Краевые задачи для одной многомерной эллиптической системы высшего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

М, Нурублоев

1. Исследование разрешимости граничных задач для дифференциальных уравнений высокого порядка вида

является актуальным, так как здесь наблюдаются новые эффекты разрешимости краевых задач, отличных от случая Ми = 0. Например, известная система А. В. Бицадзе [1], для которой задача Дирихле является некорректной, определяется итерацией оператора Коши — Римана. Ф. Браке и Р. Делонге [2,3], исследуя уравнение (1) в случае М = В, где В — оператор гиперкомплексного дифференцирования, ввели новый класс функций, который назвали классом моногенных функций.

В отличие от указанных выше работ в данной работе мы исследуем однозначную разрешимость задачи типа Шварца для несильно эллиптической системы (1), в которой матричным дифференциальным оператором Моисила — Теодореску является оператор

и

(щ, и, и, и) — искомый вектор, ая — любое натуральное число.

Следует отметить, что многомерным несильно эллиптическим системам второго порядка посвящено довольно много работ (см. [1,4] и

© 2008 Нурублоев М.

М"и = М(М...(Ми)...) = 0, п > 2,

(1)

имеющиеся там списки литературы). Однако многомерные несильно эллиптические системы высших порядков очень мало изучены. Система (1), (1') в таком общем виде ранее исследовалась применением

преобразования Фурье в работах [5,6] только в случае полупростран-

'

линейные комбинации решений системы Моисила — Теодореску (т. е. Ми = 0). В отличие от этих работ мы записываем систему (1) через основные операторы векторного анализа и, применяя совершенно

другой метод, который хорошо применяется также и в случае огра-

'

через линейную комбинацию произвольных гармонических функций.

'

случаях четности и нечетности показателя итерации (т. е. и) сильно отличаются. Поэтому каждый случай будет рассматриваться отдельно. Аналогично тому, что задача Шварца восстанавливает голоморфную функцию в области по заданным на границе значениям ее веще'

задачи типа Шварца в полупространстве (п. 2) и в шаре (п. 3).

и

'

Д2™^- = 0, ] = 0, 3, при п = 4т,

где т= 1,2,....

Случай, когда и = 2т — 1 — любое нечетное число, система (1)

'

где А — оператор Лапласа по всем переменным.

'

пространстве = {(ж1,ж2,ж3) '■ X >0, (хх) € М2} в следующей постановке.

Ат— (Ми) =0,

(3)

Задача 1. Найти в полупространстве М^ функции и3 е С т(М^) П С2т_1(Мц_) = 0,3), удовлетворяющие системе (2) и на границе полупространства Г : {х\ = 0} условиям

д

к„

дхк

0, 2т — 3, .7 = 1,2,3;

3 I 2т - 2, ^ = 2,3;

= , * = < 4

^ ^ 2т - 1, 3 = 1;

О, 2т -2 3 = О,

где /к33 (х2,хз) — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

Теорема 1. Задача (2), (4) корректно поставлена, т. е. она имеет, и притом единственное, регулярное решение, непрерывно зависящее от начальных данных.

Укажем схему доказательства теоремы 1. Прежде всего из системы (2) следует равенство

из которого вытекает, что все функции, удовлетворяющие системе (2),

т

позволяет выписать представление решений системы (2) через гармо-

М

решения системы (2). Для этих решений имеем следующие представления:

2т-2 2т-2 д, ,

«0= £ + ¿ = 1,2,3, (6)

к=0 к=0

3

где ф^, и Ф — регулярные в гармонические функции, причем

^ ду-2т-2 А д</4т-1 п (1) 9ф

к=1 к=1 При помощи (5) из первых условий (4) получаем

Л1=0 = ^, 3 = ^,3- (7)

Произвольные гармонические функции ц1 определяются единственным образом как решения задачи Дирихле с условиями (7) для урав-

(1) (1) нения Лапласа. При известных ц для предельных значений ц\ из

первого условия (4) (к = 1) получаем

1x1=0

- /С?) _ I

~ Н 1 дхл

х

(1)

В продолжение этого процесса все гармонические функции цк = 2,3; к = 0, 2ш — 2) и ц^ (к = 0,2т — 3) определяются единственным образом как решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Для гармонических функций ц^т-ъ и Ф 113 соотношения (6) и условия (4) (к = 2т — 1) получаем

дхл

х

х

дф дх

= д,

х

где д — известная функция, выраженная через /и предельные

(1Л

значения цк при XI = 0.

