Краевые задачи типа Римана для двоякокруговых областей c краевым условием, содержащим частные производные Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2001, Том 3, Выпуск 1

УДК 517.55

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ ДВОЯКОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ, СОДЕРЖАЩИМ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

X. П. Дзебисов

В теории аналитических функций комплексного переменного краевой задачей типа Ри-мана называют задачу нахождения двух функций /^(.г) и (г), аналитических соответственно внутри и вне некоторого замкнутого контура Ь, по известному на контуре линейному соотношению граничных значений не только этих функций, но и значений их производных.

В работе эта задача рассматривается для аналитических функций двух комплексных переменных в полных двоякокруговых выпуклых областях пространства С2. Разработанный математический аппарат решения рассматриваемых краевых задач позволяет найти их решения в замкнутом виде, что является крайне редким фактом для функций многих переменных.

Рассмотрим в пространстве С2 функцию двух комплексных переменных f(z) (г = (21,22)), определенную интегралом

/3 2тг

™ = ткI*I* I ^Ш)' (1)

а 0 |£| = 1

где 0 < а < /3 < 1, 8г > 0, 62 > 0, М1(т,<$) = т61 гг+т62г2еи, -Р(£,£) е Ыр^(а), т.е. на множестве А = {(£,£) : 0 < £ < 2тт, |£| = 1} функция £) удовлетворяет условию Липшица с показателем 0 < а < 1 по С равномерно относительно /. Функции, определенные интегралом (1), отнесем к классу .

Разобъем пространство С2 на следующие непустые пересекающиеся мно-

© 2000 Дзебисов X. П.

жества

= {(г) :/Зб1\г1\ +/З5*^-! < 0},

5 1 — {(Ф Л2 а) >0, Х2(/3) >0},

5 2 = {(Ф Аз а) <о},

= {(*): Ах а) < 0, Аз св) < 0},

Е2 = {(*): Ах а) < 0, АхСв) > 0, А2(/?) < 0, ХМ > 0, \г2\>р\ггП,

Я3 = {(*): Ах а) <0, А2(/?) <0, Ы <р\ггП,

= {(*): Ах а) > 0, А2(а) < 0, Аз (а) > 0, А 3(/3) < 0, |*2| > рЫ"},

Е6 = {(Ф а2 а) <0, л3(/?) < 0, ы<р\г1п,

е7 = {(Ф Ах а) >0, л3(/?) > о, ы > ркхГ},

Ев = {(Ф Ах а) > о, А2(а) < о, А2(/3) < 0, Аз(/?) > 0, Ы < р^Г},

Ед = {(Ф Ах а) > 0, Х2(а) > 0, Лз(/3) < 0},

Ею = = {(*) : А: г{а ) >0, Х2(/3) < 0, А3(/?) > 0},

Ец = = {(*) : А: г{а ) >0, А2(/?) < 0, Аз (/?) > 0},

Х1(т) = т^\г1\ + т^\г2\^1,

Х2(т) = т^\г1\^т^\г2\^1,

А3(т) = т51|21| + т52|г2| + 1,

В каждом из указанных множеств для функций класса Л/^'^ были получены вычислительные формулы, представимые повторными интегралами, см. [5]. Так, например:

ТО /3

т\ а

/3 2тг

/(*)=/Лт J /±(г, М1(г, <$))<*т Сге^ОМъ^и, хи, 2), (4)

а О

где

/±(r,ui(r,5)) = -^ [ /(Le!''ly \щ(т,3)\<1, (\щ(т,3)\> 1), ¿m J £ — U\[T, О)

\z 1 = 1

2тг

^(т) = — / /±(í,Mi(r,S))dt, (5)

27Г У

о

2тт — 1р(т)+'ф <~р{т)+'ф

= ¿ I f+(r,Ul(T,S))dt+-L I r(r,Ul(T,S))dt, (6) <¿>(r)+V> -<¿>(T)+V>

¥>(r) = arceos ((1 - r2,5l|zi|2 - r2Ä2|z2|2)/2rÄ1+Ä2 • |zi||z2|) , (7)

ф = arg — arg ;•_>,

Го, Ti — нули функций Л| и Л-_> соответственно. Как показали исследования [5], функции класса Л/^''^ являются непрерывными в пространстве С2, аналитическими в областях /\ (,1. д i. ()•_>). , i и , 2 и неаналитическими в области C2\(K(ß, Si, S2) U , i U , 2), причем K(ß,S i,S2) есть ограниченная полная выпуклая двоякокруговая область с центром в точке (0,0) [1].

