Критерий декомпозиции линейных проводников при расчете электромагнитных полей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

КРИТЕРИИ ДЕКОМПОЗИЦИИ ЛИНЕИНЫХ ПРОВОДНИКОВ ПРИ РАСЧЕТЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Лемешко Николай Васильевич,

д.т.н., в.н.с., НТЦ Анализа ЭМС

ФГУП Научно-исследовательский институт радио,

Москва, Россия, nlem83@mail.ru

Захарова Светлана Сергеевна,

к.т.н., доцент кафедры РЭТ МИЭМ НИУ "Высшая школа экономики", Москва, Россия, szaharova@hse.ru

Ключевые слова: электрически короткие антенны, методика, продольное разбиение проводников, критерий декомпозиции, электродинамическое моделирование.

Некоторые из методов расчета электромагнитных полей, формируемых проводниками, предполагают их разбиение на элементы и последующее векторное суммирование компонентов поля в необходимых точках. Компоненты поля для каждого элемента декомпозиции при этом рассчитываются на основе точных решений уравнений Максвелла, полученных для дипольного излучателя, либо для аналогичных решений для других элементарных излучателей. Предлагается критерий декомпозиции прямолинейных проводников, основанный на максимально допустимой погрешности, вызванной неоднородностью распределения возбуждающего тока в элементе декомпозиции. Критерий выработан на основе сопоставления приближенных и точных расчетов диаграмм направленности коротких проводников, построенных для дальней зоны излучения. При этом приближенные соотношения были получены в предположении равномерности распределения тока в линейном участке проводника, в то время как точные значения учитывают неодинаковые уровни тока на его протяжении, характерные для синусоидального тока. Предложенный метод может быть использован, например, при анализе излучений печатных плат для определения максимально допустимой длины элемента декомпозиции проводников. Приводятся исходные формулы компонентов поля для дипольного излучателя при гармоническом возбуждении, проводится их адаптация для произвольного тока с соблюдением, однако, приближения электрически коротких антенн для максимальной частоты спектра тока. Далее проводится упомянутое выше сопоставление диаграмм направленности с получением жесткого, математически сформулированного критерия декомпозиции, определяющего максимально допустимую длину элемента декомпозиции в зависимости от допустимой погрешности и значения коэффициента распространения. Приводятся графики, упрощающие практическое применение предложенного критерия декомпозиции.

Для цитирования:

Лемешко Н.В., Захарова С.С. Критерий декомпозиции линейных проводников при расчете электромагнитных полей // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. - Том 9. - №5. - С. 42-46.

For citation:

Lemeshko N.V., Zakharova S.S. Criterion decomposition linear conductor electromagnetic fields in calculating. T-Comm. 2015. Vol 9. No.5, рр. 42-46. (in Russian).

В качестве элементов декомпозиции целесообразно выбрать те, для которых известны точные выражения для составляющих электромагнитного поля, полученные на основе решения уравнений Максвелла. Для линейного элемента с током, для которого, согласно [I], при синусоидальном возбуждающем токе компоненты электромагнитного поля в любой зоне излучения описываются выражениями

где Ё и н - векторы комплексных амплитуд напряженности электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля, ¡¡Г, 0^ и ^ - единичные орты {рис. I).

Комплексные составляющие н^, Ёг и ¿0 задаются уравнениями

4 |«*(0).

II

I , jk к3

£,=-7----5ш(0).

4жоб(( ^ г г г )

(2)

В уравнениях (2) / - комплексная амплитуда тока в проводнике; I - его длина; г - расстояние между точкой наблюдения и центром проводника; к = 2ж/Х, - волновое число; е„ - диэлектрическая постоянная среды распространения радиоволн; со - циклическая частота. Множитель

е~'к' определяет сдвиг фазы, вызванный запаздыванием появления излучения в точке наблюдения за счет конечной скорости распространения радиоволн. Направление ортов соответствует правой тройке векторов; отсчет углов 0 и 1р выполняется от положительных направлений осей 7. и X соответствующей декартовой системы координат.

