Критерий минимальной материалоемкости при усилении стержней двутаврового поперечного сечения и ограничениях на величину критической силы или первой собственной частоты Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ

УДК 624.042.2

ЛЯХОВИЧ ЛЕОНИД СЕМЕНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, lls@tsuab.ru, lsl@sibmail.com.

МАЛИНОВСКИЙ АНАТОЛИЙ ПАВЛОВИЧ, канд. техн. наук, доцент, maptgasu@yandex.ru

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2

КРИТЕРИЙ МИНИМАЛЬНОЙ МАТЕРИАЛОЕМКОСТИ ПРИ УСИЛЕНИИ СТЕРЖНЕЙ ДВУТАВРОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ И ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ ИЛИ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ

Ранее автором рассматривались критерии минимальной материалоемкости проектируемых стержней при различных ограничениях и типах поперечных сечений. В частности сформулированы такие критерии для стержней двутаврового поперечного сечения и ограничениях на величину критической силы или первой собственной частоты. В реальности часто возникает необходимость в усилении элементов сооружений. В данной статье формулируется критерий минимальной материалоемкости при усилении стержней двутаврового поперечного сечения и ограничениях на величину критической силы или первой собственной частоты.

Ключевые слова: оптимизация; системы минимальной материалоемкости; устойчивость; частота; формы потери устойчивости; формы собственных колебаний; напряжения; изгиб.

LEONID S. LYAKHOVICH, DSc, Professor, lls@tsuab.ru

ANATOLIIP. MALINOVSKII, PhD, A/Professor, Tomsk University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia

MINIMUM MATERIALS CONSUMPTION AT REBAR H-SHAPED SECTION STRENGTHENING AND CRITICAL LOAD AND FIRST EIGENFREQUENCY RESTRICTIONS

In previous works, the criteria of minimum material consumption were considered at different restrictions and types of cross-sections. Such criteria are determined for H-shaped section bars

© Ляхович Л. С., Малиновский А.П., 2015

and restrictions to the value of critical load and first eigenfrequency. In real situations, structural elements are needed to be reinforced. This paper presents the criterion for the minimum materials consumption at strengthening of H-shaped rebar section and restrictions to the value of critical load or first eigenfrequency.

Keywords: optimization; minimum materials consumption; stability; frequency; buckling mode; eigenfrequency mode; stress; flexure.

В работе [2] показано, что при ограничениях по устойчивости стержень двутаврового сечения (рис. 1) минимальной материалоемкости, когда не варьируются высота сечения b1, толщина полки 5p и толщина стенки 5Дх), а варьируется только ширина полки b\(x), является брусом равного сопротивления по отношению к приведенным напряжениям o1Pi (x), возникающим при потере устойчивости.

Критерий минимальной материалоемкости в этом случае имеет вид

V(x) =

(

A. x)

2 • 5 p

•- о,

t (x)

Л

2 • 5 p

-1

= const,

(1)

где о1р (х) и о1р1 (х) соответственно нормальные напряжения в крайних волокнах двутаврового сечения и в волокнах на границе стенки и полки, возникающие при потере устойчивости.

В работе [2] также показано, что при ограничении на величину первой собственной частоты стержень двутаврового сечения (рис. 1) минимальной материалоемкости, когда не варьируются высота сечения, толщина полки и толщина стенки, а варьируется только ширина полки, является брусом равного сопротивления по отношению к приведенным напряжениям о1ш((х), возникающим при колебаниях по соответствующей собственной форме.

5 * (x)

1

bi

Рис. 1

5

p

Критерий минимальной материалоемкости в этом случае имеет вид

t ( x) = t ( x)

2 • 5p

-- о.

t (x)

2 • 5 p

-1

- 3E (co0 )2 v^ (x)p = const, (2)

5

P2

"К

5P

5.

i

где о1ш (x) и a1<Bt (x) - соответственно нормальные напряжения в крайних волокнах двутаврового сечения и в волокнах на границе стенки и полки, возникающие при колебаниях по соответствующей собственной форме; Е - модуль упругости; vM - ординаты соответствующей формы собственных колебаний;

p - удельная масса материала стержня.

Критерии (1) и (2) позволяют оценивать близость проектного решения при условиях, приведенных выше, к минимально материалоемкому.

