CC BY
14
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2003, Том 5, Выпуск 2
УДК 517.55
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ С ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ МНОГООБРАЗИЯМИ
X. П. Дзебисов
В работе продолжены исследования автора по теории интегральных представлений аналитических функций двух комплексных переменных. Получены новые интегральные представления, из которых как частные случаи вытекают известные. На их основе решается задача восстановления функции в неограниченных областях двумерного комплексного пространства по значениям самой функции и ее производных, заданных на определяющих многообразиях.
Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве С2 класс областей вида (для краткости (г) := (21,22))
С\ = Р| / {г) : ш-с* . г2(ш)(ш-а) < ] \ )
0«<Ш<8<1 1 Г1<Ш) >
для которых г\(со) и т'2(ш) удовлетворяют условиям: г (со ) — положительная непрерывная на сегменте 0 ^ ^ 1 и непрерывно дифференцируемая на полусегменте 0 < со ^
1 функция, удовлетворяющая условиям Г1(0) = 0, г^(ш) > 0; функции г\(со) и гг(ш) связаны соотношением
7*9 (си) СО г\(со) г'л(со)
--------ГГ'-ГГ’ г2(ш) = ОС.
г2(со) 1-ш гЦш) гЦш)
Отсюда вытекает, что в интервале 0 < со < 1 функция г\(со) возрастает, а г2(ш) убывает. По поводу областей С?1 имеют место следующие утверждения.
1. Граница Г области С?1 является огибающей семейства логарифмических кривых
і і ^ ® \ і і і ^ ® / \і Ы + д-------Г2(ш)1гфі| - ------Г2(Ш)ІП
р — ш р — ш
¡3 — и>
е"-«п(ш)
= 0.
2. Класс областей С?1 при ск —> 0 и /3 ^ 1 совпадает с классом неограниченных полных двоякокруговых областей, границы которых Ф(г\, г\, г-2, ¿2) = 0 дважды непрерывно дифференцируемы и аналитически выпуклы [4].
3. Класс областей 0\7 задаваемых условием (1) непуст. Так, например, если а —>
0, /3 ^ 1, г\(со) = е—Г2(си) = то области = {(г) : 1п|^11 + /3|;?2| < 1} и
при фиксированном /3 называется логарифмическим гиперконусом, а в случае /3 = 1 — единичным логарифмическим гиперконусом.
© 2003 Дзебисов X. П.
Определение 1. Множество
Ща,Р) = {(г) : \гг\ = п(ш), \г2\ = г2(ш), а ^ ш ^ /3}
назовем определяющим трехмерным многообразием для областей
Очевидно, что Н(а,/3) С и при а Ф 0 является ограниченной, а при а = 0 — неограниченной гиперповерхностью, причем Д(0,/3) С (?і.
В работе [5] введены интегро-дифференциальные операторы в случае звездных областей пространства С” (здесь случай п = 2):
ЬлЛ~к)^^ = 4Г")[4")[/(^)]]! = 4}Й[/(г)]], 40|}[/(^] = /И,
*Г\ *Г\ *Г\ *Г\
¿У [/(*)] = ¿Л^Л^Н- • • [ілі[/(«)]] • • • ], 1-Аі[/(г)\ = 7^/(2) + 8[з)хіД + 4^2/'2(2),
7,^1, 77 ^ ¿^ + <^>0, І = 1,2,..., А;, і = 1,2,... А (2)
ї(І) і х(і)
і і
¿4 ^ [/(*)] = I *1 I *2-- - І ¿Єк- і / єр 1 • • • Є
„71-1 Л^1
г(і)
0 0
.41}
х/(є? •••4і гЬ£? •••42 ^2)*^, ¿ІЛЛ = £т'[/] = /•
(*)
(°)т — г(°)гл —
В [5] показано, что операторы Ь^~ ^[/] и ~’^[/] являются обратными друг другу. Заметим далее, что
лл
т (к,—к) г„т „щ ____ ^гап„га.,п
1*1 ^2 ] — ^ *1 ^2 :
лл
77171
т(-к>к)і„т„т _ Ртп^т^п АА ^ 1 ~ 1 2’
Р
Г ТПП
с(І)„
(3)
(4)
Ртп = Ц(Ъ + 4' т + 4' «). ¿=1
_ к _ _
= П(^ + + ^}«)-
1=1
Операторы
и
іл|) = ^ = 71^ + + ^2/'2 при 71 = 6і = 1, ¿2 = о,
і
4-і’0) [/(,)] = [ є'Уі-1/(єЙ1гиєЙ2г2)<іє при 71 = 52 = 1, ¿1 = О,
ввиду их особой важности для дальнейшего, обозначим соответственно через М^[/(г)]
и м[^Ш], где ^1(д = /(*) + *1/^
і і М$Ш] = /О*) + ¿2/^, Мі(д1} = J К£21,22) М;-1} = J ¡(гі,єг2) йе.
