Новый метод синтеза множеств точек многомерного пространства с малым отклонением Текст научной статьи по специальности «Математика»

НОВЫЙ метод синтеза МНОЖЕСТВ ТОЧЕК МНОГОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА С МАЛЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ

А.Н. Калугин1, Н.А. Калугин2 1 Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН,

2Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Аннотация

Современные подходы к решению задач фотореалистического синтеза изображений основаны на использовании методов квази-Монте Карло. Эффективность этих методов зависит от свойств множества точек многомерного пространства. Существующие методы синтеза множеств точек многомерного пространства с малым отклонением позволяют генерировать множества, величина звездного отклонения которых увеличивается с ростом размерности генерируемого множества. В работе предлагается новый метод синтеза множеств точек многомерного пространства, основанный на использовании канонических систем счисления. Показывается, что предложенный метод позволяет в определенном смысле преодолеть так называемое «проклятие размерности».

Ключевые слова: множества с малым отклонением, канонические системы счисления, звёздные отклонения.

Введение

В задачах фотореалистического синтеза изображений методы квази-Монте Карло [1], [2], [3], [4], [5], [6], получившие значительное развитие в последнее время, представляют собой вычислительно эффективную альтернативу классическим методам Монте Карло.

В отличие от последних, использующих множества псевдослучайных или случайных точек, методы квази-Монте Карло основаны на использовании детерминированных конечных множеств узлов с малым отклонением.

В одномерном случае одним из ярких примеров последовательности чисел с малым отклонением является последовательность Ван-дер-Корпута и ее обобщения Ван-дер-Корпута-Фора, последовательности Ван-дер-Корпута в бета-расширениях. В многомерном случае, примерами множеств с малым отклонением служат множества Хаммерсли, Холтона, Соболя, Нидеррайтера-Ксинга. В настоящий момент наиболее общими и часто используемыми множествами точек с малым отклонением являются (/, т, к) - сети (конечные множества). Известной проблемой в построении многомерных множеств с малым отклонением является так называемое «проклятие размерности» (см. [6], [9], [10], [11], [12], [13]).

В основе практически всех известных в настоящий момент методов построения множеств с малым отклонением лежит использование представления чисел в позиционных системах счисления. В данной работе предлагается новый метод синтеза многомерных множеств с малым отклонением (названных авторами каноническими (/, т, к) - сетями), основанный на теории канонических систем счисления в многомерных решетках. Доказывается, что канонические (/, т, к) - сети позволяют в некотором смыс-

ле преодолеть «проклятие размерности» классических методов квази-Монте Карло.

Первый раздел работы не содержит новых сведений. В нем приводятся определения и формулировки основных утверждений из теории множеств с малым отклонением и канонических систем счисления, необходимые для удобства ссылок.

Во втором разделе работы изложена основная идея канонической (/, т, к) - сети и приводится ее формальное определение.

В третьем разделе работы исследуются свойства синтезированного множества.

В заключении дается оценка полученных результатов.

1. Предварительные сведения

1.1. Множества с малым отклонением,

(1, т, к)-сети

Пусть 1к — к -мерный единичный гиперкуб:

1к = [0,1)к.

Пусть далее множество точек Р — подмножество единичного к -мерного гиперкуба:

Р = {Зё1,х2,...,хн}, Р с 1к = [0,1)к.

Мы всегда будем интерпретировать «множество точек» как комбинаторное понятие «мультимножества», те. множества, в котором количество вхождений каждого элемента имеет значение.

Пусть В — произвольное подмножество В с 1к. Определим величину

A(B; P) = £ Cb (X),

(1.1)

где сВ — характеристическая функция множества В . Таким образом, А(В; Р) — функция-счетчик, которая равна количеству индексов п , 1 < п < N таких, что х Е В .

n=1

Пусть B — непустое семейство измеримых по Лебегу подмножеств единичного гиперкуба Iх.

Определение 1.1. [6] Отклонением (discrepancy) множества точек P относительно семейства B называется величина, определенная соотношением

A(B; P)

Dn (B,P) = sup

ВєБ

-l (B)

(1.2)

Card (P)

где Card(P) обозначает мощность множества P, l - k -мерная мера Лебега.

Заметим, что всегда 0 < DN (B; P) < 1.

Двум различным семействам B соответствуют два наиболее важных определения отклонения [12], [13], [6].

Определение 1.2. «Звездное» отклонение (star-discrepancy) D*N (P) = D* (x1, x2,..., xN) для множества точек P определяется соотношением

Dn(P) = Dn (J ; P),

(1.3)

где J — семейство всех подинтервалов единичного гиперкуба Ik вида

J* =П [0; U).

i=1

Определение 1.3. Экстремальное отклонение

(extremal discrepancy) DN ( P) = DN ( x1, x2,..., xN ) множества точек P определяется соотношением Dn (P) = Dn (J; P), где J — семейство всех подинтервалов единичного гиперкуба Ik вида

J = П [ui; v).

i=1

Приведем формальное определение (t, m, k )-сети. Введем понятие элементарного интервала.

