CC BY
14
УДК 519.714
П.А. Карпович1
КРИТЕРИИ /Т-СИНГУЛЯРНОСТИ И РАЗДЕЛЕНИЕ 1-СИНГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ*
Исследуется понятие fc-сингулярности систем точек в пространстве Rm с ^-метрикой. Система q точек является fc-сингулярной тогда и только тогда, когда размерность линейного пространства полиномов степени не больше к от столбцов матрицы попарных расстояний (умножение поэлементное) строго меньше q. В работе получен алгебраический критерий к-сингулярности. Рассмотрена задача о разбиении системы точек на подсистемы, каждая из которых не является 1-сингулярной. Получена оценка на минимальное число таких подсистем.
Ключевые слова: алгоритмы вычисления оценок, комбинаторная оптимизация.
1. Введение. Рассматривается задача распознавания(классификации) в стандартной постановке [1]. Имеется множество допустимых объектов Л /. разбитое на классы: М = К\ U ... U K¡. Каждому допустимому объекту возможно сопоставить набор признаков — признаковое описание. Для некоторого набора эталонных объектов S = {sí,..., st} известны признаковые описания и значения предикатов принадлежности к классам распознавания {s¡ € Kj}1^ .=1. Требуется построить алгоритм распознавания, который по информации о наборе S правильно классифицирует контрольные объекты набора S = {si,... ,sq}.
Алгебраический подход к решению задач классификации был предложен в работе [2]. В рамках подхода алгоритм распознавания представляется в виде суперпозиции оператора вычисления оценок близости В и решающего правила С. Оператор В по признаковым описаниям объектов из контрольной выборки S получает числовую (q х 1)-матрицу Т[В] оценок близости этих объектов к классам распознавания: q — число объектов контрольной выборки, I — число классов.
Одним из центральных понятий алгебраического подхода является свойство корректности семейств распознающих операторов и их алгебраических замыканий [2]. На практике свойство корректности семейства операторов оценок близости представляет собой достаточное условие получения произвольной матрицы классификации для контрольной выборки и отражает уровень мощности модели.
В работе [3] рассматривается задача распознавания образов с двумя непересекающимися классами. Признаковое пространство предполагается евклидовым действительным пространством размерности т, в котором для каждой координаты используется ^-метрика: р(х, у) = \х — у\. Исследуется корректность семейства операторов ABO с пороговыми функциями близости [1]. Оказывается, корректность алгебраического замыкания степени к эквивалентна отсутствию fc-сингулярности у системы точек признаковых описаний для контрольных объектов.
Определение 1 [4]. Система q точек в Ж™ с 1\-расстоянием называется fc-сингулярной, если размерность минимального линейного пространства, содержащего все полиномы степени не больше к от столбцов матрицы попарных -расстояний, строго меньше q (умножение столбцов поэлементное); 1-сингулярные системы — системы с вырожденными матрицами попарных li-расстояний.
Вопрос 1-сингулярности для систем точек изучался в ряде работ [5-7]. Мы приведем геометрический критерий 1-сингулярности систем точек в пространстве Ж2.
Теорема 1 [5]. Система точек в Ж2 является 1-сингулярной тогда и только тогда, когда она содержит подсистему вида {(a¿, (a¿, b¿_|_i)}¿_1; br+1 = b\.
В работе [5] такие подсистемы названы замкнутыми путями (closed paths).
Обобщение этого критерия дает достаточное условие 1-сингулярности в Ж™: если система точек содержит замкнутый путь, то она является 1-сингулярной [6]. Необходимые и достаточные условия 1-сингулярности для Ж™ были сформулированы в работе [7]. Обобщением результатов этой работы для
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: pkarpovichQmail.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 10-07-00609-а.
случая fc-сингулярных систем является геометрический критерий из работы [4]. Критерий использует понятие размеченного параллелепипеда.