Пусть / g , D= Y, Sk(^zk + , L[f] = f + Df.

k= 1

функции, определяемые дифференциальным оператором L[f] отнесем к классу / . Функции же

2тг 2тг

h±(a) = ^ J ^(t^iiaj^dt и /i± (/?) = ¿ J /±(¿,Mi(A¿))dí (8)

о о

отнесем к классу Г, они являются аналитическими соответственно в областях

K{a,Si,S2) (02 = {(г) :aÄ1|zi|-aÄ2|z2|-l>0})

и

K(ß, Si, S2) (fix = {(г) : \ziI - ß6* \z2\-l> 0}) и неаналитическими в областях С2\К(а, Si, S2) L 11 C2\K(ß, Si, S2) U fii

(CM. [1]).

Теорема 1. Пусть /•'(/. О Е Ыр^(а). Тогда в области /-,'•_> функции классов и Т связаны соотношением

Ь[/](г) = /(г) + £>[/(*)] = /%(/?) - аЛ+(а), (9)

где д({3) определяется из формулы (6).

< Пусть (г) Е />_> • Тогда функции класса в этой области представп-

мы повторными интегралами (2), в которых произведем замену переменной г по формуле

т = р-А~1, А = ¡г^1 + . В результате получим

то А

(ЗА

аА

то

К обеим частям полученного равенства применим оператор I). пользуясь обобщением формулы Лейбница о дифференцировании интеграла от параметра

то А /ЗА

Р

D[f{z)

D

9

А

dp

dp+ J D

аА то

+ D[t0A] (h+(r0) - g(r0)) + D[f3A]g(f3) - D[aA}h+(a). Непосредственным подсчетом убеждаемся, что

(10)

/Гт„,1] = 0, £>[/М] = (ЗА, В[аА] = следовательно, из (10) получим доказываемое соотношение (9). >

Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 функции классов Л/^' ' ^ и Т в области К([3, ¿1, 62) связаны соотношением

¡(г) + £>[/(г)] = ¡ЗН+ЦЗ) - аЛ+(а). (И)

< Доказательство равенства (11) аналогично доказательству теоремы 1. > Рассмотрим следующие двумерные множества пространства С2:

Сг = {(z) : \Zl\ = Г6\ ¿2 = 0},

C2 = {(z):\z 1\=a~s\ z2= 0}, C3 = {(z):z! = 0, \z2\=ß~s*},

C4 = {(z) : Zl = 0,\\z2\ = a^}.

Теорема 3. Если F(-, •) G Lip^(a), /(•) G то функции класса

непрерывны в пространстве С2 за исключением множеств ( ),.. k = 1, 2, 3, 4.

< Найдем предельные значения функций класса / л,'!, из областей /,'•_> и К(ß, 61,62) на двумерном множестве Ci.

1. Пусть (;) G /,'•_>. Через

ß2S*\z2\2 + ß2Sl |zi|2 - 2ß6^ +Й21Zl 111m = 0, Vm,l{ß) = { arg Z\ — arg :•_> = /. arg() = arg r,1 — /. (12)

|m| <1, Z < 2тг, > 0, ¿2 > 0, 0 < ß < 1,

обозначим семейство двумерных поверхностей, проходящих через фиксированную точку (z?,0) = (£о/ГЙ1,0) = (.z°) G С1, |Со| = 1-

Из задания crTOi; следует, что в равенстве (6) величины <p(ß) и ф будут постоянными, если (z°) G <Jmj(ß)-

На этом основании будем обозначать <p(ß) через ipm, а ф через I, если точка (z) принадлежит какой-либо фиксированной двумерной поверхности <Jmj(ß). В дальнейшем будем понимать под

lim L[f](z) = L[f2}(z°), (13)

если (z) G (Jmjiß), (z°) G Ci, ICol = 1? где L[f] —дифференциальный оператор, определяемый равенством (9).

2. Пусть теперь (z) G crm,i{ß) G Е2, (z°) G C\.

