О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ РИМАНА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ, ГОЛОМОРФНЫХ В КРАТНОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ $\Bbb C^n$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2002, Том 4, Выпуск 4

УДК 517.55

О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ РИМАНА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ, ГОЛОМОРФНЫХ В КРАТНОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ С™

Нелаев А. В.

Автором продолжено исследование свойств функций многих комплексных переменных, предста-вимых интегралом типа Темлякова I рода с п-круговой определяющей областью О типа А\

О = {х 6 С" : С1 | + ••• + с„|г„| <1, а > 0,. .., с„ > 0}.

Математический аппарат рассматриваемого интеграла применятся к постановке и решению задачи линейного сопряжения (пространственной задачи Римана).

Введение

Теория краевых задач для аналитических функций одного комплексного переменного ([3, 11]) нашла многочисленные применения как в самой математике (сингулярные интегральные уравнения, уравнения типа свертки и др.), так и в решении прикладных вопросов (в теории упругости, гидроаэродинамике, теории переноса частиц, теории массового обслуживания и т, д.). При решении одномерных краевых задач основным математическим аппаратом является интеграл типа Коши,

Начиная с середины XX века сильно возрос интерес к теории функций многих комплексных переменных. Эта теория в работах научных школ академиков Н, Н, Боголюбова, В, С, Владимирова, Ю, В, Линника получила эффективные приложения в квантовой теории поля [2] и математической статистике [6], В последние годы описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием Фурье приводятся к многомерным краевым задачам линейного сопряжения (пространственной задаче Римана),

Установленные А, А, Темляковым в 1954 году интегральные представления голоморфных функций для ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей и развитый на их базе математический аппарат интегралов типа Темлякова (см., например, [4, 18]) явились той основой, на которой Г, Л, Луканкин (см., например, [7-9]) и его ученики (В, И, Боганов, И, Н, Виноградова, X, П, Дзебисов, С, Ю, Колягин и др.) начали исследования по разработке теории краевых задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных, голоморфных в двоякокруговых областях.

Параллельно велись работы по распространению интегральных представлений Темлякова в пространство С" (п ^ 2), На этом пути польские математики 3, Опи-ал и Е, Сичак [19] получили интегральную формулу (п-мерный аналог интегралов Темлякова) для введенного ими класса ограниченных выпуклых полных п-круговых областей типа (Т), И, И, Баврин (см, [1]) с помощью созданного им метода интегро-дифференциальных операторов голоморфных функций установил для этих областей ряд интегральных представлений более общей природы.

© 2002 А. В. Нелаев

Автором, с помощью развиваемого метода линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами (см, [13]), были исследованы [12] интегралы типа Темлякова и Темлякова — Баврина с определяющими областями I) £ (Т),

В настоящей статье продолжена разработка математического аппарата интеграла типа Темлякова I рода с определяющей п-круговой (п > 2) областью Б типа А. Этот аппарат применяется для постановки и решения однородной и неоднородной задач линейного сопряжения в С™,

§1. Исследование поведения интеграла типа Темлякова I рода с определяющей областью О £ (Т) типа А

Важным подклассом областей типа (Т) являются области I) типа А:

Рассмотрим интеграл типа Темлякова I рода с определяющей областью Б типа А:

А = {т: п + • • • + тп = 1, п > 0,..., тп > 0} = {т ; п = 1 ^т2-----тп, (т2,...,тп) € А*},

А* = {(т2,..., тп) : 0 < т2 < 1, 0 < т3 < 1 - т2,..., 0 < тп < 1 - т2-----тп_!},

2тг 2тг

и окружность = 1 ориентирована как обычно в положительном направлении.

Будем предполагать, что плотность интеграла (2) /(г, в, г]) есть функция класса ¿ц (/(т,0,г])), т, е, определена и непрерывна по совокупности аргументов на множестве

2-тг-периодична по j = 2,п, и удовлетворяет по 'ц условию Гёльдера Нсх (0 < а ^ 1), а именно

где постоянные К > 0 и а не зависят от т и Учитывая, что ядро интеграла (2) не зависит от т, условимся далее рассматривать этот интеграл в виде

I) = {г € С" : С11 Н-----Ь сп|^п| < 1, сь ,,, ,сп > 0},

(1)

М = {(т,0,77) : т € А, 0 < % < 2-тг, \г]\ = 1,; = 2,п}

\Лт,0,г]') - ¡(т,0,г]")\ < К\Г]' ^Г]"\а,

где <р(0,г]) = $ 6, г]) <1шт.

