CC BY
13
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ
УДК 624.072.3
Л. С. ЛЯХОВИЧ, докт. техн. наук, профессор,
ТГАСУ, Томск
ОСОБЫЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕЙ МИНИМАЛЬНОЙ МАТЕРИАЛОЕМКОСТИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ ИЛИ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ
В статье формулируются некоторые новые особые свойства стержней минимальной материалоемкости при ограничениях на величину критической силы или низшей собственной частоты.
Традиционно задачи оптимизации формулируются либо в вариационной постановке, либо в виде задачи математического программирования [1]. Однако возможны и другие подходы. В работах [1-8] и других показано, что системы минимального веса обладают особыми свойствами. Выявление этих свойств позволяет заменять такую традиционную постановку задачи, как поиск минимума функции веса (объема) сооружения, задачей синтеза систем, обладающих наперед заданными свойствами. Кроме того, при традиционной постановке задачи особые свойства могут использоваться для оценки близости полученного решения к оптимальному.
В [6] впервые было отмечено, что в некоторых случаях стержень минимального веса в задаче о потери устойчивости является брусом равного сопротивления по отношению к изгибающим моментам, соответствующим форме потери устойчивости.
Если потеря устойчивости стержня происходит в обеих главных плоскостях инерции при одном и том же заранее заданном значении параметра нагрузки (Р = Ркр) и если обозначить напряжения в крайних волокнах стержня
при изгибе по форме потери устойчивости соответственно через с1Р (х) и с 2Р (х), то для стержней прямоугольного сечения особые свойства записываются в виде
с1Р (х) = со^,
1М' (1) с 2Р (х) = со^.
© Л.С. Ляхович, 2007
Покажем, что аналогичное свойство имеет место и для стержней с произвольной формой поперечного сечения.
Запишем функционал цели в виде
I
Уо =| F (х)ёх . (2)
о
Здесь У0 - объем; F(х) - площадь поперечного сечения; I - длина стержня.
Рассмотрим случай потери устойчивости в одной из главных плоскостей инерции.
Как известно, при потере устойчивости функционал потенциальной энергии принимает нулевое значение, то есть
1 I
Э Р1 = -1 [Е • 1г(х)(у'; )2 - Ркр • Р(х)(у'р )2]йх = 0. (3)
2 о
В (3) Э Р1 - потенциальная энергия при изгибе по форме потери устойчивости; Е - модуль упругости материала стержня; 11(х) - момент инерции сечения; ур = ур (х) - ординаты формы потери устойчивости; Р(х) - функция, выражающая соотношения между продольными силами по длине стержня.
Запишем момент инерции сечения в виде
11 (х) = F(х) • г2 (х), (4)
где тп (х) - радиус инерции сечения.
Теперь функционал (3) перепишется в виде
1 I
Эр- = -1 [Е • F (х) • гг2( х)(у'Р )2 - Рр • Р(х)(у'р )2]Л = 0. (5)
2 0
Итак, требуется отыскать минимум функционала (2) при выполнении условия (5). При использовании множителей Лагранжа [9] задача сводится к поиску минимума функционала
У)Р = 1 ^(х) - XР-[Е • F(х) • г2(х)(у'Р)2 - Ркр • Р(х)(у'р)2]}ёх. (6)
0
В (6) X Р1 - множитель Лагранжа.
Минимум функционала (6) реализуется на основе решения системы дифференциальных уравнений, одно из которых имеет вид:
8(УР)F(х) = 1 - XР1[Е • г2 (х)(уР")2] = 0 (7)
или
Е ^(^ х) (уР )2 = -к (8)
Е^(х) -г4(х) XР,
Учитывая, что F(х) • г2г (х) = 11(х), а Е • 11 (х)(ур) = М 1(х), где М 1(х) -изгибающий момент при деформации стержня по форме потери устойчиво-
сти, а также, что в изопараметрической задаче множитель Лагранжа постоянная величина, получим
М 12( х)- гЦ( х) Е
--------------=-----= сОП81 . (9)
11 (х) х Р1
З М 12(х)- Г2(х) 2 ( ) ( )
Заметим, что -----2--------= С1 рг (х), где с1рг (х) - нормальное напря-
1Х (х)
жение в волокне, отстоящем от нейтрального слоя на расстоянии радиуса инерции гп (х), возникающее от изгибающего момента, появляющегося при потере устойчивости.
