Краевая задача Шварца для заданной определяющей области Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 512.562

J

И. Г. Табакова

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ШВАРЦА ДЛЯ ЗАДАННОЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОБЛАСТИ

Приведено решение задачи Шварца для голоморфных функций двух комплексных переменных, указаны необходимые и достаточные условия ее разрешимости.

Теория краевых задач для голоморфных функций многих комплексных переменных является быстро развивающейся ветвью многомерного комплексного анализа в связи с широким применением результатов исследований как в математике (сингулярные и бисингулярные интегральные уравнения, уравнения типа свертки и др.), так и при рассмотрении большого числа прикладных задач в теории упругости, гидродинамики и аэродинамики, дифракции, теории массового обслуживания, в теории переноса частиц и т.д.

Первоначально возникла пространственная краевая задача Римана в трудах классиков математики Б. Римана, Д. Гильберта, А. Пуанкаре как единственное чисто теоретическое обобщение одномерной краевой задачи Римана.

Теория краевых задач для голоморфных функций получила свое дальнейшее развитие в работах В.С.Владимирова [3], Г.Л. Луканкина [10-14], В.И.Боганова [1], И.Н.Виноградовой [2], Х.П.Дзебисова [5, 6], С.Ю.Колягина, А.В.Латышева [8, 14], С.В.Рындиной [14], О.В. Лобановой [9], А.Л. Краснощекова [7] и др.

В настоящей статье исследуется задача Шварца для биполуплос-кости, указываются необходимые и достаточные условия разрешимости такой задачи и проведено сопоставление этих условий с аналогичными условиями в задаче Шварца для бикруга. Здесь же рассмотрен аналог задачи Дирихле для бигармоничесной функции с кусочно-постоянными предельными значениями, заданными на прямоугольниках, исчерпывающих ЯХ1Х2. С помощью этой задачи получен простой аналог двумерного интеграла Кристоффеля-Шварца.

Задача Шварца. Как известно [6], задача Шварца для бикруга формулируется следующим образом: найти функцию ^ (^1, гш2) = и + + т, голоморфную в бикруге В2 = {(ш1,гш2) : < 1, |эд2| < 1} = = х Д+ по вещественной функции и (¿1, ¿2), заданной и непрерывной по Гельдеру на остове Т2 = {(¿1,^2) : |^1| = 1, |£2| = 1 } границы круга В2.

Необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи таковы [6]:

(Ku) (w w ) = i 0)' (wi,W2) ev- x Д+;

(Ku) (wi'w2) = \ (Ku) (0,W2) , (wi,W2) e v+ x Д-,

(1)

где V± = {|w| < 1} и

1 ff u (Т1,Т2)

(Ки) (^1,^2) = ---о 7-А-Г

(2пг)2У,/ (Т1 - ^1)(то - мо)

т2

При выполнении условий разрешимости (1) решение задачи Шварца для бикруга дает формула

Е (м1, м2) = 2 (Ки) (м1, м2) - (Ки) (0, 0) + ¿С, (2)

где С — произвольная вещественная постоянная. Задачу Шварца для биполуплоскости

£ = {(£ь £2) : > 0, 1ш^2 > 0}

сформулируем так: найти функцию Ф (г1, ¿2) = и + ¿V, голоморфную в Б и непрерывную на Г2 = Г2 и {(то, то)}, где Г2 = {(^1, £2) : 1ш^1 = 0, 1ш£2 = 0} — остов границы дБ, по ее вещественной

части 7 (х1, х2) € УР П Н ^Г, где РУ — кольцо непрерывных на Г2

функций,

ЯеФ Г = и = 7. (3)

Принимая во внимание, что каждую непрерывную функцию д (х1, х2), определенную на Г2, можно задать с помощью структурной формулы [4]

д(х1, Ж2) = дю + д1(х2) + д2(х1) + до(хь Х2), (4)

где

д(то,Х2)= дю + д1 (Х2); д(хь то) = д^ + д2(х^; д(то, то) = д^, перепишем граничное условие (3) в виде четырех соотношений:

ию = 712; ]

ЯеФ. (хэ-) = 7. (хэ-.), 3 = 1, 2,(5)

ЯеФо (х1 ,Х2)= 7о (х1,Х2). )

Положим

V.з (6-3) =

сю

= 72П / 7з (хэ-з) е-гЖ3-'^= (^ 7з) (6-з), 3 = 1, 2, (6)

