Краевые задачиРимана-Гильберта для заданной определяющей области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.562

Г. Л. Луканкин, И. Г. Табакова

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ ЗАДАННОЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОБЛАСТИ

Приведено решение задачи Римана-Гильберта для голоморфных функций двух комплексных переменных при задании краевых условий не на всей топологической границе бицилиндра, а на некоторой ее части или на некотором множестве одномерных кривых.

Краевые задачи линейного сопряжения применяются как в математике (сингулярные и бисингулярные интегральные уравнения, уравнения типа свертки и др.), так и при рассмотрении большого числа прикладных задач в теории упругости, гидродинамики и аэродинамики, дифракции, теории массового обслуживания, в теории переноса частиц и т.д. Среди исследователей краевой задачи следует назвать Пикарда, Привалова, Племели, Карлемана. Существенное развитие эта теория получила в работах Д.Ф. Гахова [1], И.Н. Векуа [2], Г.Л. Луканкина [3, 4], М.Г. Крейна и других.

В настоящей статье исследуется задача Римана-Гильберта в би-цилиндрической области при задании краевого условия не на всей топологической границе бицилиндра, а на некоторой ее двумерной части — остове, и задача Римана-Гильберта для бицилиндра с краевым условием на некотором множестве одномерных кривых, лежащих на границе бицилиндра и не принадлежащих остову. Дополнительно к краевому условию задаются значения искомого решения в счетном числе внутренних и граничных точек.

Задача сводится к двум классическим проблемам теории голоморфных функций одной комплексной переменной — краевой задаче Римана-Гильберта и задаче нахождения голоморфной функции в круге по функциональным значениям ее в счетном числе внутренних точек.

Новизна данной работы состоит в том, что задачи Римана-Гильберта исследуются для голоморфных функций двух комплексных переменных, в первом случае краевое условие задано на остове бицилиндра, во втором — на некотором множестве одномерных кривых.

Постановка и решение краевой задачи Римана-Гильберта для заданной определяющей области с краевым условием на остове. В качестве заданной определяющей области рассматривается бици-линдрическая область

Б = {(т,г) : И < 1, |г| < 1}

в пространстве С2 комплексных переменных ы, г, и на остове бицилиндра

р = {(*,т): = 1, |т| = 1}

задаются три вещественные непрерывные функции а, в, 7. Требуется отыскать функцию f (ы, г) = и + т, голоморфную в области Б и непрерывную в Б + р, которая на остове р области Б удовлетворяла бы условию

Яе [А^ = аи + ву = 7, Л = а + ¿в (на р). (1)

Следует отметить, что в данном случае краевое условие задается не на всей топологической (трехмерной) границе, а только на некоторой ее двумерной части, а именно, на остове, который представляет собой двумерный тор в пространстве комплексных переменных ы, г.

Точки тора р описываются заданием пары угловых координат (<£, ф), 0 ^ ф,"ф ^ 2п, где р = 0 отождествляется с р = 2п, и точно такое же отождествление производится для ф. Таким образом имеем

(0, ф) = (2п, ф), (<р, 0) = (<р, 2п).

Введем на торе р систему координат, положив

* = е^, т = е'ф, 0 < р,ф < 2п.

Будем рассматриваемые далее функции, заданные на торе р, выражать как функции параметров (<£, ф). Предположим, что непрерывная функция Л не обращается в нуль ни в одной точке остова. Тогда можно считать |Л| = 1.

Вычислим интеграл

7 = J д,ш,

С

где С — некоторый цикл на торе р. Когда ф меняется от 0 до 2п, точки (<£, 0) описывают ориентированную замкнутую кривую Сь подобным же образом точки (ф, 0) описывают кривую С2. Пусть С — некоторый цикл на торе, то есть ориентированная замкнутая кривая. Как известно, кривую С можно сдеформировать в ориентированную замкнутую кривую С', которая щ раз обходит кривую Сь а затем п2 раз кривую С2, где щ и п2 — некоторые целые числа.

Заметим, далее, что

J д,ш = J д,ш.

С С'

Обозначим

¿/^ =Х1' =Х2' (2)

С С2

тогда получим

J = ^1X1 + П2Х2. (3)

С

Следовательно, функцию Л можно представить в виде

Л = еъ(ш-Х1<Р-Х2Ф)£Х1 ТХ2 = ¿Х1ТХ2 егшг

где ш1 = ш — х1^ — Х2Ф — однозначная и непрерывная на р функция.