Определение 1.4. Пусть q > 2 — основание позиционной системы счисления в поле рациональных чисел Q . Подмножество E с Ik вида

(1.4)

где а 1, d¡ е Ъ , d¡ > 0, 0 < а 1 < д ‘ для 1 < I < к называется элементарным интервалом по основанию д .

Определение 1.5. Пусть 0 < г < т — целые, тогда (г, т, к) - сетью по основанию д называется подмножество Р единичного гиперкуба 1к, состоящее из дт точек, такое, что А(Е,Р) = дг для любого элементарного интервала Е по основанию

д

с Л (Е) = д - т .

Схема 1.1. Общая схема построения @, т, к)-сети.

Шаг 1. Задаются целые числа т > 1, к > 1.

Шаг 2. Выбирается основание системы счисления q и множество Zq = {0,1,...,q-1}.

Шаг 3. Выбирается R — коммутативное кольцо с единицей и card (R) = q .

Шаг 4. Задаются биекции

yr: Zq ® R, где 0 < r < m -1. (1.5)

Шаг 5. Задаются биекции

hij : R ® Zq, где 1 < i < к и 1 < j < m . (1.6)

Шаг 6. Задаются элементы кольца R

cj? е R , 1 < i < к , 1 < j < m , и 0 < r < m -1. (1.7)

Шаг 7. Для n = 0,1,..., qm -1 определяются векторы a(n) = (a0(n),...,am-1(n)), удовлетворяющие соотношению

' = £ ar (n)qr

(1.8)

а(п) — представление числа п в традиционной системе счисления по основанию д .

Шаг 8. Определяются величины хП):

х^ = £ уП] q j , для 0 < n < qm и 1 < i < k , (1.9)

j=1

где

уПП] = hj I £ cjl¥r (ar(n)) Іє Z, 0 <n < q

1 < і < к , 1 < ] < т .

Шаг 9. Определяется множество точек {хп}

х =(х®,...,х^)є 1к при и = 0,1,...,дт -1. (1.10)

Для множества точек (1.10) справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть заданы целые числа ґ и т,

0 < ґ < т . Предположим, что для целых чисел d1,d2,...,dk > 0 , удовлетворяющих соотношению к

£ d¡ = т - ґ,

і=1

и любых элементов /■(і) кольца Я

'} ]

//) є Я , 1 < у < di, 1 < і < к , система т - ґ линейных уравнений над кольцом Я :

£ c(, ) z = f(i), 1 < j < dt, 1 < i < k.

jr r J j ? J i ’

(1.11)

относительно неизвестных 20, ^1, .. ., ^т-1 имеет ровно

г

д решений.

Тогда множество точек (1.10) является (г, т, к) -сетью по основанию д .

r =0

r =0

i=1

r=0

Теорема 1.2. Звездное отклонение (г, т, к) - сети Р по основанию д и т > 0 удовлетворяет неравенству

NDN (Р) < В (к, д)дг (1п N)k-1 + О (дг (1п N)k-2), (1.

где, если к = 2 , д = 2 , или при к = 3,4 и д > 2

Далее будем рассматривать решетку Л = Zг и каноническое множество цифр D, заданное соотношением

B(k, q) =

q-і

2ln q

а иначе

B(k, q) =

1

[q/2]

(k -1)! ^ lnq

Доказательство теоремы приведено в [6], теорема 4.10.

Из соотношения (1.12) следует, что звездное отклонение для (t, m, k ) - сетей удовлетворяет асим-

* ((ln N )k-1'

птотическому соотношению DN(P) = OI--------

Таким образом, с ростом размерности пространства свойства звездного отклонения (t, m, k ) - сетей

ухудшаются.

1.2. Канонические системы счисления

Ключевой идеей в схеме построения (t, m, k) -сети является использование представления данных в одномерных позиционных системах счисления. Канонические системы счисления представляют обобщение традиционных позиционных систем счисления с кольца целых чисел Z для кольца целых алгебраических чисел в алгебраических расширениях поля рациональных чисел Q . Теория канонических систем счисления была предложена венгерскими математиками в 70-е годы 20 века [14] и получила дальнейшее развитие в исследованиях многих авторов [15], [16], [17], [18], [19], [20].

В данном подразделе приведены основные определения из теории канонических систем счисления.

Пусть Л - решетка в Kh, he N , M : Л ® Л — линейное отображение, такое, что det(M) Ф 0 и D

— конечное подмножество Л, содержащее 0 (D с Л , card(D) <¥, 0 е D) и образующее полную систему вычетов (modM).

Определение 1.6. Тройка (Л,M,D) называется

системой счисления, если любой элемент X е Л может быть единственным образом представлен в виде

; = £1 M‘d.

(1.13)

где d¡ е D , I е N .

Оператор М при этом называется основанием системы счисления, а множество D — множеством цифр.