Таким образом, для того чтобы найти две оставшиеся произвольные гармонические функции ц2т-2 и Ф> достаточно решить задачу-Неймана в полупространстве , а решение такой задачи выражается явно [4]. Произвольные гармонические функции ф^ совершенно ана-

к

2т — 2; ] = 0). В случае, когда п = 4ш, решение уравнения = 0,

] = 0,3, с условиями

дкг

дхк

= Д, к = 0, 2т — 1,

х

определяется единственным образом подобно тому, как это было в слу-

чае (4) (] = 0; к = 0, 2то — 2) для первого уравнения системы (2).

Задача 2. Найти в = {(х!,х2,х3) : X > 0, (х2,хз) € М2 } фуик-циип^ € Ст— (®+) т— —решения системы (3), исчезающие

1

на бесконечности и удовлетворяющие на границе полупространства Г условиям

Г 0,ш-2; .7 = 0,1,

(8)

дхк

— ак ,

к =

ЛЛ

г 0, то - 1; ] = 2,3,

ак

Теорема. Задача (3), (8) в классе исчезающих на бесконечности функций имеет единственное решение, непрерывно зависящее от начальных данных.

Доказательство. Нетрудно проверяется, что все компоненты любого решения системы (3) являются полигармоническими функциями порядка т. Например, полигармоничность функции можно получить, продифференцировав второе уравнение системы (3) по х\, третье по Х2, четвертое по х3. После сложения результатов устанавливается полигармоничность. Возьмем две произвольные полигармонические функции а и ш, удовлетворяющие уравнениям

да

дхл

= Щ,

дш дх

= щ,

(9)

где Дта = 0, Атш = 0. Подставляя значения % и щ из (9) в третье и четвертое уравнения системы (3), находим

А'

т — 1

д

дш да

дх\ V " дх2 дх%

д

дх\ V 3 дх2

= 0, А"1-1

Следовательно, в полупространстве имеем

да дш дх

= 0.

и

дш дх да дх3 к

да дш к

дх дх3

(10)

где (.7 = 1,2) — произвольные непрерывно дифференцируемые функции двух переменных. Подставляя выражения и^ (.7 = 0, 3) из (9) и (10)

к

к

в первые два уравнения системы (3), с учетом полигармоничности а и ш получим

А Ш-1 (д^ | = 0) дт-1 /^2 _ = 0)

V дхз дх2 / ' у дх2 дхз у '

откуда следует, что

дХ дх Ат

VI = т—, ¥>2Т—, А х = 0. дх дх3

Теперь, заменив ш на ш+\1 без ограничения общности можем написать, что общее представление решений системы (3) в полупространстве имеет вид

да дш

Щ = -г—, иг = -—, дх дх

Ж1 т—2

дш да

и2 = ------Н / т'к (рк (т, х2 , Х3 ) ¿т,

" 1--п

дх дх дш да

и3 = + тг— + / у^ тк'фк(т, х2,х3)йт,

" 7»_г»

(П)

дх дх

т —1 ш—1

а='^2хк ак( х1;х2,х3), ш= ^х^в^ х1;х2,х3),

к=0 к=0 где фк, ак, вк — произвольные регулярные в гармонические функции. Из представления (11) и первых двух условий (8) для пре-а ш х

д

= ПС), И = (т — ш, ( = х2 + гх3,

В классе исчезающих на бесконечности функций предельные значения аш

и оставшегося условия (8) все гармонические функции фк, ак, вк последовательно определяются единственным образом как решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

.5. Пусть О — шар X} + щ + щ < К с границей 1 : Щ + + = В2. Через <т+ обозначим полуокружность = у/.Д2 — х\ в плоскости

х

Задача 3. Найти в шаре С функции щ € С2т(С) П С2™-1 (С), удовлетворяющие системе (2) и на границе шара Г условиям

А2т-2^|г =/,-, ¿ = 1,2,3, (13)

№ _ Г 0, 2ш - 3, = 1, 2,3, при п = 2(2ш - 1), г ~ к ' I 0, 2т-2 ^ = О,

04

= й1^ ^ = 0, 3; /г = 0, 2т — 1, при п = 4т, (14)

г

Где Ь0, дк — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

Теорема 3. Задача (2), (13), (14) корректно поставлена, т. е. она имеет, и притом единственное, регулярное решение, непрерывно зависящее от начальных данных.