При изменении условий эксплуатации возникает необходимость усилении стержней двутаврового поперечного сечения. Такое усиление может быть реализовано присоединением к полкам двутавра дополнительных листов b (рис. 2). На рис. 2 b21, 5p1, 5st - соответственно

b?l -Ы

ширина полки, ее толщина и толщина стенки усиливаемого двутавра, толщина дополнительного листа - 5p2, его ширина - b22(x), которая может изменяться по длине стержня, высота усиленного сечения - b1.

В данной статье формулируются критерии, позволяющие оценить близость решения по усилению стержня двутаврового поперечного сечения при ограничениях на величину критической силы или первой собственной частоты к минимально материалоемкому. Таким образом, критерии должны оценить оптимальность решения задачи по определению такого закона изменения ширины дополнительного листа b22(x), усиливающего полки двутавра, при котором будут соблюдаться ограничения на величину критической силы или первой собственной частоты, а расход материала на усиление будет минимальным. Не варьируются высота сечения b1, толщины полок 5p1 и 5p2, толщина стенки 5st(b1 = const, 5p1 = const, 5p2 = const, 5st = const). Варьируется ширина полки b2(x).

Функция цели (объем материала усиливающих листов) имеет вид

b

il,.b22(x) -j

J22 ( Х) Рис. 2

V = 2|5

b22 (x)dx.

p 2 22

(3)

Здесь I - пролет стержня. Сформулируем критерий минимальной материалоемкости при ограничении на величину критической силы. Это ограничение записывается в виде

P < Pp

(4)

где Р - действующая сила, а Ркр - критическая усиленной системы. Как известно (например, [1]), при выполнении (4) в виде равенства должно иметь место условие

1 l г

Э = 2j\El(x)(vp (x)")2 -P, (vp (x)')2

¡л*—

dx = 0.

(5)

Здесь Э - приращение потенциальной энергии; ур (х) - ординаты формы потери устойчивости; I (х) = |ь22 (х) 613 - ( - 25р2) + Ь21 (( - 25р2) -

' 1 .1

(Ь21 - 5St ) (Ь1 - 25р1 - 25р2 ) j 12 - момент

инерции сечения относительно его

горизонтальной оси симметрии.

Теперь с учетом (3) и (5) задача сводится к отысканию минимума функционала

^0р = J{(2b22 (x)5р2

-X

12(b22(x) b13-(b1 -25p2) +b21 (b1 -25p2)

12

"(b21 -5st)( - 25p1 - 25p2)3 (vp (x)'')2 - Ркр (vp (x)')2

dx.

(6)

Минимум функционала (6) реализуется на решении уравнения

5( р)

= 25 2 - X Р1 < —

Ьгг (x) р2 P1 |12

b13 -(b1 - 25 р 2 )3 )(( (x )")) = 0

или

E_ 12

b13-(b1 - 25p)3]('')

25 р

--. Учитывая, что 5 р и А Р1 - постоянные

Л р Р1

А™

величины, можем записать

Е_ 12

b13-(b1 -25р)3"](vр f

= const.

(7)

Как известно, нормальные напряжения в стержне при изгибе в волокне, отстоящем от нейтрального слоя на расстоянии , определяются зависимоМ • у

стью с = -

■. Учитывая, что М = - Е1 • V'', запишем

После простых преобразований (7) перепишется в виде

3E

(E•b • v 1Л" ]

1 p(x)

b1 E • vp (x)'']( - 25 p 2)

(8)

= const. (9)

E• b1 • vp(x)'' 2 2 b1 -2- 8p2 2 2

Заметим, что (-^-) =clp (x) и (-E • vp (x)'') = с^ (x)

соответственно квадрат нормального напряжения в крайних волокнах усиленного сечения и крайних волокнах исходного двутаврового сечения. Теперь (9)

2 h 2 h примет вид с1 (x)—1--c1 pt (x)(—1--1) = const или

25p2 25p2

С„(X) = ^ (х)А" - - 1) = СОП81. (10)

Таким образом, при усилении полок стержня двутаврового сечения дополнительными листами постоянной толщины и варьированием по длине стержня их шириной Ь22(х), при ограничении по устойчивости минимальная материалоемкость достигается, когда стержень становится брусом равного сопротивления по отношению к приведенным напряжениям с1Р (х), возникающим при потере устойчивости.