(¿ьб) =

сю

= 2л/ / 70 (®1,®2)е-г(ж1?1+Ж2?2)^Х1^Х2 = (^-Ч) (¿1,6). (7)

-с

Так как 7з- (х3-з), 3 = 1, 2 и 70 (ж1,ж2) — по условию вещественные функции, то используя формулы (6) и (7), найдем, что (—¿3-з) =

= <Рз (¿3-,) , 3 = 1, 2 и <Рз (-6, -?2) = ^0 (?1,?2). Поэтому 1з (х3-з), 3 = 1, 2, и 70 (х1, х2) можно представить соответственно в виде

сю

Ъ (хз-з) = 4 / ^з (¿з-з) егжз-¿¿з-з, 3 = 1, 2 (8)

и

сю сю сю 0

Yo (x1,x2) = 1 rJ / [+[ f Uo (6,6) ei(xi«1+x2«2)d6d6. (9)

n

0 0 0

Из разложения (9) видно, что для того, чтобы функция 7 (х1,х2) была предельным значением при (г1,г2) ^ (х1,х2), где (21,22) € Д, (х1,х2) € Г2, вещественной части функции, голоморфной в Д, необходимо и достаточно, чтобы

70 (¿1, ¿2) = (П-Ч) (¿1, ¿2) = 0 при ¿1 > 0, ¿2 < 0 (10) или, что то же самое,

^0 (¿1, ¿2) = (^-Ч) (¿1, ¿2) = 0 при ¿1 < 0, ¿2 > 0. (11) При выполнении условия (10)

сю сю

Yo (xi,X2) = 1 Re / I ^0 (6,6) ei(xi«1+x2(12)

00

Исходя из (8) и (11), учитывая формулы (6) и (7) и равенства

сю сю сю

[ etz!«jd6 = —,j = 1 2, [ />ei(z1«1 +22i2)d6d6 = 1

zj J J Z1Z2

0 0 0

справедливые при Imzj > 0, j = 1, 2, получим формулы Пуассона

сю

11

Uj (z3-jYj (6-j) Re^-)d6-j =

-с

оо

V3—j f Yj (6—j )d6—j п J y|_ j + (6—j - x3-j)2

= (Д-Yj)(z3-j), j = 1, 2; (13)

—oo

oo

Uo(ZbZ2) = 2bU ^^ Re (6 - zi)(6 - Z2) ^ =

—o

WrYo (6,6) r 2 VlV2 - &- X ^- X2) «idfa. (14)

^ «SU» tv2 + -Xi)2] ^ + _

— O

Учитывая равенство

V f dt

О

dt

= 1,

П J v2 + (t - x)2

—o

получим формулу Пуассона

U (zi, Z2) = (ni2Y) (zi, Z2) -

00

1 ff ViV2 - (6 - xi) (6 - x2)

[v2 + (6 - xi)2] [v2 + (6 - X2)2]

—С

где

00

ViV2 ff Yo ^ъЫ d6d6

Yo (6,6) d&d6, (15)

(ni2Y) (zi,Z2) =

-2 ü [v2 + (6 - Xi)2] [v2 + (6 - X2)2]'

соответствующую исходной задаче Шварца (3).

Исходя из формул (12) и (13), убедимся также, что имеют место формулы Шварца

ф (Z3—j) = (K3—jYj) (Z3—j) = -1 / lj^—j )de3—j, j = 1, 2,

ni J ?3—j - z3—j

-o

00

Фо (Zi,Z2) = (Ki27o)(Zi,Z2)= 1 " Y0 ' ^

2(пг)^ (6 - «!1)(6 - Ю2)'

-с

а решение исходной задачи Шварца (3) дает формула

Ф (¿1, ¿2) = (К127) (¿1, ¿2) - 1 (К1270) (¿1, ¿2) + ¿С. (16) Итак, имеет место

Теорема 1. Задача Шварца для биполуплоскости разрешима тогда и только тогда, когда заданная функция 7 (х1, х2) € Р П Н (Г2 )

удовлетворяет условию (10). При выполнении условия (10) решение задачи дает интеграл Шварца (15).

Установим связь условий разрешимости (1) и (10) задач Шварца для бикруга и биполуплоскости. Используя отображение

= ,Ж2 = ^) : Б ^ В, ¿1 + г ¿2 + г;

которое устанавливает взаимно однозначное соответствие точек би-полуплоскости Б и бикруга В = {(Ж1, Ж2) : |Ж1| < 1, |Ж2| < 1}, отобразим область V- х Д+ на область Б-+ = {(¿1, ¿2) : 1шг1 < 0, 1шг2 > 0 а первому равенству условий (1) придадим следующий вид:

и м- 1 И Y (6 ,&) ¿6^2 0 (|7.