Как было установлено в [12], определяемые интегралом (3) функции являются голоморфными в области I) и в неограниченных областях

Е„ = {г € С™ \ - сг\гг\-----с„_ ^„-х! - с„+1(^+11-----сп|^п| > 1}, (4)

г/ = 1 , п, неголоморфными, вообще говоря, в Сп\(1) и £1 и • • • и Еп) и непрерывными во всем пространстве С™, за исключением расположенных на соответствующих координатных плоскостях окружностей

называемых окружностями особенностей интеграла (3) (легко видеть, что в их точках тождественно по всем выполняется равенство |и| = 1),

Внутренний интеграл в (3) (по г]) будем в дальнейшем понимать как особый (сингулярный) в смысле главного значения по Коши,

Отметим, что сопряжение области I) с каждой из областей Еи происходит по соответствующей окружности Ви, V = 1,п.

Для случая пространства трех комплексных переменных С3 расположение образов областей Е\,Е2 и в «абсолютном октанте» проиллюстрировано на рис, 1,

Д, = {г е С" : 2 = (0,... ,0,^,0,,,, ,0),

V

с/}, г/ = 1,п,

(5)

Рис.1.

Введем обозначение

если |и| < 1, если |и| > 1,

и будем называть функции Ф +(6,и) и Ф~(6,и) определяющими функциями интеграла типа Темлякова I рода (3),

Учитывая, что всюду в области I) тождественно по всем в^ выполняется неравенство |и| < 1, а в областях Еи (ъ> = 1 ,п) — неравенство |и| > 1, заключаем, что в I) справедлива формула

= 1 (6)

а в Еи — формула

т = I(?)

Без ограничения общности рассуждений, далее для определенности будем считать V = 1 и коэффициент с± = 1 (к области типа А общего вида легко перейти элементарным преобразованием подобия). Пусть точка = (г/1,0,... ,0) £ Обозначим

Р+(Ь) = 1ш1 Р(г), Р~(Ь) = Нп1 Р(г), щ = и\ = щ.

-.С О zEE1

Теорема 1. Если функция (р(в,г]) такова, что интеграл

имеет рав-

м=1 11 и _

постепенно абсолютно непрерывные (п — 1)-кратные интегралы по в=2,п, и сингулярный интеграл ^ / 4г] ((г^! = 1) существует почти всюду на окружности

Ж1ы=1 11 П1

особенностей 1>\. то интеграл типа Темлякова I рода почти всюду на имеет конечные предельные значения из областей I) и . вычисляемые по формулам

= [ **0 [ + / (8)

(2тт) г .] 'П^'П 1 (2тт) 1 .) 1ч1=1

= [ Т [<Р(Ьъ)<Ь>0, (9)

(2тт)пг .} .) г)-г) 1 (2тг)п 1 .]

М = 1

причем эти значения не зависят от пути приближения точки г к г 1 (Е Вь

<1 Доказательство теоремы основано на формулах Сохоцкого для определяющих функций:

гео |ч| = 1

2т .) Г] — Г]1 2

Теорема 2. Предельные значения интеграла типа Темлякова I рода (3) из областей I) н п точках окружностей }>\ удовлетворяют условию Гёльдера П\. причем А = а, если 0<о<1, иА=1 — ст, если а = 1, где а — сколь угодно малое положительное число.

<1 Доказательство теоремы сводится к проверке выполнимости для любой пары точек = (г)^, 0,,,, , 0), г'[ = (?//, 0,,,,, 0) ^ 1>\ неравенств

(10)

> (И)

Рассмотрим теперь вопрос о поведении интеграла (3) на множестве бесконечно

-Т1

удаленных точек пространства С (это множество состоит из точек (¿1,,,, ,гп), у которых хотя бы одна координата равна оо) при стремлении к ним из области Е\. Пусть р > 1 — произвольное положительное число. Тогда для области

Е1,р = {г £ С" : Ы - с2\г2\-----сп\гп\ > р}

тождественно по всем = 2, п, выполняется неравенство |и| > р. Следовательно, если г € то

Р^) = (27Г|п_! IФ;(0,и)<Ь>в, (12)

гдеФ= \и\>р.

