Особые свойства форм потери устойчивости стержней минимальной материалоемкости при ограничении величины критической нагрузки для случаев линейной зависимости моментов инерции сечений и функции цели от варьируемого параметра Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 624.075+624.042

ЛЯХОВИЧЛЕОНИД СЕМЕНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, lls@tsuab. ги

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2

ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ФОРМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ МИНИМАЛЬНОЙ МАТЕРИАЛОЕМКОСТИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ ВЕЛИЧИНЫ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ ДЛЯ СЛУЧАЕВ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ И ФУНКЦИИ ЦЕЛИ ОТ ВАРЬИРУЕМОГО ПАРАМЕТРА

В работе рассматриваются особые свойства форм потери устойчивости стержней минимальной материалоемкости при ограничении величины критической нагрузки и при линейной зависимости моментов инерции сечений и функции цели от варьируемого параметра. Формулируются условия, при которых выявленные свойства соблюдаются.

Ключевые слова: оптимизация, стержни минимальной материалоемкости, устойчивость, критическая нагрузка, формы потери устойчивости, особые свойства.

LYAKHOVICH, LEONID SEMENOVICH, Dr. of tech. sc., prof., lls@tsuab. ru

Tomsk State University of Architecture and Building,

2 Solyanaya sq., Tomsk; 634003, Russia,

SPECIAL CHARACTERISTICS OF BUCKLING OF RODS WITH MINIMUM OF MATERIAL CAPACITY UNDER THE CONSTRAINT OF CRITICAL LOADING FOR THE CASES OF LINEAR DEPENDENCE OF THE MOMENT OF SECTION INERTIA AND THE OBJECTIVE FUNCTION OF VARIABLE PARAMETERS

The special characteristics of buckling of rods with minimum of material capacity under the constraint of critical loading and at linear dependence of the moment of inertia of section and the objective function of the variable parameters are considered in the article. Conditions are formulated under which the identified characteristics are observed.

Keywords: optimization, rods with minimum of materials capacity, stability, the critical loading, buckling, special characteristics.

В теории оптимизации сооружений наряду с традиционным подходом, в соответствии с которым задача формулируется на основе методов математического программирования, применяются и методы, основанные на использовании особых свойств оптимальных систем (например, [3],[1]). Знание особых свойств оптимальных систем во многих случаях позволяет рассматривать

© Л. С. Ляхович, 2011

задачу оптимизации не в формулировке методов нелинейного программирования, а как задачу проектирования системы с заданными свойствами.

В данной статье рассматриваются особые свойства форм потери устойчивости стержней минимальной материалоемкости для случаев, когда моменты инерции сечений и функция цели связаны линейными зависимостями с варьируемым параметром. К таким случаям относятся, например, прямоугольные сечения, когда закон изменения высоты сечения b1 (х) задан, а ширина сечения b2(х) варьируется (рис. 1, а) или когда рассматриваются двутавровые сечения при b1(x) = const,dP = const, &st(x) = a-b2(x) (рис. 1, б),

а варьируется ширина полки b2 (х). Если рассматривать в качестве варьируемого параметра и при прямоугольном сечении и для двутавра только размер b2( х), то геометрические характеристики сечений могут быть представлены в виде: момент инерции I(х) = A1(х) + A2(x)b2(х), площадь сечения F(х) = = B1 (х) + B2( x)b2( х), функционал цели - объем стержня

i i

V = | F(х)dx = I [B1 (x) + B2(x)b2(x)]dx . (1)

0 0

Здесь A1(x), A2(x), B1(x), B2(x) заданные, неварьируемые функции.

Для стержней с сечениями, рассматриваемыми в данной статье, при условии линейной зависимости функции цели и момента инерции от варьируемого параметра особые свойства форм изгиба для равнопрочных стержней и форм собственных колебаний при оптимизации с ограничениями на величину низшей собственной частоты рассматривались в [2]. Так как стержень минимального веса при ограничении величины критической силы является брусом равного сопротивления по эпюре моментов, возникающей при потере устойчивости [3], то целесообразно проверить соблюдение свойств форм изгиба, сформулированных в [2], для форм потери устойчивости.

В статье рассматривается устойчивость стержней при действии продольной силы, меняющейся по длине стержня (рис. 2).

