CC BY
316. Кудрявцева Е.А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками // Докл. РАН. 2012. 445, № 4. 383-385.
17. Фокичева В. В. Топологическая классификация бильярдов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, № 10. 127-176.
Поступила в редакцию 19.06.2019
УДК 514
КРИТЕРИИ ВЫСОТНОСТИ АТОМА
В. А. Трифонова1
В работе устанавливаются три критерия высотности атома в терминах его /-графа. Найдены препятствия к ориентированной вложимости /-графа в плоскость. Исследуются комбинаторные свойства меченых ориентированных циклов, представляющих собой обобщение хордовых диаграмм.
/
пий.
In this paper we establish three criteria for the height of an atom in terms of its //
We investigate the combinatorial properties of labeled oriented cycles, which are a generalization of chord diagrams.
/
1. Введение. Понятие атома, появившееся в задачах качественного анализа и классификации динамических систем, находит применение в самых разных разделах современной комбинаторики и маломерной топологии, теории узлов [1-12]. Понятие атома в гамильтоновой и симплектической геометрии и топологии было введено А.Т. Фоменко [3] и используется для лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем [8].
Задача классификации высотных атомов была сформулирована А.Т. Фоменко. Изучению этого класса атомов посвящены работы В.О. Мантурова [2], II.M. Никонова [10], В.А. Трифоновой [11], а также II.M. Никонова и Н.В. Волчанецкого [12]. Высотные атомы играют важную роль в теории узлов. Оказывается, что все узлы могут быть закодированы (неоднозначно) высотными атомами.
А.А. Ошемковым в работе [13] было введено понятие /-графа. Выяснилось, что с помощью /-графов удобно описывать перестройки торов Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем,
а также легко реализовать алгоритм перечисления таких перестроек. II.M. Никонов [10] обнару-
/
(теорема 1).
В настоящей работе устанавливаются три новых критерия высотности атома в терминах его
/
туациях для доказательства высотности различных классов атомов. Также найдены препятствия к
/
2. Основные понятия и определения. Пусть M2 — гладкое замкнутое двумерное многообразие, / : M2 ^ R — функция Морса на M2 и { x € M2 : /(x) = k}, k € R, — ее связный критический уровень. Тогда существует е > 0, такое, что / ([k — е, k + ej) не содержит критических точек, кроме лежащих на критическом уровне ({/ = k}).
Определение. Атомом называется пара (/-1([k — е, k + ej), /-1(k)) с указанием вложения графа /-1(k) в поверхность /-1([k — е, k + ej). Атом называется ориентируемым, если эта поверхность ориентируема. Граф /-1(k) называется остовом атома. Два атома называются изоморфными, если
1 Трифонова Виктория Александровна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: trifonovaviktoriya2012Qyandex.ru.
Trifonova Viktoriya Aleksandrovna — Student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Differential Geometry and Applications.
существует гомеоморфизм пар, который переводит поверхность в поверхность (сохраняя ориентацию, если поверхность ориентирована), остов в остов, а функцию переводит в функцию.
Определение. Назовем атом, порожденный функцией /, высотным, если существует такое вложение г: /-1([к — е,к + е]) — М3, что /(р) = г(г(р)) для каждой точки р € /-1([к — е,к + е]), где г — стандартная координата в пространстве М3, т.е. г — функция высоты на г(/-1([к — е, к + е])). Замечание. Все высотные атомы являются ориентируемыми (см. [2|).
Также нам будет полезно другое определение атома, позволяющее изучать бифуркации независимо, а именно
Определение. Атомом назовем пару (Р2, К), где Р 2 компактная ориентированная поверх-К Р2
ни 4, причем множество Р2 \ К является несвязным объединением колец Б1 х (0,1], Б1 х 1 С дР2, и выполнено следующее условие. Множество колец и их граничных окружностей разбито на два
К
ровно одно белое кольцо и ровно одно черное кольцо. Указанное разбиение колец и соответствующих
(Р2, К)
Два ориентированных оснащенных атома считаются изоморфными, если существует гомеоморфизм оснащенных нар, сохраняющий ориентацию поверхностей и раскраску колец.
Всюду далее иод атомом будем понимать ориентированный оснащенный атом, рассматриваемый с точностью до изоморфизма.
/
с атомами как с комбинаторными объектами.
Определение. Конечный связный граф С, некоторые ребра которого ориентированы, назовем /-гда^о^, если все его вершины имеют степень 3, причем к каждой его вершине примыкают ровно два ориентированных полуребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из нее. Отметим, что вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного полуребра.
Соответствующий /-граф строится по атому (Р2, К) следующим образом: в качестве неориентированного ребра беК
няющий границы противоположных белых колец (см. рис. 1), а в качестве вершин соответствующие концы отрезка. В роли ориентированных ребер выступают примыкающие к вершинам дуги белых колец с соответствующей ориентацией.
/ (Р2, К)
/
/ /
тированные граничные окружности белых (соответственно черных) колец, и неориентированных ребер. Ориентированные циклы будем называть окружностями,.
Определение. Неориентированное ребро будем называть внутренней хордой, если оба его конца лежат на одной окружности. Иначе ребро назовем внешней хордой.
/
вложить в плоскость так, что окружности, соединенные хотя бы одним ребром, лежат одна в другой тогда и только тогда, когда они имеют противоположную ориентацию. Соответствующее вложение также будем называть ориентированны,м.
Следующий критерий позволяет нам свести задачу проверки высотности атома к проверке ори/
Теорема 1 (И.М. Никонов, критерий высотности атома [10]). Атом, является высотным тогда, /
//
/
Определение. /-Граф С называется под-/-гщфом некоторого /-графа И, если множество ориентированных циклов /-графа С является подмножеством ориентированных циклов /-графа И,
/ С / И
//
/ С1 С2
позначное отображение / : У1 — множества V! вершин /-графа С1 на множество У2 вершин /-графа С2, удовлетворяющее условию: вершины А, В € V соединены неориентированным (ори-
Черное кольцо)
Белое кольцо
Белое кольцо
Черное кольцо
Рис. 1. Построение /-графа по атому
ентированным) ребром в том и только в том случае, если вершины /(А),/(В) € соединены неориентированным (ориентированным) ребром, причем если ребро ориентировано от A к B, то соответствующее ребро ориентировано от /(А) к /(В).