Для получения обобщенных зависимостей компонентов поля для токов произвольной формы в выражениях (2) от комплексных амплитуд перейдем к комплексным напряженностям как функциям времени. Вводя функцию

j(t) = íéJla,'tr) и учитывая, что dí(t)!dt = /йЛ^""'*0 = j<úi(t), преобразуем (2) к виду

/jV i (i Ш(п i(t)) . mi

".<')=——P+-VN0 . Er(f)=-—j-cos e),

4л ^¿r a! r ) 2it£acr (3)

г , ч 1 i fa) I cli(t)) . Mx 4пв„ {_cr c r di J Выражения (3) получены для монохроматического процесса. Однако они могут быть обобщены на спучай тока произвольной формы следующим образом. Над функцией /{/) в уравнениях компонентов попя выпопняются только линейные операции, поэтому в качестве этого комплексного тока может быть рассмотрена сумма /^-^^/w-vi,

Я=|

где N - конечное целое число. При этом, однако, должно выполняться условие /<<шах(2тсс/ы„), т.е. для волны самой малой длины элемент с током должен быть электрически коротким, что соответствует условию постоянства тока в элементе. Из изложенного следует, что перед анализом излучения элементами декомпозиции следует ограничить спектр вызывающего его тока í(/). Принципы такого ограничения рассмотрены в [2].

Далее, ш t - кг- - кгАй) - &>(f - г/с). Очевидно, что для выбранной точки наблюдения запаздывание появления излучения будет определяться расстоянием до нее. Обобщая (3), переходя к функциям времени и рассматривая среду распространения с вещественными значениями s„ и р,„ получим

нШ

/sin(e)

Ш=

4л

/sin(e)

di(t-T) i(t-T) -----^—_—

r dt r

Er(» =

/cos(0) 2m-~

4tt

Г fe m ?

-T) t jX^dlV-T)

di

&

(4)

Рис. I. Компоненты поля, формируемого линейный элементом с током, и единичные орты

Выражения (2) описывают излучение элемента с током для случая, когда I «X Слагаемые, обратно пропорцио-напьные г, определяются накоплением заряда на концах диполя. Основное отличие дипольного излучателя от участка проводника состоит в том, что первый является замкнутой электрической системой. Поскольку токи, втекающие в данный элемент проводника и вытекающие из него, одинаковы, то его электронейтральность не нарушается, и заряд на концах проводника не накаппивается. Поэтому слагаемые с г в (2) для элемента с током будут отсутствовать.

Данные соотношения взяты за основу при расчете из-пучения каждого выбранного для анализа элемента декомпозиции. Запаздывание в случае распространения в однородной среде составляем = г-уД^е, •

Уравнение (4) является отправной точкой в выработке критерия декомпозиции проводников.

Для использования выражений (4) необходимо, чтобы в пределах элемента с током распределение последнего было равномерным. Однако высокая динамика изменения распределения токов в проводниках на высоких частотах приводит к тому, что даже дпя небопьших участков значение тока не будет одинаковым. Оценить максимально допустимые размеры элемента декомпозиции можно на основе сопоставпения диаграмм направленности, полученных для постоянного и точно рассчитанного распределения тока в рассматриваемом участке проводника. Как показали выполненные исследования, поперечная декомпозиция проводников не требуется до частот порядка 10 ГГц,

T-Comm Vol.9. #5-201 5

У

У

Вместе с тем, в [3] указано, что если линия передачи используется для задержки сигналов, то для её построения применяются материалы с относительной магнитной проницаемостью ц,/»1. Можно считать, что в практических случаях |1</= I... 100. Поскольку в печатных узлах возможно использование разных конструкций линий, то в предельном случае значение кр - М, ■ Таким образом,

диапазон значений кр, охватывающий все практически значимые случаи, составляет кр = 0,04,, .0,75.

