ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ОДНОСТОРОННИЕ ОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ДВОЯКОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА $\Bbb{C}^2$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2000, Том 2, Выпуск 4

УДК 517.55

ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ОДНОСТОРОННИЕ ОДНОРОДНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ДВОЯКОКРУГОВЫХ ОБЛАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА С2

X. П. Дзебисов

Задачу нахождения пары функций Ф"^(^) и Ф+(г) (Ф“(г) аналитических в по краевому условию АЦ)Ф+(г) = ф+со + т (соответственно

А(*)ф-(*) = ф-(*)+ /(*)) называют внутренней (внешней) односторонней краевой задачей. В работе рассматривается более общий случай, когда в краевых условиях допускаются наряду со значениями функций значения их производных. Решение сводится к полным сингулярным интегральным уравнениям, решаемым известными методами.

0. Введение

В работе [4] были поставлены и решены некоторые двумерные краевые задачи типа задачи Римана для двоякокруговых областей пространства С2 двух комплексных переменных в классе функций М£’Ра2 определенных интегралом

«-А/'/'/Ж* 1,1

а 0 |^| = 1

где (г) = (г1,г2) Е С2, «1(т, сг) = та1гг + т'72г2еы, 0 < а < (5 < 1, аг > О, (Г2 > О, -Р(£,С) £ 1^рд(а), т. е. на множестве А = {(£,£) : 0 < Ь < 2ж, |£| = 1} функция /*'(/.£) удовлетворяет условию Липшица с показателем 0 < а < 1 по переменной £ равномерно относительно t.

Приведем некоторые свойства функций класса М^а2 в пространстве С2

[4].

1. функции класса М^а2 непрерывны в пространстве С2.

2. функции класса М'„\' аналитические в областях (см. рис. 1)

К(р,аг,а2) = {(г) : ^\гг\ + Г2 Ы < 1},

= {(г) : Л2(а) > О, \2(/3) > 0}, Г2 = {(г) : Аз (а;) < 0},

© 2000 Дзебисов X. П.

где

Ах (т) =т°'1 \гг | + та2\г21 — 1,

Аг(т) =тСТ1|^1| - тСТ2|^2| - 1,

Аз(т) =тСТ1|^1| - та2\г2 \ + 1.

3. Функции класса М“1,^Г2 неаналитические в области С2\(К и Гх и Г2).

Рис. 1

2 ( \

Пусть -0=5^ + линейный дифференциальный оператор.

Функции, определяемые соотношением

£[/](*) =/(*)+ Д[/(г)] (г)ес2

отнесем к классу , см. [5].

Рассмотрим еще функции классов (^} и (^1, определенных соответственно интегралами

2тг

Ф)

4тг2ъ ] J ^ — г^1 (/3, ст)

о |€1=1

2тг

^(*,0 # 47г2* J '] £ — ^(а, а)

0 1€1=1

М

[г) е С

Мес2,

где щ(Р, сг) = /За1гг + /За2г2егЬ, «1(0;, <т) = аа1гг + аа2г2егЬ.

Отметим следующие свойства функций классов . С} и 6^1 [1, 4].

1. функции классов Р^а2 непрерывны в пространстве С2 за исключением точек двумерных множеств (рис. 1)

С1 = {(г) С2 = {(г) С3 = {{г)

С^ = {(г)

Ы=/ГСТ1, г2 = 0},

\гг\ = а^а1, г2 = 0},

Ы =0, \г2\=Га'2}, Ы = 0, \г2\ = сГ'72}.

2. функции классов ((^1) непрерывны в пространстве С2 за исключением точек двумерных множеств С1 и С:> (С2 и С4).

3. функции классов Р^а,2, С? ж в области К(/3, <тх, сг2) связаны соотношением

Ш](г) = 131+(г) - «71+ (*), (4)

где 7+(.г) и 7^(г) определяются по формулам (2) и (3), в которых |г/1 (/3, <т)| < 1 и |гл! (о;, <т)| < 1.

