Описание вырожденных двумерных особенностей с одной критической точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 515.162

ОПИСАНИЕ ВЫРОЖДЕННЫХ ДВУМЕРНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ С ОДНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКОЙ

И.М. Никонов1

Найдены формулы, выражающие количество вырожденных атомов с одной особой точкой.

Ключевые слова: атом, хордовые диаграммы.

The formulas calculating the number of degenerate atoms with one singular point are obtained.

Key words: atom, chord diagrams.

1. Введение. Понятие атома было введено А. Т. Фоменко и X. Цишангом (см., например, [1]) с целью изучения интегрируемых гамильтоновых систем. Атом описывает локальное строение бифуркаций торов Лиувилля в слоении Лиувилля на изоэнергетической поверхности гамильтоновой системы. Так, 3-атомы (т.е. трехмерные атомы, см. [1, 2]) классифицируют особенности (особые слои) слоения Лиувилля гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В [1, 2] показано, что трехмерные атомы однозначно с точностью до гомеоморфизма кодируются двумерными атомами. Вкратце: 2-атом — это окрестность критического уровня функции Морса, заданной на двумерном многообразии, с указанным направлением роста функции (более подробно см. [1, 2]). В настоящей

2

критическими точками. В качестве первого важного шага будут изучены атомы с одной вырожденной критической точкой степени 2n.

2

и хордовыми диаграммами (см. теорему 1). Следовательно, проблема классификации вырожденных атомов может быть сведена к классификации хордовых диаграмм.

В работах [3, 4] было вычислено количество хордовых диаграмм, рассматриваемых с точностью до поворотов (см. [3]), а также поворотов и симметрий (см. [4]). В работах [3, 4] вопрос об описании хордовых диаграмм, соответствующих ориентируемым атомам, не рассматривался. В настоящей работе подсчитано число ориентируемых и ориентированных вырожденных атомов с одной вершиной, имеющих заданную сложность. Отметим, что ориентируемые (соответственно ориентированные) атомы отвечают четным хордовым диаграммам (соответственно ориентированным четным хордовым диаграммам).

Также есть работы по построению алгоритмов нахождения количества хордовых диаграмм с точностью до поворотов, например статьи [5, 6]. В результате работы алгоритмов выдаются кодировки подходящих хордовых диаграмм. В. О. Мантуров в статье [7], используя программу Mathematica, перечислил хордовые диаграммы с 2n вершинами для n ^ 5.

Для обычных (необязательно четных) хордовых диаграмм их количество, найденное в настоящей работе, совпадает с результатами работ [3, 4]. Отметим, что количество хордовых диаграмм растет очень быстро, например количество хордовых диаграмм при n = 12 равно 13176573910, как указано в работе [5]. Асимптотика роста найдена в работе [4] и равна (~2"4га1^!! для хордовых диаграмм и для ориентированных хордовых диаграмм. Нестрого говоря, данная асимптотика имеет следующее объяснение: количество хордовых диаграмм с фиксированной нумерацией вершин равно (2n — 1)!!, при n ^ то практически все хордовые диаграммы не обладают симметрией и име-

2n 2n

в выражении (2n — 1)!! ровно 2n раза, если ориентация диаграммы сохраняется, и 4n раза, если сохранения ориентации не требуется. Аналогично количество ориентированных четных диаграмм асимптотически равно n!/(2n), а четных хордовых диаграмм — n!/(4n), так как количество четных

n!

n

1 Никонов Игорь Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikonovQmech.math.msu.su.

п — 1 оставшихся четных вершин и т.д.). Отсюда можно сделать вывод, что доля количества классов эквивалентности ориентируемых вырожденных атомов среди всех атомов стремится к нулю,

(2п—1)!! ,и! > (2п—1)!! , Щ ,

поскольку -—4га /4^ —У ОС и -—2га /2га ~~^ 00 ПРИ П '* 00'

Понятие атома также представляет интерес для теории узлов и комбинаторики. Например, в теории инвариантов Васильева рассматриваются хордовые диаграммы с четными хордами, которые соответствуют ориентируемым вырожденным атомам.

