Вихревая модель воздушного винта с непрерывно распределенной циркуляцией вихревого слоя Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.735.33.014.16:533.662.6

ВИХРЕВАЯ МОДЕЛЬ ВОЗДУШНОГО ВИНТА С НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВИХРЕВОГО СЛОЯ

Б.Л. АРТАМОНОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.

Рассматривается линейная вихревая модель винта, представляющая собой пространственную геликоидальную пелену заданной геометрии, покрытую непрерывно распределенным двухкомпонентным вихревым слоем. Элементами дискретизации пелены являются треугольные панели, произвольно ориентированные в пространстве. Созданы метод, алгоритмы и программы расчета трех составляющих вектора индуктивной скорости от произвольно ориентированной площадки, покрытой вихревым слоем, интенсивность которого линейно изменяется по поверхности площадки. Решение получено в элементарных функциях.

Ключевые слова: вихревая модель, воздушный винт, циркуляция, верхний слой.

Вихревая теория несущего винта, работающего на режимах осевого и косого обтекания в настоящее время разработана достаточно подробно. В монографиях [1; 2] дано подробное изложение отечественных дисковых и лопастных вихревых теорий в линейной и в нелинейной постановках, которые дают возможность определить создаваемую винтом индуктивную скорость как в плоскости диска винта, так и в произвольной точке пространства.

Известно, что в лопастных вихревых теориях имеет место ряд вычислительных трудностей, которые вызваны, в первую очередь, дискретностью вихревых моделей. Они связаны с необходимостью выбора определенного расположения расчетных точек, в которых вычисляется индуктивная скорость при определении циркуляции присоединенных вихрей относительно вихревой поверхности. Эти точки не должны совпадать с осями вихрей, от которых вычисляется индуктивная скорость.

Одним из путей решения этой проблемы является учет ядер вихрей, имеющих ограниченные размеры и линейное поле скоростей внутри себя. Такой подход имеет ряд сложностей, связанных с достоверностью определения размеров ядер на различных режимах обтекания лопастей и наличием излома на характеристиках поля индуктивных скоростей на границе ядра, что отрицательно сказывается на сходимости итерационных процессов как в линейной, так и в нелинейной постановке задачи [3]. Второй путь решения этой проблемы основан на учете диффузии вихрей, имеющей место в реальной жидкости. Здесь также присутствуют сложности вычислительного характера, связанные с трудоемкостью вычислительных алгоритмов, моделирующих диффузию. Это заставляет авторов такого подхода отказаться от непосредственного расчета поля скоростей от диффундирующего вихря и табулировать нормированное поле завихренности от ограниченного числа аргументов и параметров [4].

В настоящей работе предлагается новый подход к решению обозначенных проблем, основанный на описании вихревой пелены непрерывно распределенным вихревым слоем, что дает возможность вычислять индуктивные скорости непосредственно на вихревой пелене, в том числе и на границах вихревых ячеек. Такая вихревая модель лишена недостатков, связанных с проблемой сходимости метода дискретных вихрей [5]. Она позволяет получить выражения для компонентов индуктивной скорости в произвольной точке пространства, вызываемой площадкой, покрытой непрерывно распределенным вихревым слоем, через элементарные функции. Такие формулы получены для площадки в виде произвольно ориентированного треугольника, покрытого двухкомпонентным вихревым слоем, интенсивность которого в пределах площадки изменяется по линейному закону.

Опубликованные решения похожих задач относятся к панели с параллельными кромками, покрытой слоем диполей [6]. Это существенно ограничивает область применения панельных

методов, использующих ячейки такой формы, вихревыми моделями крыла. Распространить их на вращающиеся лопасти винта не удается, т.к. вихревой след от них представляет собой пространственную геликоидальную поверхность.