Определение 2 [4]. Размеченным параллелепипедом размерности г называется такая функ-
т
ция П : Ж™ —> { — 1,0,1}, что в точке (ci,...,cTO) множества X = х {ар,Ьр} она принимает
p=i
значение (^1)с, где с — количество совпадающих координат у точек (ci,...,cTO) и (ai,...,am), г = \{р € {1, 2,..., т} | ар ф Ьр}\. В остальных точках пространства Ж™ функция равна 0.
Теорема2[4]. Система точек S является к-сингулярной тогда и только тогда, когда найдется такая конечная сумма S размеченных параллелепипедов с размерностью более к, что носитель суммы S содержится в системе S (носителем функции называется множество точек, в которых ее значение отлично от 0).
Можно заметить, что в пространстве Ж™ не существует размеченных параллелепипедов размерности более чем т. Следствием этого факта является то, что в пространстве Ж™ невозможно построить fe-сингулярную систему точек для k ^ т.
2. Алгебраический критерий /,-сингулярности. В данной работе приводится алгебраический критерий для fe-сингулярных систем точек.
Теорема 3. Система точек S = {s¿}¿=i пространства Ж™ является k-сингулярной тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор (с\, . . . , cq), такой, что для всех s € Ж™ спра-
Q
ведливо равенство ciPk(s<,si) = 0, где р — 1\-метрика (k ^ т).
г=1
В работе [4] критерий доказан для случая 1-сингулярных систем, данная теорема является обобщением этого результата.
Доказательство. Напомним некоторые определения и результаты из работы [4], которые нам понадобятся при доказательстве теоремы. Для системы точек S в Ж™ можно построить набор отношений эквивалентности {вДве точки sи st эквивалентны согласно отношению если у них равны i-e координаты. Нас будет интересовать матрица Т = [Ti,... ,Tm], где каждый из блоков Ti составлен из характеристических g-мерных векторов всех классов эквивалентности для отношения Oí . Блок Ti представляет собой бинарную матрицу размера q х r¿, где r¿ — количество различных значений, которые может принимать ¿-я координата.
Лемма 1 [4]. Для системы точек S в Ж™ справедливо равенство пространств:
Uk{P) = Uk(T) = Uk(P),
где Р — матрица попарных 1\-расстояний, Р — матрица расстояний Хэмминга, Т — матрица из характеристических векторов классов эквивалентностей, описанная выше.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Сначала мы докажем необходимость выполнения равенства из условия теоремы. Если система S является fc-сингулярной и существует вектор (с\,..., cq),
ортогональный пространствам Uk(P) и Uk(T), то для ^-расстояния р(х,у) и любой точки s в Ж™
<}
будет выполнено равенство ciPk(s<,si) = 0- Действительно, если вектор (ci,...,cq) ортогонален
г= 1
пространству Uk(T), то вектор (ci,..., cq, 0) будет ортогонален пространству Uk(T), где Т — бинарная матрица для классов эквивалентностей системы S = SU {s}. Блоки матрицы Т получаются из соответствующих блоков матрицы Т приписыванием снизу одной строки, в которой одна единица, или добавлением нулевой строки и столбца (0,..., 0,1)т. Из леммы также следует, что вектор (ci,..., cq, 0) будет ортогонален пространству Uk(P), где Р — матрица попарных ^-расстояний для системы S. Это и является доказательством равенства. Для доказательства достаточности условия теоремы нам понадобится определение.
Определение 3. Для системы точек S = {s}f=1 пространства Ж™ обозначим Hk(S) минимальное линейное пространство, содержащее векторы (pk(s, si),..., pk(s, sq)) для всех точек s € Ж™, где р — ^-метрика.
Вариант теоремы для 1-сингулярных систем, доказанный в работе [4], фактически устанавливает равенство линейных пространств H1(S) и Ul{T). Нашей целью является построение более общего изоморфизма Hk(S) = Uk(T). Выше приведено доказательство факта Hk(S) С Uk(T). Мы покажем, что базис пространства Uk(T) содержится в Hk(S), что будет доказывать обратное вложение.