Определение. Назовем вырожденным седловым атом,ом, (или просто атомом) с одной вершиной пару (Р, К), где Р — компактная связная двумерная поверхность с краем, а К — вложенный в нее граф, у которого имеется одна вершина и п ребер (п > 2), удовлетворяющие следующим условиям:

1) каждая из компонент связности Р \ К гомеоморфна кольцу I х £ где I — полуинтервал, а £ — окружность;

2) каждое кольцо можно покрасить в один из двух цветов так, чтобы к каждому ребру графа КР

2п

п—1

Назовем атомы эквивалентным,и, если существует гомеоморфизм соответствующих пар, сохраняющий цвета раскраски колец.

Атом, который получается из заданного атома заменой белого цвета колец на черный, а черного цвета — на белый, называется двойственным атом,ом,. Атом называется самодвойственным, если он эквивалентен своему двойственному атому.

(Р, К) Р

Р

тированных атомов будем требовать, чтобы гомеоморфизм поверхностей атомов сохранял ориентацию.

( Р, К )

Р (Р, К)

Атом, эквивалентный своему обратному атому, называется обратимым.

Введем следующие обозначения:

Ап — множество классов эквивалентности вырожденных седловых атомов степени 2п;

Ап — множество классов эквивалентности вырожденных седловых атомов степени 2п, рассматриваемых с точностью до перехода к двойственному атому;

дог — множество классов эквивалентности ориентируемых вырожденных седловых атомов степени 2п;

Ап — множество классов эквивалентности ориентируемых вырожденных седловых атомов сте-2п

— множество классов эквивалентности ориентированных вырожденных седловых атомов 2п

А+ — множество классов эквивалентности ориентированных вырожденных седловых атомов 2п

Количество элементов в перечисленных выше множествах будем обозначать ап ,ап, аЩ, аЩг, а+, соответственно.

Для вычисления числа атомов оказывается полезным объект, имеющий более выраженную комбинаторную природу, — хордовые диаграммы.

Определение. Хордовой, диаграммой, называется 3-валентный граф, в котором выделен га-мильтонов цикл. Ребра графа, не входящие в гамильтонов цикл, называются хордам,и. Число хорд в диаграмме называется порядком диаграммы.

Определение. Черно-белой хордовой, диаграммой назовем хордовую диаграмму, в которой ребра гамильтонова цикла поочередно раскрашены в белый и черный цвет так, что любые два смежных ребра цикла раскрашены в разные цвета.

Каждой хордовой диаграмме соответствуют ровно две черно-белые диаграммы, отвечающие двум возможным раскраскам гамильтонова цикла. Эти черно-белые диаграммы называются двойственными друг другу.

Определение. Ориентированной хордовой, диаграммой называется хордовая диаграмма, в которой задана ориентация выделенного гамильтонова цикла. Если на диаграмме дополнительно задана чередующаяся черно-белая раскраска гамильтонова цикла, то диаграмма называется ориентированной черно-белой хордовой, диаграммой.

Ориентированной хордовой диаграммой с отмеченной вершимой называется ориентированная хордовая диаграмма, в которой выделена некоторая вершина графа.

Для ориентированной диаграммы с отмеченной вершиной можно стандартным образом ввести структуру черно-белой хордовой диаграммы, если потребовать, чтобы ребро цикла, исходящее из выбранной вершины но направлению ориентации, имело белый цвет.

Замечание 1. Ориентированной хордовой диаграмме степени п с отмеченной вершиной однозначным образом можно сопоставить геометрическую реализацию па плоскости М2 = С, при которой гамильтонов цикл переходит в единичную окружность 51 = {г € С | |г| = 1}, а верши-

7Г к •

ны графа расположены в вершинах правильного 2?г-угольника точках гд. = е « , к = 0,..., 2п,

1

Определение. Хордовая диаграмма называется четной, если для любой хорды путь на га-мильтоновом цикле, соединяющий ее концы, содержит четное число вершин. Заметим, что четность числа вершин не зависит от выбора пути, соединяющих) концы хорды.