Согласно Векуа [5], задача (1) эквивалентна последовательному решению двух задач Дирихле в классе бигармонических функций. Предположим, что П (ад, г) = ш1 + гш2 — голоморфная функция внутри единичного бицилиндра Б, удовлетворяющая уравнению

ЯеП = ш1 (на р). (4)

Тогда условие (1) можно переписать в следующем виде:

Яе [Л/] = Яе [ГХ1 т-Х2в-'Ш1 /] = Яе |~в-гПГХ1 т-Х2 в-Ш2 / = 7.

Отсюда следует, что для новой, голоморфной в этой же области функции ^ = / ехр {—гП} достаточно решить задачу

Яе [ГХ1 т-Х2 F] = вШ27 = 71 (на р). (5)

Для разрешимости задачи (4) необходимо и достаточно выполнение условий

2п 2п

Ш1 ((р,ф) в'(т«-п^# = 0, т,п = 1, 2 .... (6)

0 0

Тогда решение задачи (4) может быть найдено по формуле

1

1

(2пг)2

Q(w,z) = ——^ J J ш (t, Т) |t|=1 |т | = 1

(1 - wt) (1 - zr)

dt dr

— Л--+ ге,

tr

(7)

где c — действительная постоянная.

Перейдем теперь к исследованию задачи (5). Сначала рассмотрим однородную задачу. Предположим, что XI ^ 0, х2 ^ 0. При этом краевое условие примет вид

Re

F

— 0. (8)

*Х1 т Х2

Решение задачи (8) будем искать в виде ряда

те те

р (ы,г)= £ Е Ст+Х1 п+Х2ыт+Х1 гп+Х2. (9)

т=-хп=-х

Удовлетворяя краевому условию (8), получим

Х1 Х2

Re

те

Ее tmn

Cm+xi n+X2 f '

m,n=0

— - Re

\ Л \ л с f—mT—n +

/ j / j CXl-mi X2—T +

m=1 n=1

Xi те те X2

. (10)

+ ^ ] ^ CXl-mi n+X2f T + ^ ] ^ CXl+mi X2—nf T

m=1n=0 m=0 n=1

Из соотношения (10) следует, что С —

^m+Xi n+X2

— CXi—miX2—ni, m — 0,1,... ,X1,n — 0,1,... ,X2, m2 + n2 — 0;

CXiX2 ibXiX2, где Cmn amn ibmn;

m ^ x1 + 1, m — 0,1, 2,...,

Cm+Xi n+X2 — 0, если , n > X2 + 1, n — 0,1, 2,...,

_ , m — —X1,...,-1, m > 1, Cm+Yi n+X2 — 0, если < i^i

m+Xin+X2 ' 1 n — —x2,..., —1, n > 1.

(11)

Учитывая соотношения (11), получим

F (w, z) — — ibXiX2 wXizX2 +

Xi X2

+ V'"' (C wm+Xi zn+X2 _ с wXi—mzX2—n\ +

+ / v / v VCm+Xi n+X2 w z Cm+Xi n+X2 w z ^ +

m=1 n=1

Xi

+ \ л (с wm+Xi zX2 C wXi—mzX2\ +

+ / v \Cm+Xi X2w z — Cm+Xi X2w z ) +

m=1

X2

+ \ л (с wXi zn+X2 с wXi zX2—nN

+ / v l^Xi n+X2w Z — с Xi n+X2w Z ).

n=1

Решение однородной задачи обозначим через Л (ад, г). Теорема 1. Пусть функция ^ удовлетворяет условиям (6). Тогда, если х1 ^ 0, х2 ^ 0, однородная задача Римана-Гильберта (8) имеет (2х1 + 1) (2%2 + 1) — 2хдх2 — линейно независимых решений, которые могут быть представлены формулой

f (ад, г) = адХ1 гХ2 Л (ад, г) ехр {гП} .

Неоднородная задача (5) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются условия

2п 2п

J/т^2= 0, т, п = 1, 2,..., (12)

о о

и ее решение представимо в виде

f = ^Х1 гХ2 ехр {гП} + Л], где функция П определяется по формуле (7), а

|t|=1 |т | = 1

(1 - wt) (1 - zT)

— 1

х

dt д dT

x-Л — + г;; (13)

t T

(число £ < (2X1 + 1)(2%2 + 1) — 2X1X2, а индекс х = —ю).

Если х1 ^ 0, х2 ^ 0, то однородная задача (8) неразрешима, т.е. не имеет нетривиальных решений. Неоднородная задача (5) разрешима тогда и только тогда, когда наряду с условиями (12) имеют место равенства

2п 2п

о* = 0, J /т^2= 0 (14)

оо

для тех т и п, для которых не выполняются одновременно неравенства

т > —Х1, п > х2.

Если х1 ^ 0, х2 < 0, то однородная задача не имеет нетривиальных решений. Неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия (12) и условия (14).

Таким образом, в рассмотренном случае, несмотря на то, что краевое условие задавалось только на части границы, задача Римана-Гильберта оказалась переопределенной.

Постановка и решение краевой задачи Римана-Гильберта для заданной определяющей области с краевым условием на некотором множестве одномерных кривых. Пусть заданная определяющая область

D = {(w, z) : |w| < 1, |z| < 1}

- единичный бицилиндр в пространстве двух комплексных переменных. Требуется найти функцию f (w,z) = u + iv, голоморфную в области D, предельные значения которой на кривых

dDk = {(t, z) : |t| = 1, z = zk = const, |zk | < 1, k = 1, 2,...}

(15)

удовлетворяют условиям

Re

Afc (t)f (t,Zk) = (t) u (t,Zk)+ ßk (t) v (t,Zk)= Yk (t); (16)

Ak (t) = ak (t) + ißk (t),

где ak (t), ßk (t), Yk (t) — вещественнозначные непрерывные на dDk

те

функции, а бесконечное произведение |zk| расходится.

k=1

Заметим, что функцию f (ад, ^), голоморфную в области Д можно разложить в ряд

те те

f (ад, *) = £ атпадтzn = £ ^ (^) адт, (17)

т,п=0 т=0

где функции ^ (z) голоморфны в круге ^|<1. Поэтому краевое условие (16) можно переписать в виде

Re

Ak (t)£ fm (Zk) Wm

I m

m=0

= Yk (t). (18)

Рассмотрим частный случай задачи (16), когда Ak (t) = 1, т.е. задачу

Re [f (t,zk)]= Yk (t). (19)

Так как функции f (w, zk) голоморфны в областях

Dk = {(w, zk) : |w| < 1, zk = const} ,

то для функции f (w, z) мы имеем счетное число задач типа Дирихле. Присоединим к граничным соотношениям (19) дополнительное условие

Jmf (0,zk) = 0. (20)

Решение каждой из задач (19) при условии (20) найдем с помощью интеграла Шварца:

/ К zk) = 2- I Yk(t)

t + w dt t — w t

(21)

|t|=i

Разлагая теперь обе части последнего равенства в степенной ряд и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ад, получим

1

2п

/о (zk) = ^ Yk (e^) dp,

о

2п

1

/m (zk) = nj Yk (e^) e-imt^. о

(22)

Таким образом, для каждой из функций (г), голоморфных в круге |г| < 1, оказываются заданными функциональные значения (гк) в счетном числе точек гк, таких, что |гк| < 1 и бесконечное произведение ^ |гк | расходится, а эти условия однозначно определяют

к=1

голоморфную функцию в круге |г| < 1. Для существования голоморфной функции, принадлежащей классу Н2 и принимающей в указанных точках заданные значения, необходимо и достаточно, чтобы

2

£

1С

72 < ^

(23)

к~0 1 — |гк+1|2

где Скт — коэффициенты формального разложения, полученного интерполяцией в точках гк функциональных значений ^ (гк):

/m (z ) = £ CfUj (z);

здесь

шк (z) =

J=0

1

П

1 — zk+iz n=01 — znz

(24)

(25)

Полагая в формуле (24) последовательно г = г'п, п =1, 2, ..., к + + 1, получим систему линейных уравнений:

frn (г1) = С0"шо (г1) ,

fm (г2) = С0"^о ы + Ы,

, (26)

fm (гк+1) = СО^о (гк+1) + С>1 (гк+1) + ... + С^к (¿к+О ,

причем определитель системы (26)

k+1

Ak = JJ Wn-1 (Zn) .

n=1

Из системы (26) найдем коэффициенты Cm-'

Ck" = ^ [Ak fm (z1 ) + Akfm (z2) + ...Ak+1fm (Zk+1) = Ak

= «k/m (Z1) + «kfm (Z2) + ... + «k+1/m (Zk+1) , (27)

Ak

ij — алгебраическое дополнение элемента /m (Zj), и a-

Из формул (22) и (27) следует, что

где Ak — алгебраическое дополнение элемента /m (z-), и a^ = —^-.

j j Ak

2n

Ckm = 1 J [akY1 (e*) + ... + ak+1 Yk+1 (e*)] =

0

2n

1

= - rk (p) e-im^dp, (28)

0

к+1

где Г (р) = £ ак7, (е*0.

,=1

Условию (23) можно теперь придать следующий вид:

2п 2п

;-im(^) £ rk (Р) rk ) < (29)

0 0 k=0

=0 1 -|Zk+1|2

Далее, разложим функцию ^ (z), найденную по формуле (24), в степенной ряд:

/m (Z) = £ bmkZk (30)

bmkZ k=0

и предположим, что коэффициенты bmk удовлетворяют следующему условию'

lim |bmk | dmk (D) < 1, (31)

k+m^-те

где dmk (D) = sup |w|m |Z|k. (w,z)eD

Заметим, что условие (31) является необходимым и достаточным

для того, чтобы ряд Ьтксходился в области Д.

т,к=0

Таким образом, доказано утверждение

Теорема 2. Если выполнены условия (29) и (31), то краевая задача типа Дирихле (19) разрешима и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле

f (w,z) = £

m=0

1

2п

g | п / Г (р) e-™^ | u (z)

w"

где

j+i

г (р) = £ ab (e*) ; k=i

(z) =

1

П

1 - zj+1z n=0 1 - znz

Рассмотрим теперь задачу типа Римана-Гильберта

Re

Afe (t)f (t, Zk) = 7fe (t) (на dDfe).

Как и в случае одной комплексной переменной, будем предполагать, что функции Ак (£) не обращаются в нуль ни в одной точке контура дДк. Тогда можно считать, что |Ак (£)| = 1 на дД. Для каждой функции f ), голоморфной в области Дк, имеем классическую задачу Римана-Гильберта.

Краевые условия (16) можно преобразовать к виду

Re [e-in*(t)t-Xkf (t,zk)] = YkeJm°k = 7k,

(32)

где

^k (w) = — [arg Ak (t) - Xk arg t]

2ni

t + w dt t — w t '

|t|=i

(33)

Xk = 2П [arg Ak (t)]

(34)

Пусть ^ 0 для к = п1, п2,...; хк < 0 для к = ш1,ш2,... Рассмотрим сначала последовательность задач (32) с неотрицательными индексами х2к, к = 1, 2,...,:

Яе [е-Ш2кf (^)] = . (35)

Решение задачи (35) может быть найдено по формуле

,Xnk giHnfc - . .7, 2хПк

2ni I m'k t - ад t

|t|=i e=0

„,Xnk piHnk с t + w dt 2xnk

f (w, zn.) = Vn. t+W T + D dnk «<*, (36)

где dnk — комплексные постоянные, которые удовлетворяют условиям

= ^2 , ^ = 0, 1,...,Хп^ .

Задача (35) всегда разрешима, но решение ее не единственно, а именно, зависит от (2х2к + 1) произвольных постоянных. Следуя Ве-куа [5] задача (35) преобразуется так, чтобы она имела единственное решение.

Пусть адь... адРк и ¿1,... произвольно зафиксированные точки области и ее границы соответственно, причем соблюдено условие, что числа р и д удовлетворяют соотношению

2рк + дк = 2x2^ + 1.

При выборе чисел р и д возможны следующие крайние случаи:

1) Рк = 0, д^ = 2Хпк + 1; 2) Рк = Хпк, д^ = 1.

Зададим теперь на этом множестве значение искомого решения f (ад, zk) задачи (36):

f К, znk) = aj + ibk, j = 1 2,... ,Pk; f (tj, znk) = аП. (тПk +icj), j = 1,2,..., qj,

где а^, 6к и с^ — произвольно заданные вещественные константы,

Л2к = ^ ), 72к = 72к ).

Задача (36) при добавочных условиях (37) всегда допускает решение и притом единственное. Оно непрерывно зависит от точек ад, и и линейно содержит постоянные а^, , ск.

