О гиперболических параметрах решётки линейного сравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 50-62 = Математика

УДК 511.9

О гиперболических параметрах решётки

*_* чЬ

линеиного сравнения *

А. В. Родионов, С. Ю. Чуприн

Аннотация. В задачах интерполяции периодических функций многих переменных и при решении задачи Коши для уравнений с частными производными на классах периодических функций значительную роль играют гиперболические параметры решётки решений линейного сравнения. Ещё одним важным понятием для этого класса задач является понятие абсолютно наименьшей полной гиперболической системы вычетов фундаментальной решётки Zs по произвольной целочисленной подрешетке Л. Доказана теорема о количестве целых точек на границе гиперболического креста, а также рассмотрен алгоритм вычисления гиперболических параметров целочисленных решеток решений линейных сравнений, соответствующих параллелепипедальным сеткам. Алгоритм заключается в переборе всех точек гиперболического креста в лексикографическом порядке и проверке на принадлежность данной точки полной системе вычетов. Подходящие точки добавляются к матрице размера в х N. Когда абсолютно наименьшая полная гиперболическая система вычетов построена, алгоритм прекращает выполнение, причём вместе с указанной матрицей вычисляются первый, второй и третий гиперболические параметры.

Ключевые слова: целочисленная решетка, гиперболический крест, гиперболические параметры решётки.

1. Введение

Пусть £ — действительное число, ш(£) = тах(1, |£|), х = (х0,х\,...

... ,х3-\) — вектор с действительными координатами.

Усеченная норма вектора х имеет вид

д(х) = т(хо) ■ ш(х\) ■ ... ■ т(х3-\).

Как известно (см. [6]), в методе оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова приближенного вычисления кратных интегралов норма линейного

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571).

функционала К. [/] погрешности многомерной квадратурной формулы

10 /0,N |/(¿.{£}............................{^}) - к./

с параллелепипедальными сетками на классе периодических функций Е<а в точности равна величине гиперболической дзета-функции (н (Л|а) решётки Л = = Л(й1, а2,..., аз-1) N) (см. [2]). Здесь Л — множество решений линейного сравнения

ж0 + а1 ■ ж1 + ... + а3-1 ■ ж3-1 = 0(шоё N), (1)

где а,] и N взаимно простые: (а^, N) = 1 (] = 1,..., в — 1).

По теореме Н. С. Бахвалова (см. [1]) для гиперболической дзета-функции решётки

(н(Л|а) = ^ 9(ж)-“

хел\{0}

справедливо неравенство

Л (А1„, ^ (1п(5(Л)) + 1)3-1 Сн(Л|а) «-----------------'

где

д(Л) = д(аь а2,..., а5-1) N) = шт(д(|/) | у € Л(а1, а2,..., а5-1) N^{0})

— гиперболический параметр решетки Л.

Рассмотрим гиперболический крест

К8(£) = {ж | ж = (ж0, ж1,..., ж3-1), д(ж) ^ ¿},

а также открытый гиперболический крест

К(^) = {ж | ж = (ж0, ж 1,... ,ж3-1), д(ж) < ¿}.

Тогда д(Л), с одной стороны, равно наибольшему значению ¿, для которого К*(£) не содержит ненулевых точек решётки, с другой стороны, д(Л) равно такому единственному значению ¿, что К(£) содержит ненулевые точки решётки только на границе.

В работах [4] и [5] рассмотрена задача о вычислении гиперболического параметра решётки решений линейного сравнения (1) и построен рекурсивный алгоритм для решения этой задачи.

В работах [3] и [7] показано, что в задачах интерполяции периодических функций многих переменных и решения задачи Коши для уравнений с частными производными на классах периодических функций важную роль играют и другие гиперболические параметры решётки решений линейного сравнения (1). Речь идет о втором и третьем гиперболических параметрах решётки.

Ещё одним важным понятием для этого класса задач является понятие абсолютно наименьшей полной гиперболической системы вычетов фундаментальной решётки по произвольной целочисленной подрешетке

Целью настоящей работы является построение алгоритма для вычисления трёх гиперболических параметров решётки решений линейного сравнения (1) и нахождения наименьшей полной гиперболической системы вычетов фундаментальной решётки по этой подрешетке.

Пусть Л1,..., Л3 — линейно независимая система векторов вещественного арифметического пространства М3. Совокупность Л всех векторов вида

где пробегают все целые рациональные числа, называется решеткой в М5, а сами векторы Аі,..., Л5 — базисом этой решетки.