о о
Положим также
м,(?[/м]= мИ [/(*)]=/М.
— Л А0)
Теорема 1. Пусть функция /(г) аналитическая в области Э (0,0). Тоща, если /(г) и все ее частные производные до порядка /л (ц ^ 0) включительно непрерывны в за исключением точки (0, оо) при а —> 0, то для к = 0,1,... , ц, к = 0,1,..., ц, (г) е 0\
ОО ОО ¡3 2ж 2ж 2ж
/(;?) = . [ е-ТЧп [ е~Т2<1т2 [ (1ш [ <И\ [ М-2 [ сИ [
а 0 0 0 |т?|=1
(5)
Л) ■ еЬ*2 ■ г(к, к)
ЛЛ Г) — и АА
/(г1(ш)г]егг1,г2(ш)егр2у)
где Х(ш) = и = З^еЧ а = , Ь = « = еЛ, Д = ехр[т1е-* +
г г(ш)
г2 (со) (со—а)
т2е ф2], I.' '• , I.' •' , М 2 — интегро-дифференциальные операторы. Интеграл (5)
*/х */х */х */х */х */х
-*Ч 1(кск\ м(111)
ЛЛ ’ ЛЛ ’ ЛЛ понимается как интеграл, где ш € [сг, /3] при а —> а.
<1 Пусть точка (г) € 0\. Рассмотрим замкнутую подобласть Ор(а) Э (0,0) области 0\7 ограниченную гиперповерхностью {\г1\ = рг\(ш), \г2\ =Г2(ш),\г2\ =Г2(ст)}, где а < о ^ ш ^ ¡3 7 0 < р < 17 о Ф 17 о ж р ^ выбраны так, что (г) € Ор(а). На основании формул (3) и (4), легко убедиться при сг ^ со ^ /37 0 ^ ^ 2тг, что
7 т(-к,к) 87Г3 аа
2ж
\{ш)реЬг2[х^хг^}
о
21=п(ш)ие!*1
22=гг(ш)«е!*2
м
2ж
= I ^(ш)/1еЬг2 ( Г\(ш)иег11 ] ( Г2{оо)уеф2 ) (Й.
Отсюда при а < а < ¡3 следует
¡3 Г 2ж
Л [
8тг3 .) аа
г\ =г\ие
>«!<&
/3 2ж
= ¿з I ^ш) I А(ш)ДеЬ22(п(а;)гег<1)т(22(ш)иег<2)п^.
о
(6)
Проинтегрируем обе части равенства (6) по переменным т* и ^ (г = 1,2)
оо оо 2ж 2ж ¡3 2ж
ско1. , ,
/ л л
7
87Г3
е Г1^Т1 I еТ2 (1т2 I (¿¿1 / (¿¿2 [ с1ш^\ к,к'^
\(со)е^2р1(кСк)[г?гп2]
0 О О О о- 0
ОО ОО 2-7Г 2-7Г /3 2-7Г
ты,. / „ — 72
= / е Г1^Т1 / е Т2 (¿Т2 / (¿¿1
0
0
0 0
<й2 [ (1ш [ Л(ш)еЬ22Д(п(а;)йег<1)т(г2(а;)г;ег<2)п^ = /.
(7)
СГ о
Рассмотрим внутренний интеграл правой части (7) и проинтегрируем его по частям
2тг й — ш 2тг (¡3 — и>)т о
1 Г Т Г (Р-^9е-»(т +1) гтгпе-^^(^)п(т+Г) г
еЫ'2итЬПМ = I „ , , /в г2(.К.-,) е*М м = 1 2 \ )
Таким образом,
Г lbmn{a)z^z^
1 = Ш + 1 ’ (8)
где
ОО ОО 2тГ 2тГ ß
bmn{v) = ^ ^,2^;—“ J e^Tldri J e^T2dr2 J dti j dt2 J A(w)jue_^(m+1)
0 0 0 0 cr
x I §JZ±L) eüimeü2ndw.
ш — о Покажем, что
lim 6mn(cr) = 1. (9)
CT—>Q
Для этого рассмотрим внутренний интеграл правой части (8) при ст —> а.
ß (ß-u)(m + l) о
h = lim ("■+;) 7 / f—(ю)
оч-а n! J (LO — а)1
Введем обозначения
(т_І_і)
и = (——— ) , dv =—.-----------------7z—dw. (11)
— а/ (ш — a)z
Используя обозначения (11) и вычисляя интеграл под знаком предела (10) п раз по частям при а —» о. окончательно получим, что I\ = 1.