12) D = {ae | e = (1,0,0,...,0)є Zh,

a = 0,1,...,| detM | -1}.

(1.14)

Определение 1.7. Если множество цифр D определено соотношением (1.14), система счисления

(Л, М, D) называется канонической системой счисления (КСС).

В случае, если Л = Zг, элементы решетки Л могут быть отождествлены с г -мерными векторами (с целочисленными координатами) и отображение М может быть отождествлено с матрицей М отображения в каноническом базисе решетки Zг.

Определение 1.8. Пусть тройка ^г, М, D) является системой счисления. Назовем вектор

(*) =(Х0,Х,Х2,...,Х (х))

КСС-кодом элемента х е Zг, если х может быть представлен в виде

‘=£JMe.

(1.15)

Для практического использования канонических систем счисления необходимо для матрицы Мг

определить достаточные условия того, чтобы она могла являться основанием некоторой системы

счисления ^г, М, D).

Справедлива следующая лемма, конструктивно описывающая основания канонических систем счисления в решетках различной размерности г.

Лемма 1.1 (Классы Ковача). Для множеств цифр D вида (1.15) и различных г тройки ^г, М /, D) являются системами счисления для следующих классов многочленов / е Z[х]:

/ = хг + с1х + д , если и только если

-1 < Cj < q-2, q > 2, q = p ;

(1.16)

/2 = хг + рхг + рхг +... + рх + р , 2 < р е N ,

д = р ; (1.17)

/3 = хг + хг-1 + хг-2 +... + х + р , 2 < р е N ,

д = р; (1.18)

/4 = хг + рхг-1 + р2хг-2 + ... + рг-1 х + рг ,

2 < р е N , д = рг . (1.19)

Доказательство леммы приведено в работе [16], утверждение 1.

Существование классов Ковача обуславливает возможность практического применения канонических систем счисления в решетках произвольной размерности.

k -1

k -1

Введем понятие фундаментальной области канонической системы счисления, аналога полуотрезка [0,1) для традиционных позиционных систем счисления.

Пусть задана д -значная (д - простое) г -мерная каноническая система счисления ^г, М, D). Предположим, что задано некоторое натуральное число Q , которое будем называть разрешением.

Рассмотрим множество Л с Мг, элементы которого 2 е Л единственным образом могут быть представлены в виде

5 = р + д; (120)

вд

Р = £ а) М 1е;

] =0

г

а = £ а_!М-’е ,

]=1

а/е D, ] = (-^),(-г +1),..., 1(5).

В силу свойств канонической системы счисления (Zг, М, I)), множество Л удовлетворяет равенству

Л = М-гZг . (1.21)

Определение 1.9. Слагаемое р в сумме (1.20)

назовем регулярной частью 2, слагаемое д - сингулярной.

Определение 1.10. Множество всех точек

= £і-у-1, ^ є {0,1,...,д-1}

Рв =

П<2

£ а, (М- є {0,1,..., д -1}

. і=1

с М’ (1.22)

будем называть фундаментальной областью канонической системы счисления с разрешением Q .

Замечание 1.1. Для любого Q > 1 справедливо включение

^+1 с ^ .

Замечание 1.2. Если вместо канонической системы счисления использовать традиционную позиционную систему счисления, то фундаментальная область ^ канонической системы счисления, определенная с помощью соотношения (1.27), будет являться множеством рациональных чисел из отрезка [0,1) со знаменателем дQ .

2. Канонические @, т, к)-сети

2.1. Основная идея

Центральное место в определении (г, т, к) - сетей занимает понятие элементарного интервала. Попробуем дать определение этому понятию с иной точки зрения. Множество Е (определение 1.4) может быть задано следующим образом.

Рассмотрим точки полуотрезка [0,1) . В позиционной системе счисления по основанию д они могут быть представлены в виде

™ ™ і=0 '

Пусть далее задано к чисел а(і), 0 < і < к,

0 < а(') < д* . Будем считать, что для чисел а(і) известно их представление в д -значной системе счисления:

а« = £ * а«ді .

¿—і і=0 і Ч

Тогда числа, принадлежащие одномерному і -му элементарному интервалу (1.4)

[а(і)д *, (а(і) + 1)д~*), могут быть представлены в виде

’ = £ аі д4-1-і + £ і

І-1

і'=0 і=*

Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое приведем без формального доказательства.

Лемма 1.2. Множество Е, заданное соотношением

(2.1)

где

№(а(0,*) = ] w | w = £ід*і-1-і + £ wjgj-1 1 <і< к,

w 1 w = £ а)’ді ' + £^ (22)

і=0 і=* І (2.2)

а(,), d ! е Ъ , d¡ > 0, 0 < а(,) < д^ ^ - обозначает

декартово произведение множеств, является элементарным интервалом по основанию д (определение

1.4).

Заметим, что, согласно новому определению элементарного интервала, данное множество полностью определяется наборами цифр в представлениях целых чисел а( ) в д -значной системе счисления

(формальными цифровыми кодами для чисел а{,)).