На рис. 3 приведены нормированные диаграммы направленности для значений коэффициента распространения ¿,, = 0,1; 0,4; 0,7 и для значения (1 = 0,05 (сплошная линия); 0,2 (мелкий пунктир); 0,35 (крупный пунктир).

В качестве критерия для определения максимально допустимой ширины проводника необходимо использовать условие, обеспечивающие точность расчета компонентов поля не хуже заданной для данного элемента декомпозиции и для произвольно выбранного угла б. С учетом малого значения аргумента синуса в выражении (7) прейдем к разложению в ряд Тейлора [6] с точностью до второго слагаемого, и после элементарных преобразований полу-

чим

4(0- Р) = 1-

грг

—^ +СО5"(0)

V

. Из рис. 3 и последней

формулы следует, что наибольшая погрешность достигается для углов, соответствующих осевому излучению, т.е. при 0 = 0. С учетом этого в качестве задаваемого при расчетах показателя точности введем максимальную относительную погрешность т = (1-Л,Д0, рлт))М„(0, рти)- Тогда

из последнего представления для Ап(8, р) получим

Решая уравнение (8) относительно {3, получим

' 6т

(8)

{9}

Значение Р,пах, рассчитанное по формуле (9), определяет максимально допустимую нормальную электрическую длину проводника, при которой выполняются заданные требования по точности. Полученные выражения, основанные на разложении в ряд Тейлора, справедливы для тф(1 ±со$(0)} < 0,1, При необходимости выполнения

более точной оценки значения |3[Ггах следует использовать непосредственно уравнение (7). Выражение (9) является критерием продольной декомпозиции.

На рис, 4 приведено семейство кривых Р,мх(т), построенных для разных значений кр в интервале от 0,1 до 0,7. На рис. 5 в логарифмическом масштабе изображены зависимости максимально допустимой длины элемента декомпозиции от частоты /„„„. Графики соответствуют г=0,1 (сплошная линия), 0,01 (мелкий пунктир), 0,001 (крупный пунктир) и 0,0001 (точка - пунктир). В каждой из указанных групп графиков верхний соответствует кр = 0,7, средний - кр = 0,4 и нижний - кр =0,1. Приведенные характеристики можно использовать при выборе максимального шага декомпозиции проводников печатного узла.

Рис, 4, Зависимости р,11Ж(т) для разных значений кр

_

М

■11 1.1ГШ1П

!И0* МО5 МО" 1.11)' |к|0® 1.10*

Рис. 5. Зависимости Ц^ии) для разных значений

Таким образом, для определения максимально допустимого шага продольной декомпозиции проводников печатной платы, либо, обобщая, других произвольных проводников, необходимо:

- на основе известной конструкции линии передачи либо размещения одиночного проводника рассчитать значения Щсд- и г^д- и найти значение коэффициента распространения кр,

- на основе требований к точности модели задать максимальное значение фи рассчитать по формуле (9) максимальное значение Р;

- найти максимально допустимую длину сегмента декомпозиции 1ф С учетом того, что X = с//, имеем ¡^ - ф//пиа.

Приведенные выше соотношения позволяют выбрать максимально допустимую длину проводников в линиях на печатной плате. Если длина сегмента декомпозиции для выбранной точности будет больше, то заданная точность расчета компонентов электромагнитного поля элементов

декомпозиции не обеспечивается. Важно отметить, что при расчете излучения печатных узлов, помещенных в корпус, может потребоваться декомпозиция на более мелкие элементы. Например, если е заданном направлении на точку наблюдения электромагнитное поле, распространяясь в пространстве, проходит через части корпуса, расположенные в перпендикулярных плоскостях, то для повышения точности целесообразно ввести адаптивную сегментацию. Её сущность и содержание пояснено в [2].

Таким образом, в настоящей работе определен критерий продольного разбиения проводников, который может быть использован при разработке алгоритмов расчетов методом приближения электрически коротких антенн при разработке средств электродинамического моделирования.