Далее, непосредственным подсчетом убеждаемся, что
2тг 2тг
1 Г Г т™т»
Д- e^mdh Jlet2ndt2 = (12)
4ttz J J mini
о о
oo oo
e-nT™(¿Tl j т^еГТ2 dr2 = n\m\. (13)
о о
Таким образом, из соотношений I\ = 1, (11) и (12) следует доказываемое равенство (9). Тогда из равенств (7) и (8) получим
ОО ОО 2-7Г 2-7Г ¡3
J e~ndri j e~T2dr2 J dt\ J dt2 J douL^-^
о о о о (14)
2 ж K '
X(w)iie^L^C%^]gl=ri^tldt
Zo=ro1)eli2
brnn(a) jm „n
m + 1 *2'
Для любой точки (г) € СДст)
^ е , | Ы , пМ Г0(я)—ё.
и ^ ------ г- 21 е 1г2(ш)(ш-<у) ---—_е а^-сге 'г.;
гЦш) п(ш)
Но, согласно утверждению 1
Г1(ш) Г9(ш)----&
---—е ш-<?е
П [со)
Поэтому |«| < р и в силу этого, при любых значениях параметров I, со, 0 ^ ^ 2тг,
О ^ ¿1 ^ 2тг, а ^ со ^ /3, точка (гх (со)ие^1, Г2(со)у) € СДст).
Так как /(г) регулярна в области Ор(а)7 содержащей свой центр (0,0), то в этой
области она может быть представлена равномерно сходящимся рядом
/(2) = £ атпг?г1
т,п=0
(15)
Учитывая соотношения (12) и (13), из равенства (14) получим
Г
Х{ш)реЪг2Ь{кСк^ 4 " АА
оо оо 2тг 2тг ¡3 2ж
¿3 / е_Т1(гТ1 J е~Т2(^Т2 !^1 J &2 J
0 0 О О О-
0
(16)
Но ^^[/(2;)]21=г1ие“‘1 ПРИ произвольных фиксированных значениях параметров I, ¿1
и ш (0 ^ ^ 27г, 0 ^ ¿1 ^ 27г, о ^ ^ /3) есть аналитическая функция переменной и в
круге \и\ ^ р. Поэтому
1{к,-к) = _Р_ [ 1А1к) V(Г1 ^. Г2 М«)] ^
т - и
[41 = 1
где Т]1 = рг) и, следовательно,
'М^) = Трд7 I е Т1^т1 I е Т2^т2 I ^1 I ^
2ж 2ж 13
167Г4*
О О О-
2тг
М
о М=1
Х(со)реЬг<2
Г]1-и
Х Ч[/(г1(ш)!]1еЙ1,Г2(ш)ие,г2)]й?|
2тт 2тг /3 2тг
167Г4*
(-к,к) АА
0 М = 1
X
М ~ и.
1л 'л к)№^Г1 ^теЛг ’Г2(ш)уеФ2Ш'П-
Действуя на обе части последнего равенства оператором будем иметь
Л/
(1)
ід
Фа(х)
2ж 2ж (і 2ж
= /ст(^) = I Є Т1^т1 I Є Т2^т2 І І I I М
х J Л(ш)ДМ-[д
|??|=і
^(—к,к) ■ еЬг 2 ■
АА ж - її.
О О О- О
[/(гі(ш)’?іеі!і1г2(ш)теі!2)](іі].
Оценим разность
1* = Ш
7
167Г4*
Є Т1(1т\ / Є Т2<ІТ2
2тг 2тг (і
Jd.ii ^ !
2тг
dt J
0 \т)\ = 1
(1)
Г - Г Jbz^) 1 -|
^(—к,к) е 2
АА Г] — и
О о
(к,-к)
/3
АА ’Г2 Мие )] ¿'П-
Для этого достаточно оценить разность
¡3 2ж
I = -Р— * 4тг2*
Г - г ь і
^(—к,к) еи22
АА Ж - її.