В равенстве (9) перейдем к пределу при (z) —(z°). Тогда

L[f2](z°)=ß lim #)-а lim h+(a). (14)

а) Существование lim g(ß) по двумерной поверхности am 1 доказано в (.г)-Кг°)

[2] и [3]. Оттуда же следует, что

2тг

(*)-К*°) 4ir2iJ J C^Co 0 lf 1=1

141 (15)

2ж l+Vm

0 *-«>m

где особый интеграл [ понимается в смысле главного значения по Ко-

ши.

б) Так как функция Н+(а) аналитическая в области К (а, ¿1, 62), то в силу Н+(а) имеем

2тг

Пт Л+(а) [ <11; [ -ЩЩ,, (16)

(*)-К*°) 4тг2г У У £-и?(а,<$)

о |£| = 1

где

*;(м) = 'со, 1Со1 = 1. (17)

Подставляя правые части равенств (15) и (16) в (14), окончательно получим

2тг 2тг

1е1=1 0 (18) 1-Ч>ш 0 |£| = 1

3. Пусть (г) Е К((3,5ъ52) и (г) (г°) е Съ

Используя формулу (11) и проведя аналогичные выкладки как в пункте 2, получим

2тг

(*)-К*°) ^ А > 4ж2г У У С ^ Со

О |£ 1=1

141 (19)

2тг 2тг 4 7

о о |£|=1

Сравнивая формулы предельных значений (18) и (19) из областей Е2 и К({3,61,62) на множестве С1, заметим, что в точке е С1 при переходе из области Кф, 61,62) в область функции класса совершают скачок

равный

= ^ [ Со) л. (20)

На этом основании соотношения (18) и (19) можно считать аналогами формул Сохоцкого для функций класса / . Оттуда же следует справедливость теоремы 3 для множества С\.

Для остальных множеств (),. к = 2,3,4 доказательство теоремы анало-

ГП11110.

Для постановки и решения краевых задач потребуется еще предельное значение функций класса в точке = (£о/^Й1,0) е С\.

Пусть (г) Е С2. В силу непрерывности функции класса Л/^''^ в С2, это предельное значение будет равно

/3 2тг

- Л<*°> = / * / а / (21)

а 0 = 1

где

Г /+(г°), если (г) еК(/3,51,52), 11111 = < „

0)^0°) [ /2(^ )5 еСЛИ (г) € Е2,

Отметим, что "-''(т. д) = 1 при т = [3, поэтому только в этом случае внутренний интеграл в формуле (21) будем понимать как особый в смысле главного значения по Коши.

Приведем определения следующих функций [3]

Определение 1. Будем говорить, что однозначная функция (/(£./. принадлежит классу А+ (или А-) и писать а(£, I, (рт) е А+ (или I, (рт) е А-), если она допускает непрерывные частные производные по действительным переменным I, <рт (|/| < 2ж, \фт\ < ж) такие, что

да да 1 . . да да 1 . .

~Б7 + я-=--РУ + РтЛ), 777 71-= -1- (1 ~ ут-С)

д1 д^рт ж д1 д^рт ж

да да 1 да да 1 или — + -- = -/• ( / + Ч>тЛ), "Н7 — т:- =--/• (' - ¥>т, С)

о1 д^рт Ж д1 д^рт Ж

где £) Е Ырд(а), £ — комплексное переменное (|£| = 1).

Определение 2. Будем говорить, что однозначная функция С (С I. принадлежит классу А (6* (г А), если она допускает непрерывные частные производные по действительным переменным I и (рт (|/| < 2ж, \(рт < 7г|) такие,

дС дС 1

-7ТГ + т:- =--(<(!■ У т. - О ■ /•'(/ + ¥>т, С),

о1 д(рт ж

c)G c)G 1

- ô- = -G{l,4>m,£) • F (I -

al d(pm 7г

где F(t, £) e Lip^(a), £ — комплексное переменное (|£| = 1), G(£,l,ir) = 1.

В [3] также сформулированы необходимые и достаточные условия принадлежности функций а(£,1,<рт) и I, <рт) к классам Л+, А", Л. Приведем их.

Лемма 1. Для того чтобы однозначная функция „{{. I, çin) была иредста-вима в виде интеграла

^ J F(t, £) dt, или J F(t, £) dt,

1+<Рт 1+<Рт

где F(t,£) Е Ырд(ск), необходимо и достаточно, чтобы a(£,l,<pm) Е А^ (А+).