Определение. /-Граф О /-гомеоморфен /-графу И, если существует конечная цепочка преобразований /1, ..., /п,
ОИ
относится к одному из следующих видов: /
/
рис. 2);
3) обратная операция к подразбиению неориентирован-
Рис. 2. Операция подразбиения ною ребра, неориентированного ребра/-графа Определение. Препятствием V назовем /-граф, со-
стоящий из двух ориентированных циклов с вершинами ы, ^2, ^з на одном цикле и щ, щ, из на другом цикле, занумерованными в порядке обхода циклов, и хордами (^1,^1), (^2,^2), (^з,из) (см. рис. 3,а).
Определение. Препятствием V(г), г ^ 1, назовем /-граф, представляющий собой один цикл с вершинами VI,..., ^+2, занумерованными в порядке обхода ориентированного цикла, и хордами (^4г-3, V4i), 1 ^ I ^ Г, (^¿-1,^+2), 1 ^ I ^ г, и (^+1, ^2) (см. рИС. 3,6).
3. Основные теоремы. Теорема 2 (В.А. Трифонова, критерий высотности атома). Атом, является, высотным то/
под-/-графа, /-гомеоморфного препятствию V или препятствию из серии V(г), г ^ 1.
Доказательство. Докажем необходимость. Пусть дан высотный атом, а^ — его /-граф. Тогда но теореме 1 существует ориентированное вложение Я /-графа F в плоскость.
Любой под-/-граф Ь этого /-графа является ориентированно вложимым в плоскость. Действительно, множество окружностей и хорд Ь является подмножеством окружностей и соответственно ЯЯ
Ь
ориентированно вложим в плоскость.
//
/
Докажем, что /-граф, представляющий собой препятствие V или препятствие из серии V(г), г ^ 1, не является ориентированно вложимым в плоскость.
Поскольку атом с /-графом V имеет двойственный /-граф V (1), то ориентированная вложи-мость V эквивалентна ориентированной вложимости V(1). Таким образом, достаточно рассмотреть /-графы серии V(г), г ^ 1.
/
рии V(г), г ^ 1, содержит, подграф, гомеоморф!шй полному двудольному графу Кз,з.
Доказательство. Полный двудольный граф Кз,з можно реализовать на плоскости в виде окружности и трех внутренних хорд, показанных пунктирной линией на рис. 4,а. На рис. 4,6 представлено препятствие V (г) с выделенным, гомеоморфным Кз,з подграфом, ребра которого изображены жирными и пунктирными линиями. Лемма доказана. □
Г(г)
Рис. 3. Препятствия V и V(г)
а
V*,-1
Рис. 4. Выделение подграфа в V (г), гомеоморфы ого К3,3
Из леммы 1 и теоремы Понтрягина-Куратовского следует, что каждый /-граф из серии V(г), г ^ 1, в плоскость невложим. Тем более не существует ориентированного вложения V(г), г ^ 1, в плоскость.
Таким образом, /-граф Г не содержит под-/-графа, /-гомеоморфпого препятствию V или препятствию из серии V(г), г ^ 1. Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть /-граф Г атома не содержит под-/-графа, /-гомеоморфного препятствию V или препятствию из серии V(г), г ^ 1. Покажем, что Г ориентированно вложим в плоскость.
Если ориентированный граф является циклом, все вершины которого помечены буквами, то назовем его меченым циклом,. При этом буквы могут повторяться. Меченый ориентированый цикл, состоящий из г вершин, — это то же самое, что циклическое слово длиной г в алфавите X из п, п ^ г, букв Х1,... ,хп, в котором буквы могут повторяться. Такие слова рассматриваются с точностью до циклических перестановок входящих в них букв, произвольной перенумерации переменных х1,..., хп и замены алфавита.
Далее через БХ1, хг € X, будем обозначать множество всех вершин хг, г = 1,2,..., п, на меченом ориентированном цикле, где X — алфавит, а п — его размер.
Определение. Буквы а и Ь, соответствующие некоторым вершинам меченого цикла, назовем зацепленным,и, если существуют две пары вершин (а1, а2) и (Ь1, Ь2), аг € Ба, Ьг € Бь, г = 1,2, которые
а1 Ь1 а2 Ь2
Определение. Меченый ориентированный цикл назовем оснащаемым, если множество его вершин можно разбить на два класса, причем буквы любых двух вершин из одного класса не зацеплены и вершины, обозначенные одной и той же буквой, принадлежат одному классу. Фиксированное разбиение на два класса назовем оснащением ориентированного цикла.
Определение. Хордовой диаграммой назовем меченый ориентированный цикл, в котором каждая буква встречается ровно два раза. Оснащаемую хордовую диаграмму назовем й-диаграммой.
/
щий из одного ориентированного цикла.
Определение. Графом пересечений Г(О) меченого ориентированного цикла О назовем неориентированный граф, образованный из семейства множеств БХ^ , г — 1, 2,...,п, путем создания вершины ^г для каждого множества БХ1 и соединения двух вершин ы и ребром, если буквы вершин из соответствующих множеств зацеплены.
Графом пересечений Г(И) /-графа И, состоящего из одного ориентированного цикла, будем
И
Существует полное описание графов, пред ставимых как графы пересечений хордовых диаграмм (см. [14]). Графы пересечений содержат довольно много информации о своих хордовых диаграммах. С.В. Чмутов, С.В. Дужин и С.К. Ландо выдвинули [15] гипотезу о том, что класс эквивалентности хордовых диаграмм можно определить их графом пересечений; они доказали гипотезу в случае, когда граф пересечений является деревом. В статье [16] гипотеза была доказана для более общего случая, когда граф пересечений Г(И) хордовой диаграммы И унициклический, т.е. П1(Г(И)) = Ъ. В частности, верно следующее утверждение: /-графы, имеющие один ориентированный цикл (хордовые диаграммы), изоморфны, если их графы пересечений совпадают и представляют собой единственный цикл. Окончательно точку в обсуждениях о связи инвариантных хордовых диаграмм и их графов пересечений поставили С.В. Чмутов и С.К. Ландо в статье [17].
