CC BY
6Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку задачи, А. А. Ошемкову и С. С. Никол аенко за ценные обсуждения и комментарии.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-11-01303).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Якоби К. Лекции по динамике / Пер. с нем. М.; Л.: Гл. ред. общетехн. лит-ры, 1936.
2. Козлов В.В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде // Прикл. матем. и механ. 1995. 59, вып. 1. 3-9.
3. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
4. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075 (Fomenko А. Т. Morse theory of integrable Hamiltonian systems // Soviet Math. Dokl. 1986. 33, N 2. 502-506).
5. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307 (Fomenko А. Т. The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrability // Math. USSR Izvestiya. 1987. 29, N 3. 629-658).
6. Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287 (Fomenko А. Т., Zieschang Н. On the topology of the three-dimensional manifolds arising in Hamiltonian mechanics // Soviet Math. Dokl. 1987. 35, N 2. 520-534).
7. Кудрявцева E.A., Фоменко А. Т. Любая конечная группа является группой симметрий некоторой карты ("атома'-бифуркации) // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. 67, № 3. 21-29 (Fomenko А.Т., Kudryavtseva Е.А. Each finite group is a symmetry group of some map ("atom"-bifurcation) // Moscow Univ. Math. Bull. 2013. 68, N 3. 148-155).
8. Харламов М.П. Топологический анализ и булевы функции. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динамика. 2010. 6, № 4. 769-805.
9. Николаенко С. С. Топологическая классификация интегрируемого случая Горячева в динамике твердого тела // Матем. сб. 2015. 207, № 1. 123-150.
10. Fomenko А. Т., Nikolaenko S.S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesies on the ellipsoid //J. Geom. and Phys. 2015. 87. 115-133.
Поступила в редакцию 27.09.2017
УДК 515.162
ВЫСОТНЫЕ ЧАСТИЧНО СИММЕТРИЧНЫЕ АТОМЫ
В. А. Трифонова1
Получена частичная классификация высотных атомов с транзитивной на кольцах одного цвета группой симметрий. Предъявлено 9 бесконечных серий и 19 особых случаев.
Ключевые слова: атом, симметрии атомов, высотный атом.
We present a partial classification of vertical atoms whose symmetry groups act transitively on the rings of the atoms. A total of 9 infinite series and 19 special cases are described.
Key words: atom, symmetries of atoms, vertical atom.
1. Введение. Понятие атома, появившееся в задачах качественного анализа и классификации динамических систем, находит применение в самых разных разделах современной комбинаторики и маломерной топологии, теории узлов [1-4]. Понятие атома для целей гамильтоновой и симплек-тической геометрии и топологии было введено А. Т. Фоменко [3] и использовалось для лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем в работе [4].
1 Трифонова Виктория Александровна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: trifonovaviktoriya2012Qyandex.ru.
17 ВМУ, математика, механика, №2
Симметрии атомов отражают дискретные симметрии соответствующих динамических систем, так что для анализа важной является задача описания классов атомов, обладающих заданной группой симметрии. Так, в работах [5, 6] получен ряд классификационных результатов максимально симметричных атомов, имеющих максимально возможный набор симметрий. В работе [7] приведена полная классификация высотных атомов с транзитивной на вершинах группой симметрий. Задача классификации максимально симметричных атомов является довольно сложной и может быть решена только для отдельных семейств атомов (атомы малой сложности, атомы малого рода) либо атомов, обладающих некоторым специальным свойством. Так, в работе [8] полностью описаны максимально симметричные высотные атомы. С дальнейшим развитием теории симметрий атомов можно ознакомиться в работах [9-16].
В настоящей работе рассматривается важный частный случай высотных атомов — высотные атомы с группой симметрий, транзитивной на кольцах одного цвета. Для таких атомов удалось сделать частичное описание: предъявлено 9 бесконечных серий и 19 особых случаев. Основные определения следуют [1, 2, 5].
2. Необходимые понятия и определения. Пусть М2 — гладкое компактное двумерное многообразие, /: М2 —>• М — функция Морса на М2 и {ж € М2 : /(ж) = к}, где к € М, — ее особый уровень. Тогда существует е > 0, такое, что /~1([к — е, к + е]) не содержит особых точек, кроме лежащих на особом уровне ({/ = к}).