Итак, показано, что
Сі рг (х) = со^. (10)
Если потеря устойчивости происходит в другой плоскости инерции, то
С 2 рг (х) = сО^. (11)
Таким образом, стержень минимального веса произвольного сечения на уровне волокон, отстоящих от нейтрального слоя на расстоянии радиуса инерции, является брусом равного сопротивления по отношению к изгибающим моментам, возникающим при потере устойчивости.
Для тех типов сечений стержня, у которых отношение радиуса инерции к расстоянию от нейтрального слоя до крайнего волокна в соответствующей плоскости инерции не зависит от х, напряжения и в крайних волокнах также будут сохранять постоянное значения, то есть могут использоваться свойства (1). Свойства (10), (11) более общие, чем (1).
Рассмотрим случай, когда стержень прямоугольного сечения находится в условиях, при которых величина продольной силы зависит от собственного веса (см., например, рис. 1).
Здесь у 0 - удельный вес материала стержня; Ь1 (х) и Ь2 (х) размеры се________________________ х
чения стержня при х = х ; Р(х) = Р-Р(х) + |у0 ■Ъ1(х) -Ъ2(х)dx - продольная
0
сила в сечении (х) от начала координат. Сила Р (х) складывается из продольной силы Р ■ Р(х), создаваемой в сечении (х) внешней нагрузкой, и дополнительной за счет собственного веса (второе слагаемое). Интеграл суммирует вес вышележащей по отношению к сечению с ординатой (х) части стержня.
Если потеря устойчивости стержня происходит в обеих главных плоскостях инерции при одном и том же заранее заданном значении параметра нагрузки (Р = Ркр), то при этом должны принимать нулевое значение два
функционала.
1 1 2 1 _ _ 2 ЭР1 =-/(Е-/Дх)(у'Р) - [Ркр-Р(х) + |у0 -ЪДх) ■ Ъ2(х)■ dx](v'p) }йх = 0. (12)
2 0 0
1 1 2 1 _ _ 2 Э р 2 =-1 {Е^2(х)^'Р) - Рр-Р(х) + 1у 0 А(х) • Ь 2 (х) • йх](^Р) }ёх = 0. (13)
2 0 0
В (13) при потере устойчивости во второй главной плоскости инерции
Э Р2 - потенциальная энергия при изгибе по форме потери устойчивости; 12 (х) - момент инерции сечения; wP = wP (х) ординаты формы потери устойчивости.
Р
/77?
т
х
■-А-
Р (х) = Р • Р(х) +1 у 0 • Ь1 (х) • Ь2 (х)ёх
Рис. 1
Целевая функция запишется в виде
I
У0 =1Ь1 (х) • Ь2 (х)йх.
(14)
Таким образом, требуется отыскать размеры Ь1(х) и Ь2(х), которые придадут функционалу (14) наименьшее значение, при соблюдении условий (12) и (13). Эта задача сводится к поиску минимума функционала
V)Р =1 {ЬДх) А(х) -
- Х Р1[ Е
Ь13(х) А(х) „
12
(уР')2 - Р -Р(х) + 1у0 А(х)-^(ЗДУ)2] - (15)
- Xр2 [Е
Ь (х) • Ь'3 (х)
(wP') - (Рк„-Р(х) + 1у 0 А(х) •Ь2(х)<£)^р') ]}ёх.
12 - 0 Минимум функционала (15) реализуется на основе решения системы дифференциальных уравнений, два из которых 5(У0 Р )^ (х) = 0 и 5(У0Р) Ь (х) = 0
после простых преобразований принимают вид:
х
1 -ХР1[ЕЩХ1 {Ур")2 -уо(Ур')2] -)2 -у0^р')2] = 0,
2 2 ^16)
1 -Ярl[Ebll2)(vр'')2 - уo(Vр')2] - Лр)2 - уo(wр')2] = 0.
Заметим, что
0-М = ММ. = Е->-(^" = Е(х) • -2(х)6 = Е-1 (Г)(У") (17)
Ж1(х) Ж1(х) -12(х) • -2 (х)12 2 п А
и соответственно
Е
СТ 2 (х) = у —2 (х)М. (18)
Здесь ^ (х) - момент сопротивления сечения в первой главной плоско-
сти инерции.