Разлагая обе части равенства (36) в ряд и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ад, найдем, что

т

^ (^) = £ (38)

где

¿=0

, если i = 0,1,...,Xnk,

A?k = { + , если i = Xnfc + 1,..., 2xnfc,

^ , если i> 2Xnfc,

2n 2n

С = 2П / 71k (e*) dp, = 1 / Ylfc 00

а ß"k — коэффициенты ряда

гПпк(w) =

е = вк

¿=0

Пусть к = Ш1,Ш2,..., тогда хтк < 0. Снова получим последовательность задач Римана-Гильберта

Яе [е-ШткГхтк f (Мтй)] = 7тй, (39)

но теперь уже с отрицательными индексами. Из равенства (39) следует, что

f (ад,^) = Ь)Хтке'Птк^ [ 7т — - + ¿СегПтк(-)адтк, (40)

.1 \ , 2пг у 'тк £ — ад £ 0 ' 1 7

1*1=1

где С0тк — вещественная постоянная. Из непрерывности f (ад,гтк) следует, что

2п

стк = 0, ^ е-^ = 0, £ = 0,1,..., -Хтк + 1. (41) 0

В таком случае f (ад, гтк) будет иметь вид

егПтк(ад) Г 1 +Хтк

f ) = ^-Л. (42)

к пг у £ — ад

1*1=1

Отсюда находим, что

n

fn (zmk ) = D emk (43)

¿=0

где

2n

1

bmk = - l'mk e-i^(n-Xmk ^

n _ 0

Теперь можно сформулировать окончательный результат. Теорема 3. Пусть функции ак (¿), (£), 7к (£) таковы, что:

гс | ^т |2

1) у |Ск| 2 <

где Ст — коэффициенты формального разложения, полученного интерполяцией в точках zk функциональных значений ^ ) :

fm (z) = £ О* (Z),

*=0

а функциональные значения fm (z*) находятся по формулам (38), (43);

2) lim k+V|bm* | dm* (D) < 1, где bm* — коэффициенты степенного ряда

те те

fm (z) = D О* (z) = D bm*Z*. *=0 *=0

Тогда краевая задача Римана-Гильберта (16) с дополнительными условиями (37) разрешима тогда и только тогда, когда имеют место соотношения (41). В этом случае решение задачи может быть найдено по формуле

те

f (w,z) = d

m=0

те

Е о* (z)

*=0

wm.

Заметим, что, если число чисел < 0 конечно, то число разрешимости задачи (16) также конечно.

Таким образом, на примере единичного бицилиндра в пространстве двух комплексных переменных мы убедились, что задача (16)

с дополнительными условиями (37) может иметь конечный индекс, если краевое условие задавать не на всей топологической границе, а на некоторой ее части.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г а х о в Ф. Д. Краевые задачи. - М.: Физматгиз, 1963.

2. В е к у а Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. - М.: Наука, 1970.

3. Луканкин Г. Л. О некоторых краевых задачах для функций двух комплексных переменных // Ученые записки МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1970. -Т. 269.

4. Луканкин Г. Л. Пространственная задача линейного сопряжения // Вестник МАН ВШ. - 1999. - № 4(6).

5. В е к у а И. Н. Об одной граничной задаче Римана / Труды Тбл. мат. ин-та АН ГрузССР. - 1968. - Т. 11, вып. 2. - С. 109-139.

Статья поступила в редакцию 28.02.2006

Геннадий Лаврович Луканкин родился в 1937 г., окончил МОПИ им. Н.К. Крупской в 1959 г. Канд. физ.-мат. наук, др пед. наук, проф., чл.-кор. РАО, зав. кафедрой мат. анализа МГОУ. Автор более 300 научных работ в области комплексного анализа и методики преподавания математики, а также учебников для средней и высшей школ.

G.L. Lukankin (b. 1937) graduated from the Moscow Regional Pedagogical Institute n.a.N.K.Krupskaya in 1959. Ph. D. (Phys.-Math.), D. Sc. (Pedagogy), professor, corresponding member of the Russian Academy of Education, head of the mathematical analysis department of the Moscow State Open University. Author of more than 300 publications in the field of analysis of complex-valued variables and methodology of teaching mathematics, including textbooks for secondary and higher schools.

Ирина Геннадьевна Табакова родилась в 1982 г., окончила МПГУ в 2004 г. Аспирантка кафедры "Математический анализ" МГОУ Автор 3 научных работ в области комплексного анализа.

I.G. Tabakova (b. 1982) graduated from the Moscow State Pedagogical University in 2004. Post-graduate of "Mathematical Analysis" department of the Moscow State Open University. Author of 3 publications in the field of analysis of complex-valued variables.