Исследуем теперь меченые ориентированные циклы, имеющие циклический граф пересечений.
Лемма 2. Пусть граф пересечений некоторого меченого ориентированного цикла О представляет собой замкнутый цикл, К (имеющий п ^ 3 вершин). Тогда, из каждого множества Бх- мооюно выделить подмножество Б'х , г = 1, 2,... , п; состоящее из двух вершин, такое, что граф пересечений хордовой, диаграммы, образованной из Б' = {БХ }г=1,2,...,п совпадает с К.
Ок
(¿122 ... гк), где вершины ¿1, ¿2,..., гк расположены именно в этом порядке при циклическом обходе.
Также цикл О можно представить как ориентированную окружность с вершинами ¿ь г2,..., гк-Пусть а, Ь, ^1,^2 — некоторые вершины цикла О, причем вершины и ^2 лежат на разных дугах, на которые вершины а и Ь разбивают окружность. Пусть 2 — произвольное непустое подмножество множества вершин цикла О. Далее будем писать, что вершины множества 2 ограничены на цикле О вершинами а и Ь (соответственно а и в виде (а ... г ... ... Ь... ^2 ...), если каждая вершина г множества 2 лежит на дуге окружности, ограниченной а и Ь и содержащей вершину (соответственно на дуге окружности, ограниченной а и ^1).
Будем доказывать индукцией по п — количеству вершин K = Г(О).
База, индукции. Пусть п = 3 и вершины цикла О обозначены буквами а, Ь, с. Тогда граф пересечений Г(О) цикл а О представляет собой замкнутый цикл, имеющий три вершины Уа,Уь,Ус, т.е. треугольник. Как и выше, обозначим через Ба (соответственно Бь, Бс) множество всех вершин цикла О с одинжовыми буквами а (соответственно Ь, с), причем вершине Уа (соответственно Уь, Ус) соответствует множество Ба (соответственно Бь,Бс). Вершины Уа и Уь графа пересечений соединены ребром, следовательно, существуют две пары вершин (а^а2) и (Ь1 , Ь2), а^ € Бa,Ьi € Бь,г = 1,2, расположенных на цикле О в циклической последовательности (а1... Ь1... а2 ... Ь2 ... )• Разберем все
Бс О
Если существует пара (с1, с2), расположенная на цикле О в последовательности (а1... Ь1... С1... а2 ... Ь2 ... с2 ...) или (а1... с1... Ь1... а2 ... с2 ... Ь2 ...), то утверждение леммы при п = 3 доказано (граф пересечений каждой из хордовых диаграмм (а1Ь1с1а2Ь2с2^ (а1 с1Ь1 а2с2Ь2) представляет собой треугольник).
Осталось рассмотреть следующие случаи.
1. Вершины множества Бс ограничены а1 и Ь1 в гаде (а1 ... с... Ь1... а2 ... Ь2 ...).
2. Вершины множества Бс ограниче ны Ь1 и а2 в гад е (а1 ... Ь1... с... а2 ... Ь2 ...).
3. Вершины множества Бс ограниче ны а^ и Ь2 в гад е (а1 ... Ь1... а2 ... с... Ь2 ...).
4. Вершины множества Бс ограничены Ь^ и а1 в гаде (а1 ... Ь1... а2 ... Ь2 ... с...).
Бс а1 а2 Ь1
и вершины множества Бс, а также существует пара (с1, с2), расположенная на цикле О в циклической последовательности (а1... с1... Ь1... с2 ... а2... Ь2 ...).
Бс Ь1 Ь2 а2
и вершины множества Бс, а также существует пара (с1, с2), расположенная на цикле О в циклической последовательности (а1... Ь1... с1... а2 ... с2... Ь2 ...).
Бс а2 а1 Ь2
и вершины множества Бс, а также существует пара (с1, с2), расположенная на цикле О в циклической последовательности (а1... Ь1... а2 ... с1... Ь2... с2 ...).
Бс Ь1 Ь2 а1
Бс ( с1 , с2 )
О в циклической последовательности (а1... с2 ... Ь1... а2 ... Ь2 ... с1...).
Остановимся на случае 1 (случаи 2-4 аналогичны). Вершины уа и ус графа пересечений Г(О) соединены ребром, следовательно, существуют пара (с1, с2) и буква аз, расположенные в последо-(а1 . . . с1 . . . аз . . . с2 . . . Ь1 . . . а2 . . . Ь2 . . . ) а1 О
аз а1 аз а1
пришли к случаю 8 (случаи 5-7 аналогичны случаю 8).
Так как вершины ус и Уь графа пересечений Г(О) соединены ребром, то возможны следующие подслучаи.
Ьз с1 аз (аз . . . с2 . . . Ь1 . . . а2 . . . Ь2 . . . с1 . . . Ьз . . . )
лим из множества Ба подмножество {а2, аз}, из Бь — подмножество {Ь1,Ьз}, из Бс — подмножество {с1,с2}. Тогда граф пересечений хордовой диаграммы (азс2Ь1а2с1Ьз), образованной из указанных подмножеств, представляет собой треугольник.
Ьз аз с2 (аз . . . Ьз . . . с2 . . . Ь1 . . . а2 . . . Ь2 . . . с1 . . . )
Выделим из множества Ба подмножество {а2,аз}, из Бь — подмножество {Ь2,Ьз}, из Бс — подмножество {с1,с2}. Тогда граф пересечений хордовой диаграммы (азЬзс2а2Ь2с1), образованной из указанных подмножеств, представляет собой треугольник.