Уравнения (16) теперь можно переписать в виде
Е -Я Жр (х) - Е • у(у'р )2] -Я р 2[3 а 2 р (х) - Е • у« )2] = 0,
1 3 (19)
Е - Яр1 [3а2р (х) - Е • у(ур)2] - Яр2[а2р (х) - Е • у« )2] = 0.
Здесь, как уже отмечалось, а1р (х) и а 2р (х) - нормальные напряжения в крайних волокнах стержня от изгибающих моментов, возникающих при потере устойчивости в главных плоскостях инерции. Эти напряжения определены с точностью до постоянного множителя.
Из разности уравнений следует, что
Яр1 • а^р (х) = Яр2 • а2р (х). (20)
а 2 а 2
Из (20) очевидно, что Яр1 = Яр2—2~ и Яр2 = Яр1 —р. (21)
а1р а 2 р
Исключив на основе (20) и (21) из первого уравнения Яр2 и Я р 2 •а 2 р (х), а из второго - Я р1 и Я р1 • а12р (х), а также учитывая, что в изопа-раметрической задаче множители Лагранжа Яр1 и Яр2 - постоянные величины, получим
о а 2 а2р (х) - - Е • у 0[(у р )2 + ~р « )2] = сси81,
4 а 2р
3 „ .а2
а2р (х) --Е • у0[^(Vр )2 + (^р )2] = соп81.
4 а1р
Таким образом, особые свойства стержней минимальной материалоемкости при прямоугольном сечении и учете влияния собственного веса на величину продольной силы выражаются зависимостями:
3 СТ 2
ст?р -тЕус[(уР)2 + “РК)2] — ССИ81,
4 Р' 'а 2
СТ2 Р —
2Р __________ (22)
3 СТ 2
СТ 2 Р - 7 Е-у о^ (V Р )2 + « )2] — ОСП81.
4 ст Г„
Назовем с1Р и с2Р приведенными напряжениями. Если граничные условия в одной из главных плоскостей инерции не отличаются от граничных условий в другой, то ур = wP , с1Р = с 2Р . С учетом этого зависимости (22) записываются в виде:
с1Р =-\/с1Р -1,5 -Е - у0(уР)2 = соп81;,
д/ст2Р -1,5 -Е - у0(^р)2 — соп8І
(23)
Если рассматривается потеря устойчивости только в одной главной плоскости инерции, то свойства соответственно представляются в виде
С1Р =*\с\р - Е- уо(уР)2 = соп8г,
СТ2 р — д/ст2Р - Е - у0(^Р )2 — СОП8І.
(24)
В [7] приводится свойство спектра критических сил для стержня наименьшего веса при жестком защемлении обоих концов. Показано, что первая критическая нагрузка такого стержня будет двукратной. Однако кратность критических сил для стержней минимального веса возникает и в других случаях.
Так, например, для стержня минимального веса, у которого один конец защемлен, а другой шарнирно оперт (рис. 2), при учете только ограничений по устойчивости первая критическая сила оказывается двукратной. На рис. 3 приведен график изменения размеров Ь1(х) = Ь2(х) для этого стержня.
Р
X
Рис. 2
Рис. 3
Для стержня минимального веса, показанного на рис. 4, первая критическая сила при указанном соотношении пролетов будет трехкратной. На рис. 5 приведен график изменения размеров Ь1(х)= Ь2(х) для этого стержня.
Рис. 4
Рис. 5
В [3] приведены некоторые свойства прямолинейных стержней наименьшего веса при ограничении на величину низшей частоты собственных колебаний. Стержень несет распределенную массу и загружен продольной силой. Величины массы и продольной силы могут изменяться по длине стержня (рис. 6). Параметр действующей нагрузки Р(х) обозначен через Р, а массы т(х) - через т . Граничные условия стержня могут отличаться от
показанных на рис. 4. В [3] рассмотрен частный случай стержней с прямоугольной формой сечения и одинаковыми граничными условиями в обеих главных плоскостях инерции. Варьируемые параметры - размеры сечений стержня Ь1( х), Ь2( х), а функционал цели - объем стержня (14):
I I
¥0 =| ^(х)йх (2) или У0 =| Ь1 (х) • Ь2 (х)йх.