Усеченной нормой называется величина д(ж) = Жі ■ ... ■ ж8, где для действительного х обозначаем х = ш(х) = тах(1, |х|). Гиперболический параметр д(Л) решётки Л определяется равенством

Он имеет простой геометрический смысл: гиперболический крест К5(Т) не содержит ненулевых точек решётки Л при Т < д(Л).

Назовем г-й компонентой гиперболического креста К5(Т) подмножество

К (Т) = {х | д(х’) ^ Т и ровно г координат х отличны от 0}.

Ясно, что справедливо следующее разбиение гиперболического креста:

Если М С Л - подрешетка решетки Л, то величина D = det М/ de^ называется индексом подрешетки М решетки Л. Два вектора X и у решетки Л сравнимы по подрешетке М ( находятся в одном классе относительно подрешетки М), если x — y € М. В этом случае пишем x = y (mod М). Индекс D подрешетки М решетки Л равен числу классов решетки Л относительно М.

Каждая полная система вычетов решётки Л относительно М имеет естественную структуру конечной абелевой группы, изоморфной Л/М.

Отсюда следует, что для любой целочисленной решетки Л обобщенная параллелепипедальная сетка М (Л) является полной системой вычетов взаимной решетки Л* относительно фундаментальной решетки Zs, т.е.

Л.

2. Общие сведения и обозначения

aiAi + ... +

д(Л) = min ^q(X).

жЄЛ, x=o

M(Л) = Л*^5. Таким образом, на обобщенной параллелепипедальной сетке целочисленной решетки определена естественная операция сложения, относительно которой она является конечной абелевой группой.

Полную систему вычетов фундаментальной решетки Zs относительно целочисленной решетки Л будем обозначать через M*(Л), хотя она определена неоднозначно. Ниже будут сформулированы дополнительные условия для выбора M *(Л).

В одномерном случае любая целочисленная решетка имеет вид pZ и множество чисел {—pi,..., 0, ...,Р2}, где pi = [p--] , p2 = [2] , является наименьшей абсолютной полной системой вычетов одномерной фундаментальной решетки Z по подрешетке pZ. Приведем многомерный аналог этого понятия из работы [3].

Определение 4. Полная система вычетов фундаментальной решетки Zs относительно целочисленной решётки Л называется

минимальной гиперболической полной системой вычетов, если минимальный гиперболический крест, содержащий эту полную систему вычетов, имеет минимальное значение своего параметра для всех полных систем вычетов фундаментальной решетки Zs относительно целочисленной решетки Л.

Определение 5. Полная система вычетов фундаментальной решетки Zs относительно целочисленной решетки Л, состоящая из

представителей классов вычетов с наименьшей усеченной нормой среди всех элементов класса вычетов, называется абсолютно минимальной гиперболической полной системой вычетов.

Такая полная система вычетов обозначается через M*(Л). Вообще говоря, полная система вычетов M*(Л) определена неоднозначно. Это видно на примере решетки NZs при четном N. Действительно, N2 = —N2 (mod N). Уже в одномерном случае две полные системы вычетов {—Ni,..., 0,..., N2} и {—N2,..., 0,..., N1} удовлетворяют определению 5. В s-мерном случае таких систем будет 2s. Для однозначности выбора M*(Л) можно еще ввести лексикографический линейный порядок на Zs. Тогда из нескольких возможных элементов с одинаковым значением усеченной нормы выберем наименьший в смысле лексографического упорядочивания. Тем самым M*(Л) будет определено однозначно.

Лемма 1. Для любой целочисленной решетки Л и подрешетки Л1 справедливо вложение

M*(Л) С M*(Л1)). (2)

Доказательство. Так как Л1 С Л, то из x = y (mod Л1) следует, что x = y (mod Л). Поэтому каждый класс вычетов x (mod Л) является

объединением d ^л1 классов вычетов y (mod Л1). Так как элемент с наименьшей усеченной нормой в классе вычетов x (mod Л) окажется

элементом с наименьшей усеченной нормой в одном из классов вычетов y (mod Л1) с x = y (mod Л), то лемма доказана.

Для произвольной целочисленной решетки Л определим второй и третий гиперболические параметры.

Определение 6. Вторым гиперболическим параметром целочисленной решётки Л называется наименьшее натуральное число д2(Л), такое, что гиперболический крест K(q2(Л)) содержит полную систему вычетов фундаментальной решетки Zs относительно целочисленной решетки Л.