Замечание 2. Изоморфизм хордовых диаграмм (черно-белых диаграмм, ориентированных диаграмм и т.д.) определяется как изоморфизм графов, сохраняющий дополнительную структуру гамильтонов цикл (черно-белую раскраску, ориентацию цикла и т.д.).

Введем следующие обозначения:

Рп — множество классов изоморфных хордовых диаграмм с п хордами;

р™ — множество классов изоморфных черно-белых хордовых диаграмм с п хордами;

рп — множество классов изоморфных четных хорд о вых диаграмм с п хордами;

— множество классов изоморфных четных ориентированных хордовых диаграмм с п хордами;

— множество классов изоморфных четных черно-белых хордовых диаграмм с п хордами;

— множество классов изоморфных четных ориентированных черно-белых хордовых диа-

п

РП — множество классов изоморфных ориентированных хордовых диаграмм с отмеченной верп

РГ'* — множество классов изоморфных четных ориентированных хордовых диаграмм с отме-п

Теорема 1. Существуют биекции .между следующими парами множеств:

л С^ тлог С^ <7-Ф'Ш'е'и д+ ~ -т-)

Ап — рп ) Ап — рп 1 Ап — I

~А — V — Vе1' ~А+ — Т>+

Доказательство. Для установления изоморфизма Ап — р™ необходимо построить соответствие между атомами и черно-белыми хордовыми диаграммами.

Пусть дан атом (Р, К) с одной вершиной степени 2п. Проведем окружность малого радиуса с центром в особой точке (рис. 1). Она пересечет граф К в 2п точках, причем на каждом ребре графа будут лежать две точки пересечения. Составим граф О из

проведенной окружности и частей ребер графа С, лежащих снару- Рис' ПостРоение хордовой диаграммы по вырожденному атому

жи ее. Граф О содержит 2п вершин, и окружность образует в О гамильтонов цикл. Таким образом, О является хордовой диаграммой. Раскраска атома в два цвета индуцирует на О структуру черно-белой диаграммы.

Построенное соответствие сопоставляет изоморфным атомам изоморфные черно-белые хордовые диаграммы. Значит, мы построили отображение Ф: Ап ^ Р™-

Пусть теперь дана черно-белая хордовая диаграмма О. Приклеим к гамильтонову циклу диаграммы О двумерный диск, разделенный на черные и белые секторы так, чтобы основанием каждого сектора было ребро цикла того же цвета, что и сектор (рис. 2). Для каждой хорды диаграммы рассмотрим прямоугольную полоску, разделенную вдоль на две половины белую и черную, и приклеим концы полоски к диску в местах расположения концов хорды согласованно с раскраской полоски и диска. После приклейки полосок для всех хорд получим поверхность с краем, раекрашен-

ную в два цвета, причем граф, разделяющий области разных цветов, имеет ровно одну вершину. Иными словами, получим некоторый вырожденный еед-ловой атом с одной вершиной (Р, К).

Несложно убедиться, что построенные соответствия между атомами и черно-белыми хордовыми диаграммами взаимно обратны друг другу и, таким Рис. 2. Построение вырожденного атома по хордовой диаграмме образом задают биекцию Лп =

Эти же соответствия индуцируют и все остальные биекции. Действительно, если поменять раскраску атома на противоположную, то у соответствующей ему хордовой диаграммы изменится раскраска ребер гамильтонова цикла, и наоборот. Отсюда получается биекция Лп — Хп.

Далее заметим, что атом, строящийся по хордовой диаграмме, будет ориентируемым тогда и только тогда, когда для каждой хорды соответствующая ей полоска не будет перекручиваться при приклеивании к диску, что равносильно четности хорды. Таким образом, ориентируемые атомы соответствуют в точности четным хордовым диаграммам. При этом ориентация гамильтонова цикла хордовой диаграммы задает ориентацию охраниченного им диска на атоме, а значит, и ориентацию всего атома. Из этого замечания вытекают оставшиеся биекции в формулировке теоремы.

Таким образом, теорема 1 доказана.