Определение 2.1. Будем называть д - кодом числа а (и писать (0)д) цифровой вектор его разложения в традиционной д -значной системе счисления:

(а)„ = (a0, al,...,

Использование теории д -значных канонических систем счисления позволяет обобщить понятие элементарного интервала для подмножества фундаментальной области канонической системы счисления.

Определение 2.2. Будем называть элементарным цилиндрическим множеством множество Ж (а, d), удовлетворяющее соотношению

Ж (а, d) = | >5 = £ау-1(М--/5) + £ (М-^) 1, (2.3)

I М j=d+1

і=1

* -1

где е {0,1,..., д -1} , цифры а0, а1,...,аа-1 фиксированы.

Конечное объединение элементарно-

цилиндрических множеств назовем цилиндрическим множеством.

Замечание 2.1. Любое подмножество с с FQ

является цилиндрическим множеством.

Определение 2.3. Обобщенным элементарным интервалом назовем подмножество Есж с FQ , определенное соотношением

Ес^ = П^ (а>, d¡),

¡=1

где Ж(а('}, di) — элементарное цилиндрическое множество (2.3) в FQ , а('), di е Ъ , di > 0,

0 < а('¡> < дЛ' , 1 <' < к .

Определим на фундаментальной области FQ канонической системы счисления функцию множества т следующим образом: положим значение т на элементарно-цилиндрическом множестве

Ж (а, d) с FQ равным

/ц(\¥(а; d)) = д-Л .

Для цилиндрического множества определим значение функции ¡1 как сумму значений функции ¡1, вычисленных для непересекающихся элементарноцилиндрических множеств, его составляющих:

^ (р (а(0, d¡) ^ = £д ^, (2.4)

¡1 ф '2 ^ Ж (а(4), di) п Ж(а('2), ) =0 ,

) = 1. (2.5)

Пусть определена д -значная г-мерная каноническая система счисления ^г, М, D), задано разрешение Q > 0 и определено множество FQ соотношением

^ = П^ . (2.6)

'=1

Множество FQk является аналогом к -мерного единичного гиперкуба.

Определим на множестве FQk функцию множеств 1к , для чего рассмотрим подмножество С с FQk вида

с = Пс(' \

'=1

где С (') (замечание 2.1) является цилиндрическим множеством, и положим значение функции 1к (с) равным

1к(С) = 1к [Пс(0) = П 1(С(0). (2.7)

Здесь 1 - функция, определенная соотношением

(2.4).

В силу конечности множества FQk, произвольное множество с с FQk может быть представлено в виде конечного объединения непересекающихся прямоугольных множеств с = и с, 1к (с)=£ 1к с).

/ /

Справедливо следующее соотношение:

1 ^) = 1. (2.8)

Введенная функция множеств 1к и понятие обобщенного элементарного интервала позволяют ввести определение канонической (г, т, к) - сети.

2.2. Формальное определение

Пусть заданы целые числа г, т е Z и выполняются неравенства 0 < г < т < Q .

Определение 2.4. Назовем канонической (г, т, к)

- сетью по основанию д = ёй М подмножество Р множества FQk , Р с FQk , состоящее

из дт точек, такое что А(Ест,Р) = дг для любого обобщенного элементарного интервала Ест меры

1к (Е^) = дг -т.

Справедлива схема построения канонической (г, т, к) - сети, аналогичная схеме 1.1 с заменой на шаге №8 соотношения (1.9) соотношением (2.10).

Пусть, аналогично схеме 1.1, заданы целое число т > 1 , размерность к > 1 и основание системы счисления д =|ёй М |> 2. Пусть далее Ъд, Я , уг

(0 < г < т -1), гг (1 <' < к и 1 < у < т ), ¿г е Я (1 <' < к , 1 < ] < т , и 0 < г < т -1) заданы в соответствии с определением 1.17.

Пусть для всех п = 0,1,..., дт -1 определены элементы аг (п) разложения числа п :

т-1

п = £ аг (п)дт-1-г , (2.9)

г =0

(п) = (а0(п), а1(п),..., ат-1(п)) в традиционной

д - значной позиционной системе счисления.

Определим множество точек Р ={хп},

х = (х®,...,х(пк))е 1Кк, п = 0,1,...,дт -1 соотношениями

т

х(() = £>>п)М^е , 0 < п < дт и 1 <' < к , (2.10)

]=1

где

im-1

yj = h I £ cjrWr ( ar («)) I Є Zq , 0 < n < q

V r = 0

1 < i < к , 1 < j < m

Каждое I -ое решение системы (2.12) соответствует единственному цифровому д - вектору

(2.11) (««) = (а0(п«),..., ат_1(п<‘у)), I = 0,1,.., д‘ -1. (2.13)

Теорема 2.1. Пусть заданы целые числа ґ, т , 0 < ґ < т , и для целых чисел d1, > 0 , удов-

летворяющих условию

к

£ d¡ = т — ґ ,

і=і

и любых элементов /■(,) кольца Я

'} ]

/() є Я, 1 < у < di, 1 < / < к

система т — ґ линейных уравнений над областью целостности Я

£ c(, ) z = f(i), 1 < j < d, 1 < i < к

jr r Jj J i

относительно неизвестных z0,z1,...,zm-1 имеет ровно

/

д решении.