Лемма 2. Для того чтобы однозначная функция G(£,l,<pm) Е А необходимо и достаточно, чтобы G(£,l,ipm) = где a(£,l,ipm) Е А+ (А-). Перейдем теперь к постановке краевых задач.

Предварительная краевая задача. Пусть в пространстве С2 заданы области К(/3,61,62) и Е2. Требуется найти функцию f(z) класса М^'^ , исчезающую на многообразии бесконечно удаленных точек, разность предельных значений L[f+](z°) и L[f'2}(z°) которой в точках множества Ci, удовлетворяют соотношению

L[f+}(z°)^L[f2}(z0)=f3a(t,l,<pm). (22)

Решение. Так как а(£, I, (pm) Е А , то на основании леммы 1 найдется такая функция F(t, £), что

l+Vm

а(£,1,<рт) = ^ J F(t, О dt,

1 — <Рт

где F(t,£) Е Ырд(а), поэтому краевое условие (22) эквивалентно формуле (20). Следовательно, функция из класса Л/^'*^ дает решение задачи. Очевидно, что в классе функций это решение единственно. Действительно, допустим,

что задача (22) имеет еще одно решение в классе Л/^'*^ и пусть

a 0 = 1

означает разность этих двух решений. Тогда в силу условия (22) должно быть

L[/](z°)-L[/](z°)= О, т. е. (/(£. I, ipm) = 0. Отсюда и из леммы 1 следует, что /•'(/. Q = 0, поэтому

/СО = 0.

Краевая задача 1. Пусть в С2 заданы области К(/3, Si, S2) и Е2. Требуется найти функцию f (z) класса Af^'^, обращающуюся в единицу на многообразии бесконечно удаленных точек, предельные значения ///+]() и L[f2](z°) которой в точках множества С\ = {(z) : z® = ~'J = 0} удовлетворяют

соотношению

L[f+}(z°)=G(i,l,<pm)L[f2}(z°), (23)

где G(£,l,(pm) е Л.

Решение краевой задачи 1 легко находится при помощи решения предварительной краевой задачи. Действительно, логарифмируя краевое условие (23), получим

In L[f+] (z°) - In L[f2] (z°) = In G(C, <pm). (24)

На основании леммы 2 и определения функции G(£,l, ipm)

l+Vm 1 f

In G(£, I, <p) = /За(£, I, <pm) + 2жпг =— / F(t, £) dt + 2imi,

2n J

l фт

где F(t,0 e Ырд(a). Таким образом,

l+Vm

lnL[/+](z°)^lnL[/2](z°) = ^ J F(t,Odt+27rm. (25)

l — <Pm

Полагая

an (С, I, Vm) = a(£, I, (pm) + 2-кпг, , (z) = lnL[f](z), условие (25) перепишется так

,+(z°)^,^(z°)=an(t,l,<pm). (26)

Следовательно, мы пришли к задаче отыскания функции класса М^ по разности предельных значений LnL[f](z) и lnL[f2](z) в точках множества

Ci, которая была бы разрешима, если в краевом условии (26) правая часть а(£, I, е Л^ и, поэтому а(£, I, ipm) = 0.

Таким образом, для разрешимости задачи с краевым условием (26) правая часть an(£,l,<pm) должна удовлетворять условию

Vrn) = 0. (27)

Из условия (27) и определения an(£, I, </?то), получаем, что задача с краевым условием (26) будет разрешима при п = 0.

Решение ее в классе функций Л/^'*^ при дополнительном условии исчезновения решения в бесконечно удаленных точках, имеет вид

ß 2тг

1 färfät f

' 4я"2г У У У £ —М1(т, <$)'

а 0 |£| = 1

или

1пЬ[/](г) = , (г).

Отсюда

Ь[/]СфГ«. (28)

Решение же функционального уравнения (28) проведем следующим образом.

Пусть для определенности точка (г) Е К (. /. 6|. />•_>). Известно (см. [4]), что в этом случае для аналитической в области I) функции ///](г ) существует обратный интегральный оператор

¿_1[/] = I (29)

о

Применяя к обеим частям (28) оператор (29), получим решение краевой задачи 1 в явном виде

1

¡(г) = Ь^[еТЩ = I ег<е41*ь«4я*Я)&, (30)

о

где

/3 2тг

4ж2г } .1 .1 С - и2(т,е,д)

а О |£| = 1

1

и2{т,е,5) = {ет)^г1 + {ет)6*г2еи.