Далее, пусть точка г стремиться к бесконечно удаленной точке из области Е\,р (понятно, что это не может быть точка, у которой ограничена первая координата) и Р Ро = § + 1) где 8 — сколь угодно малое положительное число, с = вир {\(р(в,г])\ : 0 ^ 2тг, ] = 2,п, \г]\ = 1}, Тогда |Ф~< 6 и, следовательно,

< щ^г / < I = 6. (13)

Полученное неравенство показывает, что в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним произвольным способом из области Е\,р интеграл типа Темлякова I рода (3) обращается в нуль.

Определение 1, Будем говорить, что функция /(*) есть функция класса (Т), если она:

1) непрерывна во всем пространстве С™ за исключением точек окружностей В„ {и = 1, п);

2) голоморфна в Б и Ех и • • • и Еп;

3) неголоморфна, вообще говоря, в СП\(Б и Ех и • • • и Еп)\

4) / (г) имеет конечные предельные значения в точках окружностей Ви при стремлении точки г к = (0,.,,, 0, с~гг1и,0,..., 0) € В„ (\г]1/\ = 1) из Б и Е„.

Следствие 1. Всякая функция, определяемая интегралом типа Темлякова I рода (3) принадлежит классу (Т).

§2. Постановка и решение однородной задачи линейного сопряжения в классе функций (Т)

Постановка задачи. Пусть в пространстве С™ задана область Б типа А: Б = {геСп : 1 + с2\г2\ + ••• + сп\гп\ < 1, с2 >(),...,сп >0}.

Требуется найти функцию /(г) класса (Т), исчезающую в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним из области удовлетворяющую в точках окружности В\ = (г € С" : г = ¿1 = (г/1,0... ,0), \г/1\ = 1} краевому условию

r(zi) = G('ni)r1(zi)

(14)

где

f+(zi) = lim f(z), f~(zi) = Hm f(z),

z^rz i г—tzi

z£D zeEt

а функция G(r/i) определена на окружности Bi, нигде на ней не обращается в нуль и удовлетворяет условию Гёльдера, причем ее индекс х = IndG(?7i) ^ О,

Решение. Учитывая, что функции, определяемые интегралом типа Темлякова I рода (3), являются функциями класса (Т) будем искать решение задачи в виде интеграла (3), Подставляя в соотношение (14) предельные значения интеграла (3), выраженные по формулам (8) и (9), получим

1

(2тт)пг

= G(m)

du>0

<p(0,r/)

(2тт)пг

М=1

du>0

dr/ +

1

(2тг)

п — 1

ip(6,Vi)

M=i

г/-r/1

dr/

(2тг)

п — 1

ip(6,Vi) dtO0

или

1

2 • (2ir)n~1 Отсюда следует, что

(1 + G(r/i)).ip(e,r/i)+1-^M [ !ä

m J г/ — г/1

М=1

du>0 = О,

(1 + G(r/i))-<p(0,r/i)+1 G{Vl) [ f^Adr/ = 2\(e,r/i), (15)

жг } г/ — г/1

М=1

где функция А(0,171), предполагаемая непрерывной по совокупности аргументов и удовлетворяющей по г/1 условию Гёльдера, независимому от j = 2,п, является решением уравнения / Х($,т/1) = 0, а коэффициент 2 в правой части взят для удобства дальнейших выкладок.

Решать полученное сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши (15) будем тем же способом, каким решают характеристическое уравнение в теории функций одного комплексного переменного (см, [3, §21]), Рассмотрим с этой целью интеграл типа Коши

1 Г <р(6,л)

Ф(0,и) =

где и = zi + c2z2e~ie'2 Н-----Ь cnzne~l0n

2 m J г/ — и M=i

dr/.,

(16)

Учитывая равенство Нт^^ и = г)\ и используя формулы Сохоцкого для интеграла (16), перепишем уравнение (15) в виде

^(в/т) + с(т) ■ ^(в,'П1) + 2Ф+(в,т) - <р{е,щ)

- С(т) ■ - 2С(т) ■ ф~(в,т) = 2Х(в,т),

или, что тоже самое,

ф+(в,т) = С(т) ■ ф-(в,т) + Х(в,т). (17)

Таким образом, решение сингулярного интегрального уравнения (15) (а значит и поставленной однородной задачи линейного сопряжения) свелось к решению задачи Римана с краевым условием (17), Решение этой задачи, учитывая, что х ^ 0, имеет вид

М=1

где

= | „л,, М < 1, = 1 Г

И-Х.ег(«) если |«| > 1, 2ш У 'П^и

Рц-\{и) — полином степени не выше к ^ 1с произвольными комлексными переменными (при к = 1 Рх-^и) = Со; при к = 0 полагаем Р^_1(и) = 0),

Итак, найдены определяющие функции Ф±(0,и) интеграла (3), Далее, используя формулу (18), по формулам (6) и (7) (последняя записана относительно Е{) получаем решение поставленной задачи.

