CC BY
49
Моделирование излучения пространственных электрически коротких криволинейных
проводников
Лемешко Н.В., Захарова С.С. ФГУП Научно-исследовательский институт радио, МИЭМНИУВШЭ nlem83 @ mail, ru. szaharova @ hse. ru
Аннотация. В работе приводятся формулы для расчета компонентов электромагнитного излучения, формируемого в выбранной точке наблюдения электрически короткими пространственными криволинейными проводниками. В работе данный вопрос рассматривается в контексте развития теории моделирования сертификационных испытаний радиоэлектронных средств по эмиссии излучаемых радиопомех.
Ключевые слова: электромагнитная совместимость, виртуальная сертификация, моделирование, расчет, криволинейный проводник, снижение вычислительных затрат, декомпозиция.
1 Введение
В настоящее время все чаще экспериментальные исследования заменяются математическим моделированием. Не обошел этот всеобщий процесс и сферу электромагнитной совместимости (ЭМС), одним из вопросов которой являются сертификационные испытания по помехоэмиссии. В монографии [Лемешко, 2012] была предложена общая методология их моделирования, рассматриваемого в качестве подготовительного этапа к лабораторным исследованиям.
Метод расчета формируемых электронными устройствами электромагнитных полей основан на декомпозиции проводников на линейные электрически короткие участки, для которых имеются точные решения системы уравнений Максвелла [Калашников, Родос, 2001]. Условия малой электрической длины проводников должны выполняться с запасом для текущей частоты анализа, на которой рассчитывают помехоэмиссию в оговоренной полосе. При этом для каждой частоты анализа возможно оптимальное разбиение по критерию сбалансированности погрешности и количеству элементов сегментации.
Вместе с тем, стандарты, например [ГОСТ Р 51320-99, 2000], предписывают проводить измерения по ЭМС в интервале частот от 9 кГц до 18 ГГц, а в отдельных случаях - до 40...60 ГГц. Обычно особое внимание при сертификационных испытаниях уделяют частотам до 1 ГГц, на которых ведется основная часть эфирного вещания. Значительная часть этого диапазона соответствует длинам волн, намного превышающим
Моделирование излучения
_пространственных электрически коротких криволинейных проводников
размеры радиоэлектронных средств (РЭС) широко распространенных размеров. Следовательно, многие криволинейные проводники, конструктивно входящие в состав РЭС, будут электрически короткими. В этом случае выполнять декомпозицию криволинейных проводников нерационально, т.к. это приведет к существенному увеличению количества сегментов, требующих учета при моделировании.
По этой причине целесообразно предложить методику расчета компонентов электромагнитного поля, формируемого такими проводниками в заданной точке наблюдения.
2 Расчет компонентов поля линейного элементарного излучателя
Известно, что компоненты излучения электрически короткого диполя включают составляющие, пропорциональные г ~3, определяемые накоплением заряда емкостью излучателя. Проводник отличается от диполя отсутствием такого накопления. На основе этого компонентные уравнения, приведенные, например, в [Калашников, Родос, 2001], могут быть для монохроматического излучения представлены в следующем виде:
ф 4к
](Ш-кг)
]к
Ев(0 = ~]
п
2 эт
г
II
4шое„
1(6), Ёг(!) =
II
2яюе„
-е
Цш-кг)
-сое
(6),
/'(со¡-кг)
Я
2
■л \
\'
(1)
вш
(0).
В уравнениях (1) /— комплексная амплитуда тока в проводнике; I — его длина; г — расстояние между точкой наблюдения и центром проводника; к = 2тс/Л. — волновое число; еа — диэлектрическая постоянная среды распространения; ш — циклическая частота. В этих выражениях множитель е~'кг определяет сдвиг фазы, вызванный запаздыванием появления излучения в точке наблюдения за счет конечной скорости распространения радиоволн. Направление ортов и отсчет углов 0 и ф проиллюстрированы на рис. 1. Там же изображены единичные орты, характеризующие направления компонентов поля. Уравнения (1) в предположении о распространении радиоволн в свободном пространстве могут быть легко преобразованы к виду
II
ф 4к
Цш-кг)
1 Л
сг
МП (в), Ег(!) =
2ле„сг
-е
](т-кг)
соз(0),
II
47Ш)£„
¡(т-кг)
./<0
сг2
.2 Л
ю
(2)
вт
(6),
причем X = с//, где с —скорость света в вакууме, / — частота возбуждающего излучение тока.