Ьз сз с2 Ь1 (аз . . . с2 . . . Ьз . . . сз . . . Ь1 . . . а2 . . .
Ь2 ... с1...). Выделим го множества Ба подмножество {а2, аз}, из Бь — подмножество {Ь2, Ьз}, из Бс — подмножество {с1, сз}. Тогда граф пересечений хордовой диаграммы (азЬзсза2Ь2с1), образованной из указанных подмножеств, представляет собой треугольник.
Ьз сз Ь2 с1 (аз . . . с2 . . . Ь1 . . . а2 . . . Ь2 . . . сз . . .
Ьз ... с1...). Выделим го множества Ба подмножество {а2, аз}, из Бь — подмножество {Ь1, Ьз}, из Бс — подмножество {с2, сз}. Тогда граф пересечений хордовой диаграммы (азс2Ь1а2сзЬз), образованной из указанных подмножеств, представляет собой треугольник.
п=3
Шаг индукции. Предположим, что утверждение леммы верно при п = к, к ^ 3. Докажем, что оно верно при п = к + 1. Пусть вершины цикла О помечены буквами а, Ь, с, й и т.д. Тогда граф пересечений Г(О) представляет собой замкнутый цикл, имеющий к + 1 вершин у уа ,Уь,Ус,У<1 и т.д.
Не ограничивая общности, полагаем, что вершина га соединена ребр ом с г^ и гь, а верши на гь соединена ребром с га и гС. Как и выше, обозначим через Ба (соответственно Бь,БС,Б^) множество всех вершин цикла О с одинаковыми буквами а (соответственно Ь, с, причем вершине га (гь, гс, г^) соответствует множество Ба (Бь, БС, Б^). Теперь обозначим букву Ь буквой а, получим цикл О'. Через Ба/ будем обозначать множество всех вершин цикла О', помеченных буквой а. Тогда граф пересечений Г(О') цикл а О' представляет собой замкнутый цик л, имеющий к вершин га, гс, г^ и др., и для Г(О') выполняется утверждение леммы по предположению индукции. То есть существуют двухэлементные подмножества БС, БС, БС,... множеств Ба, Бс, Б^,... соответственно, такие, что граф пересечений хордовой диаграммы, образованной из Б' = {Б', БС, Б^,... }, совпадает с Г(О'). Рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть вершины гС и г^ графа Г(О') соединены ребром, т.е. к = 3 и Г(О) представляет собой четырехугольник. Тогда существуют аг1, аг2 го множества Ба/; с1, с2 го множества БС; , из множества Б^, расположенные па цикле О' в циклическом порядке (а^1 ... ... С1... а^2 ... ^2 ... С2 ...) Вернем исходное буквенное обозначение всем вершинам на цикле О'. Поскольку в графе Г(О) вершина га не соединен а с гС, а гь — с г^, то верши ны аг1 , аг2 не могут одновременно принадлежать множеству Ба (или Бь). Рассмотрим случай, когда вершина аг1 является элементом множества Ба,
а1 аг2 Бь Ь1 аг1
элементом Бь, а аг2 — элемент ом Ба, рассматривается аналогично. Так как га не соединена ребром с гС, то каждая вер шина а из множества Ба ограничена С1 и С2 в виде (с2 ... а... С1... Ь1... ^2 ...). Также каждая вершина Ь из множества Бь ограничена и ^2 в виде (с2 ... а1... ... Ь... ^2 ...). Так как га соединена ребр ом с гь в граф е Г(О), заключаем, что существуют а2 го множества Ба и Ь2 из множества Бь, ограниченные С1 и в виде (с2 ... а1... ... Ь2 ... а2 ... С1 ... Ь1... ^2 ... )• Таким образом, из множества Ба выделяется подмножество {а1, а2}, из Бь — подмножество {Ь1, Ь2}, из БС — подмножество {с1, С2}, из Б^ — подмножество {^1, ^2}. Тогда граф пересечений хордовой диаграммы (с2а1 ^1Ь2а2С1Ь1 ^2), образованной из указанных подмножеств, представляет собой четырехугольник.
Случай 2. Пусть вершины гС и г^ графа Г(О') не соединены ребром, т.е. к ^ 4. Тогда существуют аг1, аг2 го множества Ба/; с1, с2 го множества БС; го множества Б^, расположенные на цикле О' в циклическом порядке (с1... а»1 ... С2 ... ¿1... аг2 ... ¿2 ... )• Вернем исходное буквенное обозначение всем вершинам на цикле О'. Поскольку в графе Г(О) вершин а га не соединен а с гС, а гь — с г^, то вершины аг1, аг2 не могут одновременно принадлежать множеству Ба (или Бь). Тогда возможны следующие под случаи.
Подслучай 2.1. Вершина а^1 является элементом множества Ба, обозначим ее а, а аг2 является элементом множества Бь, обозначим ее Ьь Так как вершина га те соединена ребром с гС в графе Г(О), то вершины множества Ба ограничены С1 и С2 в виде (с1... а ... С2 ... ... Ь1... ^2 ...). А поскольку га соединена ребр ом с гь в граф е Г (О) то существуют вер шины а1; а2 го множес тва Ба и Ь2 из Бь О (с1 . . . а1 . . . Ь2 . . . а2 . . .
С2 ... ... Ь1... ^2 ...). Но такое расположение противореч ит тому что гь не соединен а с г^ в графе Г(О).