CRITERION DECOMPOSITION LINEAR CONDUCTOR ELECTROMAGNETIC FIELDS

IN CALCULATING

Lemeshko N.V., Moscow, Russia, nlem83@mail.ru Zakharova S.S., Moscow, Russia, szaharova@hse.ru

Abstract

Some of the methods for calculating the electromagnetic fields formed by the conductors imply their division into elements and the subsequent the vector summation of the field components at necessary points. Components of the field for each element in this decomposition is calculated on the basis of exact solutions of the Maxwell equations received for the dipole emitter or for analogous solutions for other elementary emmiter. In this paper we present a criterion for decomposition of linear conductors, based on the maximum permissible error caused by the nonuniform distribution of the exciting current in the element decomposition. Criterion developed on the basis of a comparison of approximate and exact calculations directional pattern of short conductors constructed for ?far-field region radiation. At this approximate relationships were obtained considering the assumption of uniform distribution of the current in the linear section of of the conductor, while the exact values uchityvayutneravnomernoe current distribution that are typical of the sinusoidal current. The proposed method can be used, for example, in the analysis radiation to determine the of printed circuit boards maximum permissible conductor length of the element decomposition. The paper presents initial formula field components for the dipole emitter at harmonic excitation, is carried their adaptation to random current compliance approximation electrically short antennas for maximum frequency range of of the current. Next a comparison of directional pattern to obtain a strict, mathematically formulate criteria of decomposition, which determines the maximum length of the element decomposition according to permissible error and the coefficient of distribution. Gives the graph to simplify the practical application of the proposed criterion decomposition.

Keywords: electrically short antenna, methods, longitudinal partition, conductors criteria decomposition, electromagnetic modeling. Reference

1. Kalashnikov V.S., Rhodes L.J. Electrodynamics and wave propagation. Writing lecture. - Saint-Petersburg .: Northwestern State Technical University, 2001. 88 p. (in Russian).

2. Lemeshko N.V. Theoretical bases of modeling certification testing of radio electronic facilities for emitted emissions of radio interference. Monograph. Moscow. MIEM. 2012. 196 p. (in Russian).

3. Gunston MAR Handbook of wave resistance feeder microwave. Moscow. Svyaz'. 1976.152 p. (in Russian).

4. Grigorov I.N. Antenna. Setting up and coordination. Moscow. RadioSoft. 2008. 272 p. (in Russian).

5. Medvedev A. Technology printed circuit boards. Moscow. Technosphere. 2005. 360 p. (in Russian).

6. Bronstein I.N., Semendyaev K.A Handbook of mathematics for engineers and students of technical colleges. Moscow. Lan. 2009. 608 p.

Information about authors: Lemeshko N.V.?Doctor of Technical Sciences, leading researcher SEC EMC Analysis NIIR, Russia, Moscow; Zakharova S.S., Candidate of Engineering Sciences., Associate Professor at the Department of Electronics and Telecommunications HSE, Russia, Moscow.

For citation:

Lemeshko N.V., Zakharova S.S. Criterion decomposition linear conductor electromagnetic fields in calculating. T-Comm. 2015. Vol 9. No.5, pp. 42-46. (in Russian).

T-Comm ^м 9. #5-2015

Литература

1. Колошников B.C., Родос Л.Я. Электродинамика и распространение радиоволн. Письменные лекции. — С.-Пб,: Северо-западный государственный заочный технический университет, 2001. - 88 с.

2. Лемешко H.ß. Теоретические основы моделирования сертификационных испытаний радиоэлектронных средств по эмиссии излучаемых радиопомех. Монография, - М,: МИЭМ, 2012. - 196 с.

3. Ганстон М.А.Р. Справочник по волновым сопротивлениям фидерных линий СВЧ. - М: Связь, 1976. - 152 с.

4. [ригоров И.Н. Антенны, Настройка и согласование. -М.: РадиоСофт, 2008. - 272 с.

5. Медведев А. Технология производства печатных плат. -М.: Техносфера, 2005, - 360 с.

6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Лань, 2009. - 608 с.