а

Здесь Р0 - параметр продольной силы, а р(х) - закон изменения нагрузки по длине стержня.

При сформулированных условиях задача о проектировании стержня минимальной материалоемкости при ограничениях на величину критической нагрузки формулируется следующим образом: требуется отыскать при заданных выражениях А1(х), А2(х),В1(х), В2(х) такую функцию варьируемого параметра Ь2(х), которая придаст функционалу цели (1) минимальное значение и при этом действующая нагрузка будет равна критической в плоскости х - у (2).

Ро • Р(х) = Ркр • р(х). (2)

Здесь Ркр - параметр критической нагрузки. Отыскание критической нагрузки может быть реализовано на основе вариационного принципа Лагранжа, то есть минимизацией функционала

1

Э = {{£ • I(х)[у"(х)]2 - Ро • р(х)[у'(х)]2}ёх . (3)

0

Подставив в (3) I (х) = А1 (х) + А^ х^( х), получим

1

Э = |{Е[А (х) + А2(х)*2(х)][у "(х)]2 - Ро • р(х)[у'(х)]2}Л . (4)

0

Известно, что если Ро • р(х) = Ркр • р(х), то энергетический функционал

(4) должен принимать нулевое значение. Таким образом, требуется отыскать

1

функцию Ъ2( х), которая придаст функционалу V = | [ Д( х) + В2( х )^( х )]^х ми-

0

нимальное значение при условии, что

1

Э = |{Е[А (х) + А2(х)Ъ2(х)][у"(х)]2 - Ро • р(х)[у'(х)]2}<ях = 0. (5)

0

Итак, приходим к изопериметрической задаче. Функционал, экстремум которого обеспечит минимум функционалу (1) и выполнение условия (5), запишется в виде

1

Vо = | {[ В (х) + В2 (х)Ъ2 (х)] -

0

-X{E[4(x) + A2(x)b2(x)\\y"(x)]2 -Po • p(x)[y'(x)]2}}<aX . (6)

Очевидно, что вариация функционала V0 по y(x) приведет к уравнению устойчивости в плоскости x - у, а по X - к выполнению условия (5).

Минимум функционала (6) достигается при равенстве нулю вариации S(Vo)b2( x) = ^2( x) -X{E • A2( x)[ у"(x)]2} = 0. (7)

В (7) входят заданные функции A2(x) и B2(x), модуль упругости E и множитель X, который для изопериметрической задачи является постоянным числом [4]. В (7) входит только одна неизвестная функция - у(x), описывающая форму потери устойчивости, и она не зависит от нагрузки.

Таким образом доказано, что форма потери устойчивости стержней минимальной материалоемкости для случаев линейной зависимости моментов инерции сечений и функции цели от варьируемого параметра и при ограничении величины критической нагрузки не зависит от закона распределения продольной силы по длине стержня.

В [2] выявлены аналогичные свойства форм изгиба стержней равного сопротивления, а в [1] - форм собственных колебаний. В [2] показано, что при оптимизации как в случае изгиба стержней равного сопротивления, так и при ограничении величины частоты основного тона могут появляться сечения с нулевой жесткостью. Это обстоятельство приводит к изменению расчетной схемы. Отмеченные свойства соблюдаются, если рассматриваются такие изменения величин и мест расположения нагрузок или внешних масс, при которых расчетные схемы не меняются. При этом сравниваются различные схемы нагружения, а незагруженное состояние не рассматривается. Также отмеченные свойства не будут соблюдаться, если появившиеся в процессе оптимизации нулевые сечения приводят к изменяемой расчетной схеме.

Отмеченные условия выполнения сформулированных свойств относятся не только к задачам изгиба и к задачам о собственных колебаниях, но и к задаче устойчивости, рассматриваемой в данной статье.

Приведем примеры, иллюстрирующие выявленные свойства.

Пример 1. Рассматривается шарнирно опертый стержень пролетом l = 12 м, прямоугольного сечения. Высота сечения b1(x) = const = 0,3 м, модуль упругости E = 24000 МПа. Варьируется ширина сечения b2 (x). Рассматриваются три варианта нагрузок (рис. 3, а-в). В первом варианте продольная сила в стержне не изменяется по его длине (P = const = 600 кН). Во втором варианте в правой части стержня P = 100 кН, а в левой P = 1200 кН. В третьем варианте в правой части стержня P = 1200 кН, а в левой P = 100 кН. Для каждого варианта проектировался стержень минимальной материалоемкости, при условии равенства действующей нагрузки ее критическому значению (2).