Доказательство будет конструктивным. Мы покажем, что все векторы вида ■... • % содержатся в пространстве Нк(Б), где векторы множества {г>г}|=1 являются столбцами матрицы Т. Напомним, что матрица Т состоит из блоков Т = [Т1,... ,ТТО]. В дальнейшем мы будем использовать обозначение V € Тг, подразумевая факт того, что вектор V является столбцом блока Т*.
Выпишем выражение для к-й степени вектора ^-расстояний от точки в = (81,... ,5т) в пространстве Ж™ до точек системы 5:
У(8,Т) = (рк(з,81),...,рк(8,8д))=
1 Л с Т. '
к
1=1
где для вектора V из блока Т^ является значением г-ш координаты точек в классе эквивалентности, соответствующем вектору V.
Предположим теперь, что ¿-я координата точки « = (<5ь ..., <5т) не равна ни одному из чисел множества для всех г. Рассмотрим точку г с координатами + 8,..., 8т) и выражение
При стремлении 8 к 0 данное выражение стремится к точке пространства Нк(Б), так как Нк(Б) — замкнутое линейное подпространство конечномерного пространства Ж9, и выражения вида принадлежат Нк(Б). Функция является кусочно-полиномиальной, поэтому значение выраже-
ния (1) при 8 —> 0 может быть вычислено как частная производная У(в,Т) по первой координате:
Иш У^т3)-У(8,т3) = ^ ^ _ ^! _ V_ / ^ ^ _ ^ л (2)
4=1 ' \veTt '
1, х > О, sgn(ж) = —1, х < О, О,ж = 0.
Учитывая факт, что мы выбрали точку я так, чтобы она всеми координатами отличалась от координат векторов множества 5, мы можем продолжить проводить операцию дифференцирования и рассмотреть частные производные выражения (2). Операцию покоординатного дифференцирования будем проводить по различным координатам и, учитывая неравенство к ^ т, получим, что все векторы вида
га / % кг
к1' П( ^^ ~■ ' (3)
г=1 \vETi '
где к\ + ... + кт = к, к^ € {0,1), содержатся в Нк(Б).
Для каждого блока % обозначим через I., минимальное линейное пространство, содержащее все векторы вида ^ sgn(5 — щ) ■ V, для 8, отличных от значений {щ}?,^-
Рассматривая всевозможные линейные комбинации векторов вида (3) для различных точек я и различных разбиений числа к на слагаемые ц мы можем утверждать, что все векторы вида
то
Л где € Ьг и к\ + ... + кт = к, к^ € {0,1), содержатся в Нк(Б). Мы покажем, что для всех 1
%=\
то
векторы V € Тг содержатся в пространстве /.,. Это будет доказывать, что векторы вида П (г^)*4, где
1=1
Уг € Тг и к\ + ... + кт = к, кг € {0,1), содержатся в Нк(Б).
Лемма 2. Векторы V € Т^ могут быть представлены в виде линейных комбинаций векторов вида
(<5-«{¡)-г>, (4)
где 8 не равно никакому из значений
Доказательство. Упорядочим множество векторов из Т^ по значению соответствующих им чисел мы получим набор векторов V = {vj € Т^}, таких, что если для индексов выполнено а < Ь, то
ща < аъь. Векторы вида (4) могут принимать ровно |V"| + 1 значений для всевозможных допустимых значений 6:
г а ^
Е«*-Е5< • (5)
1=а+1 } а=0
Значения 8 выбираются так, что они не совпадают с числами щ, V € Т^. Легко видеть, векторы-столбцы Тг линейно выражаются через векторы вида (5). Лемма 2 и теорема 3 доказаны.
Замечание. Теорема верна и без условия к ^ т, однако доказательство становится более громоздким.