Определение 1. Атомом называется пара (/-1([£; — е,к + е]),/_1(А;)) с указанием вложения графа /~1{к) в поверхность /~1([к — е,к + £]). Атом называется ориентируемым, если эта поверхность ориентируема. Граф /~1{к) называется остовом атома. Два атома называются изоморфными, если существует гомеоморфизм пар, который переводит поверхность в поверхность (сохраняя ориентацию, если поверхность ориентирована), остов в остов, а функцию переводит в функцию (см. [1]). Будем говорить, что атом {¡~1{[к — е,к + е\), ¡~1{к)) порожден функцией /. Сложностью атома называется количество особых точек функции / на особом слое.
Определение 2. Назовем атом, порожденный функцией /, высотным,, если существует такое вложение д: М2 —> М3, что /(р) = г(д(р)) для каждой точки р € М2, где г — стандартная координата в пространстве К3, т.е. г — функция высоты на д(М2).
Все высотные атомы являются ориентируемыми (см. [2]). Так как мы будем рассматривать только высотные атомы, то всюду ниже все атомы ориентируемые.
Пусть дан атом X = (¡~1([к — е,к + е\), (к)). Ясно, что ¡~1([к — е,к + е\) является некоторым многообразием Р2 с краем, причем его край — это набор окружностей. Родом атома X называется род многообразия без края, полученного из Р2 с помощью заклеивания всех связных компонент границы дисками. Атомы рода 0 назовем плоским,и атомами.
Также стоит дать второе эквивалентное определение атома.
Определение 3. Атомом назовем пару (Р2,К), где Р2 — компактная ориентированная поверхность с краем, К — непустой конечный связный граф, вложенный в Р2 и имеющий вершины степени 0 или 4, причем множество Р2 \ К является несвязным объединением колец б*1 х (0,1], ,1) С дР2. Множество колец и их граничных окружностей разбито на два подмножества (белые и черные кольца) таким образом, что к каждому ребру графа К примыкают ровно одно белое кольцо и ровно одно черное кольцо. Указанное разбиение колец и соответствующих окружностей на белые и черные называется оснащением пары (Р2, К). Два атома считаются изоморфными, если существует гомеоморфизм оснащенных пар, сохраняющий ориентацию поверхностей и раскраску колец.
Атом, который получается заменой белых колец на черные, а черных колец на белые, называется двойственным атомом к исходному атому.
Атом может быть определен также как /-граф (см. [1]), что в свою очередь дает нам возможность работать с атомами как с комбинаторными объектами.
Определение 4. Конечный связный граф О, некоторые ребра которого ориентированы, называется ориентированным, ¡-графом,, если все его вершины имеют степень 3, причем к каждой его вершине примыкают ровно два ориентированных полуребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из нее. Отметим, что вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного полуребра.
Соответствующий /-граф строится по атому (Р2, К) следующим образом: в качестве неориентированного ребра берется отрезок (сепаратриса), проходящий через вершину графа К и соединяющий границы противоположных белых колец (см. рис. 1), а в качестве вершин — соответствующие концы
отрезка. В роли ориентированных ребер выступают примыкающие к вершинам дуги белых колец с соответствующей ориентацией.
Определение 5. Назовем /-граф ориентированно вложи-мым в плоскость, если его можно вложить в плоскость так, что окружности, соединенные одним ребром, лежат одна в другой тогда и только тогда, когда они имеют противоположную ориентацию. Соответствующее вложение также будем называть ориентированны, м.
Определение 6. Симметрией атома X = (Р2,К) называется сохраняющий ориентацию и оснащение гомеоморфизм оснащенной нары (Р2,К) на себя, рассматриваемый с точностью до изотонии, т.е. класс эквивалентности изотопных гомеоморфизмов оснащенной нары (Р2,К) на себя. Отметим, что при таком определении группа Sym(X) симметрий атома X = (Р2,К) дискретна (см. fil).