Расчет выполнялся на основе дискретной схемы из 21 участка традиционным методом оптимизации. Изменения размеров ширины сечения b2 (x) для рассматриваемых вариантов нагружения приведены на рис. 3, г. Каждый из вариантов обозначен соответствующей цифрой. Изменение размеров ширины сечения в первом варианте симметрично относительно середины длины

стержня. Для второго варианта наибольшие размеры - в левой половине стержня, а для третьего - в правой. Формы потери устойчивости для всех вариантов нагрузок, несмотря на разный характер изменения значений параметров Ь2(х), оказались одинаковыми, что подтверждает сформулированные свойства. Если не варьировать шириной сечения, а принимать в каждом из вариантов ширину сечения постоянной по длине стержня, определяя ее величину из условия (2), то, по сравнению с таким подходом, при варьировании шириной Ь2( х) материалоемкость в первом варианте уменьшится на 21,26 %, а во втором и третьем - на 22,08 %.

Пример 2. Рассматривается двухпролетный статически неопределимый стержень. Форма сечения - составной двутавр постоянной высоты. Толщина стенки и ширина полки переменны. Отношение толщины стенки к ширине полки a = 5rf /b2(x) = 0,4 по длине стержня не меняется. Высота сечения b1(x) = b1 = 0,4 м (рис. 1, б). Толщина полки 5Р = 0,04 м, модуль упругости E = 24000 МПа. Варьируется ширина сечения b2 (x). Рассматриваются два варианта нагрузок (рис. 4, а, б). В первом варианте продольная сила в стержне не изменяется по его длине (P = const = 800 кН). Во втором варианте в правой

части стержня Р = 200 кН, а в левой Р = 1200 кН. Для каждого варианта проектировался стержень минимальной материалоемкости, при условии равенства действующей нагрузки ее критическому значению (2).

а Р = 800 кН

Расчет выполнялся на основе дискретной схемы из 21 участка традиционным методом оптимизации. Изменения размеров ширины сечения b2 (х) для рассматриваемых вариантов нагружения приведены на рис. 4, в. Каждый из вариантов обозначен соответствующей цифрой. Изменение размеров ширины сечения в первом варианте симметрично относительно средней опоры. Для второго варианта наибольшие размеры ширины сечения - в левом пролете, меньшие - в правом. Формы потери устойчивости для обоих вариантов нагрузок, несмотря на разный характер изменения значений параметров b2 (х), оказались одинаковыми (рис. 4, г) что подтверждает сформулированные свойства. Если не варьировать шириной сечения, а принимать в каждом из вариантов параметр b2 (х) = const = b2 постоянным по длине стержня, определяя его

величину из условия (2), то формы потери устойчивости будут зависеть от нагрузки. На рис. 4, д приведено сравнение форм потери устойчивости при проектировании бруса минимальной материалоемкости, одинаковой для любой нагрузки, рассматриваемого стержня (а) и формы для второго варианта нагружения (b), когда b2( х) не варьируется. По сравнению со случаем, когда принимается b2 (х) = const = b2 и b2 определяется из условия (2), при варьировании шириной b2(х) материалоемкость в первом варианте нагружения уменьшится на 21,94 %, а во втором - на 61,07 %.

Сформулированные свойства дают новые знания об оптимальных системах. Как отмечалось, например, в [1] и [2], прикладное значение знаний такого рода выявляется по мере их накопления.

Есть достаточно оснований для вывода о том, что по мере накопления знаний об особых свойствах оптимальных систем их прикладное значение будет возрастать.

Библиографический список

1. Ляхович, Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчета сооружений / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2009. - 372 с.

2. Ляхович, Л.С. Особые свойства форм изгиба стержней равного сопротивления и форм собственных колебаний при ограничении величины основного тона для случаев линейной зависимости моментов инерции сечений и варьируемого параметра / Л. С. Ляхович // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. -2010. - № 1. - С. 102-109.

3. Николаи, Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны / Е.Л. Николаи // Известия Санкт-Петербургского политехнического института. - 1907. - Т. VIII.

4. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльс-гольц. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 279 с.