CC BY
9
УДК 539.3
Л.А. ФИЛЬШТИНСЬКИЙ, Д.Н. НОСОВ, А.А. ЕРЕМЕНКО
Сумский государственный университет, Украина
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ НОВЫХ МАГНИТОЭЛЕКТРОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ, ОСЛАБЛЕННЫХ ТРЕЩИНАМИ
В работе методом сингулярных интегральных уравнений рассмотрена краевая задача магнитоэлектроупругости для плоской анизотропной среды, ослабленной трещинами достаточно произвольных конфигураций. Построено точное решение для случая произвольно ориентированной прямолинейной трещины в пластинке. Получены асимптотические представления полевых величин в окрестности вершин разрезов, с использованием которых выведены формулы для коэффициентов интенсивности механических, электрических и магнитных величин, а также потоков энергии в вершинах трещин.
Ключевые слова: магнитоэлектроупругая (МЭУ) среда, трещина, интегральные представления полевых величин, сингулярные интегральные уравнения, коэффициенты интенсивности механических, электрических и магнитных величин, потоки энергии в вершинах.
Л.А. ФИЛЬШТИНСЬКИЙ, Д.М. НОСОВ, Г.А. СРЕМЕНКО
Сумський державний ушверситет, Укра1на
КРАЙОВА ЗАДАЧА МЕХАН1КИ РУЙНУВАННЯ НОВИХ МАГН1ТОЕЛЕКТРОПРУЖНИХ МАТЕР1АЛ1В, ПОСЛАБЛЕНИХ ТР1ЩИНАМИ
В роботi методом сингулярних ттегральних рiвнянь розглянуто крайову задачу магнiтоелектропружностi для плоского ан1зотропного середовища, ослабленого трiщинами досить довшьних конфiгурацiй. Побудовано точний розв'язок для випадку довшьно орiентованоi прямолттног трщини в пластинi. Отриманi асимптотичнi подання польових величин в околi вершин розрiзiв, з використанням яких виведенi формули для коефiцieнтiв iнтенсивностi мехатчних, електричних i магнтних величин, а також потоюв енергИ в вершинах трщин.
Ключовi слова: магнтоелектропружне середовище, трщина, iнтегральнi подання польових величин, сингулярнi iнтегральнi рiвняння, коефщенти iнтенсивностi мехатчних, електричних i магнтних величин, потоки енергИ у вершинах..
Ь.А. FILSHTINSKII, D.M. NOSOV, H.A. EREMENKO
Sumy State University, Ukraine
THE BOUNDARY-VALUE PROBLEM OF FRACTURE MECHANICS OF NEW MAGNETOELECTROELASTIC MATERIALS WEAKENED BY CRACKS
In the paper the boundary-value problem of magnetoelectroelasticity for plain anisotropic medium weakened by cracks of rather arbitrary configurations is considered by the method of singular integral equations. Exact solution was constructed for the example of arbitrarily oriented rectilinear crack in the plate. The asymptotic representations of the field quantities in the vicinity of crack tips were obtained. Then using the latter formulae for intensity factors of mechanical, electrical, and magnetic magnitudes and crack tip energy fluxes were derived.
Keywords: the magnetoelectroelastic medium, crack, integral representations of the field quantities, singular integral equations, intensity factors of mechanical electrical and magnetic values, energy fluxes in tips.
Постановка проблемы
В связи с созданием новых керамических, в частности магнитоэлектроупругих материалов, полученных спеканием редкоземельных элементов (Terfenol-D), в начале XXI века возникло новое направление в механике - электромагнитоупругость. Полученные новые материалы обладают многими замечательными свойствами, в частности гигантской магнитострикцией, однако страдают значительным трещинообразованием в процессе эксплуатации. В связи с этим возникает необходимость в разработке механики разрушения таких материалов, ослабленных трещинами.
Рассмотрим отнесенную к декартовой системе координат Ox\ x2 бесконечную МЭУ пластинку
ослабленную трещинами Гу (j = 1, n). Будем считать, что Гу ляпуновские дуги и (Л Гу = О). На бесконечности зададим равномерные поля механических напряжений и у, а также компоненты
электрической и магнитной индукций , 02 и Б\, Б2 , а на берегах трещин равномерное распирающее давление ру (рис.1).
