Об одном классе сингулярных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

© С.В. Исраилов, А.А. Сагитов

Ключевые слова: сингулярные дифференциальные уравнения; многоточечная краевая задача; разрешимость.

В статье рассматривается многоточечная краевая задача для одного класса сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых следует искать в классе функций, возможно терпящих разрывы первого рода (в точках сингулярностей правых частей).

1. В работах [1-4] изучались сингулярные краевые задачи, имеющие непрерывные решения. Простейшие примеры [5] и результаты, полученные при внимательном исследовании поведения решений в окрестности точек сингулярностей [6-8], доказывают существование класса обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих решения с разрывами первого рода, задаваемых краевыми условиями в точках сингулярностей. Эта ситуация возникает в уравнениях или системах первого порядка с кусочно-разрывными производными, а также и в случае уравнений высших порядков.

Естественно, в таком классе дифференциальных уравнений традиционные постановки задач Коши, Ни-колетти, Валле-Пуссена и другие не имеют места. В краевых условиях должны будут присутствовать односторонние пределы, и решения будут кусочнонепрерывными функциями [6]. Здесь обсуждается такая постановка многоточечной краевой задачи для квазилинейной системы

У

і = 1, п,

X, уи У2^^ У

і)уі + /і (■

X Уи У2,..., Уп

(1)

рассматриваемой в области Б : I х Я", I = [а,Ь],Я" =

= {|уг | < ,1 = 1, п}, где ё I, I = 1, п , заданные числа.

Предполагается, что в точках х^у е (а,Ь), V { = 1, тг-

(тг- - натуральное число), I = 1, п , функции Фг-, имеют сингулярности, т. е. эти функции в области

Д = Іі X Яп, Іі = Ц]іі кі, Іп[ = (хіу,,XV+Д

кі =0

(2)

vi= l,2,..., т-1, Ію = [а X ), цт =(хіт , Ь]

где і = 1,п, а < х1 < х2 <... < хіт < Ь могут быть неограниченными суммируемыми функциями.

Положим Хіті }. ЧеРе3 Сі (a, Ь, 0і)

обозначим множество непрерывных на І \ 9і функций

Уі (•) , для которых ХЛ., к і = 1, ті , являются точками разрыва первого рода. Обозначаем

У() = (У,- 0у=1 є Сп(a,Ь, 9і) = ХПСі(Ь, 9іУ.

і=1

Вектор-функция у(-)є Сп (а,Ь, 9і) называется решением системні (1), если почти всюду на І она обращает уравнение системы (1) в тождество.

Теперь остановимся подробнее на требованиях, которые мы предъявляем к функциям Фі, / , і = 1, п . Они считаются непрерывными по фазовым координатам и по X в области = Д^. х Яп, где

Дік1 = (ак , Рік ) С Іг , для любых , Рік ,

кі = 0,1,...,ті, или удовлетворяют условиям Каратео-дори. Будем рассматривать решения системы (1), удовлетворяющие краевым условиям

У і (хікі - 0) = dlki, У і (хікі + 0) = йі+ 2У і (хікі у = У і (хікі - 0)+ У і (хікі + 0) і = 1, п , к і = 1, ті ,

(3)

где - заданные числа, причем йі/с. ^ .

Теорема 1. Пусть в области Д функции Фі, / непрерывны или удовлетворяют условиям Каратеодо-ри, и пусть существует почти всюду на І дифференцируемая и удовлетворяющая условиям (3) вектор-функция ф = (Ф)п=1 є Сп(a, Ь, 9іу такая, что

I/ (■

X У1, У2,..., Уі-l, Фі (х) У і+1,..., Уп у + + Фі (x, Уl, У2,..., Уп уРі(х) - Фі(х) < Уі(х у |фі(х)<г1 й і, і =1 п,

(4)

где функции Уі(х) > 0 , і = 1, п , суммируемы на І

Пусть в области Б*к. = I ;к . х Я" , к, = 1, т;-1 , г = 1,п .

