CC BY
8
УДК 539.3
Л.А. ФИЛЬШТИНСКИЙ, Т.С. СУШКО, А.А. ЕРЕМЕНКО
Сумской государственный университет, Украина
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ МАГНИТОЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ КОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ
Рассмотрена краевая задача разрушения конечной магнитоэлектроупругой пластины, ослабленной трещинами. Задача сведена к смешанной системе алгебраических уравнений, сингулярных интегральных уравнений, дополнительным условиям и решена методом механических квадратур. Рассмотрены пластины в виде треугольника, квадрата и эллипса, и трещины в форме прямой и параболы. Получены результаты эффектов связности магнитоэлектроупругих полей, граничные дефекты, которые возникают в окрестности границ пластины, коэффициентов интенсивности полевых величин, а также энергетический критерий разрушения.
Ключевые слова: магнитоэлектроупругая среда, трещины, сингулярные интегральные уравнения, коэффициенты интенсивности полевых величин, потоки энергии в вершинах.
Л.А. ФИЛЬШТИНСЬКИЙ, Т.С. СУШКО, Г.А. ЕРЕМЕНКО
Сумський державний ушверситет, Укра1на
КРАЙОВА ЗАДАЧА МЕХАН1КИ РУЙНУВАННЯ МАГН1ТОЕЛЕКТРОПРУЖНОСТ1 ДЛЯ
КШЦЕВО1 ПЛАСТИНИ
Розглянуто крайову задачу руйнування ктцевог магнтоелектропружно'г' пластини, ослабленог трщинами. Задача зведена до змшаног системи алгебрагчних рiвнянь, сингулярних iнтегральних рiвнянь, додаткових умов i виршена методом мехатчних квадратур. Розглянуто пластини у виглядi трикутника, квадрата i елiпса, i трiщини в формi прямог i параболи. Отримано результати ефектiв зв'язностi магнтоелектропружних полiв, граничнi дефекти, яю виникають в околi границi пластини, коефiцieнтiв iнтенсивностi польових величин, а також енергетичний критерш руйнування.
Ключовi слова: магттоелектропружне середовище, трщини, сингулярт ттегральт рiвняння, коефщенти iнтенсивностi польових величин, потоки енерги у вершинах..
LA. FILSHTINSKII, T.S. SUSHKO, H.A. YEREMENKO
Sumy State University, Ukraine
THE BOUNDARY-VALUE PROBLEM OF FRACTURE MECHANICS OF NOVEL MAGNETOELECTROELASTICITY FOR THE FINITE PLATE
The boundary value problem of the fracture mechanics of a finite magnetoelectroelastic plate weakened by cracks is considered.The problem is reduced to a mixed system of algebraic equations, singular integral equations, additional conditions, and solved by the method of mechanical quadratures. Plates in the form of a triangle, a square and an ellipse, and cracks in the form of a straight line and a parabola are considered.The results of connectivity effects of magnetoelectroelastic fields, boundary defects that arise in the vicinity of the plate boundaries, the field intensity coefficients, and the energy criterion for destruction are obtained.
Keywords: the magnetoelectroelastic medium, cracks, singular integral equations, intensity factors of mechanical electrical and magnetic values, energy fluxes in tips.
Постановка проблемы
Детали машин и элементы конструкций в виде пластин разной конфигурации широко используются в инженерной практике. Их рабочий ресурс во многих случаях обосновывается наличием в таких элементах концентраторов напряжений типа трещин. В связи с этим большой теоретический и практический интерес представляет изучение распределения напряжений и деформаций около таких дефектов, а также формирование оценки критериев разрушения таких элементов с концентраторами напряжений при разных видах их нагрузки.
В декартовых осях OX1X2 рассмотрим пластину, ограниченную достаточно гладким замкнутым контуром Гз, содержащую трещины rm (m = 1,M). Будем считать, что трещины расположены случайным образом и их конфигурации также имеют случайный характер, тем не менее rm — ляпуновские дуги и П Г =0 . Пусть на берегах rm действует равномерное распирающее давление pm . На внешнем контуре
Го зададим достаточно гладкие распределения электрического компоненты вектора механического напряжения , Х2п (рис.1).