Определение 7. Третьим гиперболическим параметром целочисленной решетки Л называется наибольшее натуральное число ^3(Л), такое, что все целые точки гиперболического креста K(д3(Л)) содержатся в полной системе вычетов фундаментальной решетки Zs относительно целочисленной решетки Л. Другими словами, все целые точки этого креста несравнимы по модулю Л.

Из определений 6 и 7 сразу следует, что

9з(Л) < д(Л), 93(Л) < 92(Л).

Лемма 2. Для любой целочисленной решетки Л найдется минимальная гиперболическая полная система вычетов M *(Л) фундаментальной решетки Zs относительно подрешетки Л такая, что выполнены соотношения

K(9з(Л)) С M*(Л) с KЫЛ)). (3)

Доказательство. См. [3] стр. 129.

Лемма 3. Абсолютно минимальная гиперболическая полная система вычетов Mя (Л) фундаментальной решетки Zs относительно подрешетки Л удовлетворяет соотношению (3).

Доказательство. См. [3] стр. 130.

Рассмотрим теперь основные свойства первого гиперболического параметра.

Лемма 4. При N < 2s для гиперболического параметра д(Л) решетки Л = Л(а1, а2,..., as-1; N) справедливо равенство ^(Л) = 1.

Доказательство. См. [4] стр. 39.

Из этой леммы вытекает, что задача вычисления гиперболического параметра д(Л) решетки Л(а1, а2,..., as-1; N) содержательна только для N ^ 2s.

Лемма 5. Для любого N ^ 3 справедливо неравенство ^(Л) < ^.

Доказательство. См. [4] стр. 40.

Рассмотрим величину

г(к) = шш

(4)

Тогда имеет место следующее утверждение.

Лемма 6. Для гиперболического параметра д(А) решетки Л(а; N) справедливо равенство

Доказательство. См. [4] стр. 40.

Лемма 7. Для любого ж € Zs-1P| К— (^) \{0} с г((а, ж)) ■ д(ж) < у справедливо равенство

д(А) = шт(г((а,ж)) ■ д(Х), шт(г((а, у)) ■ д(у) | у € К-^г^а,ж)) ■ д(Х)\{0}))). Доказательство. См. [4] стр. 40.

Наряду с нахождением решения однородной задачи будем рассматривать совокупность неоднородных задач вида

жо + а1 ■ ж1 + ... + аа ■ жа + Ь = 0(шоё N) (й = 1,..., 5 — 1). (6)

Множество решений сравнения при заданных с! и Ь обозначим через Аа(Ь) = = Ла(а1,..., аа; N, Ь). Это множество является сдвигом решетки Ла(0) на любое частное решение (6).

3. О числе целых точек на границе гиперболического креста

Рассмотрим границу гиперболического креста

через NKs(í) обозначим количество целых точек на границе СКй(£). Ясно, что NKs(í) > 0 только для £ € N.

Через NKSг(í) обозначим количество целых точек общего положения на границе СКй(£). Напомним, что точка ж называется точкой общего положения, если все её координаты отличны от нуля.

Лемма 8. Для любого натурального £ справедливо равенство

Й=1

Доказательство. Определим для натуральных к с 1 ^ к ^ в множество целочисленных векторов ^ следующим образом:

(5)

СКй(£) = {ж | ж = (ж0, ж1,..., ж8-1), д(ж) = £},

NKS(Í)^ С* N^5 (£).

(7)

Другими словами, каждый вектор ^ является перестановкой чисел 1,..., в такой, что первые к координат и последние в — к координат образуют монотонно возрастающую последовательность. Ясно, что для количества элементов в множестве 7к справедливо равенство 17к | = .

Будем для границы СК,(4) и вектора ^ Є 7к через СК„ , обозначать

£,3к

множество целых точек на границе креста таких, что

ж,к^ = 0при (1 ^ V ^ к) ж,к^ = 0при (к + 1 ^ V ^ в).

Очевидно, что

£

™.и = £ Е і°к.аі-

к= /кЄЛ

Так как |СК,,к | = N^(4) и |7к| = , то

£ £ £

N^,(4) = £ £ |СКв, | = £ £ N^(4) = £ | ЛN^*(4) = к=11к ЄЛ к=1 'ік^^к к=1

= £ Ск N^(4) к=1

и утверждение леммы полностью доказано.

Обозначим через Тк (4) число решений уравнения

Ж1 ■ ... ■ Жк = 4 (8)

в натуральных числах Ж1 ... Жк.

Лемма 9. Для любого натурального 4 справедливо равенство

ЖКк(4) = 2к Тк (4). (9)

Доказательство. Обозначим через К+(4) множество точек на границе СКк(4), у которых все координаты ж1, ж2,..., Жк Є N. Таким образом,

К+(4) = {ж = (Ж0,Ж1,... ,Жк-1) | ж, > 0 (;' = 0,... ,к — 1), Жо ■ ... ■ Жк-1 = 4}.