3. Разделение !-сингулярных систем. В данном разделе будет рассмотрена задача о разбиении системы точек на минимальное число подсистем, каждая из которых не является 1-сингулярной. Мы приведем оценку на количество таких подсистем и покажем существование полиномиального алгоритма, который находит разбиение на минимальное количество подсистем. Для задачи распознавания с двумя непересекающимися классами в постановке из работы [3] такой алгоритм позволяет разбивать множество контрольных объектов на "области компетентности", для каждой из которых линейное замыкание семейства операторов ABO является корректным.
В предыдущем разделе мы описали, как сопоставить системе Б из q точек бинарную матрицу Т с q строками (каждой точке соответствует строка), такую, что система Б является 1-сингулярной тогда и только тогда, когда ранг матрицы Т меньше q. Подсистема Б системы Б не является 1-сингулярной тогда и только тогда, когда подматрица Т матрицы Т, составленная из строк, соответствующих точкам из Б, имеет ранг, равный Б . Таким образом, задача разбиения на минимальное число подсистем, каждая из которых не является 1-сингулярной, сводится к задаче разбиения множества строк матрицы Т на подмножества, каждое из которых является набором линейно-независимых бинарных векторов.
Задача о разбиении произвольного множества векторов V на минимальное число линейно-независимых подсистем была успешно решена [8] с применением теории матроидов [9]. Нам необходимо найти минимальное число баз матричного матроида, соответствующего множеству векторов V, таких, что их объединение полностью покрывает носитель матроида. Описание полиномиальных алгоритмов, решающих данную задачу, можно найти в работах [8, 9]. Мы воспользуемся теоремой из книги [9] для получения оценки на минимальное количество подсистем в разбиении на системы без свойства 1-сингулярности.
Теорема 4 [9]. Множество векторов V в Ж™ разбивается на к линейно-независимых подсистем тогда и только тогда, когда для любого подмножества U векторов из V выполнено: \U\ ^ к ■ rg(U), где rg(U) — ранг подсистемы U.
Мы докажем следующее неравенство для системы точек Б в пространстве Ж™.
Теорема 5. Для системы точек Б пространства Ж™ и соответствующей ей матрицы Т(Б) верно неравенство
т
< М"'
т
1=1
где Сг — число значений, которые принимает %-я координата точек системы Б.
Доказательство. Введем некоторые обозначения, которые нам понадобятся для доказательства. Для системы точек Б будем обозначать через Т(Б) бинарную матрицу классов эквивалентностей, построенную по системе Б. Назовем решеткой множество X € Ж™, являющееся декартовым произведением множеств /),. X = [х\,... ,хт), Жг € I),■ где множества Г)^ являются некоторыми конечными наборами действительных чисел. Для системы Б мы будем обозначать через Х$ минимальную решетку, содержащую все точки из Б.
Мы будем последовательно добавлять к системе Б точки из Х$, не уменьшая величины /тg(T(S)), пока не получим саму решетку Х$ и покажем, что отношение / щ(Т(Х$)) в точности равно числу в правой части неравенства из условия теоремы.