Тогда множество точек (2.10) является канонической (/, т, к) - сетью по основанию д в канонической д -значной системе счисления (ЕР, М, П).

Доказательство. Пусть заданы а(,), е Ж , > 0,

к

0 < а{1) < дё, 1 < I < к , ^ = т - /. Пусть далее

1=1

заданы элементы д - кодов чисел а(,).

(а(0) = (а0°, а®,..., а^), 1 < I < к , 0 < ] < ё,-1.

Рассмотрим обобщенный элементарный интервал ЕсЖ с ^ .

= П^ (а(1), ё,),

где

Г (a(i), di) =

d, -1 «ß-1

- d, - '

= j w | w = у а(<) (M-d-1-je) + £ wj (M-j-1e) [.

j=0 j=d,

Для точек (2.10) будем иметь хп е Ест тогда и только тогда, когда

у(,) = а(,), 1 < ] < ё., 1 < I < к ,

* П] ] > J I ? ?

что, в силу (2.11), эквивалентно системе равенств

£ с(ГЧ («г («)) = %1 («()) для 1 < у < di, 1 < / < к .(2.12)

г = 0

Система (2.12) может быть интерпретирована как система уравнений над кольцом Я относительно неизвестных (аг (и)), 0 < г < т — 1. Согласно

предположению теоремы, данная система имеет

ґ

ровно д решений.

С другой стороны, по определению канонической системы счисления, каждому цифровому д - вектору соответствует единственный элемент

xw є р с Fß .

Таким образом, A(ECNS,Р) = q . Теорема доказа-

на.

Определение2.5. Пусть Ест =!^(а(1),). На-

1=1

зовем каноническим аффинным преобразованием биекцию Т: ЕсМБ ® FQ}, удовлетворяющую соотно-

шениям

k Л k

T V П ^ (a(i), d,) ^ = П

( fd; -1

T(i) ]:>: aj -1j -1 d

V І j=0

fkß -di X ]

=і У Wj+d1 j=1 M-je) l.

kß

+ У Wj

j= d, +1

(2.15)

Замечание 2.2. Очевидно, что для преобразования T, заданного равенствами (2.14) и (2.15), однозначно определено обратное преобразование

T-1 : Fk ® Ecns , где Q' = min (Q - dt).

Лемма 2.2. Пусть P — каноническая (t, m, k) -сеть в Fk по основанию q . Пусть далее Ecns с F^

— обобщенный элементарный интервал меры mk (Ecns ) = q и, где 0 < и < m -1, и пусть T — каноническое аффинное преобразование

T: Ecns ® Fk. Тогда точки множества P , принадлежащие интервалу Ecns , в результате преобразования T образуют каноническую (t, m - и, к) - сеть в FQk по основанию q .

Доказательство. По определению канонической (t, m, k) - сети, для Ecns с F^ меры

mk (Ecns ) = q-и справедливо равенство

A(E,P) = qm-и.

Если применить к точкам множества P , принадлежащим интервалу Ecns , преобразование T, определенное соотношениями (2.14) - (2.15), то получим множество P', содержащее qm-и точек FQ .

Рассмотрим обобщенный элементарный интервал Ecns с Fk со значением функции jHk

.. / гУ \ t - m +и

Mk ( ECNS ) = q .

r = 0

Л

i=1

Заметим, что если х е Есж , то Т(х) е Есж тогда и только тогда, когда х е Т ^1(Ес^/8). Далее заметим, что по построению Т_1(Е') является элементарным обобщенным интервалом, причем

т(Т~\Е'ст)) = д‘-т .

Поэтому так как А(Т~1(Ест),Р) = д , то

А(Ест,Р) = д‘. Лемма доказана.

2.3. Понятие КСС-отклонения В силу свойств канонической системы счисления (ЕР, М, П), множество Л удовлетворяет равенству

Таким образом, множество FQ может быть ин-

Л = M-hQ л>

(2.16)

Сложная конфигурация множества FQ (см. [21])

не позволяет использовать его подмножества в реальных вычислительных задачах. Следующая лемма, описывающая его свойства, обуславливает возможности его практического использования.

Лемма 2.3. Пусть задано разрешение Q є N и выбрана каноническая система счисления (ЪР, М, В), порожденная одним из трех классов многочленов (р - простое):

— многочленами (1.22)

/2 = хР + рхР—1 + рхР—2 +... + рх+р , 2 < р є N ;

(д = р), Q є N,

— многочленами (1.21) при с1 = 0

/1 = хР + р , р > 2; (д = р), Q є N ,

— многочленами (1.24)

/2 = хР + рхР—1 + р2хР—2 +... + рР—1 х + рР ,

2 < р є N, (д = рк),

Q = и • НОК(рр +1)/%, и є N .