Рис. 1. Пластина с трещинами под действием равномерных физических полей на бесконечности
Задача заключается в построении алгоритма, позволяющего определить поля в пластине и характеристики разрушения в вершинах трещин.
Анализ последних исследований и публикаций
Магнитоэлектроупругие (МЭУ) материалы впервые были обнаружены Ван Сухтеленом (1972 г.) и Ван Раном (1974 г.), которые выяснили, что феррит-сегнетоэлектрические композиты обладают как пьезоэлектрической (ПЭ), так и пьезомагнитной (ПМ) фазами, представляя магнитоэлектрический эффект сопряжения. Далее исследования в этой области были продолжены в работах [1, 2, 3].
Изложение основного материала исследования
Постановка задачи и
магнитоэлектроупругости содержит: - материальные уравнения [4]:
метод
решения.
Математическая
модель
е11 511 ^12 516 §11 §21 Р11 Р21 °"12
е22 s22 ^26 §12 §22 Р12 Р22 а22
2е12 516 566 §16 §26 Р16 Р26 2ст12
Е1 = - §11 - §12 - §16 вп в 12 v11 П2 А
Е2 - § 21 - § 22 - §26 в 12 в22 П2 v22 А
Н1 - Р11 - Р12 - Р16 П2 /11 /12 Б1
Н 2 _ Р21 - Р22 - Р26 П2 v22 /12 /22 _ _ Б2
двумерной
(1)
■ дифференциальные уравнения равновесия, электро- и магнитостатики [5, 6]:
д1^11 +д 2°12 = 0,
д
д1°"12 + д 2СТ22 = 0 д к =
дх
к
(к = 1,2);
д1£>1 + д 2 Б2 = 0, д1Б1 + д 2 В2 = 0, д1Е2 - д 2 Е1 = 0, д1Н2 + д 2 Н1 = 0; ■ соотношения Коши:
еп = д^ , е22 = д2и2, 2е12 = ди + д2и1;
условие совместности деформаций:
д2е22 +д2еп = 25152е^ .
(2)
(3)
(4)
(5)
К этим соотношениям необходимо присоединить соответствующие механические, электрические и магнитные краевые условия на границе тела.
ОБ
В (1)-(5): Sij = Sij - коэффициенты деформации, измеренные при постоянных индукциях
ОБ ОБ
электрического и магнитного полей, §kj = §kj и Рщ = Рщ - пьезоэлектрические и пьезомагнитные коэффициенты деформации и напряженности, измеренные при постоянных напряжениях и индукциях; вк1 = вс, /к1 = /с и Vkl = vkkl - коэффициенты диэлектрической, магнитной и электромагнитной восприимчивостей, измеренные при постоянных напряжениях; и = (и1, и2) - вектор перемещения; с ¡у и еу - тензоры напряжения и деформации; и Б^ - компоненты векторов электрической и магнитной
индукции; Е^ и Н{ - электрическая и магнитная напряженности полей. Комплексные представления полевых величин [7]:
{с11,с12,с22}= 2Яе £Ць-ЦклН(1,Цк)фк(гк),
к=1
4
КО2}= 2Яе £Цк,-1}А2(1,ц)фк(ч), (6)
к=1 4
{Б1, Б2 }= 2Яе £Цк ,-1}Аз(1,^к )Ф к (?к),
к=1
{Е1,Е2}= 2Яе £{1,цФк(*к), {Н1,Н2}= 2Яе £ {1,цКФк(*к), (7)
к=1 к=1 4
{иьи2}= 2Яе £{Рк,Як}рк(гк), к=1
г = Х1 + ¡Х2, ?к = Яе г + Цк 1т г , где Фк (гк) - аналитические функции своих комплексных переменных, характеристические числа Цк , н н
величины А у , ак и ак , Рк , Як заданы.
Краевая задача для магнитоэлектроупругой пластинки с трещинами
Механические, электрические и магнитные краевые условия на берегах разреза Гт представим в
виде.