(Y) = (ätf// (il - Z1 )«2 - *)«1 + 1)«2 - 1) =0, (17)

—оо

где y (6,6) = u [t1 (i1), t2 (i2)]. Принимая во внимание представление (4), перепишем равенство (16):

сю сю

Y12 1 [ Y2(6)d6 1 [ Y1(6)d6 +

- - > - -

4 4ni J i1 + i 4ni j i2 — i

-с

oo

1 Г^ЙМ? + M(Y0)=0. (18) 2ni У i2 - Z2

—oo

Так как (-i, i) G D +, то, полагая z1 = -i,2 = i, из последнего равен-

2

ства найдем, что

те оо

Y12 1 [ Y2 (i1) d6 f Y1 (i2) d6 =0 (19)

4 4ni J i1 + i 4ni J i2 - i

—oo —oo

Вычитая (18) из (17), получаем

oo oo

1 Г Y1 (i2) d6 + ^ f + M (Y0) = 0. (20)

2ni J 6 - i 2ni J 6 - Z2

-с -с

Далее, если z1 = -i и (-i,z2) G D-+, то из равенства (19) будем иметь

сю сю

1 f Y1 (i2) d6 1 f Y1 (i2) d6

2ni J 6 - Z2 2ni J 6 - i

—oo —oo

= 0. (21)

Вычитая (20) из (19), получаем

M (Y0)=0. (22)

Так как при Imzi < 0 и Imz2 > 0 справедливы равенства

О c

1 1 V'¡в —dti и 1 1

Гi(«i—zi)t1 dti и 7- = ^ e—i(i2—z2)t2dt2, (23)

6 - Zi i J ^2 - Z2 i

o

то подставляя (22) в (21) и меняя порядок интегрирования, будем иметь X (ti, t2) ei(ziil+z2i2)dtidt2 = 0, V (zi, Z2) e D—+, (24)

где

X (ti,t2) =

' 0, (t i > 0) U (t2 < 0)

=

Y0 ^ьЫ e—i(iiti+i2i2)d6d^2, (t i < 0) П (t2 > 0). (4 i + i) (S2 - i)

(25)

Из (23) следует, что при t i > 0, t2 > 0 имеет место равенство

f (t i,t2) - /7 (/+ (^2) ■)e—i(i1 il+i2i2)d«2 =

JJ (6 + i)(6 - i)

= e—tl+t2 / / , ' ; - ■ e

7о(^1,52) е-^*^-*^^ = 0.

(6 + ¿)(<ъ2 - г)

-с

Вычислив комбинацию

/ + - Л2 - /¿1 ¿2 = 0,

убедимся, что при ¿1 > 0, ¿2 < 0

(П-Чо) (¿1,^2) =0.

Итак, из условий разрешимости задачи Шварца для бикруга вытекают условия разрешимости такой же задачи для биполуплоскости.

Из полученных результатов следует

Лемма 1. Пусть функция и (¿1, ¿2) € Н (I12) и удовлетворяет усло-

х1 - г х2 - г

виям (1). Тогда если функция y (xi, x2) = и она удовлетворяет условиям (10).

x2 + i x2 + i

e W, то

Пусть M = [а < i1 < в,5 < i2 < о],

Y12 + Y1 (£2) + Y2 (6), (i1,i2) G M; 0, (i1,i2) G R2/M, и, значит, y0 (6,6) = 0, тогда из формулы Пуассона (14) имеем

Y (6,6)4 „ „ (26)

Y12 / ^ в - Х1 ^ а - хЛ u (z1 ,z2) = — arctg--arctg- x

п V У1 У1 J

f , О - X2 , S - X2 \ x arctg--arctg- +

V У2 У2 J

1 ( в - x1 а - хЛ +— arctg--arctg- №11) (¿2) +

n V У1 У1 /

1 А - X2 , S - X2\/rT WN +— arctg--arctg- (ПY2) (¿1).