Тогда множество Л = М—РТР удовлетворяет соотношению

Л = qQ Zh

(2.17)

Доказательство данной леммы можно найти в работе [22].

Предположим, что выполнены условия леммы 2.4. Тогда, если рассматривать фундаментальную

область F0 как подмножество тора — и в

0 д0

качестве элементов соответствующих классов эквивалентности взять наименьшие неотрицательные элементы, то справедливо соотношение

F0; = ЕРп [0,1)Р 1 ЕРп[0,1)Р .

0 I д0 ) д0

терпр етировано

i]k -мерного единичного гиперкуба [0,1)h .

Исследование подмножеств множества FQ в

терминах отклонений D или D* является весьма сложной задачей, поэтому для исследования свойств канонических (t, m, к) - сетей определим КСС-

r\CNS / 7">\

отклонение DN (P), аналог звездного отклонения, ассоциированный с фундаментальной областью канонической системы счисления.

Сначала определим на множестве элементов фундаментальной области FQ лексикографический порядок.

Определение 2.6. Пусть h, z е FQ,

hQ z hQ

z = УZj (M-je), h = У hj(M-Je).

j=i j=i

Будем говорить, что элемент h предшествует элементу z и обозначать

h -< Z,

если существует такое целое 1 < n < hQ, что выполняются соотношения:

hi = ^..^hn-i = zn-i; hn-i<zn-i.

Определение 2.7. Обобщая понятие угла для двумерных решеток, введенное впервые в работе [22], множество всех предшественников элемента z е FQ

будем называть углом T(Z), а элемент Z - вершиной угла. Таким образом,

Г (z )= {h | h е FQ, h < Z} .

Для угла T(Z) с вершиной Z через r(n)(Z), n < Q , будем обозначать угол с вершиной z (n) , такой, что выполняются соотношения z j = z(jn) , для

всех 1 < j < n , n < Q .

n

Z(n) = У Mzje .

j=1

Определение 2.8. Для множества P с FQ,

Card(P) = N определим КСС-отклонение следующим образом:

А(Г; P)

(p) = r^

Гє/„

N

-^(Г)

(2.18)

где 10ж - множество всех углов Г(2), Z е FQ, отвечающих рассматриваемой фундаментальной области FQ канонической системе счисления, А(Г; Р)

— количество элементов множества Р, принадлежащих углу Г .

Теперь обобщим понятие КСС-отклонения на многомерный случай.

Определение 2.9. Назовем к -мерным полиуглом множество J с F—} вида

j = ftr(z(')),

(2.19)

i=1 z ('■ Ъ

, к.

где r(Z ';) — угол в FQ , z е FQ, i = 1,2,

Определение 2.10. Пусть задано множество P с FQ , Card(P) = N . Назовем к - мерным КСС-

отклонением множества P величину, определенную соотношением

A( J; P)

r\CNS s т)\

dn (P) =

J е1в*

N

(2.20)

где INNS' — множество всех к -мерных полиуглов

"0 ,к J с ^.

3. Свойства бинарных канонических (1,ш,к)-сетей

Докажем теорему, устанавливающую соотношение для КСС-отклонения канонической (', т, к) -сети в наиболее важном для практики случае бинарной канонической (', т, к) - сети.

Теорема 2.2. к -мерное КСС-отклонение канонической (', т, к) - сети Р в F— по основанию д = 2 удовлетворяет соотношению ,4-1 (т - /1

ND™S (P) < 2t У

Здесь

n!

(3.1)

- биномиальный коэффи-

vnj r!(n-r)! циент.

Доказательство. Пусть J — произвольный полиугол в fQ . Определим величину D( J, P) соотношением

D(J; P) = A(J; P) - Npk (J), N = Card(P). (3.2)

Предположим, что правая часть выражения (3.1) имеет вид

D2(t, m, к) = 2t H(m, к).

(3.3)

Зависимостью Н(т,к) от ' в (3.3) намеренно пренебрегаем.

Для доказательства теоремы используем двойную математическую индукцию по к > 1 и т > '. Докажем выполнение неравенства (3.1) при к = 1 и т > ' .

При к = 1 полиугол J вырождается в угол Г(2), Z е F0. Разобьем угол Г(2) на п непересе-

кающихся обобщенных интервалов h = 0,1,...,n :

К * К ^ Ж п Wh2 = 0.

При разбиении используем следующее правило:

= Ж(К,т -'), К = 0,1,...,п -1,

Жп = {# 11? е Ж(п,т -') пГ(!)} .

Здесь Ж(а; ё) — обобщенный элементарный

одномерный интервал, п - минимальное целое число, такое, что Ж(п, т - ') ё Г(2).

Таким образом, по определению обобщенной (', т,1) - сети, для (', т,1) - сети Р справедливы равенства

П(ЖК; Р) = 0, К = 0,1,..., п -1,

П(Г( 2); Р) = П(Жп; Р).