Сначала мы добавим к системе Б все точки, которые не увеличивают ранг матрицы Т(Б). Предположим, что мы получили систему Б. В случае, когда Б совпадет с Х$, ранги матриц Т(Б) и Т(Х$)
будут совпадать и первая часть плана будет выполнена. Рассмотрим случай, когда Б не совпадает
л ,
с Хз- Мы покажем, что система Б является объединением непересекающихся решеток Б = У Х^,
г=1
которое обладает двумя свойствами. Во-первых, любые две точки «1 и принадлежащие разным решеткам, различаются значениями по крайней мере двух координат. Во-вторых, для любой координаты р множество М ее значений для точек системы Б разбивается на непересекающиеся подмножества
л
М = У М^, такие, что для любой решетки Ха множество значений р-й координаты точек решетки з=1
совпадает с одним из подмножеств Му
Предположим, что по этому принципу для некоторой координаты к множество N ее значений для
V
точек системы Б разбивается на V подмножеств N = У Л^- и V > 1. Такая координата обязательно
3 = 1
найдется, так как в противном случае Б совпадало бы с Хз- Мы построим систему Б, которая будет
<1 ~
являться объединением непересекающихся решеток Б = У Х^, где каждая из решеток Ха получена из
г=1
соответствующей решетки Ха расширением множества значений к-й координаты до множества Ы, т. е. Ха — это множество точек, содержащее все точки, для которых значение к-й координаты принадлежит множеству N и найдется точка из решетки Ха, отличающаяся значением не более одной координаты. Решетки Ха не будут пересекаться, это гарантируется первым свойством из описания множества Б. Мы покажем, что верны два неравенства:
«С
\м\
1 < щ(Т(Х^)
Щ(Т(Х§)У
(6)
Это будет доказывать, что при переходе от Б к Б отношение мощности множества точек к рангу бинарной матрицы классов эквивалентностей не падает. Таким способом мы постепенно перейдем к Хз. Первая часть неравенства (6) следует из цепочки неравенств
(1
£ Хг
i=l
(1
£ Хг
i=l
^ тах
i=l
Хг
тах I N.1 з=1 Л
\М\
€
Системы Б ъ Б представляют собой объединения наборов непересекающихся решеток .V, и А',, поэтому верно первое равенство в цепочке. Следующее неравенство является простым алгебраическим фактом. Второе равенство вытекает из того, что отношение числа точек в решетках X^ и X^ равно |Жж| / где |Жж| — одно из подмножеств Последнее неравенство является следствием того факта, что
множество N разбивается на V непересекающихся непустых подмножеств Л^-.
Второе неравенство в цепочке (6) следует из двух неравенств для рангов матриц:
Эти два факта доказывают необходимое нам неравенство:
1.
(7)
\М\
£
\м\
1 ^ щ(Т(Х§)У
€
Из множества точек Б можно выбрать подсистему Я из точек, которые будут различаться значением к-й координаты. Просто выбрать для каждого значения к-й координаты по одной точке с этим значением. Подсистема Z не является 1-сингулярной — к-й блок матрицы Т(Я) будет диагональным и тg(T(Z)) = из этого следует первое неравенство (7).
Несложно также заметить, что к матрице Т(Х^) можно дописать V — 1 строку так, что линейная оболочка строк новой матрицы будет совпадать с линейной оболочкой строк матрицы Т(Х§). Действительно, необходимо взять некоторую точку ё из Б со значением к-й координаты из подмножества N1 и добавить V — 1 строк вида т(я) — т^^ ), ] > 1, где т(я) — бинарная строка, соответствующая
точке — точки, отличающиеся от ё значением к-й координаты, для точки берется значение
из подмножества Nj (все такие строки принадлежат линейной оболочке строк матрицы Т(Б), так как все точки вида содержатся в системе 5). Заметим, что строки вида т(«а) — т(5&), где точки и отличаются значением только к-й координаты, и значения к-й координаты взяты из одного подмножества Л^-, уже содержатся в линейной оболочке строк матрицы Т(Б). Таким образом, линейной комбинацией строк расширенной матрицы мы сможем получить любую строку вида т(ё), где ё — точка из множества Б, что доказывает второе неравенство (7).
Для завершения доказательства теоремы нам необходимо обосновать два факта: показать, что система Б является объединением непересекающихся решеток с требуемыми свойствами; доказать, что величина / т%(Т(Хз)) равна в точности числу в правой части неравенства. Мы сформулируем данные утверждения в виде двух лемм.
Лемма 3. Для системы точек Б в пространстве Ж™ верно равенство:
т
\хв\ Де'
Щ(Т(Х3)) £С1 + 1_т'
1=1
где Сг — число значений, которые может принимать %-я координата точек системы Б.