Доказательство. Записывая второе уравнение системы (2) в виде

Д2т-2щ = у о, Ду,- + 2ёга<1 (Нуу^ = О, з = 1, 2, 3, (15)

из первого условия (13) для у о получаем условие Дирихле у о |г = ¡л-Для регулярных в шаре О решений второго уравнения системы (15) находим следующие представления:

0 1=1 г 1х^ = X2 + + х%, А\0 = 0.

Отсюда функции Уо с условиями Дирихле определяются единственным образом. При известных у о общее решение первого уравнения (15) можно представить в виде

2т-3

Цх1-К2)к^ + К о ¿ = 1,2,3, (16)

к=0

где А^й = 0, а К(/3) — частное решение уравнения Д2т-2щ = Произвольные гармонические функции ^>к из второго условия (13) (к = 0, 2ш — 3; ] = 1,2,3) определяются единственным образом. Функция ио определяется из первого уравнения системы (2) и условия (13) (к = 0, 2ш — 2; ] = 0) как решение задачи Дирихле для полигармонического уравнения.

Совершенно аналогично при п = 4ш искомые функции и^ (у = 0,3) определятся единственным образом из уравнения и условия

(14).

Задача 4. Найти в шаре С регулярные решения системы (3) € С2"1-1 (6?) П С2т~2(С), удовлетворяющие на границе шара Г условиям

дк

дт-Ч-1г = /,-(, = 0,1), ^

= дк,к = 0,тп-2, (17)

г

где /^ Як — заданные соответственно непрерывно дифференцируемые функции и вектор-функции.

Теорема 4. Задача 4 всегда разрешима, и решение задачи определяется с точностью до градиента гармонической в круге х2+х3 < Е2 функции двух переменных х2, х3.

Доказательство. Система (3) записывается в виде

Ат— и = у, ЫУ = 0. (18)

Из системы Моисила — Теодореску Ыу = 0 с учетом первых двух условий (17) вектор-функция у = определяется с точностью до градиента гармонической в круге х| + х| < Е функции х(х2,х3) [4]:

да дш дш да д\ дш да д\

0 9x1' 1 <9x1' 2 дх2 дх3 дх2' 3 дх3 дх2 дх3' где а, ш — вполне определенные гармонические в С функции, однозначно определяемые функциями /1, /2. При известных (^ = 0,3) (т. е. у) вектор-функция и из первого уравнения (18) с учетом второго условия (17) определяется единственным образом подобно тому,

как это было в случае первого уравнения (15) и условия (13) (к =

0.2.о-3; j = 1,2,3).

Замечание 1. Если дополнительно к условиям задачи (17) зададим еще условие

Дт-1 Uj U =ßj j = ОД),

где ßj j = 0,1) предполагаются непрерывными функциями, то задача 4 в шаре G будет всегда разрешимой и ее решение будет единственным.

Замечание 2. Утверждения работы [4] вытекают из теорем 1-4 как частный случай соответственно при n = 1 и при n = 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

2. Brackx F. The behaviour at infinity of (fc)-monogenic functions of a quaternion variable 11 Quart. J. Pure Appl. Math. 1978. V. 52, N 2. P. 49-60.

3. Delangbe R., Brackx F. Hypercomplex functions theory Hilbert modules with reproducing kernel 11 Proc. London Math. Soc. 1978. V 37, N 3. P. 545-576.

4. Янушаускас А. И. Задача о наклонной производной теории потенциала. Новосибирск: Наука, 1985.

5. Муллоева М. С., Муртазаев Д. Краевая задача для n-й итерации системы Мой-сила — Теодореску// Докл. АН РТ. 1999. T. XLII, N 3. С. 17-23.

6. Муллоева М. С. Краевая задача линейного сопряжения для неоднородной итерированной системы Мойсила — Теодореску // Материалы юбилейной научно-теоретической конф., посвящ. 50-летию Университета. Душанбе, 1998. С. 26.

7. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.

г. Душанбе

9 мая 2003 г.