п V У2 У2 /

В частности, если

, . . Yl2, («1,«2) G M; (27)

Y0 Й,6) = <0, «1,i2)GRf, (27)

то

712 / в - Х1 , а - хЛ

и (¿1, ¿2) = -г- arctg--аг^- х

п2 V У1 У1 /

/ 5 — х2 а — ж2"

х аг^--arctg-

V У2 У2

Введем далее [10] углы и ^^ (Фг и фа), образованные соответственно векторами — а и — в (¿2 — 5 и ¿2 — а) с действительной осью х1 (х2), с помощью которых последнюю формулу можно записать так:

и (¿1, ¿2) = (^в — ^а) (Ф^ — Фг) = ^1^2, (28)

п2 п2

где = — ^в, ш2 = Фг — Ф<7. Отсюда, если 7 (¿1, ¿2) определяется по формуле (25) ((26)), то формула Шварца (15) имеет вид

ff ч Y12 , в - ¿1 , О - ¿2 .

/ (zb ¿2) ^-"72 In-In --+

(ni)2 а - ¿1 S - ¿2

+ - ln (K2Y1) (¿2) + - ln ^^ (K1Y2) (¿1)

ni а - ni S - ¿2

, / ч Y12 ! в - ¿1 , 0 - ¿2 f ¿2) = —72 ln-ln "7-

(ni)2 а - ¿1 S - ¿2

Пусть теперь заданы точки а^ а2,..., ап (—то < а1 < ... < ап = то) и Ь1, Ь2,..., Ьт (—то < Ь1 < ... < Ьт = то), принадлежащие соответственно действительным осям х1 и х2.

Рассмотрим следующую задачу Дирихле: найти в Д бигармо-ническую функцию и (^1,г2), принимающую на прямоугольниках Му = {[а»-1, а»), )} постоянные значения .

Используя формулу (27), убедимся, что решение этой задачи имеет

вид

u(zb ¿2) = ^ ^ ~2 ( j - j - )

г=0 j=0

n m 1 n 1

У^ ^ -^2 (Ui-1j-1 - Uj-1 - Ui-1j + Uj ^^ -(Ui-1m - +

г=1 j=1 г=1

m1

+ У^ -(Unj-1 - Unj+ Unm, (29)

Z-/ yj-

j=1

где

^0 = ^0 = 0^+1 = ^m+1 = n

Следовательно, справедлива

Лемма 2. Решение задачи Дирихле для функции, бигармонической в биполуплоскости D, принимающей кусочно-постоянные значения Uj на прямоугольниках Mj, определяется по формуле (28). В частности, если

Д-Uj = Ui-1j-1 - Uj-1 - Ui-1j + = 0, то Uj = Ui0 - u0j - U00, а формула (28) становится более простой:

n - m -

U (¿1, Z2) = - (Ui-10 - Ui0) ^г + У^ - (U0j-1 - Uj) + Unm. (30)

Z-/ yj- Z-/ yj-

г=1 J=1

Теперь рассмотрим двумерный аналог задачи Кристоффеля-Швар-ца: найти функцию f (z1, z2), голоморфную в D, такую, что при каждом фиксированном z1 (z2) она отображает верхнюю полуплоскость Imz2 > 0 (Imz1 > 0) на внутренность ограниченного многоугольника Д2 (Д1) с углами ßk ж (aj п), где 0 < ßk, aj ^ 2, k = 1,...,m, j = 1,..., n, предполагая, что известны точки bk (a) действительной оси x2 (x1), соответствующие вершинам многоугольника Д2 (Д1). Для решения задачи введем в рассмотрение функцию

и (Zb z2) = arg ^ (zb z2) = Im In fZ'1z2 (zb z2) , и будем искать ее с помощью формулы (29). Полагая [10]

Uj-10 - Uj0 = (aj - 1) п, U0k-1 - U0k = (ßk - 1) П, Umn = 0,

из формулы (29) будем иметь

п т

и(^1, ¿2) = ^(аз — 1)^з + ^(вк — 1)Фк + 0 =

з=1 к=1

пт

= о + ^(аз — 1) а^^ — аз) + ^(вк — 1) а^^. — Ьк).

з=1 к=1

По известной мнимой части и (¿1, ¿2) восстанавливаем аналитическую функцию

1п /^2 (^1,^2) =

пт

= 1п С0 + г0 + ^ (аз — 1) 1п (¿1 — аз) + ^ (вк — 1) 1п (¿2 — Ьк).