т т
Доказательство. Равенство = П сг очевидно. Мы покажем, что тg(T(Xs)) = X) сг +
г=1 г=1
+ 1 — т. Для этого рассмотрим какую-то точку в € Х$ и набор О всех точек из Х$, которые отличаются от 5 значением ровно одной координаты. Таких точек ровно с\ + ... + ст — т. Несложно заметить, что данный набор О вместе с точкой в образует систему без 1-сингулярности. Действительно, в бинарной матрице Т(0 и {«}) будет с\ + ... + сто — т столбцов, в каждом из которых будет стоять ровно по одной единице. Каждый такой столбец соответствует одной точке из О, и поэтому
то
тg(T(0 и в)) = с\ + ... + сто — т + 1. Из этого следует неравенство тg(T(Xs)) ^ X) сг + 1 — т-
г=1
Можно также заметить, что линейными комбинациями строк вида т(,э) — т(о), о € О, и строки г(«) можно получить любую строку вида т(х), х € Х$, т(а) — бинарная строка из матрицы Т(Х$), соответствующая точке а. Что доказывает неравенство в обратную сторону и утверждение леммы.
Лемма 4. Система точек Б в пространстве Ж™, такая, что добавление к ней любой точки 5 ^ Б увеличивает ранг бинарной матрицы классов эквивалентностей, соответствующей системе,
й ,
может быть представлена в виде объединения набора непересекающихся решеток Б = У Х^, ко-
г=1
торое обладает двумя свойствами:
- любые две точки «1 и я2, принадлежащие разным решеткам, различаются значениями по крайней мере двух координат;
- для любой координаты р и любых двух решеток Ха и Хь множества значений р-й координаты у точек решеток Ха и Хь либо не пересекаются, либо полностью совпадают.
Доказательство. Сначала опишем представление в виде объединения непересекающихся решеток и докажем первое свойство из теоремы. Построим по системе Б граф О. В качестве вершин у нас будут точки из Б, две точки-вершины будут соединены ребром тогда и только тогда, когда они отличаются значением ровно одной координаты. Граф О распадается на компоненты связности. Для компонент связности, очевидно, выполняется первое свойство теоремы. Мы покажем, что каждая из компонент связности представляет собой решетку. Для этого нам понадобится утверждение.
Утверждение. Если для системы точек Б в Ж™ граф О с вершинами-точками и ребрами, соединяющими пары вершин-точек, отличающихся значением ровно одной координаты, связен, то
_ то
ранг матрицы Т(Б) равен в точности ^ с^ + 1 — т, где с\ — количество значений, которые может
г=1
принимать %-я координата точек системы Б.
Согласно утверждению и первой лемме, для каждой компоненты связности К графа О верно равенство щ(Т(К)) = щ{Т{Хк))- При условии, что в систему Б нельзя добавить ни одной точки,
не увеличивая ранга бинарной матрицы классов эквивалентностей, это и означает, что каждая из компонент связности является решеткой. Теперь докажем само утверждение.
Доказательство. Доказательство несложно провести по индукции по количеству точек в S.
База. Для одной точки все верно.
Шаг индукции. Предположим, что у нас все доказано для к точек, докажем для к + 1. Выберем точку а и подсистему из к точек Sa, S = Sa U {а}, такую, что для подсистемы Sa соответствующий граф связен и условие утверждения выполнено. Относительно точки а возможны два случая.
Во-первых, точка а может содержаться в решетке Х§ . В этом случае, согласно лемме 3 и предположению индукции,
то
Tg(T(X§J) = + 1 = TS(T(Sa)) = rg(T(Sa U a)).
г= 1
Во-вторых, точка а может не лежать в решетке Х§ , но тогда среди точек системы Sa должна найтись точка Ь, которая отличается от а значением ровно одной координаты. В этом случае добавление точки a увеличивает ранг бинарной матрицы эквивалентности на 1, но ровно на 1 увеличивается
то
при этом и величина ^ c¿ + 1 — m, что доказывает утверждение.