С учетом того, что д1{г)1дх = ]ШеКш~кг) = у'со/(0, из (2) получаем
ф 47С
1 dm+m
cr dt
\in(e), ¿r(o=-^cos(e),
2та cr
EJt) =
l
4m
4(t) + 1 di(t)л
(3)
a V
cr с r dt
sin(G).
У
Уравнения (3) могут быть обобщены на случай тока произвольной формы следующим образом. Над функцией /(*) в уравнениях компонентов поля выполняются только линейные операции, поэтому в качестве этого
N
комплексного тока может быть рассмотрена сумма 1(!) = ^1пеКю"'~Кг), где N
Л=1
— конечное целое число. При этом, однако, должно выполняться условие 1< <шах(2л;с/ю„), т.е. для волны самой малой длины элемент с током должен быть электрически коротким, чтобы распределение тока можно было считать равномерным.
Рис. 1. Характеристика направленности компонентов поля и отсчет углов в декартовой
системе координат
Любые периодические сигналы, отвечающие условиям непрерывности и интегрируемости, могут быть разложены в ряд Фурье [Баскаков, 2003], имеющий аналогичный вид. Однако спектр тока должен быть ограничен некоторой предельной частотой, чтобы обеспечивалось выполнение отмеченного условия. Для непериодических функций сумма в приведенном выражении заменяется интегралом на основе предельного перехода. Таким образом, для произвольного тока i(t) выражения (3) при соблюдении указанного условия описывают излучение каждой его гармонической составляющей. Запаздывание в случае распространения в однородной среде составляет! = r^\iaea . С учетом того, что (ùt - кг = сù(t -kr/cù) = со(t - г/с), можно перейти к следующим функциям времени:
¿sin(e) v 4ж
i(t — т) dt г2
1COSÎ6) /ц
2 яг
/sin(e)i [¡ï^i(t-х) [la di(t-x)^
(4)
4л
dt
Моделирование излучения
_пространственных электрически коротких криволинейных проводников
Последнее выражение является отправной точной получения соотношений для расчета компонентов излучения электрически коротких криволинейных проводников.
3 Расчет компонентов электромагнитного поля плоского криволинейного проводника
Плоские криволинейные проводники могут использоваться на печатных платах для упрощения трассировки, снижения коэффициентов отражения на неоднородностях, обеспечения тайминга и т.д. При этом, очевидно, начальные и конечные точки проводников оказываются разнесенными в плоскости на некоторое расстояние. Рассмотрим плоскую кривую (рис. 2), характеризующую расположение излучающего электрически короткого проводника.
Наиболее удобно решать рассматриваемую задачу с использованием декартовой системы координат. Выбор направления оси X следует проводить таким образом, чтобы функция у(х), описывающая данную кривую, была однозначной. Кроме того, она должна быть дифференцируемой. Если однозначной при данном выборе ориентации осей является и функция х(у), целесообразно для определенности ориентировать ось X так, чтобы протяженность кривой в том же направлении была наибольшей. Такой выбор ориентации осей координат позволяет говорить об области однозначного определения функции у(х) в
Рис. 2. К расчету компонентов поля плоского криволинейного проводника
Конечной целью проводимого анализа является расчет компонентов поля для заданных значений азимутального а и зенитного р углов. Длина
проводника рассчитывается по формуле I = | ^\+{йу{х)1 йх)2йх [Бронштейн, Семендяев, 2009].