Сформулируем аналогичный критерий при ограничении на величину первой частоты собственных колебаний. Очевидно, что функция цели запишется в виде (3), а ограничение в виде

ю0 <ю1. (11)

В (11) ю0 - заданная величина, а ю1 - значение первой частоты собственных колебаний усиленной системы. Как известно (например, [4]), при выполнении (11) в виде равенства должно иметь место условие

1

Э = |{Е1 (х)0>ш (х) '')2 - Р(х)(уш (х) ')2 -

0

- (ю1)2[т( х) + р • ^ (х)](уш (х))2}<ях = 0. (12)

В (12) Р( х) - переменная по длине стержня продольная сила.

Теперь с учетом (3) и (12) задача сводится к отысканию минимума функционала

1 Е

= { {(2Ь22(х)8,2 -^1[-(Ь22(х)[Ь13 -(Ь -28,2)3] + Ь21& -28,2)3 -0 12

- (Ь21 - 8,)(Ь - 28,1 - 28,2)3)(уи(х) '')2 - Р(х)(уи(х) )2 -

-ш0(т(х) + р(2Ь22(х)8,2 + 2ЬИ8,1 + (Ь -28,1 -28р2)8^))(уш(х))2]}^х.(13)

Минимум функционала (12) реализуется на решении уравнения

8(^0Ш)Ь22(х) = 28,2 -^{^[Ь3 -(Ь -28,2)3)'')2 -®02Р^28,2^} = 0

E

или -[h3 -(h -25p2)3](vM '')2 -ш02р^25p2v2 = const. (14)

Выполнив простые преобразования с учетом (8), перепишем (14) в виде

3Е [(^ )2 - " (")2(61" 25р2)] -

3Е 2 2

- ю02р • 25 р 2Уш = еош1 (15)

(№ У = с (х) „ (^

Очевидно, что ( 1 2 ' )2 = с;,,(х) и ( ' ' Еу,(х)')2 = <(х) соответственно квадрат нормального напряжения в крайних волокнах усиленного сечения и крайних волокнах исходного двутаврового сечения. Теперь (15)

примет вид с;2,(--с2,(х)^--1--1) -3Е,2(уш(х))2р

25 р2 25 р 2

или с1, (х) = К, Мт---С, МОг---1) - 3Е,2(уш (х))2 р= С0^. (16)

\ 25 р2 25 р 2

Таким образом, при усилении полок стержня двутаврового сечения дополнительными листами постоянной толщины и варьированием по длине стержня их шириной -22(х), при ограничении на величину первой собственной частоты минимальная материалоемкость достигается, когда стержень становится брусом равного сопротивления по отношению к приведенным напряжениям с1ш, (х), возникающим при колебаниях по соответствующей собственной форме.

Приведем примеры, иллюстрирующие сформулированные критерии.

Пример 1. Рассмотрим стержень двутаврового сечения (рис. 1). Размеры сечения -1 = 0,12 м, -2 = 0,06 м, 5^ = 0,01 м,, 5Р = 0,01 м. Пролет стержня I = 12 м, модуль упругости материала стержня Е = 206 000 МПа. Стержень жестко защемлен и сжимается силой (рис. 3, а).

Расчет стержня на устойчивость и оптимизацию усиления выполнялся на основе дискретной модели из 20 участков (например, [3]). Критическая

нагрузка рассматриваемого стержня составляет 250,565 кН. Рассмотрим случай, когда необходимо усилить стержень так, чтобы его критическая нагрузка увеличилась до значения Р = 500 кН. Усиливаются полки двутавра дополнительными листами (см. рис. 2). Пусть толщина дополнительных листов принята 5 2 = 0,01м . Требуется определить закон изменения ширины дополнительных полос по длине стержня Ь22(х) таким образом, чтобы для усиленного стержня Ркр = 500 кН и при этом материалоемкость усиления была бы

минимальной. Оптимизация усиления выполнена методом случайного поиска. Результаты приведены в табл. 1.