Это есть множество решений уравнения (8).

Обозначим через ЖК+(4) количество точек множества К+(4). Из (8) следует, что N^+(4) = тк(4). Поскольку N^(4) = 2к ■ N^+(4), то N^(4) = = 2ктк(4). Лемма 9 доказана.

Лемма 10. Если 4 = р*1 Р22.. .Р^Т, то

т (4) _ с к—1 С к—1 С к—1

Тк(4) = Саі+к—1Са2+к—1. . . Сат+к—Г

Доказательство. Рассмотрим случай 4 = ра. Задача нахождения Тк(4) сводится к нахождению числа решений уравнения

в1 + ^2 + ... + ^к = а

в целых неотрицательных числах.

Как известно, количество решений этого уравнения равно С<к+к— 1 (число сочетаний с повторениями), а значит,

Тк (Ра) = ск+к—1.

В случае же 4 = р^1 РГ...РтТ задача нахождения Тк(4) сводится к нахождению числа решений системы уравнений

Ґ в1 1 + в1 2 + ... + в1 к = а1

I вт 1 + вт 2 + ... + вт к = ат в целых неотрицательных числах.

Из предыдущего следует Тк(4) = Ск—_^к—1Ск—-+к—1... скТ+к— 1 и

утверждение леммы доказано.

Лемма 11. Если р — простое число и 4 не делится на р, то

■ р) = к ■ ЖКк(4). (10)

Доказательство. Согласно лемме 10 при 4 = р^1 р^2.. .р^Т имеем:

р ■ 4=р ■ р?1 ра2 ...ртт;

_ / ./.л _ гчк—Хг'*к—1 г^к— 1 г^к— 1 _

Тк(р ' 4) = ск Са1+к—1Са2+к—1. . . °ат+к—1 = к—1 /~гк—1 /~гк—1

=к ■ саг+к—1са2_+к—1... сат+к—1 =к ■ Тк ю.

Подставляя в (9) р ■ 4, получим

ЖКк(р ■ 4) = 2кТк(р ■ 4) = 2к ■ к ■ Тк(4) = к ■ ЖКк

Лемма 11 доказана.

В частности, подставляя в (10) 4 = 1, имеем

ЖКк(р) = к ■ 2к.

Теорема 1. Справедливо равенство

в

отси = ^ с*. 2к ■ ск—+к_,... ск:+к.1-

к=1

Доказательство. Из лемм 9 и 10

ЖКк(4) = 2к ■ Ск—+к—1СкЙк—1... СкТ+к—1.

Согласно лемме 8

та-,® = ^ с,к ■ 2к. ск-+к—1- • • ск-+к—г

к=1

Теорема доказана.

4. Линейные порядки на целочисленном гиперболическом

кресте

Определим линейный порядок < I на множестве целых чисел отрезка [—4,4] следующим образом:

О < Д < * — 1 < ¿2 < * — 2 < ¿... < < * — [4]. (11)

Таким образом, если а, Ь € [—4,4], то а < *Ь, если |а| < |Ь| или а > О, Ь = —а.

Лемма 12. Если 4 < и и а, Ь € [—4,4], то из а < иЬ следует а < *Ь.

Доказательство. См. [4] стр. 44.

Обозначим через 2Кв(4) и 2К|(4) множество целых точек, принадлежащих соответственно Кв(4) и К*(4). Заметим, что 2Кв(4) = = 2К*(4) при 4 € N и 2Кв(4) = 2К|(4) при 4 € N, так как в последнем случае всегда найдутся хотя бы 2е целых точек на границе Кв(4) и все эти точки не принадлежат К* (4).

Из предыдущего следует, что при 4 > 1,4 € N справедливы равенства

Ж(4) = ЯКв* (4) = ЯКв(М) = ЯК** ([4] + 1),

при 4 > 1,4 € N

^Кв (4) э Ж* (4) = ^Кв(4 — 1).

Кроме того,

£Кв(1) = {—1, 0,1}в, Ж*(1) = 0.

Множество 2Кв(4) будем называть целочисленным гиперболическим крестом.

Лемма 13. Для любого (I = 1,..., в — 1 справедливо представление

2ВД=хД,Их ^ ■

Доказательство. См. [4] стр. 45.