Замечание 1, Вычислив с помощью формул Сохоцкого предельные значения определяющих функций, можно найти плотность интеграла типа Темлякова I рода <р(6,г]), где <р(6,г) 1) = Ф+(в,г]1) — Ф_ (0,171), а значит по формуле (3) и решение поставленной однородной задачи линейного сопряжения,

ЗАМЕЧАНИЕ 2, Наличие в найденном решении задачи полинома с про-

извольными коэффициентами и некоторой неизвестной функции Х(0,г]) указывают на неоднозначность решения. Решение задачи станет вполне определенным, если наложить на искомую функцию = -Р(г) (или Е~(г) = £(г)) х независимых условий,

-.С I)

Например, это можно сделать следующим образом: задать в начале координат (где и = 0) значение определяющей функции Ф +(0,и) и всех ее производных по и до порядка х — 1 включительно. Это позволит найти коэффициенты полинома

Найдем, например, коэффициент Со, Пусть задано значение Ф+(0,0 = Ф+(0,0), Из формулы (18) следует, что

•+(М)_ 1 + (19)

Я"+(0) 2-тгг У х+(г]) Г) |Ч| = 1

Интегрируя данное соотношение по j = 2, п, в пределах от 0 до 2-тг и учитывая, что / А(0, г/) (Ь)0 = 0, получаем

или

Со =

£+( 0)

(20)

так как £+(0) = (2?г)171_1 / Ф+(0,О)

Далее, для нахождения функции Х(0,г]) надо решать уравнение (19), в котором Со определяется по формуле (20),

§3. Постановка и решение неоднородной задачи линейного сопряжения в классе функций (Т)

Постановка задачи. Пусть в пространстве С™ задана область Б типа А. Требуется найти функцию /(*) класса (Т), исчезающую в бесконечно удаленных точках при стремлении к ним из области Е\ и удовлетворяющую в точках окружности В\ краевому условию

/+(¿1 ) = С(т)/-(г1) + 9(т), (21)

где функции С(?^1) и д{щ) определены и удовлетворяют условию Гёльдера на окружности В1, причем С(?7 1) нигде на В± не обращается в нуль.

Решение. Будем искать решение задачи в виде интеграла типа Темлякова I рода (3), Подставляя формулы предельных значений этого интеграла (8) и (9) в краевое условие (21), получаем

1

= сы •

(2ж)пг

(2ж)пг

ёи>0

М=1

Г] -Г] 1

<1г) +

1

(2ж)

п — 1

йь}0 [ ^ ' ^ <1г]

.] ц-т М=1

(2ж)

п — 1

<р(0,г]1) (ков

<р(0,Г]!) йШ0

или

1

2 • (2ТГ)"-1

Отсюда следует, что

(1 + ом) • <р($, щ) + Г <Ш<1Г1-Ыт)

жг } 77 — 771 М=1

= 0,

(1 + О(г11))-<р(0,г11)+1 [ ^1с1г1 = 2(д(г11) + \1(е,г11)), (22)

жг } г] — г] 1 М=1

где Х±(0, щ) — некоторая функция, предполагаемая непрерывной по совокупности аргументов и удовлетворяющей по г]± условию Гёльдера, независимому от 0, является решением уравнения / А1 (0,171) (Ь)$ = 0,

Полученное уравнение (22) есть сингулярное интегральное уравнение с ядром Ко-ши, решать которое будем тем же способом, каким решают характеристическое уравнение в теории функций одного комплексного переменного ([3, §21]), Рассмотрим с

этой целью интеграл типа Коши (16), Учитывая равенство lim и = г]± и используя

z-yzi

формулы Сохоцкого для интеграла (16), перепишем уравнение (22) в виде

<р(0,т) + G(m)<p(0,m) + 2Ф+(0,т) - V>(0,m)

- G(mM0,m) - 2О(т)ф-(0,т) = 2(g(m) + AiiMO)