х\п =-Р сов^ Х±„ =-Р ьту, Р = {Рт егт }, = ±, Б± = бЩ± (8)
Здесь верхний знак соответствует левому берегу разреза Гт (при движении от его начала ат к
концу Ьт), - угол между положительной нормалью к левому берегу и лучом 0x1, , , Б± -компоненты вектора напряжения, нормальные компоненты векторов электрической и магнитной индукций на берегах разреза.
Краевые условия представим в виде:
2Яе £Кукак (^)[фк ]= 1 (/ = 1,4) ак Ы=Цксо^- я^ к=1
2Яе £Яукак(^)(ф++ Ф-)= + ¥/) , (у = м), (9)
к=1
где Яук - известные комбинации материальных коэффициентов, ¥ у - известные правые части.
Для решения краевой задачи теории функций (9) воспользуемся обобщением формализма, разработанного одним из автором в [8]. Комплексные потенциалы Ф к (гк ) представим в виде обобщенных интегралов типа Коши
Фк(2к)= Ск + ^Ь^* , (Ш)
а = Яе^ + Цк Ьп^ ^ (С)4кт)ШеГт }•
Здесь ds - элемент дуги в физической плоскости, С£ - постоянные которые должны обеспечить условия на бесконечности, а>£ определяются из краевых условий на Г и некоторых дополнительных условий.
С использованием представлений (10) краевые условия (8) сведем к матричному сингулярному интегральному уравнению:
|К (С,Со = п (Со ), Со еГ , 1т д = 0, (11)
Г
к (С, Со ) = Яе^^о )я-1} д(с) = Ыс), д2 (с), дз (с), д4 (с!,
д = Яа, Я = ||Яд|,
О (С Со)= \ а1(^о ) а2 (уо ) а3 (Уо ) а4 (Уо ) | 1^1 - Со1 С2 - Со2 Сз - Соз С4 - ^04
N (Со )= {- р ОС8Уо - щ(Со ),-р 8туо - N2 (Со), - N3 (Со ), в° - N4 (Со)[, (т+ ^ бШ+ + £и°"
q = (q(m ), D° = D-±DnI , BS = -
2 2
Для замыкания решения привлечем условие однозначности перемещений электрических и магнитных потенциалов:
J q (m)(C)ds = 0, (m = 1м). (12)
Г
m
Асимптотика решения в вершинах трещин. Используя выражения для асимптотики интеграла типа Коши в вершинах разрезов [9], находим главные асимптотики полевых величин:
fol^12,*22}=-7^Rfi IЙ"",1>An(l,^kУ*к + 0(1),
<2r к=1 4
у2 } = -TT Rc I "k,-1}^12 (1, "k M + I
к=1 4
52}=^Re I("k,-1}A13(1,"kM + 0(1), (13)
к=1
4
i2 }= Re I {1, "k W ^k" +1
' k= 4
г2}=^= Re I(1,"kW ^г? + 1
k=1
Tkc = (± 11)) (cos0C +"k sin^)-2 . (14)
V^k (± 1)
где верхний знак соответствует концу трещины c = b, нижний - началу c = a.
В механике разрушения коэффициенты интенсивности механических, электрических и магнитных величин в вершинах трещин определяются формулами [1,10]:
ki = lim), kii = limy2nrTnS), kd = lim(V2nDn), kb = limУ2ППвп) . (15)
r ^ 0 r^0 r ^0 r ^0
Окончательно эти величины получаем в виде:
Kl (21(± 1)°0S^c + ß2 (± 1)sin ^c }, KII 7(71){- 01 (± 1)sin Vc + Q2 (± 1)cos Wc }, (16)
14
{D1,D2}=-T=Re I{"k,-1}A12(1,"kM + 0(1),
v2r k=1
14
{B1,B2}= "T^Re I"k,-1}A13(1,"k)^kc + 0(1), V2r k=1
14
E1,E}=-/^Re I(1,"k^ + 0(1),
v2r k=1
14
H1,H}= ^Re I(1,"k]«kH^k + 0(1), ^2r k=1
где Qj =■
-■(в)
^^=i 1Щ Q3 (±1), кв=\ WT) q4 (± 1),
Wi-e2'
Пример. Прямолинейная произвольно ориентированная трещина в пластинке. Получено точное решение:
Kj = ^лП\p + (o"n)cos2 Y + sin+ {^22)sin2
Kjj =лП-
{a22)-{an) .
sin 2y + {a12) cos 2y ;
Kd =-& {D1) cosy + (D^) sin y} Kb =4d {B1) cosy/ + {B2)sin y}
ds
Поток энергии необходимый для продвижения трещины за вершину, c, на малую величину cc' вдоль касательной определяется формулой :
=2 \°tn¡ +2 j Dfnj +2 j b(% >;
cc' cc' cc'
где <cjj0), D , B(0 определены до продвижения трещины, а u(l), qÁE), a)(H) - скачки соответствующих
U J J 111
величин на отрезке cc'.
Результаты расчетов. Рассматривалась электромагнитоупругая пластина из керамики Terfenol-D, поляризованная вдоль оси Х2 [6], содержащая прямолинейные трещины: Xj = в, x2 = 0, l = 1, -1 < в < 1, 0 <а<п и xj = kp cos а , x 2 = kfí sin a + h , k = 0.5 , -1 < в < 1, расположенная над ней под углом а и расстоянием между центрами трещин h = 2 .
0,1
g о
-0,1
-0,2
© / X- "4. \
/ \ \
\\
1 \\
\ / : / ^Vyi X _ /
t «2 J ■И, h A
a, b, x¡
2,5
1,5
-0,5
-1,5
-2,5
® S \
У/ h ч" / /
î «2 /- h Il a: >// 1/ уч
h, JE,
л/2
я/2
Рис. 2. Кп для прямолинейной трещины в зависимости от угла а, когда на бесконечности действует магнитная индукция <В2> = 1 Тл. Сплошная линия соответствует вершине трещины а, пунктирная — вершине Ь.
Выводы
Из полученных результатов следует, что коэффициенты интенсивности механических напряжений могут существенно зависеть от действующих на бесконечности магнитных и электрических полей. Например, при действии на бесконечности ^2 >= 1 Кл м-2, KI , из конфигураций двух трещин, где одна неподвижная горизонтальная, а вторая произвольно ориентированная прямолинейная, то для горизонтальной трещины равен 0^80.
Список использованной литературы
1. Bao-Lin Wang, Yiu-Wing Mai. (2007). Applicability of the crack-face electromagnetic boundary conditions for fracture of magnetoelectroelastic materials. International journal of solids and structures, 2 (44), 387-398.
2. Hua-dong Yong, You-he Zhou. (2007). Transient response of a cracked magnetoelectroelastic strip under anti-plane impact. International Journal of Solids and Structures, 2 (44), 705-717.
3. Ke-qiang Hu, Guo-qiang Li. (2005). Electro-magneto-elastic analysis of a piezoelectromagnetic strip with a
q
2
finite crack under longitudinal shear. Mechanics of Materials, 9 (37), 925-934.
4. Nan CW. (1994) Magnetoelectric effect in composites of piezoelectric and piezomagnetic phases. Phys Rev B Condens Matter, 50(9), 6082-6088.
5. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новацкий. — М.: Наука, 1986. — 160 с.
6. Калоеров С.А. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел / С.А. Калоеров, А.В. Петренко. — Донецк: Юго-Восток, 2011. — 232 с.
7. Фильштинский Л. А. Упругое равновесие плоской анизотропной среды, ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде / Л.А. Фильштинский // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1976. — № 5. — С. 91-97.
8. Фильштинский Л.А. Плоская задача магнитоупругости для пьезомагнитной среды с трещинами / Л.А. Фильштинский, Д.Н. Носов, А.А. Еременко // Физико-химическая механика материалов. — 2015. — Т. 51. — № 2. — С. 109-115.
9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Физматгиз, 1962. — 599 с.
10. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. — М.: Наука, 1974. — 640 с.