Далее, так как 0 < А(Жп; Р) < 2',

и

0 < 2mm(W„) < 2t

то

I D(r(Z); P) |< 2t. Отсюда следует, что NDNNS (P) < 2t.

(3.4)

Так как А2(',т,1) = 2', из (3.4) следует неравенство

^П£® (Р) < А2 (', т,1).

Таким образом, проверено выполнение соотношения (3.1) для к = 1.

Пусть к > 2 . Предположим, что неравенство

(3.1) выполняется для размерности к -1 и для всех т >'. Индукцией по т >' докажем, что соотношение (3.1) выполняется для размерности к .

Проверим выполнение соотношения при т ='. Тривиально получаем

ЖП™ (Р) < ™ = 2' = А2 (',', к).

Пусть соотношение (3.1) справедливо для некоторого т >'. Рассмотрим каноническую (', т +1, к)

- сеть по основанию 2 . Необходимо показать, что

| П( J; Р )|< А2(', т +1, к).

Рассмотрим произвольный полиугол

J = ftr(z(i >) с F

и возможные значения элемента z

(к)

Случай А. Пусть r(Z(к}) = Fq , то есть "W е Fq

(к)

h= 0

i=0

r

i=1

Тогда рассмотрим отображение

Т : F— ® Fok-1, Т(у,..., ук) = (v1,...,Ук-1) для

(V1, У2 ,. .., Ук ) е ^ .

Это отображение преобразует сеть Р в каноническую (', т +1, к -1) - сеть Р по основанию 2 . Так как для неё величина (3.2) удовлетворяет соотношению

П( J, Р) = П(Т ^); Р), то, по предположению индукции, имеем | П( J, Р) |=| П(Т(J), Р) |< А2(', т +1, к -1).

Так как А2(', т +1, к -1) <А2(', т +1, к), то для случая А неравенство (3.1) доказано.

Случай Б. Пусть Г(2(к)) с FQ, то есть существует

2 е F0 такой, что Z £ Г(^<к)).

Случай Б. 1. Предположим, что Ж(0,1) ёГ(2(к)).

Тогда положим

= ПГ(*(°) хГ(?( к}), и = 0.

Случай Б.2. Если Ж(0,1) сГ(2(к>), то положим

= ПГ( ¿(і)) хЖ (0,1), к = 0,

/=1

к —1

Jи =ПГ(2(,))х{>Р| м>є Г(2(к))\Ж(0,1)}, и = 1.

Для случаев Б.1 и Б.2 справедливо соотношение

п

П( J; Р) = у П( Jh; Р). (3.5)

К=0

Рассмотрим множества Еп = F0! -1 х Е(п,1). Пусть Тп — каноническое аффинное преобразование Еп в Fk . Согласно лемме 2.2., преобразование Тп преобразует точки сети Р , принадлежащие множеству Еп, в (', т, к -1) - сеть Р2 по основанию 2 . Далее, так как П(Jn; Р) = П(Тп ^п); Р2), то, по предположению индукции, имеем

|П( Jn; Р) |< А2 (', т, к). (3.6)

В случае п > 0, для 0 < К < п, проекция Т: Fk ® F0k-1 преобразует точки сети Р , принадлежащие Ек = F0k-1 х Е(К,1), в (', т, к -1) - сеть Р3(К) по основанию 2. Далее, так как П( Jh; Р) = П(Т (Jh); Р3(К)), то по гипотезе индукции получаем неравенство

| П^К; Р)|<А 2(', т, к -1) для 0 < К < п . (3.7)

Из соотношений (3.5), (3.6) и (3.7) получим оценку П(J, Р) сверху, соответствующую п > 0 :

| П( J; Р) |< А2 (', т, к) + А2 (', т, к -1).

Рассмотрим правую часть последнего соотношения.

А2(',т,к) + А2(',т,к -1) =

= 2' (Н(т, к) + Н(т, к -1)) <

< 2ґ

= 2' £

4—1Г т +1 — ґ

і=0 ^ ґ

= 2ґИ (т +1, к) =

= А 2(ґ, т +1, к).

Так как случаи А и Б являются исчерпывающими, то, в соответствии с принципом математической индукции, приходим к утверждению теоремы.

Выразим правую часть соотношения (3.1) в виде суммы по степеням (т — ґ), т > ґ. Тогда соотношение (3.1) примет вид:

2ґ

ЫВС™ (Р) <

(к — 1)!

(т — ґ)к 1 + 0(2ґ (т — ґ)к 2)

или

2ґ

1

(3.8)

(Р) <7------I----

™ (к - 1)К 1п2,

х(1п N )к-1 + 0(2' (1п N )к-2).