Во втором столбце приведены размеры ширины полки усиливаемого двутавра Ь21 (см. рис. 2). В столбце 3 приводятся размеры ширины полки дополнительной полосы, определенной при условии постоянства ширины и выполнения ограничения (4) в виде равенства. В столбце 4 приведены размеры ширины полки дополнительной полосы, найденные в результате оптимизации. Объем материала дополнительных полос при усилении полосами постоянной ширины составляет 0,012623 м3, а оптимальных усиливающих полос 0,009110 м3, что меньше на 38,56 %. На рис. 3, б показаны варианты усиления полосой постоянной ширины (столбец 3) и оптимальной (столбец 4). В пятом столбце показаны по сечениям значения приведенных напряжений (10). Так как форма потери устойчивости, а следовательно, и возникающие при этом напряжения определены с точностью до постоянного множителя, то определяется сечение, в котором с1 (х) имеет наибольшую величину, и на него делятся приведенные

напряжения в остальных сечениях. Таким образом, критерий (10) характеризует близость решения к оптимальному близостью величин с1 р (х) к единице.

Таблица 1

№ сечений Ь21 Ь220 Ь22(Х) (х)

1 2 3 4 5

1 0,060000 0,052596 0,073258 0,9992

2 0,060000 0,052596 0,062948 0,9995

3 0,060000 0,052596 0,042281 0,9996

4 0,060000 0,052596 0,011363 0,9989

5 0,060000 0,052596 0,000041 0,4326

6 0,060000 0,052596 0,000036 0,4321

7 0,060000 0,052596 0,011322 0,9991

8 0,060000 0,052596 0,042248 0,9996

9 0,060000 0,052596 0,062826 1,0000

10 0,060000 0,052596 0,073281 0,9990

11 0,060000 0,052596 0,073281 0,9990

12 0,060000 0,052596 0,062826 1,0000

13 0,060000 0,052596 0,042248 0,9996

14 0,060000 0,052596 0,011322 0,9991

15 0,060000 0,052596 0,000036 0,4321

Окончание табл. 1

№ сечений Ьц Ь220 Ь22(Х) Р,(х)

1 2 3 4 5

16 0,060000 0,052596 0,000041 0,4326

17 0,060000 0,052596 0,011363 0,9989

18 0,060000 0,052596 0,042281 0,9996

19 0,060000 0,052596 0,062948 0,9995

20 0,060000 0,052596 0,073258 0,9992

Как видно из табл. 1, во всех сечениях, кроме тех, где ширина усиливающей полосы Ь22( х) исчезающе мала (5, 6, 15 и 16), значения с1 (х) близки

к единице с точностью до долей процента. В сечениях 5, 6, 15 и 16 усиление не требуется. Таким образом, критерий (10) показывает высокую близость полученного решения к минимально материалоемкому.

Пример 2. Рассмотрим стержень двутаврового сечения (см. рис. 1). Размеры сечения Ь1 = 0,16 м, Ь2 = 0,1 м, 5^ = 0,01 м, 5р = 0,01 м. Пролет стержня I = 6 м , модуль упругости материала стержня Е = 206 000 МПа. Стержень жестко защемлен одним краем и шарнирно оперт другим (рис. 4, а). Стержень несет равномерно распределенную внешнюю массу интенсивностью т = 100 кг/м. Учитывая, что расчеты выполняются на основе дискретной модели из 20 участков, приведенная к узлам масса составит 30 кг в каждом узле. Удельная масса материала стержня р = 7850 кг/м3.

Первая собственная частота рассматриваемого стержня составляет о>1 = 63,53 с-1. Рассмотрим случай, когда необходимо усилить стержень так, чтобы его первая собственная частота увеличилась до значения ю0 = 90 с-1. Усиливаются полки двутавра дополнительными листами (см. рис. 2). Пусть

толщина дополнительных листов принята 5р2 = 0,015м. Требуется определить закон изменения ширины дополнительных полос по длине стержня Ь22(х) таким образом, чтобы для усиленного стержня ю1 = 90с-1 и при этом материалоемкость усиления была бы минимальной. Оптимизация усиления выполнена методом случайного поиска. Результаты приведены в табл. 2.