При переходе к эквивалентному представлению кривая заменяется элементом с током, имеющим направление, отличное от направлений координатных осей. Его можно найти, если считать, что в каждой точке кривой по касательной приложен единичный вектор с координатами хт = cos(y), уТ = sin(y), где у — угол между касательной к кривой и осью X. Координаты вектора, характеризующего результирующее направление протекания тока i(t), определяются формулами
= I eos arctg —- у = I sin arctg —- ах, (Ь)
l \ dx )) х, ч К ))
поскольку tg (у) = dy(x)/dx. Вектор с координатами (х, у) определяет направление вектора компонента £„(0, который, как следует из рис. 1, будет лежать в одной с ним плоскости перпендикулярно направлению распространения электромагнитных волн.
Для отсчета расстояния г до точки наблюдения следует рассчитать в выбранной системе координаты точки, соответствующей центру масс, который имеет координаты [Бронштейн, Семендяев, 2009], рассчитываемые по формуле (6).
| хф + ^у(х)/с1х)2с1х | y(x)^Jl + (dy0¿)7d^fdx
х° = \ ' Уо = \, 1 -• (6)
\у1\ + (Лу(х)1<1х)2<1х \ф + (ёу(х)/ёх)2с1х
Для четверти окружности, имеющей радиус Я и описываемой выражением у(х) = у1я2-х2, координаты точки, соответствующей центру масс, составляют (2Я/щ 2Я/п). Для проводника в виде фрагмента синусоиды, описываемой уравнением у(х) = А зт(Ьс), в случае целого числа периодов центр масс будет соответствовать точке (0,5(х/ + .Х2); 0).
Для достаточного удаления точки наблюдения от проводника значение г в формулах (4) можно считать постоянным. Однако угол 0 между направлением на точку наблюдения и направлением тока в данной точке проводника будет зависеть от текущей координаты. Из рис. 2 следует, что угол р остается неизменным, а угол а, отсчитываемый от нормали к оси X, расположенной в плоскости ХУ, должен быть увеличен на значение у для дальнейшего расчета.
Рассмотрим элемент криволинейного проводника, настолько малый, чтобы его можно было считать фрагментом прямой (рис. 2). Поле, формируемое данным участком криволинейного проводника, будет описываться уравнениями (4), а излучение проводника в целом — соотношениями (7). Значение коэффициентов к/ и к2 рассчитываются по
формулам (8). В этих выражениях значение (4у(х) / Жс)2 <1х определяет
длину элементарного участка проводника. Значения коэффициентов к] и кг
следует рассчитывать численным интегрированием.
С I........л
ТТ ,Л К <Й(* - т) ^ Щ - т)
^ 4л;
Ж
2кг2 V е„
М*а ^-1) | (101-1)
4зг; I д/ е„ г г Ж
\» а /
ку = ^\+{йу(х)1 сЬс)1 вт (агссов (зт(а + аг^(ёу( х) / с1х)) вш(Р)))*£Е, к2 = р ф+ (<1у(х)1 сЬс)2 (8т(а + агсг% (с1у(х) / сЬс)) вшф) )йх.
(7)
(8)
4 Расчет компонентов электромагнитного поля пространственного криволинейного проводника
Результаты, полученные для плоского проводника, могут быть обобщены на пространственные криволинейные проводники, к которым можно отнести и одиночные проводные соединения, предназначенные для подключения элементов РЭС, монтируемых вне печатного узла, а также любые иные средства кондуктивой передачи электрических сигналов, пространственно отделенные от печатной платы.
Пусть некоторый электрически короткий участок проводника в выбранной системе координат описывается уравнением г=/(х, у), а проекция его на плоскость ХУ задается уравнением у = g(x) (рис. 3). Задача расчета центра масс пространственной кривой и координат вектора, характеризующего направление результирующего тока, решается аналогично, но с учетом трехмерности проводника. Координаты центра тяжести кривой рассчитываются по формулам (9), где
ё8(х)\ 1[й/(х,8(х))
(Ьс — длина проводника.