На множествах Х* и Х^'* естественно действует диэдральная группа ^2п, состоящая из поворотов рк, 0 ^ к < 2п, перемещающих отмеченную точку на диаграмме, и отражений рка, 0 ^ к < 2п, которые помимо этого меняют ориентацию диаграммы. На геометрической реализации хордовой диаграммы группа действует поворотами рк вокруг начала координат на углы пк/п, 0 ^ к < 2п, и

к_ 1 •

отражениями р а относительно осей, проходящих через начало координат, а также вершины гЬе71" з™ г

к_2 • к •

(при нечетном к) и середины сторон [е7Т^гг, еж^г] (при четном к) правильного 2?г-угольника.

Группа движений ^2п содержит группу поворотов 02п, сохраняющую ориентацию диаграммы, диэдральную подгруппу Оп, сохраняющую черно-белую раскраску ребер гамильтонова цикла диаграммы, и группу поворотов 0п = 02пП^п, сохраняющую ориентацию и черно-белую раскраску.

Из определений множеств класов изоморфизмов диаграмм и действия диэдральной группы немедленно вытекает следующее утверждение.

Утверждение 1. Существуют естественные изоморфизмы:

Хп = х*/Б2п, Х- = Х+ = хГ*Мп,

ТчЬ-т ТЧ* /Г) Т)Ьш'е'и ТЧеи'* /Г) Т)0®'+ ~ Т)еи'* Ш Хп — Хп/ ^п, Хп — Хп / ^п, Хп — Хп / 0

Ьт,-

2. Основные результаты. Введем следующие обозначения:

Лщр — количество ориентированных хордовых диаграмм порядка п с отмеченной вершиной, имеющих период р (т.е. их геометрические реализации переходят в себя при повороте на угол пр/п);

Впо — количество ориентированнвк хордовых диа грамм порядка п с отмеченной вершиной, имеющих заданную ось симметрии, проходящую через середины противоположных сторон правиль-2п

ВП'1 — количество ориентированных хордовых диа грамм порядка п с отмеченной вершиной,

2п

угольника.

Пусть Л^р, В^о, ВШ — число четных ориентированных хордовых диаграмм порядка п с отмеченной вершиной, обладающих перечисленными свойствами.

Теорема 2. Пусть р | 2п. Тогда справедливы, следующие равенства:

Л=

Лп,р -

га

£

. i=0

'р\ ч2i/

(2г - 1)!!, 2

2га Р '

(1)

Вп0 — Лп

Вп,' 1 — Вп—

п-1'05

(2) (3)

=

п,р

1 р

i (2Рг)-фЧ2г-1)Н,2{р,2{п; (4)

г=0

0, 2 I р, 2 | п,

И , ,

ВП!0 = Е {I) • (2< -1)", (5)

Г(п - 1)!!, 21 п; (6)

Вп, 1 = \ 0, 2 | п. (6)

Доказательство. 1. Возьмем ориентированный цикл длины 2п с выбранной вершиной. Занумеруем вершины цикла по порядку обхода числами

0,1,..., 2п - 1 € ^2п

п

полученная хордовая диаграмма имела период р, т.е. была инвариантна относительно поворота т = р^, переводящего вершин у цикла г € ^2п в верши ну г + р.

Если диаграмма с периодом р содержит хорду с концами г, € ^2п, то она содержит также хорды с концами г + рк, ] + рк, 0 ^ к < Среди этих хорд есть ровна одна хорда (г',]'), такая, что

0 ^ %' < р и / = рд + г, где Назовем тройку (г', г, д) типом хорды. Заметим,

что типом однозначно определяется семейство хорд (г+р/г, ] +рк), 0 ^ к < составляющих орбиту т

Если г' = г, то после поворота тд хорд а (г', ^') перейдет в хорду (/,/ + рд). Следовательно, / + рд = г' <Е откуда 2рд = 2п, д = ^ ш ]' = г' + п. Таким образом, хорда (г',/), а значит, и

исходная хорда (г,^) должны быть диаметром. Заметим, что это возможно, если только ^ четно.

Если (¿1, Г1,д1) и (¿2, Г2, 52) — типы хорд, которые не переводятся друг в друга поворотами тк, 0 ^ к < -у, то {«1, Г1} П {¿2, } = 0- Значит, множество индексов {0, 2,... ,р — 1} разбивается на непересекающиеся подмножества, соответствующие разным орбитам действия группы поворотов на множестве хорд. Среди этих подмножеств есть некоторое количество (скажем, й) одноэлементных множеств, соответствующих хордам-диаметрам, и двухэлементных множеств, соответствующих

остальным хордам. Заметим, что число й может находиться в пред ел ах от 0 до р и должно иметь

р

может меняться от 0 до [|] (в случае, когда ^ четно). Если ^ нечетно, то диаметров нет и число типов хорд равно в точности

р

ченной точкой.

Пусть задано число й орбит хорд-диаметров в диаграмме. Найдем число всевозможных наборов типов хорд в диаграмме. Имеется способов выбрать набор из й одноэлементных множеств в множестве {0, 2,... ,р — 1}. Оставшиеся р — й индексов можно разбить на пары (р — й — 1)!! способами: наименьший индекс можно спарить с каким-либо другим (р — й — 1) способами; после удаления индексов сформированной пары наименьший индекс из оставшихся можно спарить (р — й — 3) способами и т.д. Для каждой пары есть ^ способов выбрать число д, причем выбор для разных пар

й

р — <1

В частности, при с? = 0 получаем выражение (^г) 2 (Р — 1)-) чт0 дает первый случай для формулы (1), когда диаметров нет.

Пусть I = ^^ — число типов хорд, отличных от диаметров. Тогда выражение (7) можно переписать в виде

/,)■<*->«■ (у)'

Рассматривая сумму последнего выражения по I от 0 до получим оставшуюся часть формулы (1). 5 ВМУ, математика, механика, №3

2. Рассмотрим хордовую диаграмму, которая имеет ось симметрии, проходящую через середины противоположных сторон. Ось делит цикл диаграммы на две половины. Поменяем порядок концов хорд на одной из половин на противоположный. Новая диаграмма будет центрально-симметрич-

п

центрально-симметричная диаграмма, то это значит, что исходная диаграмма была симметрична относительно заданной оси. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между диаграммами с заданной осью симметрии и диаграммами периода п. Иными словами, Вп,о — An>n.

3. Рассмотрим хордовую диаграмму, которая имеет ось симметрии, проходящую через противоположные вершины диаграммы. В силу симметрии диаграмма содержит хорду-диаметр, соединяющую заданные противоположные вершины. После удаления этой хорды из диаграммы получим диаграмму с (п — 1) хордой, у которой есть ось симметрии, проходящая через середины противоположных сторон. И наоборот: по каждой симметричной диаграмме с (п — 1) хордой путем добавления диаметра строится симметричная диаграмма с п хордами. Таким образом, Впд — Вп_1,о.

Рассмотрим четные хордовые диаграммы. Тогда номера концов каждой хорды должны иметь противоположную четность.

р

хорд в диаграмме с такими свойствами. Имеется несколько случаев.

Пусть р четно. Если п нечетно, то Щ- — нечетное число, значит, в диаграмме с периодом р не

п

мы имеют одинаковую четность, значит, диаметр не может появиться в четной диаграмме. Итак,

р

Как и ранее, каждой хорде можно сопоставить ее тип (г, г, д), 0 ^ г ^ г < р, 0 ^ д < Щ-. Заметим, что г < г, так как диаметров нет. Чтобы хорда была четной, необходимо и достаточно, чтобы числа г и г имели разную четность.

Количество способов разбить множество индексов {0,1,... ,р — 1} на | пар, каждая из которых содержит один четный и один нечетный индекс, равно количеству соответствий между | четными и | нечетными индексами, т.е. равно (§)!•

Для каждого из | типов хорд независимо в качестве параметра д можно взять любое значение

от 0 до ^ — 1. Следовательно, число наборов типов хорд, а значит, и число классов эквивалентности

р

рп

р

п

равно й. Число й нечетно, как и р. Количество способов выбрать й номеров в множестве индексов {0,1,... ,р — 1} равно (р). Оставшиеся р — й значений можно разбить на пары (р — й — 1)!! способами.

Хорда типа (г, г, д), г < г, будет четной тогда и только тогда, когда четности чисел г и г+д = г+рд различны. Это эквивалентно тому, что четность д должна не совпадать с четностью суммы г + г. Следовательно, при заданных гиг имеется ровно ^ возможных значений для д на интервале от 0

до Щ-. Значения д для разных типов хорд выбираются независимо.

Таким образом, число классов эквивалентности четных ориентированных хордовых диаграмм, имеющих период р и й орбит диаметров, равно

р

с1

р

где I = — число орбит хорд, отличных от диаметра.

5. Посчитаем число четных ориентированных диаграмм с отмеченной точкой, имеющих заданную ось симметрии, проходящую через середины противоположных сторон цикла диаграммы. Не ограничивая общности, будем считать, что ось симметрии проходит через середину ребра, соединяющего вершины с номерами 0 и 2п — 1 (и середину ребра, соединяющего вершины с номерами п — 1 и п). Тогда при симметрии вершина с номером г переходит в вершину с номером 2п — г — 1. Заметим, что при симметрии четность вершины меняется на противоположную.

При симметрии ребро с концами г и ] переходит в ребро с концами 2п — г — 1 и 2п — ] — 1. Если ] — 2п — г — 1, то ребро переходит само в себя. Такие ребра назовем симметричными. Заметим, что все симметричные ребра являются четными. Несимметричные ребра разбиваются на пары ребер, которые переходят друг в друга при осевой симметрии. Будем называть ребра каждой такой пары двойственными друг другу.

Фиксируем число I пар двойственных хорд в диаграмме. Оно может принимать значение в пределах от 0 до Щ], так как каждая пара хорд имеет четыре конца, а общее число вершин равно 2п. Тогда число симметричных хорд будет равно д — п — 21.

Ось симметрии разбивает цикл диаграммы на две половины, при этом симметрия задает биек-цию между вершинами разных половин. Каждая пара двойственных хорд имеет на одной половине цикла ровно два конца, а каждое симметричное ребро — один конец.

Известно (п) — (Ц) способов выбрать й вершин в качестве концов симметричных ребер на одной половине. Оставшиеся п — й — 21 вершин половины можно разбить на пары (21 — 1)!! способами. Среди четырех вершин, включающих две вершины одной пары и две симметричные им вершины на другой половине цикла, есть ровно две четные и две нечетные вершины. Следовательно, существует единственный способ выбрать две четные (двойственные и несимметричные) хорды с концами в этих четырех вершинах. Каждая симметричная хорда также однозначно определяется выбором одного из своих концов. Таким образом, четная симметричная хордовая диаграмма задается разбиением вершин одной половины цикла на ¿пар и й одноэлементных множеств. Следовательно, число таких диаграмм будет равно

Суммируя данное выражение по I от 0 до Щ], получаем формулу (5).

6. Посчитаем число четных ориентированных диаграмм с отмеченной точкой, имеющих заданную ось симметрии, проходящую через противоположные вершины цикла диаграммы. Не ограни-

0п

г 2п — г

симметрии сохраняется.

0п 0 п п

п

п

Поскольку при симметрии четность вершины не меняется, четная диаграмма не может содер-

0п

пар дв0йственных хорд.

1, 2, . . . , п — 1

0п

бранной половине, причем из этих двух вершин одна должна быть четной, а другая — нечетной.

1, 2, . . . , п — 1

„ п_1 п_1

четное и одно нечетное число, равно количеству соответствии между —— четными и —— нечетными числами, т.е. равно

Четыре вершины, из которых две принадлежат одной половине цикла и имеют разную четность, а другие две симметричны им, можно соединить парой двойственных четных хорд двумя способами (при первом способе концы каждой хорды принадлежат одной половине, а при втором — разным половинам). Так как хорды в каждой двойственной паре выбираются независимо, то общее число способов провести хорды так, чтобы диаграмма была четной и симметричной, равно

Таким образом, теорема доказана.

Замечание 3. Для доказательства основного результата нам потребуется классический результат — лемма Бернсайда. Пусть G — конечная группа, действующая на множестве X. Для любого элемента g € G определено множество точек, неподвижных под действием g, Xg = {ж € X | g -ж = ж}. Тогда количество элементов в фактормножестве X/G можно рассчитать по формуле

11 g€G

Теорема 3. Имеют место равенства

ап = 7Г~ Е <P(-)Ai,2p + \вщо, (8)

2n ' р 2

p|n

l _ 2n l

-)Аг,р + + Дгд), (9)

p|2n

< = + ^ (10) p|n

l 2n l

J)Al^ + + ^ (11)

p|2n

(12)

n I p

p|n p|2n

Здесь p — функция Эйлера.

Доказательство. Начиная доказательство равенства (8), заметим, что по теореме 1 и утверждению 1 справедливо соотношение an = |An| = | = |D„/Dn|. По лемме Бернсайда имеем

= ш Е №пП

Теперь необходимо найти количество неподвижных точек для различных элементов группы Dn. Групп a Dn состоит из "четных" поворотов p2k, 0 ^ k < n, и отражений относительно прямых, проходящих через середины сторон цикла хордовой диаграммы, p2kа, 0 ^ k < n, так что порядок группы Dn равен 2n.

Если g = p2k, то (D„ )g состоит из диаграмм, имеющих период 2k Следователь но, |(D„ )g | = A^fc. Поскольку 2n тоже является периодом диаграммы, то периодом будет и наибольший общий делитель d = (2n, 2k) = 2(n, k) = 2p, где p = (n, k) Кроме того, An,2k = An,2p. Количество чисел 0 ^ к < n, имеющих с числом 2п наибольший общий делитель 2р, равно Так получаем

первое слагаемое в формуле (8).

Если g = p2kа, то g действует как отражение относительно прямой, проходящей через середину одной из сторон цикла хордовой диаграммы, а значит, |(D„)g| = Bn,o. Всего имеется n отражений, так что их вклад в формулу Бернсайда составляет ^ • пВП}о = Таким образом, формула (8)

доказана.

Доказательство справедливости формул (9)—(13) производится аналогично.

Таким образом, теорема 3 доказана.

Замечание 4. Подставляя в формулы теоремы 3 формулы (1)—(6), мы получаем формулы для вычисления количества классов эквивалентности. Значения числа атомов малой сложности приведены в табл. 1.

Зная значения an, an, a„r, а+, мы можем посчитать количество классов эквивалентности атомов, обладающих свойствами самодвойственности или обратимости.

Утверждение 2. Введем, обозначения:

— множество классов эквивалентности самодвойственных вырожденных седловых ато-2n

А™ — множество классов эквивалентности ориентируемых обратимых вырожденных сед-ловых атомов степени 2и,

А™ — множество классов эквивалентности ориентируемых обратимых вырожденных сед-2и

а*п! аиУ; а™ """""""' количество элементов в этих множествах соответственно. Имеют место соотношения

ап — 2ап ат ап — 2ап ап , ап — 2ап ап ■

Таблица!

Число классов п

2 3 4 5 6 7 8 9 10

ап 3 7 30 137 1065 10307 130040 1927853 32809979

а„ 2 5 17 79 554 5283 65346 966156 16411700

аог ип 2 4 10 27 106 479 2932 21491 186392

аог ип 1 3 5 17 53 260 1466 10915 93196

2 4 10 28 136 726 5100 40362 363288

1 3 5 17 53 260 1466 10915 93196

Доказательство. На множестве Ап действует груипа , ненулевой элемент которой переводит каждый атом в двойственный ему. Тогда Ап = Ап/Ъ-2, и по лемме Бернсайда имеем ап = + откуда а^ — 2ап—ап. Другие равенства выводятся аналогично. Таким образом, утверждение доказано.

Замечание 5. Количество классов самодвойственных и обратимых атомов малой сложности приведено в следующей табл. 2.

3. Перечисление атомов малой сложности. Перечислим хордовые диаграммы и соответствующие атомы кратности 1, 2 и 3.

Кратность 1 (и — 2). Количество классов эквивалентности атомов, рассматриваемых с точ-

2

на рис. 3, а сами атомы на рис. 4. Первый атом является ориентируемым и обратимым, но не самодвойственным; второй атом неориентируемый, но самодвойственный.

О

Рис. 3. Хордовые диаграммы с двумя хордами

ОФ©

Рис. 5. Хордовые диаграммы с тремя хордами

Т а б л и ц а 2

Число классов п

2 3 4 5 6 7 8 9 10

вс1 ап 1 3 4 21 43 259 652 4459 13421

я™ ип 2 4 10 26 76 232 764 2620 9496

- ту ип 1 3 5 17 38 140 382 1502 4748

Рис. 6. Атомы кратности 2

12

13 14 15 16

Рис. 7. Хордовые диаграммы с четырьмя хордами

10 11

17

12

10 11

ш

13

14 15

Рис. 8. Атомы кратности 3

16 17

Кратность 2 (n = 3). Количество классов эквивалентности атомов, рассматриваемых с точностью до двойственности, равно 5. Хордовые диаграммы, соответствующие атомам, приведены на рис. 5, сами атомы — на рис. 6. Первые три атома являются ориентируемыми, остальные два неорпентпруемы. Все ориентируемые атомы обратимы, причем первые два атома самодвойственные. Самодвойственным является также четвертый атом.

Кратность 3 (n = 4). Количество классов эквивалентности атомов, рассматриваемых с точностью до двойственности, равно 17. Хордовые диаграммы, соответствующие атомам, приведены на рис. 7, сами атомы — на рис. 8. Первые пять атомов ориентируемы, все они обратимые и не самодвойственные. Остальные 12 атомов неорпентпруемы, из них атомы 6, 7, 8, 9 самодвойственные.

Работа выполнена при поддержке программы Президента РФ "Ведущие научные школы РФ" (грант № НШ-6399.2018.1) и РФФИ (грант № 16-01-00378-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075.

2. Болсинов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1,2. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

3. Khruzin A. Enumeration of chord diagrams. URL : arxiv.org/abs/math.CO/008209, 1998.

4. Манойло Т.О., Cipa M.I., Кадубовский O.A. Про число не1зоморфних та неекв1валентних хордовых д1аграм // Пошуки i знахвдки. 2010. 1, № 10. 61-70.

5. Sevada J. A fast algorithm to generate necklace with fixed content // Theor. Comp. Sei. 2003. 301. 477-489.

6. Gort R., Marcus M. Counting non-isomophic chord diagrams // Theor. Comp. Sei. 1998. 204. 55-73.

7. Мантуров В. О. Атомы, высотные атомы, хордовые диаграммы и узлы. Перечисление атомов малой сложности с использованием языка Mathematica 3.0 // Топологические методы в теории гамильтоновых систем: сб. статей. М.: Факториал, 1998. 203-212.

Поступила в редакцию 14.03.2018

УДК 517.938.5

БИЛЬЯРДЫ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ В ГЕОМЕТРИИ И ФИЗИКЕ.

НОВЫЙ ВЗГЛЯД И НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ

А. Т. Фоменко, 1 В. В. Ведюшкина 2

К 80-летию Виктора Антоновича Садовничего

Описание бифуркаций и симметрии интегрируемых систем — важный раздел геометрии, имеющий множество приложений. В последнее время получены существенные результаты в описании бифуркаций интегрируемых бильярдов и в моделировании бильярдами гамильтоновых систем механики и динамики. В работе собраны интересные задачи, а также указана программа исследований на ближайшее время. В завершение статьи как пример одной из работ, близкой к бильярдной тематике, приведены результаты, позволяющие описать скрытые симметрии бифуркаций гамильтоновых систем.

Ключевые слова: интегрируемая система, бильярд, лиувиллева эквивалентность, инвариант Фоменко—Цишанга.

Description of bifurcations and symmetries of integrable systems is an important section of geometry that has many applications. Recently, important results have been obtained in

1 Фоменко Анатолий Тимофеевич — академик РАН, зав. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: atfomenkoQmail.ru.

2Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex.ru.