О |г?[=1 ¡3 2ж
4тг2і
(і)
^(—к,к) ■ еЬг2 ■
АА Г) — и
1АА к) ^ (П (Ш^Пі Є%І1 ’ Г2 )] ёг>
1АА к) ’ Г2 М«е*<2)] ¿О-
О |г?[=1
Эта оценка производится так же, как и в [6]. В результате получаем 1р = 0 (ст > О фиксировано), поэтому справедливо равенство
2ж 2ж 13
/<7(2) = ^ аптЪ„т{о)г™г2 = ^_-ц /е Т4ті ^ е Т4т2 J dt1 J dt2 ! <1ш
т,п=О
2ж
dt J \(ш)цМ
О \г)\=1
1(11
Г ~ г ь і
^(—к,к) АА еиг2
Г) — и
О о
(к,-к)
О О
АА ^('П ’ Г2 М«е )] %
Для точки (г) Є С\ ряд Етп=о атп2Г22 абсолютно сходится. Поэтому
¡(г) = ІІП1 У' атпЬтп(а)г™ г2 = У"'
и —У(х
т,п=0 т,п=0
2ж 2ж ¡3 2ж
= ІІП1 -Д- I е-Т1
а—>а
4тг4г
(і)
^(—к,к) ■ еЬг2 ■
АА Г) — и
о
■(к,-к) г
О |г?|=1
АА (Гі (ш)'Пе ) г2 (ш)г>е 2)] ¿г]. >
Интегральное представление (5) выражает значение функции / (г) в области С?1 через значения оператора
1АА ^ У^’г'2 (ш)уе'Ф2)]>
заданного на определяющем многообразии Д(а,/3). В частности при а = 0 и /3 = 1 из (5) будут следовать интегральные представления
1 2ж
1(11
-к,к
'лл
I/
0Ъ*2
О 0 |г?| = 1
— и
1%к\1(п(и>оМи)у)](1'П, (17)
1 2ж
1/=1
0 0 |г?|=1
I,
(-к,к) ' АА
„Ьго
_?? - (2 - г/)и*_
(18)
где
А(ш) =
и* = аг\еЬг'2, а =
0^ 7*1 (ш) ’ 7*1 (ш)ш
Интегральные формулы (17) и (18) были получены В. Т. Уляшевым в [6]. Отметим только следующее:
1. Пусть в формуле (17) к = 0, к = 1, Ь
(-к,к) ЛЛ
далее 71 = <5^ = 1, ¿2°^ = 0- Тогда
М
(1)
1,1
ь
(-1)
г,Ьг2
— и
еы'2
— и
еы'2 Г) — и*
фг2
— и
. Положим
ЬаЛ ^/(^М^^М«)] = ^(п(ш)г],г2(ш)у) = /(2) +21/^(г).
В этом случае (17) примет вид
1 2ж
/(я) = I (1ш IМ ! ^ 'Пф(п(ш)г],г2(ш)у) (1г], (19)
0 0 |г?|=1
2. Пусть к = к, ь[~’к)[ф)} = I:1;-. к)[(р{г)} = ф). В этом случае (17) принимает вид
/1д Д/1
1 2ж
/(2:) = / (^-ец*)2/(г1И»7,Г2Мг>)^.
0 0 |г?| = 1
(20)
3. Пусть к = к, 1} ~,к\(р(г)\ = ¡.к' к\(р(г)\ = ¡р(г). Тогда из (18) следует
Д/1 /\/\
1 2ж
/(«) = /(0,0) + —<1ш
Г , Г \{ш) еы'2 - 1 , . . . . , ,
J ^ J —---------1---Л2(пМ»7,Г2Мг;)й?7
4тт2* / / / т? Ь
0 0 |г?|=1
1 2ж
\{ш)еЫ2 ,
+ ~т%~. I ёсо
I* /
4тг2* J J J — и
о о М=1
Л, {гщ-/г2у)(1'Г].
* •> %\
Интегральные формулы (19)—(21) получили название интегральных представлений Темлякова (I, II и III рода соответственно) в случае неограниченных полных двоякокруговых областей [6].
Литература
1. Дзебисов X. П. Об интегральных представлениях голоморфных функций в пространстве С" (п ^ 1), свойствах некоторых интегралов и их приложение к решению краевых задач / Деп. в ВИНИТИ 16.07.76, № 14687-76.-1976.
2. Дзебисов X. П. Интегральные представления голоморфных функций в специальных областях пространства С2 двух комплексных переменных // Межвуз. сб. трудов «Аналитические функции и их приложения».—Владикавказ: Изд-во СОГУ.—1984.—С. 28-48.
3. Дзебисов X. П. Интегральные представления аналитических функций в специальных облостях пространства С2 и их приложения // Третья Саратовская зимняя школа «Теория функций и приближений».—1986.—С. 50-52.
4. Гуляев А. В. О функциях, определяемых некоторым интегралом // Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та. им. Н. К. Крупской.—1970.—Т. 269.—С. 69-76.
5. Баврин И. И. Операторы и интегральные представления голоморфных функций // Сб. трудов «Теория функций, функциональный анализ и их приложения» Моск. обл. пед. ин-та. им. Н. К. Крупской.—1973.—Вып. 15(1).—С. 3-44.
6. Уляшев В. Т. Интегральные представления Темлякова — Баврина для бесконечных двоякокруговых областей // Сб. трудов «Теория функций, функциональный анализ и их приложения» Моск. обл. пед. ин-та. им. Н. К. Крупской.—1973.—Вып. 15(1).—С. 145-158.
Статья поступила 26 декабря 2002 г.
Дзебисов Хаджумар Петрович, к.ф.-м.н. г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН
