Генератор lsfr-cns: аналитическое исследование равномерности распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЕНЕРАТОР LSFR-CNS: АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

А.Н. Калугин Институт систем обработки изображений РАН Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева

Аннотация

В работе предлагается метод аналитического исследования качества равномерного распределения многомерной псевдослучайной последовательности на выходе генератора ЬБ8Я-€N8, даны асимптотические оценки отклонения генерируемого распределения от равномерного на неполном периоде генератора.

Введение

Одной из основных областей применения генераторов псевдослучайных последовательностей является численное интегрирование по методу Монте-Карло [11], [3], [12]. Многие практические задачи, могут быть сведены к вычислению многомерного интеграла.

Несмотря на то, что эмпирическое исследование генерируемой последовательности в реальных задачах имеет принципиальное значение [13], [5], [12], [15], аналитические оценки равномерности являются одним из главных критериев, принимаемых в расчет при выборе генератора [3], [14], так как позволяют для определенных классов функций «предсказать» погрешность численного интегрирования.

Генератор LFSR-CNS, предложенный в [1], является естественно многомерным генератором, позволяющим генерацию естественно многомерных последовательностей точек. Данный генератор был исследован экспериментально в ряде работ [2], [6]. В данной работе описывается метод аналитического исследования «качества равномерности», генерируемой последовательности на неполном периоде генератора.

1. Схема генерации LFSR-CNS

Введем необходимые обозначения.

Определение 1. Рассмотрим конечное поле GF(q) из q элементов (q - простое). Последовательность {y(n)}, удовлетворяющая линейному рекуррентному соотношению порядка s:

y(n) = bs-1 y(n -1) -... - b0y(n - s) £ GF(q), (1)

где b0,...,bs-1 £ GF(q), b0 Ф 0,

Y(n) = (y(n),..., y(n + s -1)),

называется линейной рекуррентной последовательностью.

Определение 2. Последовательность

{Y (и)} = {Y (0), Y (1),

(2)

называется «гусеницей последовательности (1)» Последовательность (2) может быть записана в матричном виде

Y(n) = [G ”7(0)^,

где все арифметические операции выполняются в поле GF(q), матрица О е GF(q) - сопровождающая матрица характеристического многочлена [10] рекуррентного соотношения (1).

Замечание 1. Для удобства вычислений, считаем, что У(п) е [0, q)^ п , причем соответствие между элементами GF(q) и первыми q целыми неотрицательными числами: установлено «тривиально»:

0

GF (q)

Определение 3 [10]. Последовательность (1) максимального периода qs -1 называется m -последовательностью.

Справедливы следующие леммы.

Лемма 1 [10]. Период гусеницы m -последовательности периода qs -1 также равен qs -1.

Лемма 2 [4]. Пусть y(n) - рекуррентная функция (8.7) в поле GF(q) с ненулевыми начальными значениями Y(0) = (y(0),...,y(s -1)) и периодом, равным qs -1, Т - неглавный характер [10] аддитивной группы поля GF(q). Пусть далее ST(N) задано соотношением:

N-1 Г 2П ]

St( N) = ]Г T(y(n) )exprn\, N < T .

Тогда справедливы оценки:

|Sr(N)| <

p2, при N = T;

s

p2 (1 + slnp), при N < T, t = 0.

(З)

Определение 4 [7]. Пусть M £ Zx - матрица, все собственные числа которой больше единицы по абсолютной величине.

Пусть далее множество D представляет собой полную систему вычетов (mod M), содержащую нуль.

Zn з D =

= {ae | e = (1,0,0,...,0) £ Zn,a = 0,1,...,q -1}.

Пара (M, D) называется канонической системой

счисления (КСС) в Z*, если для каждого элемента z £ Z* существует единственное представление вида

I ( г )

г = ^ М іа] , где аі є Б .

І=°

(5)

Матрица М называется основанием КСС, множество Б - множеством цифр.

Таким образом, каждому элементу г є Zk с использованием КСС ставится в соответствие вектор цифр

(£„,£і,С2,...), « =СД є Б.

(6)

Для любого к > 2 q -ичные канонические системы счисления существуют [7]-[9].

Схема генератора ЬР8Я-С№ состоит из 2-х этапов.

Этап 1. Выберем рекуррентное соотношение (1), порядка 5 = tк, t е N, к - требуемая размерность генератора, порождающее т -последовательность и ненулевые начальные условия У(0) ф (0,0,...,0). Вычислим элементы У(п), п = 0,1,2,... последовательности-гусеницы (2), соответствующей выбранной рекуррентной последовательности. Векторы У (п) е Ъ* (см. Замечание 1) называются состояниями генератора ЬР8К-С№.

Этап 2. Выберем в Zk q -ичную каноническую систему счисления (М, В).

Каждое состояние У (п) генератора ЬР8Я-С№ интерпретируем как вектор цифр (6) представления элемента Zk в q -ичной канонической системе счисления.

= 2 У(/). (Ме = II[ОТ(0)]GF(,), (7)

1 = 0

где Й е гкХ5, Й = (М0е,М1?,...,М5-1е).

Таким образом, согласно (7), каждому вектору состояния (2) У (/') поставлен в соответствие элемент

й1 е Zk .

Заметим, что вследствие единственности представления (5), различным состояниям генератора У (/) соответствуют различные элементы й1 е Zk.

2. Показатели качества равномерности

многомерной последовательности на выходе генератора псевдо-случайных точек

Для большинства приложений, использующих псевдослучайные последовательности и множества точек, предполагается [12], [3], [14], что элементы рассматриваемой последовательности принадлежат _ к-1

единичному кубу I к =П[0,1).

.=0

«Качество равномерности» распределения последовательности точек единичного куба оценивается с использованием большого количества [3], [12] различных критериев, называемых отклонениями.

Определение 5. Рассмотрим множество £ точек единичного куба £ = (х1,х2,...,хр}, х1 е 1к.

Для произвольного подмножества В единичного куба Iк определим величину

" IX х е В;

Ы(В;£) = 2 св (хп), св (х) = 10 - Л В

п=1 ^0, х 6= В.

Если Н - непустое семейство измеримых по Ле-

бегу подмножеств 1к, тогда отклонение (в общем случае) определяется соотношением:

N (В; £)

Бм (Н; Р) = єир

Р

-К (В)

(8)

где Кк - к -мерная мера Лебега в Мк.

Наиболее часто используются [3], [11], [12] отклонения Бр (Б), Бр (Б), задаваемые соотношениями

Бр (Б) = Бр (I; Б), где I = {| В = П ] =>;, ^)} (9)

БР (Б) = Бр (I*; Б), где /* ={В|В = Пк-0[°’ иі)} (ш)

В данной работе, мы будем рассматривать аналог Бр(Б).

3. Особенности фундаментальной области генератора LFSR-CNS. Аналог Бр (Б)

Определение 6 [2]. Назовем фундаментальной областью и генератора ЬР8Я-С№ множество точек Zk, соответствующих всем возможным состояниям генератора (2), дополненное точкой

0 = (°,°,...,°).

На рис. 1. приведен пример фундаментальной области генератора ЬР8Я-С^, соответствующей одной из КСС в трехмерном пространстве.

Так как множество точек на выходе генератора ЬР8К-С№ представляет собой нерегулярную, «фрактальную» область в Zk, для оценки качества равномерности генерируемой последовательности, неприменимы определения отклонения (9) и (1°).

Определим аналог отклонения (1°), ассоциированный с аналогом многомерного куба 1к, в качестве которого выступает множество, называемое фундаментальной областью канонической системы счисления. Фундаментальная область генератора ЬР8К-С№ тесно связана с фундаментальной областью используемой КСС.

Рис. 1. Пример фундаментальной области

В силу свойств канонических систем счисления [7], если в Zk задана система счисления (М,В), любой элемент 2 е Мк представим в виде:

h( z )

z = p + а; p = y Miaj;

j =0

(І2)

а = У m ja ., (3. є d.

- j J

j=1

Слагаемое p в сумме (12) назовем регулярной

частью 2 , слагаемое ст - сингулярной.

Определение 7 [7]. Множество всех точек

F =

У м-

. j^1

D

(ІЗ)

называется фундаментальной областью канонической системы счисления.

Из определений 6, 7, а также схемы генератора ЬР8К-С№ следует, что

U с M SF .

(І4)

Замечание. Фундаментальная область ¥ канонической системы счисления является аналогом отрезка [0,1), если вместо сингулярных частей ст в КСС-

представлении элементов Мк рассматривать представление дробной части чисел в традиционных системах счисления. Можно также считать, что область ¥к является аналогом многомерного единичного куба [°,1)к.

Следуя подходу работы [4], определим на фундаментальности области системы счисления ¥ меру, аналогичную мере Лебега, для отрезка [0,1).

Определение 8. Множество чисел

© = <| z I z =У M-

j=і

a. +

У M-

j = и+1

где aj £ D, у которых первые n цифр фиксированы, назовем элементарно-цилиндрическим множеством. Конечное объединение элементарноцилиндрических множеств назовем цилиндрическим множеством.

Цилиндрические множества образуют алгебру и любое цилиндрическое множество есть объединение конечного числа непересекающихся элементарноцилиндрических множеств.

Положим значение меры на элементарноцилиндрическом множестве ©, у которого фиксированы первые n цифр равным

ц(©) = q~n, card D =| det M |= q .

Меру цилиндрического множества определим как сумму мер непересекающихся элементарноцилиндрических множеств, его составляющих.

По известной теореме теории меры, введенная

выше мера ц однозначно продолжается на наи-

меньшую ст -алгебру, содержащую алгебру цилиндрических множеств и порождает на этой алгебре меру Ц.

На множестве элементов фундаментальной области ¥ введем лексикографический порядок.

Определение 9. Пусть И, г є ¥

Г = У м-

j=і

h =У M- jhj

e .

j=і

Будем говорить, что элемент И предшествует элементу 2 , и обозначим И < 2 , если существует такое целое п > 1, что выполняются соотношения:

И1 = г!— Ип-1 = 2п-{; К-Х < 2п-1.

Определение 10. Множество всех предшественников элемента 2 будем называть углом Г, а элемент 2 - верш иной угла.

Гг = {И | И < 2}

Для угла Г с вершиной 2 через Гп будем обозначать угол с вершиной

;(и) _

= У Mj

j=1

Определение 11. Аналогично (10), для множества £ с Е определим КСС-отклонение следующим образом.

N (Г; £)

DCNS (S) = sup

P

-ц(Г)

(ІЗ)

где 1™Б - множество всех углов отвечающих рассматриваемой КСС.

4. Основная теорема Проведем анализ равномерности последовательности на неполном периоде выхода генератора ЬР8Я-С^. Заметим, что анализ равномерности на полном периоде представляет собой несложное упражнение по комбинаторике.

Рассмотрим множество Б в (15) на выходе генератора ЬР8Я-С№ на участке периода генератора р < Т = ^ -1, масштабированное в фундаментальную область ¥ используемой канонической системы счисления.

S =

s = M-s У Y (i) j (M je)

j=0

(Іб)

Теорема. Справедлива следующая асимптотическая оценка КСС отклонения для последовательности на выходе генератора ЬР8К-С№.

dCns (S) = о

Ґ s2

P

Доказательство.

Рассмотрим произвольный угол Г с вершиной

? = 2 21М -1е .

1 >1

Покажем, что

N (Г; £ ) = ц(Г)Р + О (*2 ц*2).

Пусть для ае{0,1,...,ц-1} функция 8д (а) определена равенством:

, ч 11, при а = 0 -1

8д (а) = 10 . 0 = Ц 2 П(а8Ь

[0, при а Ф 0 )

где О - характер [10], [4] аддитивной группы поля GF(q) , Zзаоа еGF(ц) в соответствии с Замечанием 1. Ниже данное отображение будет подразумеваться.

Пусть далее символ 2 означает суммирование

В.

по всем тем Ь1,...,Ь* е {0,1,...,ц -1}, для которых

( * ^ ( * Л

2 м-1 ь е < 2 м-А

V 1=1 / V 1=1

то есть, по всем элементам угла Г * с вершиной

2 м - е . Тогда имеем:

І=1

нг (р)=226* (у(1+5 -1) - Ь1)...6 (у(1) - Ь.) ■

в, ?=°

+0 (1).

(17)

На основании свойств характеров аддитивных групп конечного поля сумму в (17) можно переписать в виде:

р-1

226 ч (у (+5 -1) - Ь1 )■■■6 ч (у ()- Ь5 ) =

в5 і = °

р-1 (

= 22 2 °(а1 (у(+5-1)-Ь1))■■■

в5 і = 0 ^ alЄGF(q)

Л

■ 2 (у)- Ь5))

а5 єGF(q)

Выделяя слагаемое с а1 =... = а5 = 0 є GF(q), получаем

Ж(Г; Б) = ц(Г, )р + Я + 0 (1), (18)

где

Я = q- 5 2 ( 2^(-«А )^(-«А )•

«1,■■■,а3 єGF(q) ^

• 2 п (а1 У(і + 5 -1)) ■ ■■п (а‘У(і) ) =

(*) (

= q-5 2 2°(-а1Ь1)■■■п(-аЛ)•

єGF(q) ^ Б^

•2П( у(і+5 -1)+...+а*У(і) )|■

(19)

В последнем равенстве знак (*) в суммировании означает пропуск слагаемого с а1 =... = а* = 0 е GF(ц). Заметим, что условие включения углов В* с Г * равносильно системе условий

|Ь1 = Ь-1 = Ь1 < 21

Ь= 1,2,..., *.

Поэтому

2°(-аА)... п(-аА)

(20)

22ЦаА) 2 п(аі+1Ьі+1)...)

І=1 А = 0 А+1,.„Д єGF(q)

5 -1

2 q^-і 2 п(аА ) (аі+1)... 6 (а5)

і=1 А=0

2q "Ч (а+1)...66 (а5)

і=1

Но тогда из (19) следует, что

1Я1 ^ q- 2 2q Л (а+1)- 6* (а5 )•

«!,■■■,« єGF(q) І=1

2р- п(а1 у(і+5 -1)+...+а*У(і )|)

=2^ 2

І=1 a1,■■■,asєGF(q)

2Ц(+^+1)+...+а*У(і))

. (21)

Так как при всех (а1,...,а*) Ф (0,...,0) функция ф(t) = а1 >’(t + * -1) +... + а*-1 +1) + ал.у^) удовле-

творяет линейному рекуррентному соотношению порядка * (см. [10]) порождающему т -последовательность, то при всех (а1,...,а*) Ф (0,...,0) является т -последовательностью.

Поэтому, согласно Лемме 2, справедливо неравенство р-1

2П(а1 ( + * -1) +... + а*у^))

t =0

< ц*2 (1 + * 1пц),

а, следовательно, и неравенство

И1 2 Ц*2 (1 + * 1пЦ) = О(.

1=1 a1,...,aIеGF(^) ' '

Пользуясь последней оценкой, получаем

N (Г; £;) = ц(Гк )Р + О (*2 /2), (22)

а с учетом ц(Г)Р = ц(Г*)Р + О(ц~*), Т = ц* -1 - в форме

N (Г; £) = ц(Г)Р + О (* ) . (23)

Б

і =0

і =0

Из(23)и определения Dc

' (S) следует, что

DCNS (S) = О

Г s2

P

Теорема доказана.

Заключение

В данной работе предложен метод аналитической оценки качества равномерного распределения на выходе генератора ЬР8К-С№, дополняющий эмпирические тесты генератора, рассмотренные в [1], [2], [6].

Заметим, несмотря на то, что в формулировке основной теоремы указано ограничение Р < Т, предлагаемые оценки приведены в асимптотической форме. Получение явного выражения для констант в используемых асимптотических выражениях О(-) представляет собой предмет дальнейшего исследования.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №06-01-00722 и №07-07-97603-р_офи).

Литература

1. Калугин А.Н. Модификация многомерных псевдослучайных последовательностей с использованием пары двойственных ЬЕВЯ-СКБ генераторов // Компьютерная оптика - 2006. - №28.

2. Калугин А.Н. Трехмерное обобщение генератора ЬЕБЯ случайных точек // Компьютерная оптика.- 2005. -№27. - С. 131-134.

3. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. 1985. - 408 с.

4. Chemov V.M. Fast uniform distribution of sequences for fractal sets // Proceedings of International Conference on Computer Vision and Graphics, 2004. September 22-24, 2004, Warsaw, Poland, Computational IMAGING AND VISION SERIES, Kluwer Academic Press.

5. Ferrenberg A.M., Landau D.P. and Wong Y.J. Monte Carlo simulations: Hidden errors from ''good'' random number generators // Phys. Rev. Lett. 69. P. 3382 (1992).

6. Kalouguine A.N., Chernov V.M. 3D generalization for LFSR random point Generator // Proceedings of the Second IASTED Int. Multi-Conference "Signal and Image Processing" June 20-24, 2005, Novosibirsk, Russia. 2005. P. 122-125.

7. Katai I. Generalized Number Systems in Euclidean Spaces // Mathematical and Computer Modeling. 38. 2003. P. 883892.

8. Kovacs A., Generalized binary number systems, Annales Univ. Sci. Budapest, Sect. Comp. 20. 2001. P.195-206.

9. Kovacs A. On number expansions in lattices, Proc. 5th Internation Conference on Applied Informatics, Eger, Hungary, 2001.

10. Lidl R., Niederreiter H., Finite Fields (Addison-Wesley, Reading, Massachussets, 1983).

11. Niederreiter H. Random Number Generation and QuasiMonte Carlo Methods, volume 63 of SIAM CBMS-NF Regional Conference Series in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia, 1992.

12. Random and Quasi-Random Point Sets, P. Hellekalek, G. Larcher, Eds, Lecture notes in statistics, 138, Springer, 1998.

13. Vattulainen I. Framework for testing random numbers in parallel calculations // Phys. Rev. E. 59. 6. P.7200 (1999).

14. Coddington P. Random Number Generators for Paral-

lel Computers, NHSE Review, Second Issue, Northeast Parallel Architectures Center, 1996 .

[http://nhse.cs.rice.edu/NHSEreview/RNG/].

15. Hellekalek P. Don’t trust parallel Monte-Carlo. [http://random.mat.sbg.ac.at/]