4. Предельные значения функций классов Р^а2, (} и (}\ из области К(/3,а1,а2) на множестве С\ определяются по следующим формулам

2п

Д/+К*°) =-Л- /'* 1

47Г 2;1 У У С — Со

0 |с|=1

2тх 2тх ^

о о 1С1=1

где Ц/+(г0)} = Ит и?(а,<г) = (§) Со, |£0| = 1, (г) Е К((3, <хь а2), (г°) Е

(г)—>-(г°) \р/

(Г"1 Со, 0);

2я- 2я-

т+(*°)1 = + (в)

о |С1=1 о

где Ип1 о 7(г) = 7+(г°), внутренний интеграл J является особым

и понимается в смысле главного значения по Коши.

1. Внутренняя односторонняя однородная краевая задача

Свойства функций классов М^а2, Р^а2, Q и Qi в области ЛГ (/3, <xi, <т2) обеспечивают постановку и решение односторонней внутренней однородной задачи сопряжения с краевым условием, содержащим частные производные искомых функций. Сформулируем ее.

Краевая задача 1. Найти две функции f~(; ) и /.Г ( ~) аналитические в области K(f3, <Ti, сг2), удовлетворяющие на двумерном множестве С\ краевому условию

ВД](Л = е«п)/2+(А (7)

где G(£о) — непрерывная па С\ функция, удовлетворяющая условию Lip а (О < а < 1).

Решение. Решение краевой задачи 1 будем искать в классе функций М“1’^Г2 (f* G М“1’^Г2), и в классе Q Е Q). С учетом принятых нами обозначений, краевое условие (7) перепишем в виде

L[/+](Z")=G(fo)7+(A (8)

Подставляя предельные значения (5) и (6) в краевое условие (8), получим

/3

2тг

47г2г

dt

2тг

2тг

С^Со

a

47r2i

dt

l€l=i

о

/

Kl=i

F(t,Q d£

С - «5 (а, сг)

G(Co

2тг

4ir2i

dt

F(t,Q d£ C^Co

2тг

l*l=i

или

47Г

2тг

\°

P^G(Co) f F(t,0

ki j С ^ Co l*l=i

dt + (p-G(to))F(t,to)

Откуда следует, что

/3 — G(Co) f F(t,t)d£

m j С - Co Kl=i

f F(t,£) dC

7Гi J С — a) 1*1 = 1

(/3 — G(£o))F(t, Co) F(t,C)rfC

a

Tii J С — «5 (a, o) l*l=i

dt

0.

2-к

где / </?(£,£о) <Й = О, </?(£, £о) — некоторая непрерывная по t функция, удово

летворяюгцая по £ условию Липшица с показателнм (0 < а < 1) независимо от

Соотношение (9) есть интегральное уравнение с искомой функцией .Р(£, £). Перепишем его в виде

где г(£о, £) = а(С - и?(а, <т)) х.

Поскольку и\(а,(3) = (^)°'1£о, |£о| = 1, то |«5(«,(х)| < 1 для всех t е [0, 2тг] иге [а,/3]. Следовательно, г(£о,£) допускает оценку

Таким образом, уравнение (10) является полным особым интегральным уравнением, относящимся к исключительным случаям, для которого применима приведенная в [3] теория решения указанных уравнений.

2. Внешняя односторонняя однородная краевая задача

где 7“(г) и 7]~(г) определяются по формулам (2) и (3), в которых \и\((3, <т)| > 1 и |г*1 (си, <т)| > 1.

< Доказательство равенства (11) аналогично доказательству равенства (4), которое приводится в [4]. >

Из соотношения (11) получим формулу предельного значения Ь[/)(г) в точках двумерного множества

Р(г,£)с1£

1*1=1

(10)

жг

1

£ г(€о,€)Р(г,€о)(% = <р(*,£о),

1*1=1

О < А < 1.

Теорема. Пусть /•’(/.£) е 1лр^(а). Тогда в неограниченной области Г| (рис. 1) функции классов М^а2 и (} удовлетворяют соотношению

(11)

С2 = {(г) : г% = 0}, |£0| = 1.

а) Учитывая формулы Сохоцкого [3], выводим

ЛтГ(г) =тГ(г°> = з^УЛ .1 1ГьГ~Ь} i?(^’&)Л- (12)

О 1*1 = 1 О

б) Учитывая, что 'у(г) непрерывна в и С2,

2п

7"Ы= Нт 7"(г) = -^т [ & I у (13)

(г)^(г0) АттН ] ] £ - Щ{(3,о)

° 1*1 = 1

где и\((3, а) = |Со| = 1, получим

2тг 2тг

О 1*1 = 1 О

2-к 2-к

Р [ м ^

4тг2{ ] У £ — ^(/З, сг) о о

Сформулируем теперь внешнюю одностороннюю краевую задачу сопряжения.

Краевая задача 2. Найти две функции (; ) и /Г ( ~) аналитические в области Г2, непрерывные на Г| и С2, обращающиеся на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек в ноль и удовлетворяющие на С2 краевому условию

Ь[/Г](Л=С(&)/2-(А (14)

где С (£о) — непрерывная наТ2 функция, удовлетворяющая условию Липшица с показателем 0 < а < 1.

Решение. Решение краевой задачи 2 будем искать в классах функций и (^>1 е М^а2, & Яг)- С учетом принятых нами обозначений,

краевое условие (14) перепишем в виде

£[/Г](г°) = С(Со)тГ(^°)- (15)

Подставляя предельные значения Ь{$^)(г°) и 7^(г°) в краевое условие (15), решение задачи сведем к решению полного особого интегрального уравнения,

относящегося к исключительным случаям [3] и, имеющего вид

7Гг ] С - Со 1£1 = 1

Р [ (. с х

тгг У ^ — «5 (/3, сг)

1*1=1

2п

где / </?(£,£о) <Й = 0, </?(£, £о) — некоторая непрерывная по t функция в проме-0

жутке [0, 2тг]. удовлетворяющая по £ условию Липшица с показателем (0 < а < 1) независимо от £.

Соотношение (16) перепишем следующим образом

<П<<- \ ^ а\ С(Со)+/3 [ -Р(г,£М£ , 1 [ ^ ^

(£(£о)+/3)---------:--- ~2—;---------------------------------------н— г(£0, £0) = <р(£, £о), (17)

7Г1 ,) £ - £о 7Г* У

1*1=1 1*1=1

где г(Со,С) = /?(£-«?(/?, <т))_1- _

Поскольку ^(А*7) = (§) Со, |Со| = I • ТО для всех / е [0, 27г] иге [а,/3] — |(/3, ст) | > 1. Следовательно, г(£о, £) допускает оценку

№о,0\ < ,, ^,!_л, (0<л<1). I? - £о|

Литература

1. Айзенберг А. А. О граничных свойствах функций аналитических в двоякокруговых областях // Докл. АН СССР,—1969,—Т. 125, № 5,—С. 959-962.

2. Какичев В. А. Методы решения некоторых краевых задач для аналитических функций двух комплексных переменных.—Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 1978.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Физматгиз, 1963.

4. Дзебисов X. П. Интегральные представления голоморфных функций в специальных областях пространства С2 двух комплексных переменных // Межвуз. сб. трудов «Аналитические функции и их приложения» СевероОсетинского ун-та.—1984.—С. 28-48.

5. Дзебисов X. П. Об одной внутренней односторонней краевой задаче типа задачи Римана // Проблемы математического анализа. Конференция по

итогам НИР за 1994 г. Тезисы докл.—Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1995.— С. 18-20.

6. Дзебисов X. П. Внутренняя односторонняя краевая задача для гиперконуса // Проблемы математического анализа. Конференция по итогам НИР СОГУ за 1995 г. Тезисы докл.—Владикавказ: Изд-во СОГУ, 1996.—С. 10.

г. Владикавказ

Статья поступила 20 ноября 2000 г.