о о
Ограничения на величину низшей частоты собственных колебаний
ю0 = ю1 , (25)
ю0 = ю2 . (26)
Здесь ю0 - заранее заданное число, а ю1 и ю 2 - первые собственные частоты в главных плоскостях инерции.
Обобщим результаты [3] на случай разных граничных условий в главных плоскостях инерции, а также рассмотрим стержни с произвольной формой поперечного сечения.
Рассмотрим вначале стержни с прямоугольным поперечным сечением, но для случая, когда граничные условия в одной главной плоскости инерции отличаются от граничных условий в другой.
Для выявления свойств стержня минимального веса при ограничении на величину низшей частоты собственных колебаний используем метод поиска условного экстремума.
Сформируем функционал, условия экстремума которого должны обес-
I
печить как минимум функционала цели У0 = | Ь1 (х) • Ь2 (х)йх (14), так и усло-
0
вие, что заданная частота ю0 будет первой собственной в обеих главных плоскостях инерции, то есть
ш0 = ш1 = ш2 . (27)
Известно, что если ю1 и й2 будут первыми частотами собственных колебаний в главных плоскостях инерции, то функционалы Э ш1 и Э ш2 должны принимать нулевые значения.
1 г
э Ш1 = -1 {£/1(х)Ю2 - Р-Р(х)(у; )2 - (Юо)2[«(х) + Р- У(х)у1]^х = 0,
0 (28)
1 С
Э ш2 = - Г {£/ 2( х)К')2 - Р^Р(х)(м>'ю )2 - (®0)2[т(х) + р^ Р(х^1]^х = 0.
20
В (28) р - удельная масса материала стержня; (х) и wffl = wш (х) -
соответственно ординаты форм собственных колебаний в главных плоскостях инерции.
Функционал, экстремум которого обеспечит минимум функционалу (14) и выполнение условий (28), запишется в виде
Ух» = Г {Ъ (х) • Ь2 (х) -
0
ю! -Р^Р(х)(у, )2 -
- (ш 0)2(т(х) + р • Ь1(х) • Ь2(х))уШ ] - (29)
, г сА(х)- Ь23(х) , 2 „ ш ' \2
-Хш2[ Е---------------------—-(^ - Р-Р( х)(^ ) -
- (ш 0)2 (т(х) + р • Ь1(х) • Ь2 (х)^Ш ]}<ях.
Очевидно, что вариации функционала У0ш по V и w приведут к уравнениям собственных колебаний в главных плоскостях инерции. Вариации У0ш по А,ш1 и Яш2 - к выполнению условий (28). Для отыскания минимума функционала (29) при поставленных условиях запишем
8(УИ) Мя) = Ъ2(х) -Яю1[ ЕЪ (Х)4 ^ Х) (у;')2 - (юо)2 Р-Ь2(х)у2] -
- Хю2 [Е^Ю2 - (2 о)2 Р - Ъ2 (х)^2 ] = 0,
12 3 (30)
8(^02) Ъ2(х) = Ъ,{х)-^[Е^ОС )2 - (ю о )2 Р-Ъ ( х)у2 ] -
- Хи2[Е 1( )4 2 ( ) (*2')2 - (ю0)2 р -Ъ1 (х)*2] = °-
Разделив все члены первого уравнения на Ъ2 (х), а второго на Ъ1 (х) и выполнив простые преобразования, получим
^еЩх!Ю2 -(ю0)2Р-у2] + яИ2[е^к')2 -(2о)2Р-*2] = 1,
х„1[ е^ю2 - (ю о)2 Р-у2] + яИ2[ е^ « )2 - (2о)2 Р-*2] = 1.
Умножив все члены полученных уравнений на Е и с учетом (17), (18) можем переписать их в виде
Хш1 К2ш (х) - (юо)2 Е- Р- У2] + Хш2[-3о2ю (х) - (юо)2 Е- Р- *2] = E,
1 3 (31)
Х21[3 °12ю (х) - (юо)2 Е- Р- У2] + Х22[о 2ю (х) - (юо)2 Е- Р- *о2] = Е.
Здесь о1; (х) и о 2ю (х) - нормальные напряжения в крайних волокнах стержня от изгибающих моментов, возникающих при собственных колебаниях в главных плоскостях инерции. Эти напряжения так же, как и перемещения и , определены с точностью до постоянного множителя.
Взяв разность уравнений (31), получим
2 3 2 3
- Хш1 -О1ш (х) - 3 Хш2 -О 2ю (х) = о. (32)
Из (32)следует
Из (33) следует
Хш1 -О?т (х) = Хш2 -О2ю (х). (33)
_ 2 _ 2 Х«1 ^Нг и ЯИ2 = ^1^“ . (34)
На основе (33) и (34) уравнения (31) запишутся в виде
■3 „
4 О 2
Хю1[т О 12ш (х) - (ю о )2 Е - Р - ---12 (ю о )2 Е - Р - *2 ] = E,
2ю
2
Хю2[Т О 2ю (х) (юо)2 Е -Р -У22 - (юо)2 Е -Р- *2] = Е.
1ю
Так как А,ш1, Яш2, Е - постоянные величины, перепишем (35) в виде,
3 СТ 2
СТш(х) - - Е • Р(шо)2 + Нт ) = сonst,
4 ст 2ш
2 2ш (36)
3„ , .9 ,СТ2
ст 2ш(х) -- Е •рФо^НГ ^ + ^Ш)=с°п^.
4 СТ,
'0^ V _2 ’и
1ш
Если граничные условия в одной из главных плоскостей инерции не отличаются от условий в другой, то = wffl , ст1ш = ст2ш и (36) принимают вид [3].
СТ12ш (х) - 1,5(ш0)2 Е Р^ ^ = с0П^ (37)
2 2 2 ( )
СТ 2ш (х) - 1,5(Шо) Е • Р^ wffl = со^1
Оба уравнения (37) становятся идентичными. Однако для построения алгоритмов реализации свойства (37) сохранение двух уравнений оказывается полезным.
Если граничные условия в одной из главных плоскостей инерции отличаются от условий в другой, то используются зависимости (36).
Представим зависимость (36) в виде
СТ1Ш =
3 СТ 2 СТ2Ш (х) - - Е • Р(ш o)2(vШ + Нл wШ) = сonst,
4 СТ 2ш
3 ст 2
СТ2ш (х) - -Е • Р(ш о)2^ V;2 + wШ) = ^,
4 СТ^ш
(38)
а (37) в виде
ст1ш = 7СТ12Ш"-1,5(Ш^ГЕФ^Ш=сonst,
СТ 2ш = = сonst.
(39)
Вторые слагаемые в выражениях ст1ш и ст2ш учитывают оптимальное распределение собственных масс.
Если собственные колебания рассматриваются только в одной главной плоскости инерции, то свойства для соответствующих плоскостей представляются в виде
СТ12Ш(х) - (шо •кш)2Е Р^ ^ = соп^ (40)
СТ2®(х) -(ш0 • кш)2ЕР^ wШ = соп^.
Итак, показано, что стержень прямоугольного сечения является брусом равного сопротивления по отношению к приведенным напряжениям СТ1ш и СТ2ш, возникающим при собственных колебаниях.
Покажем, аналогичные свойства реализуются не только для прямоугольных сечений, но и для стержней с произвольной формой поперечного сечения.
Запишем функционал цели в виде (2):
V = | ^ (х)dx ,
о
а ограничения в виде (27): ю0 = ю 1 = ю2.
Момент инерции сечений представим как(4):
її (х) = ^(х) • г2 (х).
Теперь первый из функционалов (28) перепишется в виде
Э Ш1 = 11 (£-^(х)- г>(')2 - Р(х)(уш ')2 - (йо)2[т( х) + р- ^ (х) • v(2]}dX = 0. (41)
2<
0
Функционал, экстремум которого обеспечит минимум функционалу (2) и выполнение условия (41), запишется в виде
Уош = 1 №) -ХШ1[Е-ВД-/;2Ю2 -Дх)^«')2 -
0 (42)
- (ш о)2(«(х) + Р • ^(х)>« \}ёх.
Для отыскания минимума функционала цели (26) при выполнении условия ш0 = ш 1 необходимо составить и решить уравнение
3(Уош)*(х) = 1 -ХшЛЕ • г2 (х)Ю2 - (шо)2Р • V;2] = 0. (43)
Из (43)следует
Е 'Г '1™ «)2 - («о)2 Р-V! = ^. (44)
Е •Е • г-! (х) аР1
Учитывая, что ^(х) • г2г (х) = 11(х), а Е • 11 (х)^") = М 1(х), получим
М 12(х)^ гг2(х) 2 Е 2 Е (
-----------------(«о) еР^^ = ^-. (45)
!2( х) а«1
М 12( х)- гг2 (х) її2( х)
Заметим, что ------^—--= ст^ (х), где ст1(г (х) - нормальное на-
пряжение, возникающее от изгибающего момента, появляющегося при собственных колебаниях в волокне, отстоящем от нейтрального слоя на расстоянии радиуса инерции гі1 (х).
Итак,
СТкг = д/ст1шг - ((0)2 Е- Р- V2 = . (46)
Если рассматриваются собственные колебания в другой главной плоскости инерции, то
ст2(г = д/ст2(г -((о)2Е- р-. (47)
Таким образом, показано, что стержень произвольного сечения на уровне волокон, отстоящих от нейтрального слоя на расстоянии радиуса
инерции, является брусом равного сопротивления по отношению к приведенным напряжениям ст1шг и ст2шг, возникающим при собственных колебаниях.
Для тех типов сечений стержня, у которых отношение радиуса инерции к расстоянию от нейтрального слоя до крайнего волокна в соответствующей плоскости инерции не зависит от х, напряжения и в крайних волокнах также будут сохранять постоянное значения, то есть могут использоваться свойства (38-40).
Свойства (46) и (47) более общие, чем (38-40).
Отметим еще одно интересное свойство форм собственных колебаний упругих систем минимальной материалоемкости для частного случая, когда варьируется один параметр, линейно входящий как в функцию цели, так и в уравнение колебаний.
Рассмотрим вначале это свойство на примере собственных колебаний балки прямоугольного поперечного сечения при ограничении на величину первой частоты. Колебания рассматриваются в одной из главных плоскостей инерции. Закон изменения одного размера поперечного сечения Ь1(х) задан и не варьируется. Варьируется функция второго размера сечения - Ь2 (х).
Для этого случая функционал (29), на основе которого отыскивается оптимальное решение, принимает вид
Уо« = 1 {Ь1 (х) • Ь2(х) - Аш1 [Е Ь^(х)12Ь2(х) Ю2 - Р(х)^«)2 -
0 12 (48).
- (ш оУ(т(х) + Р • ЬДх) • Ь2(х)>Ш ]}<*.
Для отыскания минимума функционала запишем
3(Уо« ) Ь2(х) = ЬДх)-^[Е^^Ш')2 - («о)2 р • ЬДх^Ш] = 0 (49)
или
[E—ir2x)(v2')2 -К)2p^v2]=т~ =const. (50)
12 Л21
Заметим, что в (50) входит лишь одна неизвестная функция v2 - форма собственных колебаний. При этом в (50) не входят параметры внешних масс. Отсюда очевидно, что v2 не зависит от параметров внешних масс. Аналогичное доказательство можно провести не только для стержня, но и для других упругих систем.
Итак, показано, что если в задаче синтеза системы минимальной материалоемкости при ограничениях на величину частоты собственных колебаний варьируемые параметры входят линейно как в функцию цели, так и в уравнение колебаний, то форма собственных колебаний не зависит от параметров внешних масс.
Отмеченное свойство позволяет, решив один раз уравнение (50) и отыскав форму собственных колебаний vffl, затем использовать ее для получения оптимального выражения варьируемого параметра. Для этого достаточно подставить V® в уравнение собственных колебаний и выразить из него искомую функцию. Так, например, для стержня уравнение собственных колебаний имеет вид
[Е Ь (х1 2Мх) (V®')]'' - [Р(х)^«)]' - К)>(х) + р • Ь1(х) • Ь2 (х)К = 0. (51)
В (51) входит одна неизвестная функция Ь2( х), которая и является искомой. Подставив в (51) выражения известных функций Ь1(х), V® (х), Р(х), т(х) и величины Е, ш0, р, получим уравнение относительно Ь2(х). Решив это уравнение, определим оптимальное выражение варьируемого параметра Ь2(х) при заданном законе изменения внешних масс т(х). При другом законе изменения внешних масс в (51) меняется только т(х). Таким образом, после решения один раз уравнения (50) при любом законе распределения внешних масс задача свелась к решению (51) для каждого закона т(х).
