Сходимость метода „дискретных вихрей" решения линейных задач теории крыла Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

7' о м XI

19 8 0

№ 1

УДК 518 61

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА „ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ КРЫЛА

И. Я■ Тимофеев

В работе доказывается, что при неограниченном увеличении числа дискретных вихрей, заменяющих непрерывный внхревой слой на несущей поверхности, решение алгебраической линейной системы уравнений, к которой сводится задача определения напряженности непрерывного вихревого слоя,стремится к точному решению краевой задачи теории крыла в его внутренних точках.

1. Пусть в трехмерном пространстве А?3 идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, в плоскости Р движется с постоянной скоростью и0 плоская несущая поверхность Предполагается, что 5 двигалась бесконечный промежуток времени, течение жидкости установившееся и свободная вихревая пелена 5*, сошедшая с 6’, лежит в плоскости Р.

Если Ох1х2хя—жестко связанная с 5 декартова система координат (рис. 1), то располагается в плоскости хл = ()(Р) и движется

хз V - - -у

р /С 1 /У ■ // 'Гі Г -- рт ) и /{ / г ■)•»/ / п ~Т~ — І 1 / / /

г-—г

5ё

_

ТС І

Рис. I

параллельно оси Ох, в сторону отрицательных значений х2. Течение идеальной жидкости вне 5^5* потенциально и потенциал скоростей ?(а‘) удовлетворяет вне уравнению Лапласа

д- ф д- ? , о- а

дх‘

- - I =0,

О

дх\

0)

где 2 =/?3\(5и^*)* Ниже уравнение (1) рассматривается только

в верхнем полупространстве /?3 (хг >► 0), так как соотношение

<р(*1, х2, х3) =— <?(*!, х., — х3) позволяет продолжить ? (л:) из /?+ на

О [1]. Для <р(л:) имеют место граничные условия [1, 2]:

ф(л') = 0, х£Я\(5и5*)>

ду

(*)=/(*), х^Я,

дхг

0,

(2)

дХ-2

|у? (л')| -* 0, |*|->оо, лг2<Ч-оо.

Здесь /(х) — известная функция. Решение краевой задачи (1), {2) (если оно существует) определяет потенциал ?(х) и, следовательно, аэродинамические характеристики несущей поверхности.

Ниже 5 — ограниченная область в плоскости Р с границей являющейся простой кусочно-гладкой замкнутой кривой в смысле [3]. Вместо краевой задачи (1), (2) рассмотрим более простое операторное уравнение, которое имеет решение, если задача (1), (2) имеет решение. Для этого, наряду с предыдущей краевой задачей, введем задачу Дирихле для уравнения (1) в /?3.. с граничными

условиями:

ср (х) = и (х), х £ Р; ]

|?(*)!-* 0, |х|-*оо, Л'2< + оо. ]

Введем функциональное пространство /У, состоящее из функций и(х) таких, что: 1) и (х) £ (Сог(Р) )ПС,,(5и5:;:), функция и(х) непрерывна по Гельдеру Со. а(Р) в плоскости Р и одновременно дифференцируема по Гельдеру ¿Уа(5) на крыле 5 и свободной вихревой пелене 5*, а стало быть и на задней кромке крыла; 2) и(х)=0 везде на плоскости Р вне крыла 5 и пелены 5*, т. е. при х Р\(5и^:!:); 3) ди/дх2 = 0 при х-Б*. Последнее означает отсутствие перепада давления на свободной пелене 5*. Определение пространств С0, «(С?), С\, а(0) можно найти в [4].

Решение (1), (3) при и£Н существует [5] и имеет вид

г, С 11 (у)

«(*) = ■%- -г——7 • (4)

5и5* ,ДГ-^

На поверхности 6” определена д? дхл [4], равная

Г* д-+ д~

. (Х1 ~ >'1) Т~ + (Х2— У-2) “Г"

ОУ ___1_ I_______________________ду2

дх-л 2- ] | -хг — _у !3 у

Таким образом, задачи (1), (3) и (5) определяют линейный опе-

да

ратор С: Н -> — С0,(5) следующим образом: пусть задана любая

дхз

функция и Н, удовлетворяющая условиям 1) —3) на Р. Подставим ее в (3) для задачи Дирихле (1), (3) и, решив ее, найдем <р из (4), а из (5)—функцию до дх3 на 5, которая принадлежит С0,(5). Под оператором в подразумевается описанная выше последовательность операций, ставящая в соответствие любой функции и из Н некоторую функцию дср/оОСд на 5 из пространства С0О(5). Имеется непосредственная связь между оператором О и задачами (1), (2).

Предложение /. Если существует решение краевых задач (1), (2), где f(x) Со, z(S) и о(х) Н на плоскости Р, то решение операторного уравнения

Gu=f(x) (6)

существует, равно <?(.x;lt д:2, 0) и имеет вид (4).

2. Рассмотрим приближенное решение уравнения (6) с помощью следующего „вихревого“ метода. Разобьем S(JS* прямыми параллельными осям Ол'ь Ох2 на квадраты со стороной а и введем обозначения: 6’, — квадрат, строго лежащий в S, х1—центр этого квадрата. Через II,- обозначим полубескоиечный прямоугольник, образованный всеми квадратами в полосе л-, = const, хх 4- а. = const, расположенными правее самого правого квадрата SjCZS, включая последний (рис. 1). Ниже —либо Sh либо II,-, сЦ— стороны ai и х1 — центр ячейки О;.

Пусть на dzj расположена вихревая нить единичной интенсивности, тогда в произвольной точке х1 она индуцирует скорость:

Su — f1- (*0 = (* X d №])' (7)

dxz 2- J \xl — y?

d°j

В (7) в знаменателе стоит 2u, а не 4-, поскольку (I) рассматривается только в R~+, х'1 — у—радиус-вектор из точки у в х‘\ cb;-ориентированные обычным образом стороны ячейки о;-. Если п(а)~ число ячеек Oj на поверхности S, то, удовлетворяя (6) в точках х1 у получим с помощью (7) систему линейных алгебраических уравнений

П

£г/&/=/(•*О, ¿=1, 2, . . ., 11. (8)

/=i

Матрица суть не что иное, как некоторый дискретный

оператор Оп, приближенно описывающий оператор G. а (8) — дискретный аналог уравнения (6), поскольку (7) выражается через решение задачи Дирихле с граничными условиями

<?(*)= 1, у (*) = (), x£P\ait (9)

что можно показать с помощью (4) и формулы Грина.

3. Для операторов Gn и G справедливо [6].

Предложение 2. Если и(х) = <р(х), х Р, где ?(х) — решение (1), (2) и Гу = и (xi), у = 1, 2, . . ., п, то

lim шах | V Г/gи I — Gu(x‘) — 0, (10)

П-+00 х‘. S (?) 1 )

где .S(р) — подмножество S, состоящее из точек внутри 5 п удаленных от края 5 кривой L на расстояние не менее р, т. е. x^S(o)

тогда и только тогда, когда для всех у L

min| х —у I > р> 0,

где р — постоянная, не зависящая от //, шах в (10) берется по всем точкам х‘, попавшим в 5(о).

........I I S 1 ■

I ,.v) !JC, ХІ.'Ш і (Ц — "x) '"¿W) X r?Ill (x) 4 ' (ln>

‘ п I! ■ 1I.N4 l.'í 11 M .1 ‘{¡I7 “A")1'"

ИЛІІ.ЧІІлф КГ; 11IV Г! Я O 1. H_>,11 ’ ](,).[ oilW.'HK ,X И M 11 < > I U < і H ) in >1 ].* Id.']/

'J ІмидиГіч!

!! X .1 Ч li < > 1 Я 14 < K Í I II.Ill ill '■ Л ■! ,/ II .1 .ІЧ'І.И >Г.П Я I \M,4 [.(■ 1 .V I *-/ .1) I

I' • -I . VJ'

'(,.v)4- x if мі -yp lx(> iii ... :.v)'‘r \ • ilns i(i :.vi'4\y

IV0лi\ 11 ■(<,;() кцїІ'Пілф Hi'llIIHi) I

-i>ii-oiifit).)A.M (|) -\v)'4 .чим .'і і; і її (n — -1 .v) "r.\v oiim.ir.vi .піні» c>[ j

*((1 - \v) ''6 ■ ■■ (n ,r.V ' л і mill.'IIt \ф ffя і.ла>і<ом iv • 1 •!!,•); ki'V

,1 '

(,,‘AV *1 Л"> "-7 ■ ( X} Сі ШЦ :) [ ] j Я ИІ.ЧІІМІ .НАПІПп ‘НіПі'ІІІЛф IÍ І? Н Ч J !' IX ИА.'І Г14

і\ 1

(п ‘■-.V члм "і\\’ .n: i ‘їм ,-4v “.vi , її us (~ ' н і.-іи.ішоїч

-111;. і (л) !‘¿ ([ :{ц чі і.) ‘І \ 11| ivhhhdi.ma і .')іи!<ін і ,я;ні)і.'л‘(|¡ ‘ х *1 л_) а. .і о

!'HO.X4,'\¡[ І • |’(! М МПІ 5 ■id .111 И.Ч АІЇМ'ІМІІ'ІЯ ІЯ.ЧІоіОМ ‘(.V) "f lililí ЧНЛф

■у "V ' л (a-) v-

‘"У <! -v "іі f-v)"*

-V 1 І І;:\'І // ІЛ' І 'Ч

Ш\ IUÍ Я і) I..W lil\ I'lllhIU!

І ’

іїі і т .і (і і ипімпніпі \ кі;г ■я.'.чініп'ї' \і,іміа імні і ¡ичл.м.чі и • у

Іі

ч і\11 у іом’ятЬоп 'у п п.чіг і:я.н !(¡ ;>) и тім міаі чім ‘,.v

X І'КІО 1.ом,111 кі.Т ‘[| ¡ (,Л')Н и.іг'ніо Ю.'І ИІМІШ.ІМІ "7/ І і О'ІПІІ

К.Ч . > 1 І! i’ll І.'І.І'Ч 'У |.“|| (j (А')// IV ПМ'.ІП.'О] } 'К І НИЯІНЛ\ |)| Іі і І І, ] І И І.Ч і І

ill ИПНМИлф ¡I ІЛ'ІИ ■■!;] 'U '■ ' • 7. ‘і ! ‘І (,А') І! ммлц

■|¿| (“I) III 'І І ГИОГАІ.М М1.\п ([]) VM'II/OM.lUII

- Í ■ ■

(Г[ ! ' ;,1 ХІМІЇ (/ і' І ) !; х і;ш

bill ‘ 14-1VK |.*.Ч О І НІ ‘ її

.....- ‘j ! ‘ ■ і) \і'і.ііч,.ч.н] \hiuIaiw/ ічі л і\.яіни л'н і .’і.мі: ‘“p лііо і і.ч1,)ію

\і\чіиі.щіп: і .пміАя і її (hn) і,‘іі ті 11;iv VTiro.'noi ¡ -оя.і зчілштевмої/

-Ц ІО КІІІІІІІ.ІІІЯІ'І' All ' В HI I II І<|) Мі НІ ■ i¡ .)!. І

f[[) Ai/- XULU

‘(‘■.п) .'I Htfll І гііііі ) (¡ “ ,Y) lílllldllíiv ІАЛЯ

l.'.niIV’ '’U Dll ulu I I I'l.HI НІМІИІІІМІ 'a X-l.'H HI.'I ' (• J/lH.)>!t 0i'njd¡¡

:o і :>'A\ і .i.uvit '"i) úli->і ihI.vih•

'I '■’() л'ііі) M.’d.lllu \I\IMI ІІЧІПО II. illH'tl I.' h :>я I (> ’íño) ІМІІІПІІГК Id'];

■('.') у І.ч I ‘1 1 ‘..А- ХІ’ЧЬІМ Я \-1*1 IIII A].'

-:)Г,МІІН) ‘МИІІМІМ’Ф ХІЧІП .ПІ.Ч.1МГ .ія ! АІПЧІ і .'і НІ іі 1:11 14 ]\ і І ( ill 1>]1!МГАГ,НІІ!<)

¡11)00.1 1 )И і: Я І'.ГВІАНІ 11 í()|) Я ІМАУгЛіІИ IVOJilfH' ІОН ,ІІ|М..).Ч'І.ЧІГІ<[

Таким образом, <?,, (х) — решение задачи (1), (13) принимает в некоторой ячейке ок в точке хк максимальное значение.

Воспользуемся далее доказательством одной из формулировок принципа максимума ([8], стр. 325). Возьмем начало координат в точке хк : zk. Пусть Ш0 — шар радиуса г0 в R'+, касающийся плоскости в хк. Положим г2 = х\ + х\ +- х\ и введем функцию

1 > h {х) = е- е~^ > О, ß > 0,

положительную в Ш0 и равную нулю на границе этого шара. При достаточно больших ,8 выражение

Äh (*) = e-tr' [433 г~ - 2?]

будет положительным. В Ш0ПШ„ где Lllj — шар радиуса гх<^г

с центром в хк (рис. 2). Через Fx обозначим часть границы Ш1(

содержащуюся в Ш0, и через F0— часть границы 1П0, содержащуюся

в IUj. Из (4) следует, что найдутся гх и г0, для которых при лю-

бом п

тах [©„ W]<“ шах | ?п (х‘) | = -i- шах |Г;| = -^-Г;.

=1, .... Я * i =1, . . п 4

Поэтому функция

Vn (х) = <рл (X) + 81 г; | h (х)

на F{ меньше, чем уп(хк) (или ГЛ) для некоторого — независимо от п и

¥„(х). Отсюда и из [8] получаем

dv„

xCF,

V

1>/Д

( шо ,

Tr 1

1 Ш1 ) Х2

или

dxr.

! f)<p

dx

dx*

о 2

>2ß8|r; \e~r?0-

P11 с. 2

dx

(14)

здесь 3, о и r0 не зависят от п и уп(х), а

так как

шах | Г' | = Г', b = 2föe ?rö и

в точке хК имеем

/ = 1,. . п

шах |0„(Г,:)|>

i = 1..П

d’rn

дх>

(хк) L то последнее замечание и неравенство

(14) доказывают (12).

Наконец, уточним фактор — сходимость.

Предложение 4. Пусть Нп — подпространство функций из Н, равных нулю в точках {х'}я /=1, . . ., п, а точки х‘ вместе с квадратами 5, выбираются так, чтобы [х1)п С1 [х1}т при т > п. Тогда

оо

нт С нп и П нп = 0.

п =1

Доказательство. Включение НтС1Нп при т > п очевидно, а

оо

любая функция и(х) (~}Нп равна нулю на множестве точек {х‘}п

П — 1

/г^-оо, всюду плотном в 5, при этом и(х) непрерывна, следовательно, «(.*:)= 0 на 5.

Пусть (р(х) — решение краевых задач (1), (2), тогда и(х) = <?(х), х Р—решение операторного уравнения (6) (предложение 1).

Чтобы получить основной результат, воспользуемся теоремой (1.4) на стр. 411 в [9].

Пусть а — решение уравнения В и = /. Если операторы Вп аппроксимируют оператор В на решении и и выполнено условие устойчивости В„ ‘[|<К, п > «о, то приближенные решения ип уравнений Впип=/п — фактор-сходятся к функции и.

Соотношение (10) в предложении 2 означает, что операторы Оп аппроксимируют в на множестве 5(р). Предложение 3 и неравенство (12) доказывают устойчивость последовательности {<лГ'}, начиная с некоторого п0. Следовательно, при п-+ оо решения уравнения (8) фактор-сходятся к функциям вида

где и (л:)— решение уравнения (6), a v (х) — произвольная функция из С], a (S).

Преоложение 4 вместе с (15) показывают, что v(x) = 0 HaJS(p), если v(xl) = 0, ¿=1, 2, . . ., оо.

Теорема I. Пусть решение задач (1), (2) для f(x) £ Со, а (5) существует и <р (х) — и(х)^Н на плоскости Р. Тогда решение системы (8) при и -*■ оо сходится к и(х) и только к и(х) при л;£б'(р), где S(p)—подмножество 5 такое, что

здесь р—любое фиксированное число.

4. Система линейных алгебраических уравнений (8) отвечает методу „дискретных вихрей“, в котором вихревые особенности представляют собой вихревые нити, расположенные или на сторонах квадратов Slt или на сторонах полубесконечных прямоугольников П, (см. п. 2). Система (8) и доказанная теорема позволяют перейти к методу „дискретных вихрей“, в котором вихревые нити лежат на сторонах полубесконечных прямоугольников (11,-вихри [6J), используемых в [2]. ТТ;-вихрп — это вихревые нити, расположенные на сторонах полубесконечного прямоугольника Н„ составленного из всех ячеек ay, лежащих в полосе xt = const, х, + а = const правее квадрата a S, включая последний.