Подслучай 2.2. Вершина аг1 является элементом множества Бь, обозначим ее Ь^ а аг2 является элементом множества Ба, обозначим ее а^. Заметим, что так как га не соединена ребром с гС, то не существует вершины а из множества Ба, ограничен ной С1 и С2 в виде (с1 ... а... С2 ... ... а1... ^2 ...). Также заметим, что не существует вершины Ь из множества Бь, ограничен ной и ¿2 в виде (с1... Ь1... С2 ... ... Ь... ^2 ...). Учитывая эти замечания и то, что га соединена ребр ом с гь в графе Г(О), заключаем, что существует а2 из множества Ба и Ь2 из множества Бь, ограниченные С2 и ¿^ли ^2 и с^) в виде (с1... Ь1... С2 ... а2 ... Ь2 ... ... а1... ^2 ...) (соответственно в виде (с1... Ь1... С2 ... ... а1... ^2 ... Ь2 ... а2 ... ))•
Рассмотрим граф пересечений Г(и) хордовой диаграммы и, образованной из {а1,а2} {Ь1,Ь2}, Б' \ Б'. Вершина графа Г(и), соответствующая множеству {а1,а2}, соединена только с двумя вершинами, одна из которых соответствует множеству {Ь1,Ь2}, а другая — множеству Б'(1. Вершина графа Г(и), соответствующая множеству {Ь1, Ь2}, соединена также только с двумя вершинами, одна из которых соответствует множеству {а1, а2}, а другая — множеству БС- Вершины гр афа Г(и), соответствующие элементам множества Б' \ Б', имеют степень два. Таким образом, Г(и) совпадает с Г(О). Лемма доказана. □
К
тым циклом. Примером служит следующий меченый ориентированный цикл: (^1, а1, С1, ^2, а2, С2, Ь1, а3, Ь2)
/
А/
А
А
удаления цикла А вместе с хордами, хотя бы один конец которых принадлежит А, /-граф разбивается на т ^ 1 непустых связных компонент. Обозначим эти компоненты разными буквами (при этом обозначения внутренних хорд и компонент должны быть попарно разными). Теперь для каж-
А
А
А
/
ще говоря, неоднозначным, так как метки на вершинах разных циклов вводятся независимо друг
от друга, т.е. могут повторяться у разных циклов). Далее будем рассматривать только меченые /
Лемма 3. Если /-граф не содержит под-/-графа, /-гомеоморфного препятствию из серии V(г), г ^ 1; то каждый его меченый ориентированный цикл оснащаем.
А/
граф пересечений Г(А).
Предположим, что Г(А) содержит цикл нечетной длины. Если циклов несколько, выберем среди них наименьший по числу звеньев и выделим его в графе пересечений. Заметим, что в Г(А) не существует ребра, соединяющего две несмежные вершины выделенного цикла С (иначе получим, что существует цикл нечетной длины в Г(А), у которого звеньев меньше). Теперь будем рассматривать
А
ны цикла С. По лемме 2 из каждого множества Бх (соответствующего некоторой вершине цикла С) можно выделить подмножество Б'х., г = 1, 2, ...,п, состоящее из двух вершин, такое, что граф пересечений хордовой диаграммы, образованной из Б' = {БХ Ь=1,2...,П) совпадает с С. Это означает, что в самом /-графе существует под-/-граф, /-гомеоморфный препятствию из серии V(г), г ^ 1. Противоречие с условием леммы.
Итак, граф пересечений Г(А) не содержит цикла нечетной длины. А значит, является двудольным. То есть множество вершин графа Г(А) можно разбить на два класса таким образом, что каждое ребро графа соединяет некоторую вершину из одного класса с некоторой вершиной из другого класса. Из двудольности Г(А) следует существование оснащения ориентированного цикла А. □
Вернемся к рассмотрению /-графа Пусть ^ ^^^^^^^ ^^ ^^^^^^ ^ртентпрованного цикла А, который по лемме 3 оснащаем (т.е. цикл А является ¿-диаграммой). Зафиксируем какое-либо оснащение цикла и рассмотрим его реализацию на плоскости без самопересечений. А именно: заметим, что любые буквы из одного класса зацепленными не являются. Тогда все хорды /-графа F, концы которых лежат в одном классе, можно изобразить на плоскости непересекающимися криволинейными отрезками без самопересечений внутри цикла. Аналогично все хорды /-графа F, концы которых лежат в другом классе, можно изобразить на плоскости непересекающимися и без самопересечений вне цикла. Получим ориентированное вложение F в плоскость.
Далее будем считать, что ^ ^^дажит I ^ 2 ориентированных циклов. Зафиксируем оснащение на каждом ориентированном цикле. Один класс из определения оснащения пометим числом 0,
второй класс пометим 1. Тогда все вершины /-графа ^ на классы 0 и 1.
/
держащее данную вершину. Хвост назовем внешним, (внутренним,), если он лежит на внешней
/
ми вершины будем понимать содержащие ее полуребра.
Замкнутой цепью назовем /-граф, состоящий из в ^ 1 ориентированных циклов и циклически соединяющих хорд, как на рис. 5,а. При в = 1 замкнутая цепь состоит из одного ориентированного цикла с внутренней хордой.
Построим для /-графа ^ ^^ево Т следующим образом. Если в графе F есть замкнутая цепь, то выберем произвольную хорду, входящую в цепь, и разделим, ее: выделим на хорде две вершины (см. рис. 5,6), обозначим их красным цветом, а часть хорды, соединяющую красные вершины, удалим (см. рис. 5,с). Повторяем предыдущий шаг для полученного графа, пока не построим граф, не содержащий замкнутых цепей. Далее каждый ориентированный цикл стянем в точку (рис. 5,(1). Получим Т
циклический порядок ее хвостов.
Далее под циклическим порядком вершины дерева будем понимать ориентированный циклический порядок ее хвостов.
с! 1
Если две красные вершины лежали на одной внешней (внутренней) хорде в Е, то такие вершины назовем оЫ-идентичными { соответственно т-идентичными). Будем говорить, что вершины идентичны, если они являются ои1>идентичными или ш-идентичными.
Лемма 4. Любое, дерево с заданным, циклическим порядком, его вершин, (см. выше) .можно изобразить с учетом, этого порядка без самопересечений на плоскости, внутри, окружности, причем, вершины, дерева будут лежать на окружности, а ребра, представлять собой прямые отрезки.