н
магнитного р потенциалов и
Рис. 1. Конечная пластина с трещинами под действием равномерных физических полей
Задача заключается в построении численного алгоритма позволяющего определить зависимость параметров разрушения от свойств материала и геометрии трещин и пластины.
Анализ последних исследований и публикаций Огромный теоретический и практический интерес представляет исследования влияния внешних границ тела, которое деформируется, на замену интенсивности напряжений около вершины острого дефекта. Основные результаты, известные до сегодняшнего времени, относятся к случаю плоского растяжения ограниченных пластин, ослабленных дефектами типа трещин. В работах [1-3] были продолжены исследования в этой области.
Формулирование цели исследования
Постановка задачи и
магнитоэлектроупругости содержит: Материальные уравнения [4]
метод решения. Математическая модель двумерной
е11 511 512 516 gl1 g 21 Р11 Р 21 ы12
е22 512 5 22 526 gl2 g 22 Р12 Р22 ы22
2е12 516 5 26 566 gl6 g 26 Р16 Р26 2ы12
Е1 = - gl1 - gl2 - gl6 Рп Р12 ^11 у12 А
Е 2 - g 21 - g 22 - g26 Р12 Р22 у12 ^22 О2
Н1 - Р11 - Р12 - Р16 у12 Х11 Х12 В1
Н 2 _ Р21 - Р 22 - Р26 у12 у22 Х12 Х22 _ _ В2
ные уравнения равновесия, электро и магнитостатики [5,6]
(1)
д1Ы12 + д 2Ы22 = 0
д1°11 +д 2°12 = 0, д
д к =■
дх
к
(к = 1,2)
д1Б1 + д2 О2 = 0, д1В1 + д 2В2 = 0, д1Е2 - д2Е1 = 0, д1Н2 + д2Н1 = 0 Соотношения Коши
еп = дА , е22 = д2й2, 2^12 = ди + ди Условие совместности деформаций
д2 е22 + д 2 еп = 2д1д 2е^
(2)
(3)
(4)
(5)
В (1)-(5): , у = - коэффициенты деформации, измеренные при постоянных индукциях
„ОВ ПВ
пьезоэлектрические и пьезомагнитные
У У
электрического и магнитного полей, gkj = и р^ = коэффициенты деформации и напряженности, измеренные при постоянных напряжениях и индукциях; Ри = Ры , Хи = ХЫ и Ук1 - коэффициенты диэлектрической, магнитной и электромагнитной восприимчивостей, измеренные при постоянных напряжениях; и =(и1, и2) - вектор перемещения; Ыу и еу -
тензоры напряжения и деформации; ^ и Bi - компоненты векторов электрической и магнитной индукции; Ei и Hi - электрическая и магнитная напряженности полей.
К этим соотношениям необходимо присоединить соответствующие механические, электрические и магнитные краевые условия на полной границе многосвязной области
Го +Г , Г = игга (т = 1М), Г пГ = ©, Г у ПГ,- =0 (, Ф ])
Механические краевые условия
Х,я |г = / (С) , X 2п | Го = / к), Х± = Рт юзу, Х2„ = Рт (т = 1М) . (6)
Здесь верхний знак соответствует левому берегу разреза Гт (при движении от его начала ат к концу Ьт), у - угол между положительной нормалью к левому берегу и лучом Ох1,
Электрические и магнитные краевые условия
Е |г = /з (С), Н |г = / (С), ^ = о, = о (7)
Краевая задача сводится к задаче теории функций комплексного переменного. Комплексные представления полевых величин имеют вид [7]
4
{^1^12^22 } = 2Яе ЕК' ,1} А11 (^ К )Фк ( гк ) .
к =1
{Д, В2 } = 2Яе ЕЕ {Кк,-1} 42 (1' к )Ф к (^)'
к =1
ВВ2} = 2ЯеЕЕ{Кк,-1}А (1'к)Фк (*к)' ' (8)
ЕЕ2} = 2Яе¿{1,К}акЕФк (^), {Н1,Н2}= 2Яе ¿{I,цк}аНФк(*к),
к= к=1 4
{иь М2 }= 2Яе ¿{Рк' Чк ]Фк (гк)' к=1
г = х1 + /х2, ^к = Яе г + Кк 1т г, где Фк (гк) - аналитические функции своих комплексных переменных, к - характеристические числа, величины Ау (1, Кк), ан и ан, рк, Чк - комплексные величины, зависящие от свойств материала пластинки.