Вместо оператора G и уравнения (6) для него рассмотрим другой оператор, связанный с G. Пусть u^Hf] С2. *(S U 5*), тогда запишем

где х0 — точка пересечения прямой хх = const с передней кромкой S. Ясно, что v{x)^Hy поэтому на v(x) определен оператор G из п. 2. Положим

u(x) + v(x), v(xl)^--0, i — 1, 2, . . ос,

(15)

min

x£S. yCL

x — у ! > P > o,

(16)

(17)

т. e. оператор W=G-T.

Пусть ш-;-— значение d^jdx&, вызванное П^-вихрем в точке xi единичной интенсивности, тогда [6]

а Г х — у ,ri

W,, = — —- -----:---I---du..

1 2г- [х‘-у |3

)

Если Wn = (wij) — матрица, построенная из элементов то

линейная система метода „дискретных вихрей“ [2] имеет вид

П

v г. =/(*'■), / = 1, 2, ... , п, (18)

/=1

где Гу — напряженность 11,-вихря.

Но если ячейки к=р, р+1, q лежат в 1Г;-, то

ч

wij = — Slk k=p

или, иначе говоря,

\Г. = е„-Г.; (19)

здесь Тп — линейный оператор, определенный равенством

<I

*.(*0«ajiy (20)

!=Р

Предположим, что ср (х) решение задач (1), (2), тогда -Jj =

= , л' S — решение операторного уравнения (17) и, если положить = то при а -> 0 (п оо) из (20) и (16) получаем

lim vn(х‘) = -о (а:'), (21)

л-“00

для любой точки х‘( S{p).

Очевидно далее, что для достаточно больших п шах | Тп (Tj) | ;> г■ шах | Гу |,

x^s t-1....

где г>0 — постоянная, не зависящая от п.

Следовательно, начиная с некоторого п0,

П

шах 2 i I < (22)

1 = 1. .... л

где (tj}') — матрица обратного 771 оператора.

Рассуждая теперь аналогично доказательству теоремы 1, используя (21), (22) и опираясь на теорему (1.4) на стр. 411 в [9], получим в силу равенства (19).

Теорема 2. Пусть решение задач (1), (2) для f(x)£ Cit<t(S) существует и <р(х) = и(л:) С Н П Сг1Я(5 U 5*) на плоскости Р. Тогда

-^г (х) является решением уравнения (17) и решения системы (18)

при п-* оо сходятся в смысле (10) на любом S(p) к и только к нему.

Замечание. В доказанных выше теоремах утверждается сходимость решений систем линейных уравнений (8) и (18) к решению

краевой задачи (1), (2) (точнее к значению этого решения на поверхности 5). Это обстоятельство позволяет избежать использования интегро-дифференциальных уравнений теории крыла [ 10) и привлечь для доказательства разрешимости этих систем [неравенство (11)] принцип максимума, а стало быть, обойти сложные алгебраические вычисления определителей систем (8) и (18). В этом аспекте настоящая работа близка к [2], где системы линейных алгебраических уравнений метода „дискретных вихрей“ выводились непосредственно из формулировок краевых задач, минуя промежуточный этап вывода интегральных сингулярных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

!. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2, М., „Наука*,

1970.

2. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Т а б а ч н и-ков В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., „Наука*, 1971.

3. Карман А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М., „Мир“, 1971.

4. Ладыженская О. А., Уральцев а Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., „Наука“, 1964.

5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., .Наука*, 1971.

6. Т и м о ф е е в И. Я. Некоторые вопросы метода „дискретных вихрей“ решения линейных задач теории крыла. ,Уче«ыс -»апизд» НАШ', г. 8, Л 6, Г077.

7. И о с и д а К. Функциональный анализ. М., „Мир“, 1967.

8. К у р а н т Р. Уравнения с частными производными. М., „Мир“,

1964.

9. К р е й и С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в ба-маховом пространстве. /V., „ С/'ау гса~, Г967.

10. Б и с и л и н г х о ф ф Р. Л., Эшли X., Халфмен Р. Л. Аэроупругость. М., изд. иностр. лит., 1958.

11. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М., „Мир*, 1973.

Рукопись поступила 25’IV 1978 г.