выполнено одно из условий:

, | Укг (x), х е (Хкг , Хгк.

Ф,(x,Уl,У2,•••,Уп) <1 - _ г * Ч (5)

[-Укг (x), Х е[Ха[ , Хгк. +0:

Ук (Х), Х е (Хгк, , Хл. Ь Фг Уl, У2,•••, Уп )>1 . . Г „ ' (6)

[-Ц гк (x), Х е[ Х , Хгк +l),

Ф г У Уl, У2,•••, Уп —П( х*к; - Х) > У,к; ( х)

Хк. е (Х , Хгк, +1); к к

(7)

а в областях Д^1)= 1.0 х Яп, Б -Ъ) = I, т х Яп - одно

IV IV г тг ии.

из следующих условий:

Ф г (Х, Уl, У2 — Уп ) Х* - Х) < У,, (х)

{0, т.} х* = а, х* = Ь, г = 1, п,

^ ^ ^ гл г т;

(8)

, ^ |-^ (Х), Х е 1г0 ,

^.......* )г|^т:<Х).Хе I.: (9)

|-у. (Х), Х е 1.0 ,

Ф <Х,^ У2 Уп > <]„т'<Х),Хе I,,.: (10)

Фг (x, Уl, У2,•••, Уп - Х) > У,, (х)

(11)

] е {0, т.}, г = 1, п.

Здесь функции у, (х) > 0 - интегрируемы на соответствующих интервалах, функции у, (х) > 0 таковы, что для л^ьк 8г > а хгк. +1 - 5г > х1к > хгк. +1 + 8г, где к = 0,1,...,т.-1, г = 1,п , , = 0,1,...,т., г = 1,п ,

хгк; +1-

х1к; +1

< +ТО,

Ит

8; ^0

|ук(г) а |уЛ; (г) л

4; х;к; +1 + 8г

хгк; +1 -8г хгк; +1

{у*,(г) сг =8Ит |Ук(г) л

(12)

= +да.

х;к; +1

+8,

Наконец, пусть при всех , = 1, п

тах

к;, Л

< з-1 (Д. +1)-1 с,, (13)

Д = тах

к г, Л

ехр

х* А (х

Лгк; Лу; +1

{ У г (*-Сг ,ехР { У -(

х;к,

V Л

(14)

кг = l, тг , Л = 1, тг - 1, ;= 1, п .

Тогда система (1) имеет, по крайней мере, одно решение у(-) = (у, (•)-= е Сп(а,Ь; 9, ), удовлетворяющее

условиям (3).

Комбинируя между собой соответствующим образом условия (5)-(7) и (8)-(10), можно получить ряд утверждений о существовании решения краевой задачи (1), (3). При доказательстве для конкретной группы условий строится присущая ей система интегральных операторов. Например, если выполнены условия (6)-(10), помимо общих для всех случаев условий (4), задача (1), (3) сводится к системе интегральных уравнений

У, (х) = ф, (Х) + Ду, ; = 1, п,

(15)

где

Ду =

Здесь

Af)y, а < х < х ь

4^ Хгк < Х < 4,

Af3У, 4 < Х < Хгк+1,

Д4-У, Х,т < Х < Ь.

(16)

(х А х (х А

+ | ехр I Ф4$ *сИ,

V а / а VI /

(17)

а < х < хг1, С, = сош!, г = 1, п ,

42)У = Вгк+1У ехР

V х‘к

/•л,

(18)

(х Л

х / х

43)У = | ехр |Фг^

Kdt, х*к < х < х,к+1, (19)

44)У = | ехр |Ф,Ж

/,, х,т < х < Ь ,

(20)

V * )

(

х,к х,к

Вгк+1У = | ехр |Ф

хгк+1

ФЛ$

г = 1, п, к = 1, т -1.