Краевые условия (6)-(7) на Г0 и Г = иГт представимы в единообразном виде:
2ЯеЕЕЯ^а ок (у)Ф+ (а) = ^, °0к е Го (п = М)
к=1
4 М
2ЯеЕЯпкак(у)Ф±(^ок) = ^ еГ = иГт ак(у) = Ккс^у-вшу (9)
к=1 т=1
где Япк, Я)°к - элементы матриц материальных коэффициентов, Гоп, ^ - компоненты векторных функций, задающих граничные условия.
Изложение основного материала исследования
Для решения краевой задачи теории функций (8)-(9) воспользуемся обобщением формализма,
разработанного одним из автором в [8]. Комплексные потенциалы Фк (гк ) представим в виде обобщенных интегралов типа Коши:
ФЛ. . сИа +_1Г с(О¿Ск к ]-4) (1о)
Ф'(г,)= 2„Г. (а-2кК(г) + 2пГ - (,)' к <1о)
Подстановка предельных значений на соответствующих контурах (10) в граничные условия (9) приводит к смешанной системе алгебраических и сингулярных интегральных уравнений относительно искомых плотностей соок (а) и о1к :
к=1
2Re IR0
2Re I Rnk-
n>0k (a) = 0, Im I Rnk k-1 *1k (Z) = 0 (n
0k (У0) f С (a) v ; ds i f*" (Z) ds 1
2п J Vr0 ak -a0 k Г Zk — a0 k 1
ak (У0 ) ( J cd . (a) v 7 ds f *1k (Z) ds 1
2п J 1Г0 0 ak — Z 0 k Г Zk — Z0 k 1
= F0n (^0 )
= F (Zo)
Zk = ReZ + ^k ImZ, * (Z) = {*C m)(Z) ,Zer„ }
(y) = Uk
da,.
cos у - sin у,
"*ok
(у)
= ds„
zk = Rez + Mk Imz , z = + ix2 eQ.
ok
(у)
= ds
ak = Re a + uk Im a, a еГ0
(11)
Здесь и ds0 - элементы дуг Г0 и Г в физической плоскости, соответственно. Для замыкания решения привлечем условие однозначности перемещений, электрических и магнитных потенциалов:
1т£р«}^)ds = 0, 1т£д« ^^ = 0, (12)
k=1
k=1 Г
4 4 / _\
ImК f С (Z)ds = 0, Im£< f * (Z)ds = 0, (m = 1,M)
k=1 Г k=1 Г
Характеристики разрушения в вершинах трещин. В механике разрушения коэффициенты интенсивности механических, электрических и магнитных величин в вершинах трещин определяются формулами [1,10]
Kj = lim (¡Irnran ), Kjj = lim (л/2жтт ), KD = lim (¡2nrDn ), KB = lim (V2nrßn ) (13)
r ^0 r ^0 r ^0
С учетом асимптотики интегралов типа Коши в окрестности концов линии интегрирования, коэффициенты интенсивности (13) являются функционалами решений системы (11) :
К i = J^r) Re I ak Ус )A11 (1, Uk )Q1k (± 1), Vs(±1) k=1
К jj = .
п
Re I bk (ус )A11 (1, Uk )Q1k (± 1), bk (y) =
's(± 1) k=1
dak (У)
(14)
К D =.
К B = .
п
i '(i Re I ¿12 (1, Uk )Q1k (± 1),
s (±1) k=1
п
I 'Л л Re I ¿13 (1, Uk )Q1k (± 1).
s (±1) k=1
В концепции разрушения Гриффитса [10] принципиальное значение имеет величина энергостока (потока энергии) в вершину трещины при её продвижении в теле. Если трещина находится в магнитоэлектроупругой среде, то помимо механической энергии, в поток энергии может входить электрическая и магнитная энергии, высвобождающиеся при её продвижении. Формулировка критерия разрушения зависит от вида электрических и магнитных условий на берегах трещины.