Краевая задача 2. Пусть в пространстве С2 заданы области К(/3,6г,62) и Е2. Требуется найти две функции / (г) и /(г) класса Л/^' ' ^ при дополнительном условии обращения в единицу функции ¡ив ноль функции / на любом многообразии бесконечно удаленных точек, предельные значения которых на множестве С\ удовлетворяют условию

Ь[/+](г°) • Ь[/+](г°) = ■ Ь[/2](г°) + а{£,1,<Рт), (31)

где а(£, I, <рт) Е А^1, I, (рт) е А.

Решение. Функцию /(г) будем искать из соотношения

Ь[/+](г0)=С(С,/,ЫОД(г0), (32)

которое является условием краевой задачи 1. Поэтому

где , (г) — определяется формулой (30).

Предельное значение функции /(г) удовлетворяет соотношению (32), поэтому, заменяя в (31) произведение функций • Ь[/2](г°) по формуле (32) на Ь[/+](г°), получим

т{г°)^Ь[]2]{г°)=а{и^ш), (33)

или, так как (/(£. I, (рт) Е А-, то по лемме 1 найдется единственное /•'(/. О такое, нхо

Ь[/+](г0)^Ь[/2](г°) = ^ I (34)

1~4>т

Откуда, на основании решения предварительной краевой задачи имеем

/3 2тг

Ы/» = / * / * / (35)

а 0 |£| = 1

Применим теперь к обеим частям (35) интегральный оператор (29) при условии, что (г) Е К([3, ¿1, 62). В результате получим решение краевой задачи 1

1 /3 2тг

/(г) = . [ ес1£ ( йт [ сИ I -^(ЛО^С

4я-2г У ./ ./ ./ £ — и2(т,е,5)

0 а 0 |£| = 1

в явном виде. Легко показать, что функция /(г) на бесконечности обращается в ноль, а /(г) в единицу.

Замечание. Так как С\ = К(/3,62) п Е2 п С2 = Е4 п Е9 п , ь

то можно ставить и решать задачи аналогичные краевым задачам 1 и 2 путем комбинации предельных значений Ь[/](г) из областей К([3, ¿1, 62), />_>. 1'м- /-'<) и , 1, которыми исчерпываются всевозможные пути подхода к множествам С\ и С2. Так, например, в [6] и [7] поставлены краевые задачи только для областей К((3,5г,52)жЕ4.

Литература

1. Айзенберг Л. А. О граничных свойствах функций, аналитических в двоя-кокруговых областях // Докл. АН СССР.—1969.—Т. 125, № 5—С. 959-962.

2. Боганов В. И., Луканин Г. Л. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения // Докл. АН СССР,—1967,—Т. 176, № 1—С. 45-48.

3. Боганов В. И. Интеграл типа Темлякова и некоторые краевые задачи // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та им. Н. К. Крупской.—1967. — Т. 188,—С. 56-79.

4. Баврии И. И. Общие интегральные представления голоморфных функций // Докл. АН СССР,—Т. 217, № 1—С. 11-13.

5. Дзебисов X. П. Интегральные представления голоморфных функций в специальных областях пространства С2 // Межвуз. сб. трудов «Аналитические функции и их приложения» Сев.-Осет. гос. ун-та.—1984.—С. 28-48.

6. Дзебисов X. П. Интегральные представления аналитических функций в специальных областях пространства С2 и их приложения // Труды Саратовской зимней школы «Теория функций и приближений»—1988.—С. 5052.

7. Дзебисов X. П. Свойства функций в пространствах С и С2, определенных некоторыми интегралами // Респ. сб. трудов «Математический анализ и теория функций» Моск. обл. пед. ин-та им. Н. К. Крупской.—1985.— Т. 5—С. 102-119.

8. Дзебисов X. П. Внутренняя и внешняя односторонние однородные краевые задачи сопряжения для двоякокруговых областей пространства С2 // Владикавказский мат. жури.—2000.—Т. 2, Вып. 4.—С. 5-12. (Полнотекст. база данных, номер гос. регистр. 0229905212 (http://alanianet.ru/omj/jour-nal.htm).)

г. Владикавказ

Статья поступила 12 февраля 2001 г.