Далее, составляются новые функции

Х

Х

Хк < х < Хк

8

X

х

х

гкг

Ф;

:(х) =

Ф(1)(Ху а < X < Хц,

Ф(2)(х). Хік < Х < X*

Ф(3)(4 4 < Х < Хік+

.Ф(4)(х), Хіт < Х < Ь-

(22)

где

а < х < хі1 ^ Ф(1)х) = —х

х ехр

|ую +| ехр -|уі0

Хі1 < х < 4 ^ Ф(2)(х)= 3(К+ 1у

х ехр

-1ік лік л

|уік (і)* + | ехр -|^ік (.5— У і (і—

V і

(23)

4-1 < х < хік ^ Ф(к+1)(х)=І^і(і—

х

хіт < х < Ь ^ Ф(т+2)(х)= -К І^і(—.

В силу условий теоремы при всех г = 1, п нетрудно проверяются оценки

Iх, (х- = |ф, (х- + ф* (х- < |ф, (х- + ф* (х- < сг, (24)

|А,*у| = |ф, (х) + А,У| < |ф, (х- + ф* (х) < сг, (25)

т. е. операторы А*у из правой части (15) определены в пространстве Сп (а, Ь; 9,) и значения любой вектор-функции у()е Сп (а, Ь; 9,) отображаются в область Б . Теперь определим подмножество Сп (а, Ь; 9,) пространства Сп (а, Ь; 9,), элементы у которого удовлетворяют следующим условиям:

ІУі(х)-Фі(ху<Ф*(х)і =1, п

|Уі (х1 ) - Фг (х1 ) - Уі (х2 ) -Ф (х2 У < . < \Х1 - Х2 , X1, Х2 Є [a, Хі0 - 8і.

(26)

(27)

ХЬ Х2 є [0 + 8і, Хі1 -8і ] , ] Х2 є [1 + 8і, хі2 - 8і ]

-, X1, Х2 Ф™ + 8и Ь], і = 1, n, 3> 0, ^ > °.

Из (23) с учетом свойств функций Ук (х), у і (х) получим

ііш Ф*(х) = 0, і = 1, п, к = 1, т .

х^ хік ± 0

(28)

Нетрудно доказать, что из соотношений (26) - (28) следует [9] ограниченность, замкнутость, выпуклость и

компактность множества С*(а,Ь;9,). Операторы А* , определенные равенством (16), отображают эти множества в себя. Свойства функций Ф,, fi дают возможность доказать и непрерывность на Сп (а, Ь; 9,) операторов А,* . Тогда, по принципу Шаудера [4], уравнение (15) и, соответственно, задача (1), (3) имеет по крайней мере одно решение. Выполнение граничных условий следует из (26), если потребовать, чтобы х ^ х.к ^ 0 . Остается добавить, что здесь пользуемся нормой пространства существенно ограниченных функций

1+Х ^ ь) : ||у|^+„ (а,Ь) = Уг (х) и стандартно

определяем норму в пространстве Сп (а, Ь; 9,)

, = шах

11ь+” (а

2. Для системні (1), имеющей решение в пространстве Сп к Ь) , исследуем краевую задачу с наиболее общими функциональными условиями [3, 4]. В множестве Сп(а,Ь; 9і) интеграл Стилтьеса в его классическом смысле, вообще говоря, не существует [9], т. к. в этом множестве содержатся кусочно-непрерывные и ступенчатые функции, определяющие линейные функционалы в следующей форме:

п тк

АУ = ХХ {Ук(хк -0)[(к)-Уік(к -0)]н

к=1 }=1

+ Ук (х]к + °)[к (( + 0) - V ік (х]к I + п Ь

+ ХІ У к (х)—Иік (і),

(29)

где к = 1, п, , = 1, п , т > п , Н (х)= ( (х—^ -

матрица, компонента: которой - непрерывные на [а, Ь] функции ограниченной вариации; х1;,х2;,...,х;т -

точки разрывов функций у, (х) и одновременно функций скачков У.к , лежащие внутри [а, Ь]. Поэтому наиболее общая краевая задача для системы (1) с решениями из Сп(а,Ь; 9,) будет содержать функциональные условия вида