з=1 к=1

Отсюда потенцированием и интегрированием находим, что

/ (¿1, ¿2) = ОД (¿1) ^ (¿2) + (¿1) + ^2 (¿2) + С1, (31)

где

//6 р I 10

П (¿1 — аз Г-1 ^1, ^ (¿2) = П (¿2 — Ьк)вк-1 ¿¿2,

га з=1 /а к=1

(32)

С = С0ег<9, С1, и, — некоторые постоянные, а (¿1) и (¿2) — произвольные аналитические функции, такие, что (¿0) = 0. Из формулы (30) следует, что

/ (я0, ¿2) = ^2 (¿2) + С1, / (¿1, ¿20) = (¿1) + С1.

По условию функция / (2:0,2:2) (/ (¿1, ¿0)) также должна отображать верхнюю полуплоскость 1ш^2 > 0 (1ш^1 > 0) на внутренность ограниченного многоугольника Д2 (Д1), поэтому [10]

^2 (¿2) = Л2^2 (¿2) (^1 (¿1) = Л^ (¿1)) , где Л2 (Л1) — некоторая постоянная. Отсюда следует

Лемма 3. Решение двумерной задачи Кристоффеля-Шварца дает функция

/ (¿1, ¿2) = С*1 (¿1) ^2 (¿2) + Л1^1 (¿1) + Л2^2 (¿2) + С1 =

= С (¿1)+ ^1)(^2 (¿2)+ ^2) ,

где С, — произвольные комплексные числа, а (¿з), 3 = 1, 2, определяются по формулам (31).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боганов В. И. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та. - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской. - 1967.

- Т. 188. - Вып. 11. - С. 29-55.

2. Виноградова И. Н. О решении некоторых краевых задач // Сб. тр. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской. - 1973. - Вып. 15. - С. 198-216.

3. В л а д и м и р о в В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. - М.: Наука. - 1964. - 365 с.

4. Г о ф м а н К. Банаховы пространства аналитических функций. - М.: Госте-хиздат. - 1963. - 441 с.

5. Дзебисов Х. П. Интегральные представления аналитических функций в неограниченных областях с определяющими многообразиями // Владикавказ. мат. журн. - 2003. - Т. 5. - Вып. 2. - С. 10-17.

6. Д з е б и с о в Х. П. Интегральные представления и краевые задачи в многомерном комплексном анализе. - М.: Наука. - 2005. - 255 с.

7. Краснощеков А. Л. О решении некоторых краевых задач // Сб. тр. "Математический анализ и теория функций". - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской.

- 1977. - Вып. 8. - С. 55-73.

8. Л а т ы ш е в А. В., Л у к а н к и н Г. Л. Краевые задачи теории функций комплексного переменного. - М.: МГОУ. - 2003. - 102 с.

9. Л о б а н о в а О. В. Постановка и решение некоторых краевых задач // Сб. тр. "Математический анализ и теория функций". - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской. - 1976. - Вып. 6. - С. 70-88.

10. Л у к а н к и н Г. Л. О некоторых краевых задачах для функций двух комплексных переменных // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та. - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской. - 1970. - Т.269. - Вып. 14. - С.23-48.

11. Луканкин Г. Л. О задачах линейного сопряжения функций двух комплексных переменных // Сб. тр. "Математический анализ и теория функций". - М.: Изд-во МОПИ им.Н.К.Крупской. - 1973. - Вып. 1. - С. 10-24.

12. Л у к а н к и н Г. Л. Задачи линейного сопряжения в пространстве С2 // Сб. научн. тр. "Многомерный комплексный анализ и его приложения". - Деп. ВИНИТИ 29.12.1991. - № 4899-В91. - С. 3-14.

13. Л у к а н к и н Г. Л. Пространственная задача линейного сопряжения //Вестник МАИ ВШ. - 1999. - Т. 4. - Вып. 6. - С. 82-89.

14. Л у к а н к и н Г. Л., Л а т ы ш е в А. В., Р ы н д и н а С. В. Граничная задача для одного класса линейных релаксационных нестационарных уравнений // Известия МАИ ВШ. - 2001. - Т. 2. - Вып. 16. - С. 94-101.

Статья поступила в редакцию 15.03.2007

Ирина Геннадьевна Табакова родилась в 1982 г., окончила МИГУ в 2004 г. Канд. физ.-мат. наук, автор 8 научных работ в области комплексного анализа.

I.G. Tabakova (b. 1982) graduated from the Moscow State Pedagogical University in 2004. Ph. D. (Phys.-Math.), author of 8 publications in the field of analysis of complex-valued variables.