Общая постановка задачи

Рассмотрим винт, расположенный в правой декартовой системе осей координат 0ХУ2 и обдуваемый воздушным потоком V под углом атаки аВ (рис. 1). С лопасти винта, находящейся на азимуте ул, сходит вихревая пелена, поверхность которой £(х, у, г) в линейной постановке в пределах одного оборота лопасти описывается в безразмерных координатах системой уравнений [1]

x = r sin(^ - 3) - 3VX (r, 3); y = -3Vy(r ,3); z = rcos(^ -3),

при 0 < r < 1; \ул<3<^л+ 2n,

(1)

где V (r ,3), V (r , 3) - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости протекания воздушного потока через диск винта, определяемые с учетом создаваемых винтом индуктивных скоростей, которые, в общем случае, могут быть функциями Г"и3:

V (r, 3) = V cos orB + Vix (r, 3); Vy (r, 3) = V sin aB - v¡y (r, 3); (2)

vlx (r, 3), vly (r ,3) - индуктивные скорости, создаваемые несущим винтом, которые в нелинейной постановке задачи переменны по диску винта.

V

Рис. 1. Вихревая пелена за лопастью винта

В линейной постановке индуктивные скорости можно считать постоянными:

у1х(Г ,3) = У1х; (г ,3) = и находить на основе дисковой вихревой теории [7] по следующим соотношениям:

2

viy=viBT~iy; г;1х=г;1вг~1х; v = vi*v',

-V cos(a + 5) + J V2 cos2 (a+ 5) + 4 sign(5)

; ñx = sign(t>)V,

8 ' ly '

(3)

(4)

где г1в - средняя по диску винта индуктивная скорость на режиме висения при заданном коэффициенте силы тяги винта

= ;

кь - коэффициент режима работы винта

К = );

5 4 2

5 - угол наклона вихревой системы винта, определяемый по дисковой теории из трансцендентного уравнения [7]

<

X

V2 |2cos( а + с>)к5 + sin(or + c>)|sin(cir + S) - 4kg = 0 .

В соответствии с принципами лопастной вихревой теории разобьем непрерывную вихревую поверхность S(x, y, z) на M*N дискретных ячеек, сошедших с лопасти на радиусе Т\ (0 < i < M), в тот момент, когда она находилась на азимуте yj (0 < j < N).

Здесь y = y - Sj. (5)

Тогда дискретная поверхность Sjxy, yi,j, zi,j) будет описана системой уравнений

хи j = r sin(yл -S j) - VxS;; <yu j =-Vy S}; где 0 < rt < 1; у л <S] л + 2 л . (6)

= riCos(wл -Sj),

На рис. 2 показаны формы линейных вихревых моделей двух-, трех- и четырехлопастного винтов в диапазоне 0 < V < 0,3 при ст = 0,04.

кя — 1 кя — 3 кл — 4

V = 0

V = од

V = 0,2

Г =0,3

Рис. 2. Формы линейных вихревых моделей двух-, трех- и четырехлопастного воздушных винтов в диапазоне скоростей 0 < V < 0,3 при ст = 0,04

Рассмотрим элементарную ячейку вихревого слоя (рис. 3), представляющую собой пространственный четырехугольник, вершинами которого являются точки /у, /^у, /у+ь $+и+1. В

общем случае этот четырехугольник не является плоской фигурой, поэтому будем предполагать, что ячейка состоит из двух треугольников, образованных диагональю, проходящей через точки /у и /¡+1,]+1. В точке /у можно построить два вектора, направленные по нормалям к плоскости одного пА и другого пв треугольников.

Вершины первой треугольной панели определены векторами Лу, и ф+у+ь вершины второй панели - векторами

Лу+1 и $+1о+1.

В произвольной точке пространства А(ха, уА, га) эта ячейка, покрытая распределенным по её поверхности вихревым слоем, создает индуктивную скорость уа(ха, уА, га), которая подлежит определению.

Будем вычислять её по отдельности от каждого треугольника. Для этого необходимо определить координаты точки А(ха, уА, га) относительно систем осей координат, связанных с плоскостью треугольника. Опишем алгоритм этой операции.

Пусть в базовой декартовой системе осей координат 0ХУ2 задана произвольная треугольная панель (рис. 8), вершины которой определены векторами Лу, и

Лу = Ху I + У[,] ] + Гц к;

Л,+и = Х1+1,] I + У1+1,] ] + Г1+1,] к; (7)

$+10+1 = Х1+1о+1 1 + У1+1,]+1 ] + Г1+ц+1 к.

Рис. 3. Ячейка вихревого слоя в виде пространственного четырехугольника

Запишем уравнение плоскости, проходящей через точки /у, /¡+у и /¡+у+1

X - Х1}

Хг+\,] - Хг, ] Хг+\,] +1 - Хг,]

У - Уг,]

У г+\, ] У г, ]■

уг+1, ]+1 уг, ]

2 -

2г+\,] - 2г,] 2г+1,]+\ - 2г,]

= 0.

(8)

(9)

(10)

Приводя уравнение (8) к каноническому виду

Ах + Ву + Сг + Б = 0, можно показать, что его коэффициенты равны:

А = У и] (2+\, ] - 2+\,] +\ ) + Уг+\,] (2+\,] +\ - 2,] ) + У г+1, ]+\ (2, ] - 2 г+1, ] );

В = 2 г,] (Хг+\,] - X+\, ] +\ ) + 2г +\,] (X+\, ] +\ - Хг,] ) + 2г+\,] +\ (Хг,] - X+\, ] );

С = Хг,] (Уг+\, ] - Уг +\,] +\ ) + Хг+\, ] (Уг+\,] +\ - Уг, ] ) + Х +\,] +\ (Уг, ] - Уг+\, ] ); Б = -( Хг,]А + Уг,]В + 2г,]С).

Эти коэффициенты однозначно определяют вектор нормали, восстановленной из начала координат О к плоскости (9)

п0=соБа I + собр ] +СОБу к, (11)

где

Г А ^ В

V С У

С а

соб

л/А2 + В2 + С2

VI У

Зададим в плоскости /у, /¡+у, /¡+1,]+1 новую правую декартову систему осей координат 01Х1У121 таким образом, чтобы её центр 01 совпадал с точкой /у, ось 01Х1 была направлена

вдоль линии £;+1о+ь а ось 01У1 - по нормали п0 к плоскости треугольника (рис. 4). Определим направления ортогональной системы её базисных векторов е1, е2, е3.

Вектор е1 направлен вдоль линии ¿'¡+1,]+1, которая задана вектором

Я = $+у+1 -

Y,

A(xAyA,Zp)

Поэтому

R

е1 = ^| = e!xl + eiyJ + eizk , R

где

R

eix =

IR'

Ry

IR'

y

eiy = Гн; eiz =

r.

и

Вектор e2 совпадает с нормалью к плоскости, следовательно,

e2 = no = e2x1 + e2yJ + *2za

' + e^ „k,

(12)

Рис. 4. К построению системы осей координат 0X17^, связанной с плоскостью площадки где e2 x = cos^; e2y = cosA; e2z = cosX,

определяются по формуле (11) Третий базисный вектор e3 образует с первыми двумя правую декартову систему коорди нат, поэтому находится из условия

ез = ei х e2.

Его проекции на базовую систему осей координат будут равны

e3 = e3x' + e3yJ + e3zk

где

e3x =

Составим матрицу перехода из системы осей 0XYZ в систему 01X1Y1Z1

(13)

eiy eiz ei x ei z eix e2 У

; e3y=- ; e3z =

e2 У e2 z e2 x e2 z e2 x e2 У

eix eiz

^(1) _ ^(0) = e2 x e2 У e2 z

e3 x e3 У e3 z

(14)

и запишем окончательную формулу пересчета координат точки А(ха, уА, гА). Задавая её положение в системе осей 0ХУ2 вектором рА (рис. 4)

Ра = ха I + у а ]+ % а к,

получим вектор

га = с£)(ра -8и) .

Отметим, что обратный переход из системы осей 01Х1У121 в систему 0ХУ2 выполняется с помощью матрицы, которая получается транспонированием матрицы (14).

(15)

Индуктивная скорость от треугольной вихревой панели в произвольной точке пространства

Рассмотрим вихревую панель в виде треугольника BCD, произвольно расположенного в плоскости X0Z правой декартовой системы осей координат (рис. 5). Треугольник ограничен отрезками прямых L1, L2, L3, уравнения которых имеют вид:

zk (x) = ukx + vk; к = 1,2,3, (16)

где

щ =

vi =

ZD - ZB XD — XB

Щ2 ='

ZBXD ZDXB .

5

XD — XB

V2 =

zB = zD — zc .

; - xB xD ; — xc

zBxC zcxB 3 . zcxD — zDxC

xC — xB 5 V3 = xD xC

O

B(xBzB)

P L2

E(x z)l

yz C(XcZC)

'yx L3

D(xDzD)

Рис. 5. Треугольная вихревая панель, произвольно расположенная в плоскости Х02

р.=

В соответствии с теоремой Гельмгольца панель BCD покрыта непрерывным вихревым слоем, расположенным в той же плоскости

у(х, z) = {ух (х, z), 0, у __ (х, z)}. (17)

Будем предполагать, что каждая из компонент вихревого слоя описывается соответствующей линейной функцией от х и z:

yv(x,z) = avx + pvz + SV; v = x,z, (18)

коэффициенты av, pv, 5v которой однозначно определяются значениями циркуляций yvB, yvC, yvD в вершинах треугольника B(xB, zB), C(xC, zC), D(xb, zb).

Воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки, для коэффициентов av, pv, 5v можно получить следующие соотношения

av =

А^. й =Ayv

Л? I- V А ; ^v А

о А0 А0

V = x, z .

где

AXv = YvB (zC — ZD ) + Yc (zD — zB ) + Yvd (zB — zc ); Azv =YvB (xd — xc ) + Yc (xc — XD ) + Yvd (xc — XB ); AYv = YvB (XCZD — XDZC ) + YvC (XDZB — XBZD ) + YvD (XBZC — XCZB ) ; A0 = XC (ZD — XB ) + XB (zC — ZD ) + XD (zB — ZC ) .

Получим выражение для вычисления индуктивной скорости в произвольной точке пространства А(ха, у а, г а) от панели BCI), покрытой вихревым слоем у (x,z) (17)

v = JJ dv . (19)

f,

BCD

Индуктивную скорость (¡V от элемента вихря с/Г найдем по формуле Био-Савара [8] и перейдем в ней к непрерывно распределенному вихревому слою у = у(х, г)

dv =

dAxr

у хг

dxdz.

4л г 4л г

Подставим полученное выражение в интеграл (19), тогда

у(х, z)xf

4л JJ

dxdz,

(20)

(21)

где r - радиус-вектор, проведенный из текущей точки интегрирования Е(х, z) на панели BCD

до точки А

г=гА-р.

Принимая во внимание, что

г4 = & а >уа>гл}и р = iх' °>z} ' (22)

раскроем в (21) векторное произведение с учетом (22) и запишем формулы для вычисления индуктивной скорости в проекциях на координатные оси системы OXYZ:

C

C

Z

3

Г

V = ^z (X z)dxdz.v =yA tt (X z)dxdz

S

4л Ff \ri3 ' z 4л F

fbcd | | fbcd | |

v ц [/z(xz) (xa - x) - yx(xz) (z a - z)] dxdz

(23)

4л

Fm

r

Вычислим модуль вектора г и запишем его как функцию от г

И ^ТсХА^^^УА+С^Т-^ Ч2 2+Вг+с(х), (24)

где В = -2^; с(х) = х2 + Лх+Л; /: =-2ха; /о = + УА2 + 2А2 .

Подставив (24) в (23) и раскрыв законы изменения погонных циркуляций по поверхности панели в соответствии с выражением (17), будем иметь: У г г (а гх + р^ + 5г) dxdz

- If

4л ff

F„r

3 '

1:2

[ z2 + Bz + C (x) ]2

v Ц [(azx + pzz + 5z ) (xA - x) - (axx + Pxz + 5x ) (zA - z)] ] .

4л

fbcd [ z2 + Bz + C (x) ]

(25)

Vz =

- If

Атг JJ

(a x + P z + 5X ) dxdz

4л

[ z2 + Bz + C (x) ]2

Перейдем в формулах (25) от интеграла по поверхности FBCD к двойному интегралу по координатам x и z. Разобьем треугольник BCD на два участка, и запишем внешний интеграл по переменной x, а внутренний - по переменной z. Получим:

v = -

У±

4л

f xcdx fz

jxb *zi

;(x) (a zx + Pzz + 5 z) dz

'X) [z2 + Bz + C(x)]2

f xDdxfz

jxc *zi

(x) (a zx + P zz + 5 z) dz

( x)

[ z2 + Bz + C (x) ]

Уу 4л

f x dx f

Jxn Jz

z2(x) [(azx + pzz +5z )(xA - x)-(axx + pxz +5x )(zA - z)]

zi( x)

[ z 2 + Bz + C (x) ]

+ f Xd dx fz

jxc *zi

z3(x) [(azx + pzz + 5z ) (XA - X) - (aXх + pxz + 5x ) (zA - z)] dz

( X )

[ z2 + Bz + C (x) ]

(26)

v, =

У±

4л

f Xxdx fz2( X)

jxb *zi( x)

(x) (a Xx + Pxz + 5 x) dz

f XDdxfz3( X)

Jxc J^ (x)

:(x) (a Xx + Pxz + 5 x) dz

где

[ 2 2 + В2 + С (X)] 2 С 1 [ 2 2 + В2 + С (X)] 2 Преобразуем числители в интегралах для уу, выделив в них функции от х и от г (а2х + р+ 5г)Х -х)-(ахх + р+ 5хХ*Л -*) = Рг2 + 0(х)% + я(х),

р = Рх, Жх) = (р2хл - рх2л + 5Х) + (ах - р2)х; Я(х) = -агх' + (а2хА - ах^а )х + хЛ - ZA5x • В интегралах для компонентов vx и vz выделим аналогичные функции от х и от г:

^х) = а2х + 52; T = р; V = р; U(x) = ахх + 5Х • Введем типовые интегралы по переменной г вида

(27)

1

>

Т / ч рв (х) zndz л „

уп(х) = 1 г.-Г; " = 0, 1, 2.

(х) г -,_

[ 2 2 + В2 + С (х) ]

Они берутся аналитически, что позволяет структурно записать формулы (26) в виде:

V =-

(х)г , ' ' ' (29)

2

4ж

(I, (х)^0 [21 (х)' 22 (х)] + [21 (х)' 22 (X)])dX +

£В (х) Jо [2 (х), 2 (х)] + П1 [2 (х), 2 (х

хи

+

(30)

хс

V, = — (Iхс (2 [21 (х), 22 (х)] + 0(х) Jl [21 (х), 22 (х)] + Я(х) Jо [21 (х), 22 (х)]^ + 4ж хв

+ С (PJ2 [21 (х), 2з (х)] + 0(х) Jl [21 (х), 2з (х)] + Я(х) Jо [21 (х), 2з (х

Vz = У1 (IхС (и(х) Jо [21 (х), 22 (х)] + PJl [21 (х), 22 (x)])dx +

4Ж хв

+ ^ (и(х) Jо [21 (х), 2з (х)] + PJl [21 (х), 2з (х

Выражения (30) для компонентов индуктивной скорости можно существенно упростить, преобразуя их с учетом коэффициентов ах, РР, 5Х, а^ Р^ 5 в формулах (27) и (28), и вводя три типовых интеграла по переменной х вида:

Рпнв О, Н) = fGJо [2Н (х), 2в(х)] х^, п = о, 1,2; Н = 1; В = 2Д ЖпНвВ (С,Н) = ^1 [2н (х), 2в (х)] хпох, п = о,1; Н = 1; В = 2,з; (31)

кнвОН) = {ОЧ [2н(х),2в(х)]х^, п = о; Н = 1; В = 2,з. Интегралы (31) сводятся к типовым интегралам вида:

гН хп dx

1п (а, Ь, с, О, Н) = I ----; п = 0, 1, 2, 3; (32)

[(х - хА ) + уА ]>/ах + Ьх + с

$п (а, Ь, с, О,Н) = \Но Х"С/Х ; п = -1,0, 1, (33)

\/ах + Ьх + с

где ак = ик2 +1; Ьк = ик(2Vк + В) + ск = ^+ В) + ./о; к = В,Н, (34)

которые взяты аналитически.

В результате выражения (30) приобретают вид:

Vx = КА +52АРо + РАЖо); Vz = ^(аЖ + 5хАР0 + РЖ); 4я 4я

Vy + (Рха-Р^А +5х )АЖ + (ах-рг Ж-а2АР2 + (35)

4я

+ (а2хА -ах2А -52 )АР1 + (52хА -5х2А )АPо],

где АРо = Ро,1,2(хВ , хС ) + Ро,1,з(хС , хэ ); Ар1 = р,1,2(хВ , хС ) + р1,1,з (хс , хэ );

Ар2 = р2,1,2(хВ , хс ) + Р2,1,з(хс, хи ); Або = бо,1,2(хВ, хс ) + бо,1,з(хс , хи ); А01 = 01,1,2 (хВ , хС ) + а,1,з(хС , хО ); А^о = ^о,1,2(хВ , хС ) + Ро,1,з(хс , хо ).

Несмотря на структурную простоту формул (35), входящие в них коэффициенты ДР0, АР1, ДР2, Д00, Д01, Д^0 представляют собой функции 15 переменных, которыми являются: координаты точки А (хд, у а, 2 а), вершин треугольника ВСП (хв, хс, г с, хо, а также значения в этих точках погонн^гх циркуляций ух и yz (ухв, ухС, Ухо, yzв, yzC, yZD). Вычисление коэффициентов ДР0, ДР1, ДР2, ДQ0, ДQl, ДЯ0 сведено к элементарным функциям, но реализуется довольно объемным алгоритмом. Поэтому оптимальный по числу операторов и быстродействию алгоритм может быть создан в системах программирования, где разрешено описание одних процедур внутри других (иерархическая схема) в сочетании с возможностью использования во внутрен-

них процедурах переменных, описанных во внешних и не являющихся формальными параметрами внутренних.

Рассмотрим в качестве примера площадку в виде равностороннего треугольника BCD с координатами вершин:

■ " ^ (36)

= ->/з/2; zB =-1/2; xc = 0; zc = 1; xD =у/з/2;

zd =-12,

покрытого равномерно распределенным однокомпонентным вихревым слоем с погонной циркуляцией yx (x, z) = 1, yz (x, z) = 0. Тогда в соответствии с формулами (18):

«х = 0; вх = 0; ¿x = 1; az = 0; ^ = 0; 6г = 0.

На рис. 6 показаны законы vY(xA, zA) на различных удалениях уА от плоскости треугольника BCD. Видно, что поле скоростей Vy(xA, zA) на равных удалениях вверх и вниз от плоскости площадки идентично. При приближении к границам площадки абсолютные значения скорости возрастают, а при удалении от плоскости поля скоростей выравниваются.

уа=0л

уа= 0,3

Уа = 0,5

Уа = -0,1

Уа = -0,3

Уа = -0,5

Рис. 6. Поле скоростей vу(xА, гА) на удалениях уА = ± 0,1; ± 0,3; ± 0,5 от плоскости панели при

Ух (x, г) = 1, Уz (-X г) = 0

Анализ показывает, что функции (31) РпН в(0, Н), в(0, Н), в(0, Н) имеют особенность при уА ^ 0, обусловленную входящими в них типовыми интегралами /и (ак, Ьк, ск, G, Н), п = 0,1,2,3 . Поэтому точное значение скорости уу на поверхности площадки

может быть определено путем вычисления пределов при уА ^ 0 по правилу Лопиталя так же, как это было сделано в вихревой модели крыла [9].

Будем рассматривать только нормальный компонент скорости уу, т.к. компоненты ух и у2

при yA = 0 обращаются в ноль за границами треугольника BCD, где нет вихревого слоя, и терпят разрыв в его пределах, где вихревой слой присутствует.

Принадлежность точки А границам контура BCD определяется условиями:

ZA = ^ (XA ) = UkXA + Vk ; k = 1, 2. 3 , (37)

при которых выражения (34) для коэффициентов ak, bk, Ck приобретают вид:

ak = uk2 +1; bk = -2xpak Ck = xp2afc (38)

что существенно упрощает представление интегралов (32), (33) на границах контура.

Если точка А лежит на линии контура, но расположена вне границ участка интегрирования (xp < G или xA > H), то интегралы (32), (33) имеют решение. В случае G < xA < H имеет место особенность, обусловленная разрывом второго рода подынтегральной функции на участке интегрирования.

Вскрытие неопределенности позволяет вычислить индуктивную скорость в плоскости треугольной вихревой панели через элементарные функции всюду, кроме границ контура. Рассмотрим в качестве примера панель в виде равностороннего треугольника (36), покрытого од-нокомпонентным вихревым слоем ух = 1.

На рис. 7 построены параметрические зависимости vy(x, z) при yA = 0 в диапазонах -2 < xA < 2, -2 < zA < 2. Видно, что поле скоростей симметрично относительно оси OZ и имеет разрыв второ-

a б

Рис. 7. Законы изменения индуктивной скорости vy(xA, zA) в плоскости треугольной панели, покрытой равномерным однокомпонентным вихревым слоем ух = 1: а - vy(zA) при xA = const; б - vy(xA) при zA = const

Подтверждением достоверности решения, полученного для случая расположения точки А в плоскости вихревой панели, служат зависимости вертикальной составляющей индуктивной скорости vy(yA), показанные на рис. 8 в диапазоне -2 < yA < 2. Они имеют гладкий характер при

переходе через точку yA = 0, несмотря на то что в этом случае работает отдельная ветвь алгоритма. При всех сочетаниях координат хА и zA зависимости уу(уА) имеют в этой точке экстремум за исключением случаев, когда точка А совпадает с границами контура.

0.4

0.3

0.2

-0.3

-0.4

/ ^ v . \ 7 Ч f ^

Г. ■ ■ - - ч . ^ \

4 4 i fry*

V. \ 7

/ 1

1

z

A .

— -1.4 -- -1.2

-1.0 -0.8

— -0.6 -0.4

^ -0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

УA

Уа

б

Рис. 8. Законы изменения вертикальной компоненты vy индуктивной скорости, направленной по нормали к плоскости треугольной панели, покрытой равномерным двухкомпонентным вихревым слоем yx = yz = 1: а - vy(yA) при xA = 0, zA = const; б - vy(yA) при zA = 0, xA = const

v

v

0

"2

-1

0

2

0

а

Исключение составляет случай, когда точка А попадает на диагональ ячейки 5у5;+1,]+1 и формулы расчета индуктивной скорости от обеих панелей имеют особенность.

В зависимости от формы ячейки возможны два варианта.

1. Ячейка плоская - в этом случае особенность является устранимой и решение находится численно, как среднее арифметическое от скоростей в двух точках Р1 и Р2, расположенных симметрично на расстоянии 8 относительно диагонали Зу^+у+ь

2. Ячейка пространственная - в этом случае следует применить альтернативную разбивку ячейки на два треугольника диагональю 5;+1,]5у+1. Тем самым точка А выводится из плоскостей обеих треугольных панелей и для вычисления индуктивной скорости можно воспользоваться алгоритмами, описанными выше для случая |уА| > 0.

Для вычисления индуктивного воздействия от вихревой пелены необходимо просуммировать скорости, создаваемые всеми ячейками, образующими пелену

М-1

I I- -V I Г I ' > (39)

I=0 ]=0

где К - общее число расчетных полос по длине пелены, К = N поб.

Выводы

1. Математическая модель винта, построенная на основе вихревой пелены с непрерывно распределенной по её участкам погонной циркуляцией двухкомпонентного вихревого слоя, да-

ет возможность вычислять индуктивные скорости в произвольной точке пространства непосредственно на вихревой пелене и на поверхности, с которой сходит вихревой слой.

2. Алгоритм вычисления компонентов индуктивной скорости, сведенный к элементарным функциям, показал устойчивую работу для треугольных вихревых панелей, что позволяет строить на их основе итерационные методы расчета воздушной нагрузки, распределенной по размаху лопасти, создающей подъемную силу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскин В.Э. и др. Теория несущего винта. - М.: Машиностроение, 1973.

2. Миль М.Л. и др. Вертолеты. Расчет и проектирование. Т. 1. Аэродинамика. - М.: Машиностроение, 1966.

3. Поляхов Н.Н., Шестернина З.Н. К вопросу о сходимости метода дискретных вихрей // Вестник ЛГУ. -1979. - №7.

4. Игнаткин Ю.М., Гревцов Б.С., Макеев П.В., Шомов А.И. Метод расчета аэродинамических характеристик несущих винтов на режимах осевого и косого обтекания на основе нелинейной лопастной вихревой модели // Труды Восьмого форума Российского вертолетного общества. - М.: МАИ, 2008.

5. Белоцерковский С.М., Локтев Б.Е., Ништ М.И. Исследование на ЭВМ аэродинамических и аэроупругих характеристик винтов вертолетов. - М.: Машиностроение, 1992.

6. Жилин Ю.Л., Лободина Л.Ф. Вычисление поля скоростей от панели с параллельными кромками // Труды ЦАГИ. - 1989. - Вып. 2442.

7. Шайдаков В.И. Обобщенная дисковая вихревая теория и методы расчета индуктивных скоростей несущего винта вертолета // Проектирование вертолетов. - М.: МАИ, 1977. - Вып. 406.

8. Лойцзянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973.

9. Артамонов Б.Л. Вихревая модель крыла с непрерывно распределенной циркуляцией вихревого слоя // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2014. - № 200.

VORTEX MODEL OF ROTOR WITH CONTINUOUSLY DISTRIBUTED CIRCULATION OF

VORTEX LAYER

Artamonov B.L.

The paper considers the linear vortex model of rotor which is the three-dimensional helicoid sheet of given geometry. This three-dimensional helicoid sheet is coated y continuously distributed two-component vortex layer. Triangular panels are the elements of discretization of the sheet. These triangular panels are arbitrarily oriented in space. The method, algorithms and programs of calculation of three components of induced velocity vector. Were created this velocity is induced by the elementary area, which is arbitrarily oriented and coated by a vortex layer. The intensity of the vortex layer varies linearly over the surface of the elementary area. The solution was obtained in elementary functions.

Keywords: vortex model, rotor, circulation, upper layer.

Сведения об авторе

Артамонов Борис Лейзерович, 1947 г.р., окончил МАИ (1972), кандидат технических наук, старший научный сотрудник, заместитель заведующего кафедрой проектирования вертолетов МАИ (Национального исследовательского университета), автор более 180 научных работ, область научных интересов - аэромеханика винтокрылых летательных аппаратов вертикального взлета и посадки.