Заметим, что каноническая (', т, к) - сеть соответствует множеству точек единичного куба в пространстве размерности рк, где р - произвольное натуральное число. Сравнивая соотношение (1.12) с соотношением (3.8), мы видим, что КСС-отклонение для канонической (', т, к) - сети не зависит от размерности канонической системы счисления р. Таким образом, для заданного к можно построить каноническую (', т, к) - сеть в пространстве размерности рк, КСС-отклонение которой зависит только от к и не изменяется с ростом размерности.

Заключение

В работе предложен новый метод синтеза многомерных множеств точек с низким отклонением. Предложенное понятие канонических (', т, к) - сетей позволяет синтезировать такие множества произвольной размерности. Значения КСС-отклонения для канонических (', т, к) - сетей, подмножества точек единичного гиперкуба размерности рк не зависят от размерности р используемой канонической системы счисления.

і=1

к — 1

і =1

Предложенный метод может быть использован и для обобщения других методов синтеза множеств с низким отклонением, основанных на использовании представления чисел в позиционных системах счисления.

Исследование соответствия КСС-отклонения и классического звездного отклонения является предметом дальнейших исследований.

Литература

1. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы / С.М. Ермаков. - М., 1971.

2. Соболь, И. М. Численные методы Монте-Карло / И.М. Соболь - М., 1973.

3. Metropolis, N., Ulam, S. The Monte Carlo Method, J. Amer. statistical assoc. 1949 44 № 247 335—341.

4. Кнут, Д. Получисленные алгоритмы / Д. Кнут. - Искусство программирования. Том 2. Получисленные методы = The Art of Computer Programming, vol.2. Seminumerical Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. - С. 832.

5. Rubinstein, R.Y. Simulation and the Monte Carlo Method (second edition) / R. Y. Rubinstein, D.P. Kroese. - New York: John Wiley & Sons, 2007.

6. Niederreiter, H. Random Number Generation and QuasiMonte Carlo Methods / H. Niederreiter. - SIAM, Philadelphia, 1992.

7. Tezuka, Sh. Financial Applications of Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo methods / Shu Tezuka // Random and Quasi-Random Point Sets, P. Hellekalek, G. Larcher, Eds, Lecture notes in statistics, 138. - Springer, 1998.

8. Keller, A. Myths of Computer Graphics / A. Keller // H. Niederreiter and D. Talay, eds. Monte Carlo and QuasiMonte Carlo Methods 2004, pp. 217-243. - Springer, 2006.

9. Drmota, D. Sequences, Discrepancies and Applications / D. Drmota, R. F. Tichy // Lecture Notes in Mathematics, vol 1651. - Berlin: Springer, 1998.

10. Faure, H. Discrepancy and diaphony of digital (0,1)-sequences in prime base/ H. Faure // Acta Arith, 117, pp. 125-148, 2005.

11. Ninomiya, S. Constructing a new class of low-discrepancy sequences by using the ¡3 -adic transformation/ S. Ninomiya // Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 47, 2, pp. 403 - 418. - Elsevier, 1998.

12. Кейперс, Л. Равномерное распределение последовательностей: / Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер пер. с англ., под ред. С.М. Ермакова. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1985 - 408 с.

13. Random and Quasi-Random Point Sets / P. Hellekalek, G. Larcher, Eds // Lecture notes in statistics, 138. - Springer, 1998.

14. Katai, 1 Canonical number systems in imaginary quadratic fields / I. Katai, B. Kovacs // Acta Mathematica Aca-demiae Scientarium Hungaricae. 37 (1-3), 1981, pp. 159164.

15. Katai, 1. Generalized Number Systems in Euclidean Spaces / 1 Katai // Mathematical and Computer Modeling, 38, 2003, pp. 883-892.

16. Kovacs, A. Generalized binary number systems / A. Kovacs // Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 20, 2001, pp. 195-206.

17. Kovacs, A. On number expansions in lattices / A. Kovacs // Proc. 5th Internation Conference on Applied Informatics. - Eger, Hungary, 2001.

18. Kovacs, B. Canonical number systems in algebraic number fields / B. Kovacs // Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 37 (1981), pp. 405-407.

19. Akiyama, S. New criteria for canonical number systems / S. Akiyama, H. Rao// Acta Arithm., 111 (2004), pp. 5—25.

20. Kovacs, B. Canonical number systems in algebraic number fields / B. Kovacs // Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 37 (1981), 405-407.

21. Калугин А.Н., Генератор LSFR-CNS: аналитическое исследование равномерности распределения / А.Н. Калугин // Компьютерная оптика. В. 31. - Самара, Институт систем обработки изображений РАН, 2007.

22. Калугин, А.Н. Разработка и исследование многомерных генераторов равномерно распределенных псевдослучайных векторов, основанных на представлении данных в алгебраических полях / А.Н. Калугин. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Рукопись.

23. Chernov, V.M. Fast uniform distribution of sequences for fractal sets / V. M. Chernov // Proceedings of International Conference on Computer Vision and Graphics, 2004, September 22-24, 2004, Warsaw, Poland, Computational IMAGING AND VISION SERIES. - Kluwer Academic Press.

В редакцию поступила 04.03.2009г.