Определение 7. Назовем слшметрией f-графа G изоморфизм графа G на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с сохранением их ориентации. Обозначим группу всех таких симметрий /-графа G через Sym(G).
Определение 8. Атом X = (Р2,К) с заданным оснащением является атолю.м, с группой си„м„м,етрий, транзитивной на кольцах белого (черного) цвета,, если для любых двух колец белого (черного) цвета и, v указанного оснащения найдется симметрия атома ф € Sym(X), такая, что ф(и) V.
Определение 9. Будем говорить, что атом X = (Р2,К) является атомом с транзитивной на, вершинах группой си„м„м,етрий, если для любых двух вершин и, v графа К найдется симметрия атома ф € Sym(X), такая, что ф(и) v.
Определение 10. Атом X = (Р2,К) является м,а,ксим,а,л,ьн,о си,м„м,етрич;пы„м, тогда и только тогда, когда группа его симметрий Sym(X) транзитивно действует на множестве ребер атома X.
Нам понадобится следующий результат из книги A.B. Болсинова, А. Т. Фоменко [1].
Теорема 1. Пусть X = (Р2,К) некоторый атом,, рассматриваемый как оснащенная пара,, a, G соответствующий ему ¡-граф. Тогда, группа, Sym(G) изоморфна группе Sym(X).
Отсюда следует, что атом X = (Р2,К) является максимально симметричным тогда и только тогда, когда группа симметрий его /-графа Sym(G) транзитивно действует на вершинах /-графа.
3. Высотные атомы с группой симметрий, транзитивной на кольцах одного цвета. Переформулируем теперь в терминах /-графа условие, что группа симметрий атома действует транзитивно на кольцах белого цвета. Напомним, что в построенном /-графе исходного атома ориентированные циклы соответствуют белым кольцам, toi да ориентированные циклы /-графа, двойственного к исходному атому, будут соответствовать черным кольцам исходного атома.
Утверждение 1. Пусть X = (Р2,К) а/том, с группой симметрий Sym(X), a, G соответствующий ем,у ¡-граф. Тогда, Sym(X) транзитивно действует на, кольцах белого цвета, тогда, и только тогда,, когда, Sym(G) транзитивно действует на, ориентированных циклах.
Доказательство. Утверждение вытекает из конструкции /-графа но атому X: ориентированные циклы соответствуют каждому белому кольцу атома. Заметим, что если кроме этого G\ /-граф двойственного к исходному атома и Sym(Gi) транзитивно действует на ориентированных циклах G\, то группа симметрий как исходного атома, так и двойственного транзитивно действует на кольцах обоих цветов. Утверждение доказано.
Далее нам понадобятся следующие утверждения из статьи Н.М. Никонова [7].
Утверждение 2. Пусть X = (Р2,К) а/том, с группой симметрий Sym(X), a, G соответствующий ему ¡-граф. Тогда, Sym(^Y) транзитивно действует на, вершинах атом,а, в том, и только в том, случае, когда, группа, Sym(G) транзитивно действует на, неориентированных ребрах ¡-графа.
Утверждение 3. Атом, является, высотным, тогда, и только тогда, когда, ¡-граф ориентированно вложим, в плоскость.
Определение 11. Будем называть неориентированное ребро произвольного /-графа внутрен-ни.м,, если оба конца этого ребра лежат в одном ориентированном цикле, и внешним, если его концы лежат в разных ориентированных циклах.
Утверждение 4. Если группа, си,м„м,етрий Sym(^Y) а/том,а, X = (Р2,К) транзитивно действует на, кольцах белого цвета, то у соответствующего ¡-графа, G все ориентированные циклы, содержат одинаковое количество вершин.
Рис. 1. Построение /-графа
18 ВМУ, математика, механика, №'2
Доказательство. По утверждению 1 группа симметрии Sym(G) /-графа G транзитивно действует на ориентированных циклах. Значит, все ориентированные циклы содержат одинаковое количество вершин внутренних ребер и вершин внешних ребер. Таким образом, все ориентированные циклы содержат одинаковое количество вершин.Утверждение доказано.