Замечание. Вложение дерева с учетом цикличеекого порядка его вершин состоит в следующем. Обозначим через и указанную реализацию дерева внутри окружности. Для каждой вершины V в и ориентированный циклический порядок полуребер в вершине V, задаваемый вложением и ориентацией полуребер против часовой стрелки, должен совпадать с циклическим порядком дерева в вершине V.
Доказательство. Индукция по N — числу вершин дерева. При N = 2 (т.е. для простого ребра) утверждение леммы очевидно.
Пусть лемма верна при N = к Рассмотрим дерево с N = к + 1 числом вершин. В любом дереве существует висячая вершина (т.е. вершина степени 1). Выделим ребро в нашем дереве, которому принадлежит висячая вершина, и обозначим буквой I вершину-конец ребра, отличную от висячей. Очевидно, что степень вершины I больше или равна двум.
Удалим висячую вершину. Получится дерево с N = к вершинами, которое можно вложить в плоскость указанным образом. Рассмотрим такое вложение. Обозначим через X множество замкнутых связных областей, на которые окружность и вложенное в него дерево разбивают плоскость. Отметим, что все элементы множества X являются выпуклыми.
1. Рассмотрим случай, когда вершина I после удаления висячей вершины стала висячей. Поскольку в дереве нет циклов, то существует замкнутая область, которая является элементом множества X и границей которой являются ребра дерева, в том числе ребро с концом I, и некоторая дуга окружности. Соединим отрезком произвольную внутреннюю точку дуги и вершину I. Очевидно, этот отрезок будет находиться внутри области, а значит, не будет пересекаться с другими отрезками. Получим искомое вложение в плоскость дерева с N = к + 1 числом вершин.
2. Теперь рассмотрим случай, когда степень вершины I до удаления висячей вершины была больше трех. Тогда существуют два ребра: одно предшествует удаленному, другое последует за удаленным в соответствии с циклическим порядком вершины I.
Предположим, что существует область — элемент множества X, в границу которой входят предшествующее и последующее ребра. Поскольку в дереве нет циклов, в границу этой области входит некоторая дуга окружности, внутреннюю точку которой можно соединить отрезком с вершиной I, что даст искомое вложение.
Пусть в множестве X не существует замкнутой области с границей, содержащей предшествующее и последующее ребра. Тогда рассматриваем область, границей которой являются ребра дерева, в том числе предшествующее (или последующее) ребро. Данная область аналогична рассмотренной из п. 1. Она содержит в качестве границы некоторую духу окружности. Соединив отрезком произвольную внутреннюю точку дуги и вершину I, в итоге получим искомое вложение.
3. Осталось рассмотреть случай, когда степень вершины I до удаления висячей вершины была равна трем. Тогда в множестве X существуют три области. Первую (вторую) область ограничивают ребра дерева, в том числе предшествующее (соответственно последующее) ребро. В границу третьей области входят предшествующее и последующее ребра. В зависимости от цикли чеекого порядка вершины I в дереве выбираем область. Случай свелся к рассмотренному.
Лемма доказана. □
а Ъ с
Определение. Препятствием V1 назовем граф, состоящий из трех ребер 11,12, ¿з и двух вершин, на которых задан ориентированный циклический порядок: (¿1^2, ¿з) на одной вершине и такой же на второй ( рис. 6,а).
Пусть Т1 — описанное вложение дерева Т в плоскость; Е — окружность, на которой лежат вершины дерева Т^. Если дерево Т1 не содержит красных вершин, то искомое вложение /-графа Р
Т1
Т1
Т1 С
Т1 С
С
цикле хвосты, которые помечены одной буквой и поэтому принадлежат одному классу.
Пусть существуют красные вершины А, В, А1, В1 дерев а Т1, лежащие на Е в этом циклическом
А А1 В В1 А А1 В В1
Т1
Если эти пути в дереве пересекаются по некоторому пути и, то в графе С выделяется препятствие V1. Вершинами V1 будут концы и. На рис. 6,6 показан пример, как выделяется препятствие V1 в графе С. Пунктиром обозначена окружность Е. Существование препятствия V1 в графе С означает, что исходный /-граф Р содержит под-/-граф, /-гомеоморфный препятствию V, а это
Т1 А А1 В В1
О
А А1 АА1 В В1 ВВ1
и1 С АА1 ВВ1
пересечений не содержит. Буквой К (соответственно Ь) обозначим конец пути и^, лежащий на АА1 (соответственно па ВВ1). Через к1 (соответственно ¿1) обозначим хвост вершины К (соответственно Ь), лежащий на пути и^. Рассмотрим два пути 71,72 в графе С, соединяющие К и О: путь 71 лежит па ВВ1 и не содержит В и В1, пут ь 72 проходит через вер шины В и В^. Через к2 (соответственно кз) обозначим хвост вер шины К, лежащий на 71 (соответственно 72). Хвосты ¿2 и ¿з вершин ы Ь определяются аналогично хвостам к^ и кз. Хвосты кг и ¿¿, г € {1, 2, 3}, могут четырьмя способами
КЬ
1) (к1,к2, кз) и (¿1, ¿з,¿2) (рис. 6,с);
2) (к1,кз,к2) и (¿1, ¿з,¿2) (рис. 6,(1);
3) (к1,кз,к2) и (¿1, ¿2, ¿з) (рис. 6,е);
4) (к1,к2, кз) и (¿1, ¿2, ¿з) •
и1
четырех случаях в графе С выделяется препятствие VЧ На рис. 6, Л ребра препятствия V1 выделены жирными пунктирными линиями, а вершинами V1 являются О и Ь.
Существование препятствия V1 в графе С означает, что исходный /-граф Р содержит под-/-граф, /-гомеоморфный препятствию V, что противоречит условию.
