ВД)К40)11у11
Cillyll, 11 y>T4t,x))l I
K3(t)K2(t)l Ixl I < C2I Ixl I,
то выполняются все условия теоремы 1. Следовательно, Ц1, у) =
= <Рг& У))» Ь е (1Х}2, 2). Теорема 3 доказана.
Пусть уравнение (1) принадлежит
00'
множеству Ех и / Ф^ёз < + <». Тогда
X
х(Х: г0, хо) =. х0 + /* х(з: х0» ds
Ч) '
и х « х (X: Хо, хо) — общее решение. Покажем, что х - х(Х: у) — ляпу-новское преобразование. Так как
I I х(Х: х0)1 I < I 1Хо1 I +
+ /|ч>(8) 11х(8:10,х0)11 <Ь,
Ю /
то I I x(t: to, хо) I I ^ I I Xq И ехр
(f+°V(s)ds) и I lx(t: t0,y)l I < I lyi I - Ко,
h /
* r+ oo
тде K0 = exp (J W^ds). Кроме того,
I I l<Hxl I + JX W(s)l Ixl Ids =
(1 + f W(s)ds) J Ixl I.
to
Поэтому
I у I I < K! Ilxll, и для
преобразования х - х(1: Xо, у) выполняются условия теоремы 3. Следовательно, оно является ляпуновским. Тогда из следствия теоремы 2 вытекает приводимость уравнения (1) в уравнение (9). Заметим, что ляпуновское преобразование принадлежит в этом случае группе (Ь/З^, Е).
Рассмотрим приложение полученных результатов к решению задач устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Пусть' уравнение
dx dt
f(t, x).+ R(t, x)
(10)
принадлежит множеству
ние
Е, а уравне-
dz dt
ЦХ, г)
(11)
множеству
+ 00
Ехи /т Ч!(Х)йХ< + оо.
—— * *
Тогда уравнение (11) на основании предыдущего ляпуновским преобразованием г = <р(\, у), <р(Х, у) = % у)
приводимо к уравнению (9) и
<р 1 (t, z).=z
ау>~1 (t, z)
dz
J f(s, z)ds,
Ю
(12)
Так как
d<P~4t, Z)
dz
M!» у)
dy
на
основании (12) имеем:
уГ 1
. ду "
-1
то
<
■W0(t), (t) > Т, у G R".
(13)
Еще предположим
11R(t., х) 11 < A(t, I Ixl I) и A G C<[T,.+ oo), [0, + оо)), A(t, 0)
■ о; A(t, Tj) < A(t, г2), Г! < г2.
Теорема
4.
Vi*' to> По) уравнения
Пусть
решение
drj dt
W0(t) Л (t, К07)'
(14)
однозначно определяется начальными данными и решение »7 = 0 устойчиво,
тогда решение х = 0 уравнения (10) также устойчиво.
Доказательство. Преобразованием х = (р{\, у) уравнение (10) приводимо к уравнению
-1
dZ dt
ду
R(t, v>(t, у)).
(15)
Из оценки (13) следует неравенство
д<р(t, у)
¿У
-1
-
J
R(t, p(t, у))
W0(t)A(t, KqI lyi I).
0
Тогда из устойчивости решения г} = уравнения (14) и теоремы [4, с. 66] вытекает устойчивость решения у = 0 уравнения (15). Но так как преобразование х = (р(Х, у) — ляпуновское, то
решение х = 0 уравнения (10) устойчиво. Теорема 4 доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воскресенский Е. В. Ляпуновские группы преобразований // Изв. вузов. Математика. 1994.
№ 7. С. 13 — 19.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с. - '
-3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости 'движения / ОНТИ. Л.; М., 1935.
336 с.
4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. ,300 с.
СТАБИЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ И АППРОКСИМАЦИЯ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
I
М. С. НАЗВАНОВ, аспирант,
В. Н.. ЩЕННИКОВ, доктор физико-математических наук
** 9
\
Изучается линейная управляемая система с постоянно действующими возмущениями. Показывается невозможность решения задачи стабилизации множества М = {х: х = 0} отно-4 сительно указанной системы. с помощью непрерывного управления в случае, когда размерности векторов управления и постоянно действующих возмущений не совпадают.
Рассмотрим систему
х = Ах + Ви + р, (1)
где х — п-мерный вектор, характеризующий состояние* системы; и — ш-мерный вектор, характеризующий действие управляющих сил; р — п-мерный вектор постоянно действующих возмущений; А, В — п х п- и п х ш-мерные постояннъш матрицы соответственно.
Известно [4], что если ш = п, матрица В невырожденная и возмущения
p(t) достаточно малы, то существует управление и(х) такое, что всякое решение системы (1) при u = и(х), начинающееся в достаточно малой окрестности начала координат, входит в
него за конечное время. Управление
^ *
и(х), в частности, делает систему. (1) асимптотически устойчивой при постоянно действующих возмущениях (вернее, множество М = {х: х = 0} относительно системы (1)).
Покажем, что при наложенных ограничениях на размерность векторов в системе (1) в случае m <*п при постоянно действующих возмущениях с помощью управления и(х) асимптотической устойчивости, вообще говоря, добиться нельзя.
Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи:
i = f(t, х), (2)