Утверждение 5. Группа слшметрий лшксилшльно си„м„м,ет,ричны,х атомов транзитивно действует на кольцах обоих 'цветов.
Доказательство. Пусть атом X = (Р2,К) (с группой еимметрий Sym(X)) является максимально симметричным. Так как к каждому ребру графа К примыкает ровно одно белое и одно черное кольцо и группа еимметрий Sym(X) транзитивно действует на ребрах графа К, то Sym(X) транзитивно действует на кольцах обоих цветов. Утверждение доказано.
Классификация максимально симметричных высотных атомов получена в работе Н.В. Вол-чанецкого и И.М. Никонова [8]. Она включает в себя атом А-2, две бесконечные серии атомов Dn(n ^ 1 ),Сп(п ^ 1) и пять атомов Р\,Р2,Рз,Ра,Ръ, соответствующих правильным мшнхнран-никам. Заметим, что С-2 = -£>2- Каждый из этих атомов полностью описан в работе [8].
Теперь рассмотрим архимедовы тела, бесконечную серию призм и антипризм и построим по ним соответствующие атомы так: /-граф каждого из конструируемых атомов получим заменой каждой вершины одномерного остова соответствующехх) многогранника на ориентированный цикл. Здесь мы пользуемся тем, что скелет каждого из рассматриваемых многогранников вложим в плоскость. При этом циклический порядок примыкающих к циклу ребер должен повторять порядок ребер, примыкающих к вершине. Под группой еимметрий каждого из рассматриваемых многогранников будем понимать группу вращений (т.е. еимметрий, сохраняющих ориентацию пространства).
Утверждение 6. Атомы, соответствующие архимедовым телам, (исключая усеченный, кубооктаэдр и, ромбоусе-ченный, икосододекаэдр) R\, R2, R3, R<1, i?5, Rq, R-, Rs, Rg, Rio, R11, а также, бесконечной, серии призм R\{n ^ 1) и антипризм Rn{n ^ 1) (см. рис. 2, 3), являются высотными, и, их группа еимметрий транзитивно действует на кольцах белого цвета,.
Доказательство. Группы еимметрий у построенного /-графа и исходного мшнхиранника совпадают. Так как симметрии полуправильжнх) мшнхиранника транзитивно действуют на eix) вершинах, то группа еимметрий /-графа будет транзитивной на ориентированных циклах /-графа, а значит, группа еимметрий соответствующехх) атома будет транзитивной на кольцах белого цвета. Стоит отметить, что группа еимметрий атомов, отвечающих архимедовым телам (исключая усеченный кубооктаэдр и ромбоусеченный икосододекаэдр), не будет транзитивна на кольцах обоих цветов, поскольку у соответствующехх) плоского вложения /-графа не все храни имеют одинаковое число сторон. Поэтому на гранях группа еимметрий плоского вложения /-графа не может образовывать одну орбиту. Аналогичны рассуждения в случае бесконечной серии призм и антипризм. Исключение составляют атом R\ (соответствующий 4-угольной призме), плоское вложение /-графа которого совпадает с Р2, и атом R2 (соответствующий антипризме с 3-угольным основанием), плоское вложение /-графа которого совпадает с Р3. То есть эти два атома являются высотными, максимально симметричными, группа еимметрий которых транзитивно действует на кольцах обоих цветов.
На рис. 2, 3 представлены /-графы атомов R\, R2, R3, R<i, R5, Re, R", Rs, Rg, Rio, R11, которые отвечают усеченному тетраэдру, кубооктаэдру, усеченному кубу, усеченному октаэдру, ромбокубоок-таэдру, плосконосому кубу, икосододекаэдру, усеченному додекаэдру, усеченному икосаэдру, ромбо-икосододекаэдру и плосконосому додекаэдру соответственно. На рис. 3 представлены /-графы атомов R\(n ^ 1), соответствующих призмам, и -й.2(?г ^ 1), соответствующих антипризмам. Утверждение доказано.
Рис. 3. /-Графы атомов Д7 Дц. Д* и Д,2г
Рассмотрим случай, когда у атома ровно одно белое кольцо, т.е. у схх)твететвующего /-графа имеется ровно один ориентированный цикл.
Определение 12. Атомами РЬп(п ^ 1) назовем атомы, /-графы которых представляют собой один цикл с вершинами щ,...,г>4П-\-2, занумерованными в порядке обхода ориентированного цикла, и хордами (г>4г_3,г>4г), 1 ^ г ^ п, (г>4г-ъ ^+2), 1 ^ г ^ п, и (г;4,г_1,
Определение 13. Внутреннее ребро произвольного /-графа будем называть зацепленным с другим внутренним ребром этого /-графа, если вершины ребер лежат на одном ориентированном цикле и чередуются при обходе этого цикла.
Определение 14. Графом сцеплений будем называть граф, построенный но внутренним ребрам с концами из одного ориентированного цикла произвольного /-графа атома так: заменяем каждое внутреннее ребро вершиной, и каждые две вершины соединяем ребром, если внутренние ребра, соответствующие этим вершинам, были зацеплены.
Утверждение 7. Любой атом,, имеющий одно белое кольцо, является высотным тогда и, только тогда, когда его /-граф не содержит, в себе ¡'-графа атом,а РЬп(п ^ 1).
Доказательство. Докажем необходимость утверждения. Дан /-граф выеотжнх) атома, имеющих) одно белое кольцо. Зафиксируем ориентированное вложение /-графа в плоскость.
Будем говорить, что внутреннее неориентированное ребро является ребром тина А, если в ори-
оптированном вложении /-графа ребро находится внутри ориентированного цикла, и тина В, если вне. Отметим, что в данном ориентированном вложении каждое ребро, зацепленное с ребром тина А, будет ребром типа В. Каждое ребро, зацепленное с ребром типа В, будет ребром типа А. И ребра одного типа не зацеплены между собой. Теперь по совокупности внутренних ребер исходного /-графа высотного атома построим граф сцеплений Т. Тогда вершины получившегося графа Т, соответствующие ребрам типа А, будем называть вершинами класса А, а вершины, соответствующие ребрам тина В, вершинами класса В. Заметим, что по построению каждое ребро графа Т соединяет какую-то вершину из одного класса с какой-то вершиной другого класса. Тогда граф Т двудольный по определению, а значит, не содержит циклов нечетной длины.
Но граф сцеплений, построенный по внутренним ребрам /-графа атома FLn (п ^ 1), не будет двудольным, так как является единственным циклом нечетной длины. Поэтому если атом, имеющий одно белое кольцо, является высотным, то его /-граф не содержит в себе /-графа атома FLn (п ^ 1).
Теперь докажем достаточность утверждения. Рассмотрим /-граф атома, имеющих) одно белое кольцо, не содержащих) /-графа атома FLn (п ^ 1). Проверим, что для этого /-графа есть ориентированное вложение в плоскость.
Построим но внутренним ребрам этого /-графа граф сцеплений. Так как исходный атом, имеющий одно белое кольцо, не содержит /-графа атома FLn (п ^ 1), то получившийся граф сцеплений не содержит циклов нечетной длины. А значит, является двудольным и мы можем разделить все вершины графа сцеплений на два класса С и D так, чтобы каждое ребро графа сцеплений соединяло какую-то вершину из одного класса с какой-то вершиной другого класса. Теперь делаем обратный переход от графа сцеплений к внутренним ребрам исходного /-графа. Тогда любые два внутренних ребра, соответствующие вершинам из одного класса графа сцеплений, не будут зацеплены. И мы можем ориентированно вложить этот /-граф в плоскость так, что ребра класса С попадут внутрь ориентированного цикла, а ребра класса D окажутся вне. Утверждение доказано.
Определение 15. Атомами А\(к ^ 1) называется серия высотных атомов, имеющих одно белое кольцо. Здесь к соответствует числу неориентированных ребер /-графа этого атома. Тогда /-граф атомов этой серии не содержит /-графа атома FLn (п ^ 1). По утверждению 7 /-граф атомов этой серии не содержит /-графа атома FLn (п ^ 1). Этих атомов счетное число, но для каждого фиксированного к их число ограничено, причем, если зафиксировать какое-либо ориентированное вложение /-графа атома мы получим еще одну характеристику этого атома числа п\ и гп\. Здесь п\ означает число ребер типа A, mi число ребер типа В относительно фиксированного вложения /-графа в плоскость. Примеры серии ^ 1) приведены на рис. 4. Так, рассмотрим, например, атом Еп. Тогда
-1п 1 п
Рис. 4. Примеры /-графов атомов с одним ориентированным циклом
Е.
= Л*, число П\ = п, гп\
0.
Теперь рассмотрим случай, когда у атома есть ровно два белых кольца, т.е. у соответствующего /-графа имеются ровно два ориентированных цикла. Определим распределение внутренних неориентированных ребер /-графа по классам: внутреннее ребро будет входить в класс А\, если его вершины чередуются с вершинами внешних ребер но обходу цикла. Внутренние ребра, каждое из которых зацеплено с ребром класса А\, отнесем в класс ВВнутренние ребра, которые не попали ни в один класс и каждое из которых зацеплено с ребром класса В\, отнесем в класс А\.
Продолжаем такое распределение по классам, пока остаются внутренние ребра, которые не попали ни в один класс и каждое из которых зацеплено с ребром класса А\ или В\. Распределение внутренних ребер по классам А\ и В\ закончится, так как ребер конечное число. Остальные внутренние ребра, не попавшие в класс А\ или В\, будут ребрами класса С\. Теперь рассмотрим внешние, соединяющие два цикла ребра. Фиксируем один ориентированный цикл и некоторое внешнее ребро. Далее нумеруем внешние ребра числами от 1 до п в том порядке, в каком концы этих ребер встречаются при обходе по заданному ориентированному циклу начиная с заданного внешних) ребра. Тогда при обходе другого ориентированного цикла концы уже занумерованных внешних ребер будут встречаться в некотором циклическом порядке (¿1,..., ?'„). Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 8 (критерий высотности атома, имеющих) ровно два белых кольца). Атом, имеющий два белых кольца, является высотным тогда и только тогда, когда цикл (г1,...,гп)
совпадает с циклом (п,п — 1,...,1). ребра, класса А\ (соответственно В\) попарно не зацеплены, и, для каждого ориентированного цикла, ¡-графа атом,а верно, что совокупность ребер класса С\ с концами на одном, ориентированном цикле вместе с этлш, циклом не содержит, ¡-графа атом,а
РЬп{п> 1).
Доказательство. Докажем необходимость утверждения. Если цикл ('¿1, '¿2, ■ ■ ■, гп) не совпадает с циклом (п,п — 1,...,1), то мы имеем пересечения внешних неориентированных ребер, и в этом случае атом не будет высотным. Если же /-граф атома допускает ориентированное вложение 5 в плоскость, то в этом вложении исходя из обозначения всех внутренних ребер /-графа ребра класса А\ будут лежать внутри (если в 5 ориентированные циклы не лежат один в другом) и вне (если циклы лежат один в другом) (х)ответетвующего ориентированного цикла, а ребра класса В\ вне (если ребра А\ внутри) и внутри (если ребра А\ вне) соответствующих) ориентировавших) цикла. Очевидно, ребра класса А\{ соответственно -В1) попарно не зацеплены, причем ребра классов А\ и В\ не зацеплены ни с какими ребрами класса С\, иначе это противоречило бы определению ребер класса С\ (если какое-то ребро с\ класса С\ зацеплено с ребром класса А\, то ребро с\ исходя из обозначения внутренних ребер есть ребро класса -В1). Получим противоречие. Аналогично объясняется, почему ребро класса С\ не может быть зацеплено с ребром класса В\. И но утверждению 7 заключаем, что каждый ориентированный цикл /-графа с совокупностью ребер класса С\, имеющих концы на этом ориентированном цикле, не содержит /-графа атома РЬп(п ^ 1).
Докажем достаточность утверждения. Рассмотрим /-граф С атома, имеющих) два белых кольца, с условием, что цикл ('¿1, • • •,?'«) совпадает с циклом (п,п — 1,..., 1), ребра класса А\{ соответственно -В1) попарно не зацеплены и для каждо!х) ориентировавших) цикла /-графа С совокупность ребер класса С\ с концами на одном ориентированном цикле вместе с этим циклом не содержит /-графа атома РЬп(п ^ 1). Проверим, что /-граф С допускает ориентированное вложение в плоскость. Действительно, так как цикл ('¿1,... ,гп) совпадает с циклом (п,п — 1,..., 1), то мы можем зафиксировать вложение двух ориентированных циклов и внешних ребер /-графа С так, чтобы оба цикла не лежали один в другом и были ориентированы одинаково. Фиксируем это вложение. Далее, вложим в плоскость совокупность ребер класса С^так как но утверждению 7 каждый ориентированный цикл /-графа с совокупностью ребер класса С\, имеющих концы на этом ориентированном цикле, допускает вложение в плоскость). Условие, что ребра класса А\ (соответственно -В1) попарно не зацеплены, позволяет нам погрузить ребра А\ (соответственно -В1) внутрь (соответственно вне) ориентировавших) цикла так, чтобы никакие два ребра из класса А\ (В\) не пересекались и никакое ребро класса А\ (В\) не пересекалось с ребром класса С\. Иначе ребро класса А\ (В 1) было бы зацеплено с ребром класса С\, что противоречит обозначениям внутренних ребер /-графа. Сделаем вышеописанное погружение ребер класса А\ (соответственно -В1) с дополнительными условиями: без самопересечений, без пересечений внешних ребер. Получили ориентированное вложение /-графа в плоскость. Утверждение доказано.
Рассмотрим ориентированное вложение С /-графа атома X = (Р2,К), имеющих) два белых кольца, в плоскость. Группа еимметрий 8ут(Х) атома транзитивно действует на ориентированных циклах О, когда расположения внутренних ребер на одном ориентированном цикле однозначно определяют расположения внутренних ребер на другом ориентированном цикле. Относительно того, как группа еимметрий вложения О действует на вершинах внешних ребер на одном ориентированном цикле, определяются расположения внутренних ребер этого цикла. То есть ориентированный цикл должен переходить в себя при поворотах, определяемых 8ут(С). Пример Рис. 5. /-Граф атома Вд 3
показан на рис. 5. Если есть симметрия ориентированно вложенного /-графа высотного атома (имеющих) 2 белых кольца), переводящая выделенную вершину 1 (на рис. 5) в вершину 2, то внутреннее ребро, между концами которого есть только вершина 1, этой же симметрией переведется в ребро, между концами которого есть только вершина 2.
Определение 16. Серия атомов В^ 1 (к,1 ^ 1) это высотные атомы, которые имеют два белых кольца и симметрия которых транзитивно действует на этих кольцах. Здесь число к соответствует количеству внутренних ребер на каждом ориентированном цикле /-графа этого атома, I число внешних ребер, соединяющих два ориентированных цикла.
Каждый атом из этой серии должен удовлетворять критерию высотности из утверждения 8, и
внутренние ребра /-графа этого атома определяются в соответствии с рассуждениями, приведенными выше. Пример показан на рис. 5.
4. Основная теорема. Следующее предложение, которое нам понадобится, доказано И. М. Ни-коновым [7].
Предложение 1. Атомы, получаемые из максимально симметричных высотных атомов путем удвоения ребер, являются высотными, и группа их симметрии транзитивна на вершинах. Если Р — максимально симметричный атом и G — его ¡-граф, то после удвоения неориентированных ребер атома Р мы получим новый атом Р с соответствующим ¡-графом G .
Теорема 2 (В. А. Трифонова). Любой высотный атом с группой симметрий, транзитивной на вершинах атома и транзитивной на кольцах белого цвет,а, изоморфен одном,ц из атомов следующего списка: Dn(n ^ 3), Сп (п ^ 1), Р\, Р2, Р3, Pi, Р5, Dn(n ^ 2),Рг,Р2,Р3, Р4 , Р5 , En(n>l),Fn(n>l),Q1}Q3.
Конкретное описание всех атомов этого списка дано в статье И.М. Никонова [7].
Доказательство. Пусть X = (Р2,К) — высотный атом с группой симметрий, транзитивной на кольцах белого цвета и вершинах атома, и G — его /-граф. Тогда по утверждению 4 все ориентированные циклы G содержат одинаковое количество вершин. Опираясь на результаты статьи [7], выпишем высотные атомы, имеющие /-граф, все ориентированные циклы которого содержат одинаковое количество вершин, а группа симметрий каждого атома из списка транзитивно действует на вершинах атома: Dn(n ^ 3), Сп (п ^ 1), Р\, Р2, Р3, Р4, Р5, Dn(n ^ 2),Р1 , Р2 , Р3 , Р4 , Р5 , Еп{п ^ 1 ),Fn(n ^ l),Qi,Q3- Напомним, что С2 = D2, Е\ = Di, Fi = А2.
По утверждению 5 группа симметрий максимально симметричных высотных атомов транзитивно действует на кольцах обоих цветов, а в статье [7] доказано транзитивное действие группы симметрий на вершинах атома. Напомним список максимально симметричных высотных атомов:
А2, Dn{n > 1), Gn (п > 1), PhP2,P3,P4, Р5-
Согласно предложению 1, поскольку в /-графе максимально симметричного атома симметрии действуют транзитивно на вершинах графа G, то они задают транзитивное действие на ориентированных циклах графа G . Поэтому атомы, получаемые из максимально симметричных высотных атомов удвоением ребер, являются высотными, группа их симметрий транзитивна на вершинах и на кольцах белого цвета. Список этих атомов имеет вид: А2, Dn(n ^ 1), Gn (п ^ 1), Р1 , Р2 , Р3 , Р4 , P'¿. Напомним, что А2 = F2, C'ñ = С2п (п ^ 1), D'[ = Е2.
Отметим, что /-граф атомов серии Еп(п ^ 1 ),Fn(n ^ 1) имеет один ориентированный цикл, значит, каждый из атомов этой серии имеет одно белое кольцо.
При этом атом Qi = R2 и Q3 = Rj. Теорема доказана.
Автор приносит благодарность академику А. Т. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе, а также И. М. Никонову за ценные замечания и указания.
Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ" (грант № НШ-6399.2018.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсипов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
2. Мантуров В. О. Бифуркации, атомы и узлы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 1. 3-8.
3. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
4. Фоменко А. Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
5. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, вып. 9. 3-96.
6. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики / Под ред. А. Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 2009. 58-97.
7. Никонов И.М. Высотные атомы с транзитивной на вершинах группой симметрий // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 6. 1-10.
8. Волчанецкий Н.В., Никонов И.М. Максимально симметричные высотные атомы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 3-6.
9. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
10. Кудрявцева Е.А., Фоменко А. Т. Группы симметрии правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Математика. 2012. 446, № 6. 615-617.
11. Кудрявцева Е.А., Фоменко А. Т. Любая конечная группа является группой симметрии некоторой карты ("атома-бифуркации") // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 21-29.
12. Ведюшкипа (Фокичева) В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. № 4. 20-67.
13. Vedyushkina (Fokicheva) V.V., Fomenko А. Т. Billiard systems as the models for the rigid body dynamics // Studies in Systems, Decision and Control. Advances in Dynamical Systems and Control. Vol. 69 / Ed. by V. A. Sadovnichiy, M. Z. Zgurovsky. Springer Int. Publ., Switzerland, 2016. 13-32.
14. Фокичева В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. Математика. 2015. 465, № 2. 1-4.
15. Fomenko А. Т., Nikolaenko S.S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesies on the ellipsoid // J. Geom. and Phys. 2015. 87. 115-133.
16. Fomenko А. Т., Kantonistova E.O. Topological classification of geodesic flows on revolution 2-surfaces with potential // Continuous and Distributed Systems II. Theory and Applications. Ch. 2 / Ed. by V. A. Sadovnichiy, M. Z. Zgurovsky. Cham; Heidelberg; N.Y.; Dordrecht; London: Springer Int. Publ., Switzerland, 2015. 11-17.
Поступила в редакцию 27.10.2017