Приведем пример иллюстрирующий отмеченное свойство. Рассмотрим шарнирно опертый стержень прямоугольного сечения. Высота сечения задана и не меняется по длине стержня (Ь1 (х) = Ь1 = сош1). Варьируется ширина сечения Ь2(х).
Требуется отыскать функцию Ь2 (х), при которой первая собственная частота равна заданной величине ш1 = ш0, а объем материала стержня
I
У0 =| ^ (х )ёх минимален.
0
Рассматривались три варианта расположения масс на стержне. Варианты представлены на рис. 7, а, 7, в, 7, д. Задача решалась на основе дискретной модели одним из вариантов градиентного метода, а затем решение уточнялось методом случайного поиска. Для каждого из вариантов расположения масс найдены функция изменения ширины сечения Ь2 (х) и форма собственных колебаний, отвечающая первой собственной частоте. Графики, показывающие изменение функции Ь2( х) по длине стержня для каждого из вариантов, приведены на рис. 7, б, 7, г, 7, е.
Несмотря на то, что функции Ь2(х) для рассмотренных вариантов разные, форма собственных колебаний, отвечающая первой собственной частоте, оказалась для всех вариантов одинаковой. Она представлена на рис. 7, ж.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Рис. 7
Приведенное свойство реализуется не только для стержней с прямоугольным сечением, но и для более широкого класса задач. В частности, это свойство проявляется для двутавровых балок постоянной высоты, но с переменной шириной полки, при проектировании некоторого типа упругих связей минимальной материалоемкости, а также в других случаях, где варьируемые параметры входят линейно как в функцию цели, так и в уравнения колебаний.
Таким образом, в данной статье расширяется набор особых свойств стержней минимальной материалоемкости при ограничениях на величину
критической силы или первой собственной частоты. Знание свойств служит основой для разработки методов и алгоритмов проектирования систем минимальной материалоемкости, а также для оценки решений, полученных традиционными методами.
Библиографический список
1. Виноградов, А.И. Проблема оптимального проектирования в строительной механике / А.И. Виноградов. - Харьков : Вища школа, Изд-во Харьков. гос. ун-та, 1973.
2. Ляхович, Л.С. Критерий оптимальности связей в задачах устойчивости и собственных колебаний упругих систем / Л.С. Ляхович, А.Н. Плахотин // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1986. - № 7. - С. 26-30.
3. Ляхович, Л.С. Оптимизация сооружений как двойственная задача минимизации веса или синтеза систем, обладающих особыми свойствами / Л.С. Ляхович // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2000. -№ 1. - С. 98-108.
4. Ляхович, Л.С. Оптимизация изменений нагрузки при ограничениях на величину частоты собственных колебаний / Л.С. Ляхович, Н.А. Круль // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2001. - № 1. - С. 70-82.
5. Ляхович, Л.С. Метод синтеза стержневых систем наименьшего веса на основе реализации их особых свойств / Л.С. Ляхович, С.Р. Ижендеева // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2002. - № 1. - С. 97-109.
6. Николаи, Е.Л. Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны / Е.Л. Николаи // Известия Санкт-Петербургского политехнического института, т. VIII. - 1907.
7. Ольхофф, Н. О простых и двукратных оптимальных критических нагрузках потери устойчивости для защемленных стержней / Н. Ольхофф, С.Х. Расмуссен // Механика. Новое в зарубежной науке. Оптимальное проектирование конструкций. - М. : Мир, 1981. -№ 27. - С. 139-154.
8. Смирнов, А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений / А.Ф. Смирнов. - М. : Трансжел-дориздат, 1958.
9. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльс-гольц. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 279 с.
L.S. LYKHOVICH
THE SPECIFIC PROPERTIES OF RODS WITH MINIMUM MATERIAL USE RATIO AND RESTRICTIONS ON VALUE OF CRITICAL FORCE OR ITS FIRST OWN FREQUENCY
Some new specific properties of rods with minimum material use ratio and restrictions on value of critical force or its own lowerst frequency are formulated in the paper.