ГЛц(х) 1 сЬс
¿/О,,? О)) йх
\2
Пх,8(х)\ 1 +
й8{х)\ (т^ш
йх;
(9)
Значение запаздывания рассчитывается относительно точки, соответствующей центру тяжести пространственной кривой. Как следует из теории дифференциальной геометрии [Ильин, Ким, 2007], вектор т (рис. 3), лежащий на касательной к пространственной кривой, имеет координаты
*т=1 ;з\ =
с1х
й/(х,8(х)) йх
^я(х) , ( ^(х)
с1х
йх
(Ю)
Новые информационные технологии в автоматизированных системах 2014
Из этого следует, что вектор, характеризующий результирующее направление протекания тока Цг), имеет координаты
х2—х1 х2—х1
х=1
йх
й8(х)+(й8(х)Л~Л
йх
йх
йх. (11)
у
Касательная
Точка наблюдения
Рис. 3. К расчету компонентов поля пространственного криволинейного проводника
Компоненты формируемого пространственным криволинейным проводником излучения рассчитываются на основе соотношений (7), с использованием соответствующих конфигурации проводника коэффициентов к] и Длина элементарного участка криволинейного пространственного проводника составляет [Бронштейн, Семендяев, 2009]
л2
'й/(х,8(х))^2 йх
йх.
(12)
Угол 9 между элементом с током и направлением на точку наблюдения можно найти как угол между векторами х и г . Азимутальный и зенитный углы а и |3 отсчитываются так, как показано на рис. 3. С учетом этого, если считать, что |г| = 1, то координаты вектора г будут
рассчитываться так:
хг -зт(а)вш(Р); уг =со5(а)втф); гг = соз(Р). (13)
Значение угла 0 определяется для векторов т и 7 из свойств их скалярного произведения [Бронштейн, Семендяев, 2009]:
г
0 = 0(х) = агссоэ
ХГХТ + УгУт + ¿Л
(14)
^(хг2 + уг2 + гг2)(хх2 + у* + г*)
Таким образом, при использовании выражений (7) с учетом (14) для расчета компонентов поля значения к] и кг рассчитываются по формулам
i ,/„/,лЛ2 С Mi__/-„w\2
sin(0(jc))iZx,
(15)
i Jtf__/-~w\2
dg(x) dx
+
df(x,g(x)) dx
cos
Данные соотношения позволяют выполнять расчет компонентов электромагнитного поля, формируемого линиями передачи, включая фрагменты плоских шлейфных кабелей, широко применяемых в РЭС.
5 Заключение
Таким образом, полученные соотношения позволяют рассчитывать компоненты электромагнитного поля, формируемого криволинейными пространственными проводниками как целостностью, если они являются электрически короткими. Это позволяет значительно снизить вычислительные затраты при расчете помехоэмиссии для РЭС сложной конструкции.
В дальнейшем теорию виртуальной сертификации планируется развивать в направлении экспериментальной апробации ее основных положений, оптимизации и снижения вычислительных затрат.
6 Список литературы
[Баскаков, 2003] Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Высшая школа, 2003. — 462 с.
[Бронштейн, Семендяев, 2009] Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Лань, 2009. — 608 с.
[ГОСТ Р 51320-99, 2000] ГОСТ 51320-99 «Совместимость технических средств электромагнитная. Радиопомехи индустриальные. Методы испытаний технических средств — источников индустриальных помех» — М.: Издательство Стандартов, 2000. — 39 с.
[Ильин, Ким, 2007] Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2007. — 400 с.
[Калашников, Родос, 2001] Калашников B.C., Родос Л.Я. Электродинамика и распространение радиоволн. Письменные лекции. — С.-Пб.: Северо-западный государственный заочный технический университет, 2001. — 88 с.
[Лемешко, 2012] Лемешко Н.В. Теоретические основы моделирования сертификационных испытаний радиоэлектронных средств по эмиссии излучаемых радиопомех. Монография. — М.: МИЭМ, 2012. — 196 с.