С А В А1 В1
не могут лежать в одной компоненте связности. Также класс хвостов точки пересечения, лежащих
АА1 ВВ1
цикле в /-графе Р, соответствующем точке пересечения, существовали бы две пары вершин (а1, а2) и (Ь1, Ь2^, идущих по циклу в порядке (а^1а2Ь2) и принадлежащих одному классу. Это противоречит существованию оснащения каждого ориентированного цикла /-графа Р. Здесь буквой а (Ь) обозна-
АА1 ВВ1
ориентированном цикле в /-графе Р. Отметим также, что путь АА1 (ВВ1) лежит па некотором
С АА1 ВВ1 АА1 ВВ1
разных классов.
Вернемся к рассмотрению дерева Т и вершин А, В, А1, В1.
Т1
АА1 ВВ1 А
А1 В В1
Т1
случае докажем, что существует ориентированное вложение /-графа Р в плоскость, причем для каждого ориентированного цикла будет верно следующее:
хорды с вершинами на ориентированном цикле лежат одновременно внутри или вне этого цикла тогда и только тогда, когда они входят в один класс (относительно вершин на цикле).
1. Пусть в дереве Т нет особых вершин. Тогда все внешние хвосты произвольной не красной вершины дерева помечены одним классом. Припишем каждой не красной вершине дерева тот же класс, что и у ее внешних хвостов. Распределим красные вершины дерева Т1 по классам К1 и К2 следующим образом.
Очевидно, что каждая красная вершина является концом некоторого ребра, второй конец ко-
Т1
класс хвоста второго конца отличен от класса самого конца, то красную вершину ребра определим в класс К2, иначе определим в класс К1. Отметим, что идентичные вершины определены в один класс, причем все ои1>идентичные вершины принадлежат классу К^. В класс К2 попадают, очевидно, только ш-идентичные вершины.
Пусть вершины А, В, А1 ,В 1 попали в один класс. Докажем, что такое невозможно. Для этого рассмотрим следующие варианты.
А А1 В В1
Т1
А А1 В В1
А А1 В В1
логично.) Тогда класс точки пересечения АА1 и ВВ1 совпадает с классом хвостов а1 и а,2- Но, как мы ранее выяснили, класс хвостов Ь1 и 62 отличен от класса хвостов а^ и а^. Поэтому вершины В
В1 К2 А А1 А А1 К1
противоречие с предположением, что А, В, А1, В1 попали в один класс.
А А1 В В1
пересечения АА1 и ВВ1 совпадает либо с классом хвостов а^ и а^, либо с классом хвостов Ь1 и
Для определенности будем считать, что класс точки пересечения совпадает с классом хвостов а 1 и а2. Далее по аналогии с п. 1.2 получаем противоречие с предположением, что А, В, А1, В1 попали в один класс.
Таким образом, любые четыре вершины А, А , В, В А
тична А 1, а В идентична В 1, лежат на Е в этом циклическом порядке. Значит, в каждом классе идентичные вершины можно ео-
Е
миея криволинейными отрезками. Соединим
их в Т1 и заменим каждую вершину (не крас-Рис. 7. Замена вершин ориентированными циклами \ /" _ч
* * * ную) ориентированным циклом (рис. I).
Заметим, что если существуют две пересекающиеся хорды в полученном /-графе, то на каждой из них выделены красные вершины, причем класс вершин на одной хорде отличен от класса вершин на другой. Пересечения хорд устраним следующим образом. Каждую внутреннюю хорду полученного /-графа, на которой выделены красные вершины из класса К2, переведем внутрь соответствующих) цикла с помощью инверсии.
В итоге получим искомое ориентированное вложение /-графа Е в плоскость. Заметим, что в этом вложении все ориентированные циклы лежат вне друг друга.
2. Пусть в дереве есть особые вершины. Индукцией поп — числу особых вершин — докажем,
/Е
База индукции. Пусть п = 1. Разобьем на два класса множество вершин дерева Т1; исключая особую вершину ад, следующим образом. Существует единственный путь, соединяющий произвольную вершину V дерева с особой. Определим вершину V в тот же класс, в котором и хвост особой вершины, лежащий на этом пути.
Идентичные вершины попадут в один класс (иначе в графе С существовал бы цикл с вершиной ад, хвосты которой, лежащие на цикле, имеют разные классы).
Деревом Т/ (соответственно Т2) назовем поддерево дерева Т1, множество вершин которого состоит из ад и всех вершин класса 0 (соответственно 1).
Тогда вершина ад не является особой относительно Т/ (соответственно Т2). Из Т1 и Т2 получим
/
/
ветствует ад), причем все хорды /-графов лежат вне этого цикла. Инверсией переведем один из /-графов внутрь этого цикла. Тем самым получим искомое ориентированное вложение /-графа Е в плоскость.
Шаг индукции. Пусть при п = к существует ориентированное вложение /-графа Е в плоскость. Рассмотрим случай, когда п = к + 1. Выберем произвольную особую вершину и> дерева Т.
Аналогично описанному в базе индукции определим деревья Т^ и Т^. Тогда вершина ад не явля-
Т11 Т12 Т11 Т12
//
(которому соответствует ад). Если оба /-графа реализованы одновременно внутри или вне общего цикла, применим инверсию (относительно этого цикла) к одному из них. Тем самым получим иеко-
/Е
/Е
атом с соответствующим /-графом Е является высотным. Достаточность доказана. □ Следствием из теоремы 2 является
Теорема 3 (В.А. Трифонова, критерий высотности атома). Атом является высотным тогда и /
К3,3, и не содержит под-/-графа, /-гомеоморфного препятствию V.
/Е
ному графу Кз,з, то по теореме Понтрягпна-Куратовского такой /-граф в плоскость невложим. Тем
Е
//
под-/-граф) /-гомеоморфный препятствию V или препятствию из серии V(г), г ^ 1. Но любое препятствие из этой серии содержит подграф, гомеоморфный Кз,з (лемма 1). Теорема до казана. □
Пусть дан высотный атом с /-графом Е. В рамках доказательства достаточности теоремы 2 мы определяли дерево Т (из Е), вложенное в плоскость с вершинами на окружности Е. Предположим, что на окружности Е есть красные вершины. Построим меченый ориентированный цикл из Е и красных вершин и покажем оснащаемость этого цикла.