Ь

А*У = {Ег (У1(4 У2 С5).- Уп (Ф' , *' = 1 т . (30)

*

Здесь функционал Аі определяется равенством (29), функции ¥і (і,У1 (і), у2 (і),...,Уп (і)), і = 1,т , непре-

а

X

X

рывпы или суммируемы в области D*: [a,b]x Rn Rn : yл К dj, J = 1,n , и справедливы неравенства

\Fi(x, У2,..., Уп -ку? (x ),

(31)

где у* (х) > 0, і = 1, т , суммируемы на [а, Ь].

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4), одно из условий (5) - (7) и условия (9), (12) - (14), (31). Пусть

функции Ир (х), р, і = 1, п , монотонно возрастают в строгом смысле на интервалах [а, х1і), матрица А0 =( (хл )-(а%=1 невырожденная и справедливы неравенства

n

3'

p=l

[et A0] Api

HpP, К З-1 d,, i = 1, n ,

где Api, i, p = 1, n - алгебраические дополнения элементов матрицы A0 ;

Ь n Г ь ь

Hp = {уp(t) dt + ^ IMjVa hpj(x) + jФ,(t)dhn (t) +

-Ї k (>

V pj (xu , )-V pj (xu , - 0)j +

))

u=l

+dU (v x (x +0) -V v,(xv()

pjy V,

))

IM}'

10, x є It,, x.

x*

^a, ti*]

Mi-a-= max, |Фі^Уl,У2,...,Уп- .

xe[a,t} ] |(i \^і

Тогда задача (1), (3), (30) имеет, по крайней мере, одно решение у(х)є Сп(а,Ь,9і).

Доказательство теоремы 2 проводится методом построения специальных «ступенчатых» операторов, которые широко применялись в работе [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Чечик В.А. Исследование систем обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярностью // Тр. Московского математического общества. 1959. Т. 1. № 8. С. 155-198.

2. Исраилов С.В. О сингулярной многоточечной краевой задаче // Уч. записки Азерб. гос. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. 1963. № 3. С. 63-71.

3. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. С. 352.

4. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик: Издат. центр «Эльфа», 2004. С. 445.

5. Исраилов С.В., Сагитов А.А. Об одном классе сингулярных дифференциальных уравнений // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы III Ме-ждунар. науч. конф. Воронеж, 2-7 февр. 2009 г. Воронеж, 2009. Ч. 1. С. 92-93.

6. Исраилов С.В. О краевых задачах для одного класса дифференциальных уравнений // Толстовские чтения: тез. докл. регион. науч. конф., март 1991 г. Грозный, 1991. С. 3-6.

7. Исраилов С.В. Система дифференциальных уравнений с многоточечной сингулярностью и разрывными решениями // Дифференциальные уравнения и их применения: межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1993. С. 42-51.

8. Исраилов С.В. Краевые задачи для сильно сингулярных ОДУ высших порядков. Современные проблемы математики и смежные вопросы // Мухтаровские чтения: материалы междунар. конф. Махачкала, 2008. С. 102-104.

9. Очан Ю.С. Исследование одного функционального пространства // Функциональный анализ и его применения. Баку: Изд-во АН Азерб. СССР, 1961. С. 215-219.

1 j J

/уj(t)dt, Kjk Iу,(tК k

= 1, mj -1, J = 1, n ,

u

Vh ,(x) - полные вариации функций h, па [a,b]

Pi = exp

причем

определяется

функциями Фг, f. Например, можем принять

Поступила в редакцию 20 июля 2010 г.

Israilov S.V., Sagitov A.A. About one class of singular differential equations

This paper scrutinizes the multipoint boundary problem for new class of simple differential equations, the solutions of which should be found in function class, possibly suffering the cracks of the first kind (in points of singularities of right parts).

Key words: singularity differential equations; multipoint boundary problem.

x

x

kJ