CC BY
12
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ
УДК 624.041/.042.8+531.21
ЛЯХОВИЧЛЕОНИД СЕМЕНОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, lls@tsuab.ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ФОРМ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ ВЕЛИЧИНЫ ОСНОВНОГО ТОНА ДЛЯ СЛУЧАЕВ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ ОТ ВАРЬИРУЕМОГО ПАРАМЕТРА
В работе рассматриваются особые свойства форм изгиба стержней равного сопротивления и форм собственных колебаний при ограничении величины основного тона при пропорциональной зависимости моментов инерции сечений и варьируемого параметра. Формулируются условия, при которых выявленные свойства соблюдаются.
Ключевые слова: оптимизация, стержни равного сопротивления, частота собственных колебаний, особые свойства.
LYAKHOVICH, LEONID SEMYONOVICH, Dr. of tech. sc., prof Tomsk State University of Architecture and Building,
2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia
SPECIAL CHARACTERISTICS OF FORMS OF BENDING OF THE RODS WITH EQUAL RESISTANCE AND FORMS OF NATURAL OSCILLATION UNDER FUNDAMENTAL TONE VALUE RESTRICTION FOR LINEAR DEPENDENCE OF MOMENTS OF CROSS-SECTION INERTIA AND VARIED PARAMETER
The paper considers the special characteristics of forms of bending of rods with an equal resistance and forms of natural oscillation under restriction of a fundamental tone value at proportional dependence of moments of cross-section inertia and varied parameter. Conditions are formulated when the revealed properties are observed.
© Л.С. Ляхович, 2010
Keywords: optimization, rods of equal resistance, frequency of natural oscillation,
special characteristics.
Современный уровень развития информационных технологий привел к появлению методов расчета и соответствующих программных продуктов, дающих возможность проводить сопоставление различных вариантов проектных решений и выбирать из них лучшее. Однако при этом в большинстве случаев рассматривается сравнительно небольшое количество вариантов, среди которых может и не оказаться наилучшего из всего возможного множества.
В то же время уровень развития информационных технологий позволяет более активно использовать методы оптимального проектирования. Вместе с тем существует точка зрения, которая относит методы оптимизации к чисто теоретическим изысканиям, имеющим ограниченное практическое значение. Действительно, во многих случаях оптимальные проекты оказываются технологически трудно реализуемыми. Однако по мере развития методов оптимизации, изучения свойств оптимальных систем появляются возможности сближения методов оптимального и реального проектирования. Есть достаточно оснований полагать, что по мере своего совершенствования методы оптимизации в ближайшее время будут играть более существенную роль в реальном проектировании.
В теории оптимизации сооружений, наряду с традиционным подходом, в соответствии с которым задача формулируется на основе методов математического программирования, применяются и методы, основанные на использовании особых свойств оптимальных систем (например, [1]). Знание особых свойств оптимальных систем во многих случаях позволяет рассматривать задачу оптимизации не в формулировке методов нелинейного программирования, а как задачу проектирования системы с заданными свойствами.
В данной статье рассматриваются особые свойства форм изгиба стержней равного сопротивления для случаев, когда моменты инерции сечений прямо пропорциональны варьируемому параметру. К таким случаям относятся, например, прямоугольные сечения, когда закон изменения высоты сечения b1(x) задан, а ширина сечения b2(x) варьируется (рис. 1, а) или, когда рассматриваются двутавровые сечения при b1(x) = const, 5P = const, &st(x) = = a-b2(x) (рис. 1, б) и варьируется ширина полки b2(x). Выражение варьируемого параметра b2(x) отыскивается из условия равнопрочности сечений стержня. Как известно, это условие записывается в виде равенства
Здесь с - нормальное напряжение в крайних волокнах; с0 - предельное
бающего момента; W(x) - момент сопротивления сечения. Если моменты инерции сечений пропорциональны варьируемому параметру Ь2 (x), то они могут быть представлены в виде