Т1
цветом.
Т1
каждой из них переобозначаем классы так, чтобы внешние хвосты относились к классу 1 (все внешние хвосты принадлежит одному классу, так как после удаления вершины остается одна компонента связности, не считая внутренних хорд).
Произвольным образом обозначим разными именами все синие вершины (при их наличии) дерева Т1. Выберем (произвольно) одну не краеную вершину ^о и объявим ее корневой. Для каждой вершины V дерева Т1 сделаем следующее. Существует единственный путь 7, соединяющий ^о с V. Классы для вершины V переобозначаются таким образом, чтобы хвост ребра е € 7, инцидентного вершине V, принадлежал классу 1. Ориентируем путь 7 от vо к V. Пусть щ, Щ2,..., Щ — синие вершины, имеющие хвост из класса 0 на пути 7. Каждому ребру е € 7 присвоим имя и класс следующим образом. Пусть д — конец ребра, ближайший к корневой вершине на пути 7. Тогда ребру е дадим то же имя, что и у ближайшей к д (или совпадающей с д) вершины щ^, которая лежит на пути от vо к д. Если на этом пути четное число вершин и^, то ребро е отнесем к классу А, иначе — к классу В. Если на пути от г>о к д нет вершин и^, то ребро е обозначим г>о и отнесем к А. Ввиду единственности
7
Т1
дерева припишем то же имя и тот же класс, что и у ребра с этой вершиной. Красные вершины
Е
произвольно.
Заметим, что ребра, инцидентные одной вершине, имеют разные имена и классы тогда и только тогда, когда у этой вершины хвосты на этих ребрах из разных классов. Ранее мы показали, что Т1
классов на этом пути. Это значит, что все ребра этого пути имеют одинаковые имена и классы. Тогда идентичные вершины одинаково обозначены.
А, В, А1, В1
лическом порядке па Е, причем А,А1 € Ба; В,В1 € Бь- Нетрудно показать, что ребра каждого из АА1 ВВ1 АА1
ВВ1
АА1 ВВ1 АА1 ВВ1
АА1 ВВ1
Е
Рассмотрим теперь /-граф Е, который содержит под-/-граф Ь, /-гомеоморфный препятствию из серии V(г), г ^ 1. Предполагаем, что Е не содержит препятствия V. Покажем, что в этом случае
Е
Под-/-граф Ь состоит из замкнутых цепей (см. рис. 5,а) с одним общим ориентированным циклом Д. Рассмотрим две такие цепи ¿1 и ¿2 со следующим свойством: концы хорд первой и второй цепи на Д чередуются при циклическом обходе. В процессе построения дерева Т1 на хорде каж-
Е Т1
группу пар идентичных вершин, выделенных на нескольких хордах некоторой замкнутой цепи в Е. Вернемся к рассмотрению цепей ¿1 и ¿2- Пусть вершины А и А1 (В и В1) выделены на цепи ¿1 (соответственно ¿2) и являются ближайшими к циклу Д красными вершинами. Тогда А с А1 и В с В1 можно соединить путями в дереве Т^. Так как в графе О вершины А и А1 (В и В1) лежат на одном цикле, то ни один из этих путей не содержит вершин с разными хвостами на этом пути. Тогда вершины А и А1 (В и В1) обозначены одинаково на окружности Е. Из чередования концов хорд ¿1 и ¿2 па А следует, что вершины А, В, А1, В1 лежат на Е в этом циклическом порядке. Предположим,
ЕЕ
А А1 В В1
ЬД
Получим хордовую диаграмму О. Припишем каждой замкнутой цепи в Ь тот же класс, что и у
ДД цепей. В итоге получим оснащение хордовой диаграммы О. Однако заметим, что хордовая диаграм-
ма O, рассматриваемая как /-граф с одним циклом, изоморфна препятствию из серии V(r), r ^ 1. Из певложимости каждого препятствия из этой серии в плоскость следует, что хордовая диаграмма O не является d-диаграммой. Противоречие. Таким образом, доказана следующая
Теорема 4 (В.А. Трифонова, критерий высотности атома). Атом является высотным то//
/ V E
Автор приносит благодарность А.Т. Фоменко и U.M. Никонову за постановку задачи и внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-6399.2018.1, соглашение № 075-02-2018-867), а также фонда развития теоретической физики и математики "БАЗИС".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсипов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
2. Мантуров В. О. Бифуркации, атомы и узлы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 1. 3-8.
3. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гампльтоповых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, №6. 1276-1307.
4. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гампльтоповых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.
5. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гампльтоповых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1. 145-173.
6. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гампльтоповых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологичекий инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 55, №4. 747-779.
7. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, вып.4. 23-35.
8. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гампльтоповых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, №3. 546-575.
9. Ilyutko D.P., Manturov V.O. Virtual knots: the state of the art. Series on knots and everything. Vol. 51. Singapore: World Scientific, 2012.
10. Никонов И. M. Высотные атомы с транзитивной на вершинах группой симметрии // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. №6. 17-25.
11. Трифонова В.А. Высотные частично симметричные атомы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. №2. 33-41.
12. Волчанецкий Н.В., Никонов И.М. Максимально симметричные высотные атомы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 3-6.
13. Ошемков A.A. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та РАН. 1994. 205. 131-140.
14. Bouchet A. Circle graph obstructions //J. Combin. Theory. Ser. В. 1994. 60. 107-144.
15. Chmutov S., Duzhin S., Lando S. Vassiliev knot invariants II. Intersection graph conjecture for trees, singularities and bifurcations // Adv. Sov. Math. 1994. 21. 127-134.
16. Mellor В. The intersection graph conjecture for loop diagrams //J. knot theory ramifications. 2000. 9. 187-211.
17. Chmutov S., Lando S. Mutant knots and intersection graphs // Algebr. and Geom. Topol. 2007. 7. 1579-1598.
Поступила в редакцию 19.06.2019