Таблица 2

№ сечений Ь21 Ь220 Ь22(Х) (х)

1 2 3 4 5

1 0,100000 0,075946 0,195604 0,9998

2 0,100000 0,075946 0,149282 0,9996

3 0,100000 0,075946 0,102917 0,9999

4 0,100000 0,075946 0,057071 0,9996

5 0,100000 0,075946 0,012356 0,9986

6 0,100000 0,075946 0,000082 0,4262

7 0,100000 0,075946 0,000057 0,3291

8 0,100000 0,075946 0,000107 0,6316

9 0,100000 0,075946 0,009622 0,9983

10 0,100000 0,075946 0,030134 1,0000

11 0,100000 0,075946 0,045269 0,9999

12 0,100000 0,075946 0,055261 0,9999

13 0,100000 0,075946 0,060344 0,9997

14 0,100000 0,075946 0,060588 0,9999

15 0,100000 0,075946 0,055991 0,9998

16 0,100000 0,075946 0,046379 0,9996

17 0,100000 0,075946 0,031576 0,9987

18 0,100000 0,075946 0,011355 0,9984

19 0,100000 0,075946 0,000146 0,7464

20 0,100000 0,075946 0,000067 0,2528

Во втором столбце приведены размеры ширины полки усиливаемого двутавра Ь21 (рис. 2). В столбце 3 приводятся размеры ширины полки дополнительной полосы, определенной при условии постоянства ширины и выполнения ограничения (11) в виде равенства. В столбце 4 приведены размеры ширины полки дополнительной полосы, найденные в результате оптимизации. Объем материала дополнительных полос при усилении полосами постоянной ширины составляет 0,006835 м3, а оптимальных усиливающих полос 0,004159 м3, что меньше на 64,35 %. На рис. 4, б показаны варианты усиления полосой постоянной ширины (столбец 3) и оптимальной (столбец 4). В пятом столбце показаны по сечениям значения приведенных напряжений (10). Так как форма собственных колебаний, а следовательно, и возникающие при этом напряжения определены с точностью до постоянного множителя, то определяется сечение, в котором с1ш( (х) имеет наибольшую величину, и на него делятся приведенные напряжения в остальных сечениях. Таким образом, крите-

рий (16) характеризует близость решения к оптимальному близостью величин с1 0(x) к единице.

Как видно из табл. 2, во всех сечениях, кроме тех, где ширина усиливающей полосы Ь22( x) исчезающе мала (6, 7, 8, 19 и 20), значения с1 ^ (x) близки к единице с точностью до долей процента. В сечениях (6, 7, 8, 19 и 20) усиление не требуется. Таким образом, критерий (10) показывает высокую близость полученного решения к минимально материалоемкому.

Сформулированные в данной статье критерии (10) и (16) позволяют оценивать близость решений по усилению полок стержней двутаврового сечения дополнительными полосами при ограничениях на величину критической силы или первой собственной частоты.

Библиографический список

1. Вольмир, А.С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир. - Л. : Физматгиз, 1963. -879 с.

2. Ляхович, Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчета сооружений : монография / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2009. - 372 с.

3. Малиновский, А.П. Численный метод расчета стержней на прочность, устойчивость и колебания / А.П. Малиновский // Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. - Томск : Изд-во ТГУ, 1978. - С. 85-96.

4. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара / Я.Г. Пановко. - Л. : Машиностроение, Ленинградское отделение, 1976. - 320 с.

References

1. Vol'mir A.S. Ustoichivost' uprugikh sistem [Elastic system stability]. Leningrad : Fizmatgiz Publ., 1963. 879 p. (rus)

2. Lyakhovich L.S. Osobye svoistva optimal'nykh sistem i osnovnye napravleniya ikh realizatsii v metodakh rascheta sooruzhenii : monografiya [Optimum system properties and main trends of their implementation in design technique. Monograph]. Tomsk : TSUAB Publ., 2009. 372 p. (rus)

3. Malinovskii A.P. Chislennyi metod rascheta sterzhnei na prochnost', ustoichivost' i kolebaniya [Numerical methods of rebar strength, stability, and oscillations]. Issledovaniya po stroitel'nym konstruktsiyam i stroitel'noi mekhanike. Tomsk : TSUAB Publ., 1978. Pp. 85-96. (rus)

4. Panovko Ya.G. Osnovy prikladnoi teorii kolebanii i udara [Basics of theory of oscillations and impact]. Leningrad : Mashinostroenie, Leningradskoe otdelenie, 1976. 320 p. (rus)