Введём линейный порядок -< * на целочисленном гиперболическом кресте 2Кв(4) при 4 ^ 1 следующим образом. Каждому вектору ж(ж1, ж2,..., жв) поставим в соответствие вектор ж*(д(ж), ж1, ж2,..., жв). Для ж, у € £Кв(4) ж -< -< ¿у, если существует такое 1 ^ j ^ в, что жк = у* при 1 ^ к ^ j — 1 и ж* < ¿у*. Нетрудно видеть, что порядок -< * является порядком лексикографического типа.

,

5. Рекурсивный алгоритм

Сначала опишем несколько вспомогательных функций. Функция Ьех(п):

Ьех(п} := (-1}П+^сеД:

і)

ставит любому неотрицательному целому числу п в соответствие целое число таким образом, что если мы вычислим Ьех(ж) для ж € 1... N, то получим N чисел, расположенных в лексикографическом порядке, который определён соотношением (11). Вспомогательная функция А^теп^ж, М):

добавляет к матрице М столбец слева, состоящий из чисел ж. Функция 81аек(Х, У):

81аск(Х,У) := У оп еттог 51аск(Х3У)

присоединяет к матрице X снизу матрицу У. Её отличие от стандартной функции 8Іаек(Х, У) состоит в том, что в случае, если первая матрица не существует, то результатом будет не сообщение об ошибке, а другая, существующая матрица. Далее опишем функции Ыоё(ж,у) и Біу(ж,у):

Мо(1(х,у)

О ї у= О то(1(х,у) оіЬепнзє

Моё(ж, у) — аналог стандартной функции, только в случае у = О результатом будет ж. Функция Б1у(ж, у) выполняет целочисленное деление, с той лишь особенностью, что Б1у(ж, 0) = ж. Необходимость этих функций обусловлена особенностью усеченной нормы:

Функция Бг(ж, у) находит наименьшее неотрицательное решение г сравнения

ж = г(шоё у) :

Функция ОСг(в, 4) формирует матрицу, строками которой являются векторы в-мерного гиперболического креста Кв(4), расположенные на границе в лексикографическом порядке:

Основная функция МЬ(а, N) для решётки Л(а, N) строит абсолютно наименьшую полную гиперболическую систему вычетов, а также вычисляет три гиперболических параметра. Алгоритм заключается в переборе всех точек гиперболического креста в лексикографическом порядке и проверке на принадлежность данной точки полной системе вычетов. Подходящие точки добавляются к матрице размера в х N. Когда абсолютно наименьшая полная гиперболическая система вычетов построена, алгоритм прекращает выполнение, причём вместе с указанной матрицей вычисляются первый, второй и третий гиперболические параметры.

Список литературы

1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестник МГУ. Сер. Математика. 1959. № 4. С. 3-18.

2. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах E0*(c) и Ha(c). Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6091 - 84.

3. Многомерная теоретико-числовая Фурье-интерполяция / Н.М. Добровольский [и др.] // Чебышевский сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2004. Т. 5. Вып. 1(9). С. 122 - 143.

4. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решеток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 1998. С. 90.

5. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5. Вып. 3. C. 38-51.

6. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288 с.

7. Родионов А. В. О методе В. С. Рябенького - Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными // Чебышевский сборник. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2009. Т. 10. Вып. 3. С. 82-96.

Родионов Александр Валерьевич ([email protected]), ассистент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.

Чуприн Сергей Юрьевич ([email protected]), ассистент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.

Hyperbolic net parameters of a linear congruence A.V. Rodionov, S. Yu. Chuprin

Abstract. In interpolation problems of periodic functions of several variables in the solution of the Cauchy problem for partial differential equations periodic functions play a significant role hyperbolic net parameters of solutions of a linear comparison. Another important concept for this class of problems is the concept of a hyperbolic system of the lowest total deductions fundamental latticen Zs for arbitrary integer sublattice Л. We proved that the number of net points on the boundary of the hyperbolic cross, as well as the algorithm of calculating the parameters of integral net of hyperbolic solutions of linear congruences corresponding parallelepiped grids. Algorithm is iterating through all of the hyperbolic cross points in lexicographical order and checking for membership this point a complete system of residues. Suitable points are added to the matrix s x N. When is the smallest full -hyperbolic system of deductions built, the algorithm terminates execution, and together with said matrix are calculated first, second and third parameters are hyperbolic.

Keywords: integral net, hyperbolic cross, hyperbolic net parameters.

Rodionov Alexander ([email protected]), assistant, department of mathematical analysis, algebra and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Chuprin Sergey ([email protected]), assistant, department of mathematical analysis, algebra and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Поступила 15.01.2014