Поток энергии необходимый для продвижения трещины за вершину с, на малую величину сс' вдоль касательной определяется формулой
дАд = I fa^n, Л1) ds +1 f D fn, JE) ds +1 f B K, JH)
ds
(15)
a
a
г(о)
V ■
где а);', D
(0)
Б^р определены до продвижения трещины, а и(1), р} ', (pf
Je) р(н)
скачки соответствующих
(16)
Можем
(17)
величин на отрезке cc .
Условие распространения трещины примет вид
2'=—2 й, Ъ (j +■ № d+■ k d;
где y - плотность поверхностной энергии.
Величина энергостока в каждую вершину есть квадратичная форма переменных Ki записать (суммирование по i и j):
2y = aijKiKj ( i, j = 1,4),
где Kj = Kj, K2 = Kji, K3 = Kd , K4 = Kg и ajj - коэффициенты, зависящие от материальных констант
магнитоэлектрической керамики.
Результаты расчетов. Рассмотрим случай, когда граница пластины свободна от сил и граничит вакуумом, а на поверхности трещины действует распирающее давление p = 1. Для двух контуров пластины приведены графики зависимостей плотности поверхностной энергии в вершинах трещины y от характеристики параметризации прямолинейной трещины p2
Z(e) = (pie2 + ip2P\ia+ ih, —1 <в< 1, pi = 0,
соответствующие конфигурации нанесены на графиках, как встроенные рисунки для максимального значения p2 , которое рассмотрено в данных результатах. Результаты приводятся для трех различных материалов [6] в двух вершинах трещины, соответствующие обозначения линий приведены в легенде к графикам. Рассматриваемые пластины имеют близкие характерные размеры.
0.00012 0.00010 0.00008 -0.00006 0.00004 0.00002 0.00000
- M1+ , -*- Ml-
---M2 + — - N2- / >
..... M3+ , ■»■ M3- f
*
—'* .»«»¡S*'
0.00016 -0.00014
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
Р2
Рис. 2. Плотность поверхностной энергии у в вершинах трещин в зависимости от половины длины трещины для трех
различных материалов и различных контуров пластинки.
Выводы
Из результатов следует, что коэффициенты интенсивности и, как результат, плотность поверхностной энергии в вершинах трещин существенно зависит от материала пластины, а также на характеристики разрушения влияют и геометрические параметры, в частности, расстояние от вершины трещины до контура пластины.
Список использованной литературы
1. Bao-Lin Wang, Yiu-Wing Mai. (2007). Applicability of the crack-face electromagnetic boundary conditions for fracture of magnetoelectroelastic materials. International journal of solids and structures, 2 (44), 387-398.
2. Hua-dong Yong, You-he Zhou. (2007). Transient response of a cracked magnetoelectroelastic strip under antiplane impact. International Journal of Solids and Structures, 2 (44), 705-717.
3. Ke-qiang Hu, Guo-qiang Li. (2005). Electro-magneto-elastic analysis of a piezoelectromagnetic strip with a finite crack under longitudinal shear. MechanicsofMaterials, 9 (37), 925-934.
4. Nan CW. (1994) Magnetoelectric effect in composites of piezoelectric and piezomagnetic phases. Phys Rev B Condens Matter, 50(9), 6082-6088.
5. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах / В. Новацкий. — М.: Наука, 1986. — 160 с.
6. Калоеров С.А. Двумерные задачи электромагнитоупругости для многосвязных тел / С.А. Калоеров, А.В. Петренко. — Донецк: Юго-Восток, 2011. — 232 с.
7. Фильштинский Л. А. Упругое равновесие плоской анизотропной среды, ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде / Л.А. Фильштинский // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1976. — № 5. — С. 91-97.
8. Фильштинский, Л. А. Плоская задача магнитоупругости для пьезомагнитной среды с трещинами / Л.А. Фильштинский, Д.Н. Носов, А.А. Еременко // Физико-химическая механика материалов. — 2015. — Т. 51. — №2. — С. 109-115
9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Физматгиз, 1962. — 599 с.
10. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. — М.: Наука, 1974. — 640 с.