г= 1
Для завершения доказательства леммы нам необходимо показать, что выполнено второе свойство из условия. Это можно сделать от противного. Допустим, что нашлись две разные решетки Ха и Xf, из разложения S на непересекающиеся решетки. Пусть Ма — множество значений, которые может принимать р-я координата точек из решетки Ха, а Mf, — аналогичное множество для решетки Xf,, и найдутся два таких числа у и z, что у G Ма П М&, z G Ma, z ^ M¡,. Тогда существует точка Sby G Xf, со значением р-й координаты, равным у, и две точки say, saz G Ха, такие, что они отличаются значением только р-й координаты, и для первой оно равно у, а для второй — z. В этом случае точка Sbz, которая отличается от .$ьу значениемр-ш координаты (она равна z), должна принадлежать системе S так, что если бы ее не было, то добавление ее к системе не увеличивало бы ранга матрицы классов эквивалентностей — бинарная строка для нее может быть выражена через строки для точек say, saz и Sby Но она не может содержаться в решетке Ха, так как z ^ Ма, и она не может содержаться ни в какой другой решетке их объединения, так как, согласно первому свойству из леммы, доказанному выше, точки из других решеток отличаются от точек решетки Ха значениями по крайней мере двух координат. Данное противоречие доказывает лемму.
Следствие. Произвольная система S точек в Ж™ может быть разбита на
то
П Ci
i= 1
то
Ci + 1 - т
г= 1
(8)
подмножеств с невырожденными матрицами попарных ^-расстояний, где с\ — число значений, которые принимает ¿-я координата точек системы 5.
Следствие. Для множества, являющегося решеткой, число (8) будет точным значением минимального числа подсистем с невырожденными матрицами попарных ^-расстояний, на которые может быть разбита решетка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания образов или классификации // Пробл. кибернетики. № 33. М.: Наука, 1978. С. 5-68.
2. Журавлев Ю.И. Корректные алгоритмы над множествами некорректных (эвристических) алгоритмов. II // Кибернетика. 1977. № 6. С. 21-27.
3. Карпович П. А., Дьяконов А.Г. Критерии к-сингулярности систем точек в алгебраическом подходе к распознаванию // Материалы XIV Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов". М.: МАКС Пресс, 2009. С. 41-44.
4. Дьяконов А. Г. Критерии вырожденности матрицы попарных ¿1-расстояний и их обобщения // Докл. РАН. 2009. 425. № 1. С. 11-14.
24
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2010. № 4
5. Dyn N., Light W. A., Cheney E. W. Interpolation by pieeewise-linear radial basis functions // J. Approx. Theory. 1989. N 59. P. 202-223.
6. Light W. A. The singularity of distance matrices // Multivariate Approximation Theory. Berlin: Birkhauser-Verlag, 1989. P. 233-240.
7. Re id L., Sun X. Distance matrices and ridge function interpolation // Canadian J. of Mathematics. 1993. N 45. P. 1313-1323.
8. Edmonds J. Matroid partition // Math. Decision Sciences. Proc. 5th Summer Seminary Stanford. Part 1 (Lectures of Applied Mathematics 11). Stanford. 1968. P. 335-345.
9. Schrij ver A. Combinatorial optimization: polyhedra and efficiency. Berlin: Springer, 2003. 1. P. 651-761.
Поступила в редакцию 24.02.10
fc-SINGULARITY CRITERION AND PARTITIONING OF 1-SINGULAR SYSTEMS Karpovich P. A.
The system of q points is called fc-singular if and only if the dimension of the linear-space of polynomials of degree at most k columns of the matrix pairwise distances (elementwise multiplication) is strictly less than q. We obtain an algebraic criterion for fc-singularity. For problem of partitioning a system of points on non 1-singular subsystems, we get an estimate for the minimum number of such subsystems. Keywords: estimation algorithms, combinatorial optimization.