(1)
напряжение для выбранного материала; |M(x)| - абсолютная величина изги-
I(x) = A(x)b2(x),
(2)
где A(x) - заданное неварьируемое выражение. Теперь момент сопротивления
I (x) A( х)Ь2( x)
W (x) =■
(3)
РА(х) р^( x)
В (3) р - коэффициент, определяющий долю от высоты сечения. Если [ие симметрично относительно го]
а б
Рис. 1
С учетом выражений (1) и (3) условие равнопрочности изгибаемого стержня запишется в виде
= М (x)| р^( x)
A( x)b2( x)
Отсюда следует, что варьируемый параметр Ь2(x) из условия равнопрочности (1) выражается зависимостью
\М (x)| р^1( x)
а0 ='
(4)
А( х)Со
Как известно, уравнение изгиба стержня имеет вид Е • I(х)у" = —М(х) или с учетом (2)
Е • А(х)Ь2 (х)у" = —М(х). (5)
Подставив в (5) Ь2( х) из (4), получим
\М (х)| Р-Ь,( х)
Е • А( х)' Л ’ у" = —М (х)
А( х)Со
или, представив М (х) = Sgn(M (х)) |М (х)| , получим
Е • А( х) 1М х) у" = —Sgn(M (х))М (х)|,
А( х)ао
где Sgn(M (x)) - знак изгибающего момента. Теперь после простых преобразований
/ = - -О, Sgn(M (x)). (7)
E P • bl(x)
Рассмотрим особенности эпюр изгибающих моментов в стержнях равного сопротивления при разных нагрузках, но одинаковых кинематических схемах. Не снижая общности рассуждений, ограничимся двумя разными загружениями. При первом из них изгибающие моменты M 1(х), а при втором M2(х). Условия равнопрочности для рассматриваемых слу-
\м 1( х)| \м 2(х)|
чаев запишутся в виде а0 = -------- и а0 =1-----1. Отсюда следует, что
W 1(х) W 2( х)
\м 1( х)\ = M 2( х)\
W 1(х) W2(х) . ( )
Из (8) очевидно, что нулевые точки на эпюрах M1(x) и M2(x) будут совпадать.
Таким образом, в (7) значения х, при которых Sgn(M (х)) изменяется, не зависят от нагрузки.
Итак, если закон изменения высоты сечения b1( х) по длине стержня
задан, то из (7) и (8) следует, что |у(х)| не зависит от нагрузки. В частном случае, когда b1(х) = const, |y(х)| - квадратная парабола. Уравнение формы изгиба определяется по участкам, где Sgn(M (х)) не меняется. Итак, показано, что для стержня равного сопротивления в случаях, когда моменты инерции сечений прямо пропорциональны варьируемому параметру, форма изгиба с точностью до знака не зависит от нагрузки.
В [1] показано, что аналогичные свойства соблюдаются и для форм собственных колебаний в задаче оптимизации при пропорциональности момента инерции сечения варьируемому параметру и ограничении величины первой частоты. В этом случае для стержня минимальной материалоемкости при ограничении величины основного тона колебаний и пропорциональной зависимости моментов инерции сечений от варьируемого параметра соответствующая форма собственных колебаний не зависит от закона распределения внешних масс.
При оптимизации как в случае изгиба стержней равного сопротивления, так и при ограничении величины частоты основного тона могут появляться сечения с нулевой жесткостью. Это обстоятельство приводит к изменению расчетной схемы. Отмеченные свойства соблюдаются, если рассматриваются такие изменения величин и мест расположения нагрузок или внешних масс, при которых расчетные схемы не меняются. При этом сравниваются различные схемы нагружения, а незагруженное состояние не рассматривается.
Так, например, если рассматриваются два варианта загружения двухпролетного стержня (рис. 2, а и б), то в первом варианте приложения нагрузки ну-
левое сечение будет в левом пролете, а во втором варианте - в правом. В этом случае расчетные схемы, появившиеся в результате оптимизации, будут разными, и отмеченные свойства соблюдаться не будут. Также отмеченные свойства не будут соблюдаться, если появившиеся в процессе оптимизации нулевые сечения приводят к изменяемой расчетной схеме. При этом для соблюдения выявленных свойств необходимо, чтобы для всех сечений условие равнопрочно-сти (1) обязательно выполнялось бы в виде равенства.
Отмеченные условия выполнения сформулированных свойств относятся как к задачам изгиба, так и к задачам о собственных колебаниях стержней.
Приведем примеры, иллюстрирующие выявленные свойства.
Пример 1. Рассматривается шарнирно опертый стержень пролетом l = 12 м, прямоугольного сечения. Высота сечения b1 (x) = const = 0,4 м, модуль
упругости Е = 24000 МПа, с0 = 40 МПа.