или

ф+(0,т) = С(г11)ф-(0,г]1) + gim) + Х1(0,Г11). (23)

Решение сингулярного интегрального уравнения (22), а значит и поставленной неоднородной задачи линейного сопряжения, свелось, таким образом, к решению задачи Римана с краевым условием (23),

Рассмотрим два возможных случая,

1) Пусть х = JndG(r]i) ^ 0, Тогда решение задачи имеет вид

= ^ [ + (24)

2т J Х+(г]) г] — и М=1

где

Х{и) = ( еГ+1"' , , |ü| < Г(„) = ± Г НГ^М

I и-* ■ ег ("), если Ы > 1, 2т J V ~ и

Рц-\(и) — полином степени не выше х - 1 с произвольными комплексными коэффициентами (при к = 0 полагаем = 0),

2) Пусть к = JndG(r]i) < 0, Тогда решение задачи имеет вид

<ыа „л [ 9{'П) + ММ) d'q

mu) = ^rn J X+(V) (25)

M=i

Отметим следующее обстоятельство. Неоднородная задача Римана в случае х < — 1, вообще говоря, неразрешима. Для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие \к\ условий:

8(1) + Л.(М) , t = 1.2,....N.

Х+(г])

\v\=i

Итак, найдены определяющие функции Ф+(0, и) и Ф~ (0, и), задаваемые формулой (24), если к ^ 0, или формулой (25), если к < 0, Подставляя их в формулы (6) и (7) получим решение поставленной задачи.

Замечание 3, Решение поставленной неоднородной краевой задачи можно найти в виде интеграла типа Темлякова I рода (3) с плотностью (р(6,г)), где (р(6,г) 1) = Ф+(0,г]1) — Ф~(0,г]1), а Ф+(0,г]1) и Ф~(0,г]1) есть предельные значения определяющих функций, вычисленные по формулам Сохоцкого,

Замечание 4, Если для нахождения решения краевой задачи используется формула (24), то решение зависит от полинома с произвольными комплексными коэффициентами и некоторой неизвестной функции Ах (0,?]). Решение задачи станет вполне определенным, если наложить на искомую функцию (или Р~(г)) х независимых условий. Это, например, можно сделать так: задать в начале координат (где и = 0) значение определяющей функции Ф+(0,и) и всех ее производных по и до порядка х — 1 включительно. Это позволит найти коэффициенты полинома

Найдем, например, коэффициент Со Пусть задано значение Ф+(0, 0 = Ф+(0,0), Из формулы (24) следует, что

Ф+(0,О)_1 Г д^ + ЫО-.'п) Л + Со. (26)

Я"+(0) 2т ] х+(г]) Г) |Ч| = 1

Интегрируя это соотношение по j = 2,п, в пределах от 0 до 2-тг и учитывая, что / \г(0, г/г) = 0, получаем

1 1 [ з('п) лп\ л

] хЩ'^) 01

4 М=1 7

т, е.

£+(0) 1 [ д(п) й'п

о0 —

поскольку

Я"+(0) 2пг ] Х+(г]) г) ' |Ч|=1

Подставив значение коэффициента Со в соотношение (26), получаем уравнение для нахождения функции А 1(0,г]):

1 [ Аг(0,'П) <1г] Ф+(0,О) ^£+(0)

2т ] Х+(г]) г) Х+(0)

|Ч| = 1

Если же решение краевой задачи находится с использованием формулы (25) (т, е, индекс х < 0), то это решение будет содержать неизвестную функцию А1 ($,??). В этом случае для получения определенного решения надо на функцию (или Р~(г))

наложить одно условие. Например, так же, как в рассмотренном случае, можно задать в начале координат (где и = 0) значение определяющей функции Ф+(0,0), Тогда для нахождения функции А1 (0.,г]) следует рассмотреть уравнение

1 [ Аг(0,'П) <1г] Ф+(0,О) 1 [ д('п) Ф

2т ] Х+(г]) г) Х+(0) 2т у Х+(г]) г)

М=1 М=1

Следствие 2. В случае О (г/г) = 1 неоднородная задача линейного сопряжения обращается в задачу о скачке с краевым условием

§4. Прибавление

Отметим, что краевые задачи линейного сопряжения, близкие по постановке к рассмотренным выше, но решение которых ищется в классах функций, определяемых различными интегралами типа Темлякова — Барвина, были изучены в совместных работах автора и его учеников.