Учитывается влияние собственного веса. Объемный вес материала у0 = 24 кН/м3. Рассматривались три варианта нагрузок (рис. 3, а, в и д). Для каждого нагружения проектировался стержень равного сопротивления. Расчет выполнялся на основе дискретной схемы из 21 участка (например, [2]).
Графики изменения b2(x) приведены соответственно на рис. 3, б, г и е. Формы изгиба для всех трех вариантов нагружения, несмотря на разные значения параметров b2( x), оказались одинаковыми (рис. 3, ж).
Пример 2. Рассмотрим статически неопределимый стержень при разных нагрузках (рис. 4, а и г). Форма сечения - составной двутавр постоянной высоты. Толщина стенки и ширина полки переменны. Отношение толщины стенки к ширине полки a = 5st / b2(x) = 0,4 по длине стержня не меняется. Высота сечения b1 (x) = b1 = 0,4 м. Толщина полки 5Р = 0,08 м. Стержень пролетом l = 24 м.
Модуль упругости материала стержня Е = 24000 МПа, с0 = 40 МПа. Учитывается влияние собственного веса. Объемный вес материала у0 = 24 кН/м3. Для каждого нагружения проектировался стержень равного сопротивления. Расчет выполнялся на основе дискретной схемы из 21 участка. Так как стержень статически неопределим, то эпюры моментов в процессе проектирования брусьев равного сопротивления изменяются. Окончательные эпюры в брусьях равного сопротивления, соответствующие каждой из нагрузок, показаны на
Рис. 2
рис. 4, б и д. И хотя эпюры построены при разных нагрузках и в стержнях с разными законами изменения жесткостей, нулевые точки в эпюрах совпали, что подтверждает вывод, сделанный на основе зависимости (8). Следует отметить, что при тех же нагрузках в стержнях неравного сопротивления, например постоянного сечения, отмеченное свойство о совпадении нулевых точек не соблюдается. Графики, показывающие изменение ширины полок у стержней равного сопротивления при каждой из нагрузок, приведены соответственно на рис. 4, в и е. Формы изгиба для обоих вариантов нагружения, несмотря на разные значения параметров Ь2(х), оказались одинаковыми (рис. 4, ж).
Пример 3. Рассмотрим случай, когда высота прямоугольного сечения Ь1( х) - величина переменная, но известная и меняется по длине стержня по линейной зависимости (рис. 5, а). Пролет стержня I = 3 м. Граничные условия и варианты нагрузки показаны на рис. 5, б и г.
[~ д = 10,5 кН/м
Модуль упругости материала стержня Е = 24000 МПа, с0 = 40 МПа. Учитывается влияние собственного веса. Объемный вес материала у0 = 24 кН/м3. Для каждого нагружения проектировался стержень равного сопротивления. Расчет выполнялся на основе дискретной схемы из 21 участка. Графики, показывающие изменение ширины сечения у стержней равного сопротивления при каждой из нагрузок, приведены соответственно на рис. 4, в и д. Формы изгиба для обоих вариантов нагружения, несмотря на разные значения параметров Ь2(х), оказались одинаковыми (рис. 4, е). Во втором варианте (рис. 5, г) нагрузка на половине стержня, прилегающей к свободному краю, составляет всего
3 % от нагрузки другой половины. Если участок стержня, прилегающий к свободному краю, не загрузить, то все его сечения окажутся с нулевой жесткостью. Стержень станет изменяемой системой, задача выродится, а выявленные свойства форм изгиба соблюдаться не будут.
Сформулированные свойства дают новые знания об оптимальных системах. Прикладное значение знаний такого рода выявляется по мере их накопления. Так, например, свойства форм собственных колебаний в задачах о связях наименьшей жесткости или в задаче об оптимальном размещении масс позволяют построить эффективные алгоритмы их решения [1]. Есть достаточно оснований для вывода о том, что по мере накопления знаний об особых свойствах оптимальных систем их прикладное значение будет возрастать.
Библиографический список
1. Ляхович, Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчета сооружений : монография / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2009. - 372 с.
2. Малиновский, А.П. Численный метод расчета стержней на прочность, устойчивость и колебания. Исследования по строительным конструкциям и строительной механике / А.П. Малиновский. - Томск : Изд-во ТГУ, 1978. - С. 85-96.