Так, в совместном с А, Е, Луковниковым исследовании 2000 года [15], получившем дальнейшее развитие в его диссертационной работе [10], были рассмотрены однородная и неоднородная задачи, в которых решение искалось в классе интегралов типа Темлякова — Барвина I рода первого порядка

iLf^fsm^ и

(2тг )ni J J J г]-и

о \v\=i

где U = CiZi + C2£Z26~102 + • • • + Cn£Zne~1011.

В работах, написанных в соавторстве с А, С, Якшиной (см., например, [16]), подобные задачи были рассмотрены и решены в классе функций, определяемых интегралом вида (27), но в котором u = = c\eblz\ + С2в02Z2e~102 + • • • + cneSnzne~l$n, где показатели ¿i,,,,, Sn представляют собой набор из нулей и единиц, причем нулю равны SVl,... ,SVk (vi < v2 < • • • < Щ, 2 ^ k ^ n — 1), а единице — все остальные показатели. Отметим, наконец, что автором в 2001-2002 годах произведена постановка и указано решение соответствующих краевых задач в классах функций, определяемых интегралом типа Темлякова I рода с более широким, чем n-круговые определяющие области D типа А, классом круговых определяющих областей.

Литература

1. Баврин И. И. Операторный метод в комплексном анализе.—М.: Изд-во МПГУ «Прометей», 1991.—200 с.

2. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных.—М.: Наука, 1964.-411 с.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. 3-е изд.—М.: Наука, 1977.—640 с.

4. История отечественной математики.—Киев: Наукова думка, 1970.—Т. 4.—Кн. 1.—С. 193-295.

5. Какичев В. А. Краевые задачи для функций, аналитических в биобластях // Вестн. Новгородского ун-та им. Ярослава Мудрого. Естественные и технические науки.—1995.—№ 1.—С. 110— 114.

6. Линник Ю. В. Статистические задачи с мешающими параметрами.—М.: Наука, 1966.—342 с.

7. Луканкин Г. Л. Об однородной задаче линейного сопряжения // Учен. зап. МОПИ.—1970.— Т. 269.—С. 15-22.

8. Луканкин Г. Л. О неоднородной задаче линейного сопряжения // Теория функций, функциональный анализ и их приложения / сб. трудов.—М., 1973.—Вып. 15(1).—С. 45-52.

9. Луканкин Г. Л. Пространственная задача линейного сопряжения // Вестн. МАН ВШ.—1998.— № 4(6).—С. 82-90.

10. Луковников А. Е. Исследование свойств интегральных голоморфных функций в С" и решение многомерных краевых задач линейного сопряжения // Автореф. дисс. на соиск. степ. канд. физ.-мат. наук.—М., 2000.

11. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.—511 с.

12. Нелаев А. В. Операторная связь между некоторыми интегралами // Математический анализ и теория функций / Респ. сб. трудов.—М., 1973.—Вып. 1.—С. 169-178.

13. Нелаев А. В. Метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами в исследовании комплексных интегралов в С" // Математика. Компьютер. Образование / Сб. науч. трудов.—М.: Прогресс-Традиция, 2000.—Вып. 7, Ч. 2.—С. 444-451.

14. Нелаев А. В. Пространственная краевая задача линейного сопряжения для функций, голоморфных в кратнокруговых областях С".—М.: Прогресс-Традиция, 2001.—Вып. 8, Ч. 2.—С. 406-414.

15. Нелаев А. В., Луковников А. Е. (краевые задачи линейного сопряжения в С" для функций, голоморфных в кратнокруговых областях.—М., 2000.—19 с. Деп. в ВИНИТИ 04.10.2000, № 2542-В00

16. Нелаев А. В., Якшина А. С. О неоднородной краевой задаче Римана для функций многих комплексных переменных, голоморфных в кратнокруговых областях.—М.: Прогресс-Традиция.— С. 415-423.

17. Темляков А. А. Интегральные представления аналитических функций двух комплексных переменных // Учен. зап. МOl II I. 1951. Т. 21.—С. 7-21.

18. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных.—М.: Физматгиз, 1962.—419 с.

19. Opial Z., Siciar J. Integral formulas for functions holomorphic in convex n-circular domains // Zesz. Nauk. Univ. Jagiell.—1963.—V. 9, No. 77.^P. 67-75.

г. Москва

Статья поступила 16 сентября 2002 г.