CC BY
13
Теория упругости
ВОЗДЕЙСТВИЕ ИНОРОДНЫХ УПРУГИХ ВКЛЮЧЕНИЙ НА РОСТ ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРЕЩИН В ИЗГИБАЕМОЙ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ
Б.Б. КАЗБЕКОВ, аспирант
Институт математики и механики НАН Азербайджана Азербайджан, AZ1141, Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9
Рассматривается взаимодействие инородных упругих включений впаянных в круговые отверстия изотропной упругой пластины, ослабленной двоякопериодической системой прямолинейных сквозных трещин. Берега трещин свободны от внешних нагрузок, а пластина подвергается однородному изгибу равномерно распределенными моментами.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: перфорированная пластина, инородные упругие включения, двоякопериодическая система прямолинейных трещин, изгиб.
1. Постановка задачи. Рассматривается изотропная упругая пластина, ослабленная двоякопериодической системой круглых отверстий и сквозными прямолинейными трещинами. Круговые отверстия имеют радиус X (X < l) и центры этих отверстий находятся в точках
Pm.n = ma1 + n®2 (m, n = 0, ±1, ±2, ...), o>\ = 2; a>2 = 2h*e'a , h* > 0, Im®2 > 0 .
В круговые отверстия Lm n (m, n = 0, ±1, ±2,.) впаяны упругие шайбы из
другого материала. Берега трещин свободны от внешних нагрузок, а пластина подвергается однородному изгибу равномерно распределенными постоянными моментами (в решетке имеют место средние моменты):
Mx = M?;
My = My
Hxy = 0
Начало декартовой системы координат совмещаем с геометрическим центром отверстия L0,0 в срединной Оху плоскости пластины (рисунок). В силу симметрии граничных условий и геометрии области, занятой упругой средой, напряжения в изгибаемой пластине будут двоякопериодическими функциями с основными периодами а>1 и а>2.
Рисунок. Расчетная схема задачи
Считается, что в процессе деформации пластины противоположные берега трещин не контактируют между собой. При изгибе пластины смежные точки
контуров включений и пластины будут иметь одинаковые смещения, а усилия, действующие со стороны пластины на любое включение, будут равны по величине и противоположны по знаку усилиям, действующим на пластину со стороны шайбы. Поскольку решение задачи для пластины удовлетворяет свойствам периодичности, то достаточно рассмотреть условия сопряжения пластины с включением лишь вдоль контура основного отверстия L0,0.
Комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили, относящиеся к шайбе с внешним контуром L0,0, обозначим через Ф 0(г) и (г), а соответствующие упругой пластине - через Ф*( г) и г).
В силу непрерывности смещений на контуре L0,0 (т = Л е'в ) имеем следующее граничное условие [1, 2] для комплексных потенциалов
Ф*(т) + Ф*(т)-[тФ*(т) + ¥*(т)]е2г'0 = Ф0(т)+Ф0(т)-[тФ0 (т)+ Т0 (т)]е2гв . (1)
На основании равенства нагрузки, действующей на включение со стороны пластины и на пластину со стороны включения, имеем [1, 2] второе краевое условие на контуре L0,0 для комплексных потенциалов.
£Ф*(т) + Ф* (т) - [тФ* (т) + ¥* (т)]в2'® = (2)
Do (1 - vo )
soФo(т) + фоГ)-*Ф0 Г) + % Г)
e2i9
D(1 - v)
где v, v0 - коэффициент Пуассона материала пластины и включения, соответственно; D, D0 - цилиндрическая жесткость пластины и включения.
Записывая условие отсутствия усилий на берегах двоякопериодической системы прямолинейных трещин в пластине, получаем краевое условие на L\ и L2:
еФ*(t) + Ф*0 + (Ф*0 + = iC ; (3)
еФ* (tj ) + Ф* (t1) +1Ф* (t1) + (t1) = iC1,
где t, t1 - аффиксы точек берегов трещин, направленных по осям абсцисс и ординат, соответственно; С, С1 - действительные постоянные, определяемые в ходе решения задачи из условия равенства нулю скачка прогиба [w] в вершинах разрезов;
- 3 + V для первой основной задачи,
с — J 1 -1 7
S -1 1 - v
1 для второй основной задачи;
L =[-£,-X1 ]+[Xbl\ , L2 =[-a,-r] + [r,a] .
Таким образом, в принятых предположениях теории Кирхгофа поставленная задача сводится к определению двух пар функций Ф0^), ¥0(z) и ФП(г), TO(z) комплексного переменного z = x + iy, аналитических в соответствующих областях и удовлетворяющих граничным условиям (1), (2), (3).
2. Решение краевой задачи. Обозначим левую часть краевого условия (1) через f - if2 . Считаем, что контуре L00 (г = Aexp(iö)) функция f - zf2 разлагается в ряд Фурье, который на основании симметрии задачи имеет вид
f1 -if2 = ZA2ke2ki0 , ImA2k = 0. (4)
к=-<»
Комплексные потенциалы Ф0^) и ¥0(z), относящиеся к шайбе, будут регулярны в круговой области с радиусом X. Следовательно, функции Ф0^) и ¥0(z) могут быть представлены в следующем виде [1]:
ф соо=1 ^2к, ад=1 а'2к 2 2к. (5)
к=0 к=0
Для определения потенциалов Ф0^) и на контуре L0,0 будем иметь
граничное условие
_^ ю
Ф0(г) + Ф0^34^0(т) + %= IА2кв2Ш . (6)
к=-ю
Подставив комплексные потенциалы (5) в граничное условие (6), получим, приравнивая ряды Фурье в левой и правой частях (6):
А ю ( т\2к
ф0(2) = + ; (7)
ю [ _ Л 2к
V 2) = -Ц(2к + 1)А- 2к - 2 + А2к+2 ][т| .
к=0 V
С помощью потенциалов (7), после некоторых преобразований, запишем краевые условия на контуре L0,0 для комплексных потенциалов ФП(т) и в
следующем виде:
ю
Ф*(г) + Ф*(т)-[тФ*(т) + ^*(т)]е210 = IА2кв1Ш , (8)
к=-ю
£Ф*(т) + Ф* (т) - [тФ* (т) + ¥* {т)]еЪв = (9)
= ^Г + I А2*е2Ш + -0 I А^Ч .
Д1 - V) [ 2 к=1 к=1 1
Перейдем теперь к построению решения задачи теории изгиба для пластины. Комплексные потенциалы для пластины в рассматриваемом случае однородного изгиба средними моментами (изгиб на бесконечности) ищем в виде [2, 3]:
мхю + мю мю - мю
Ф*(т)=-таг+Ф(т); ^*(т)=Мтм-т); (10)
Ф(т) = Ф1(т) + Ф 2 (2) + Фз( т); т) = ^( т) + Т2( т) + Тз( т); (11)
Ф1 (т) = (! , \ 18(<- т№ + А'; (12)
+ к0 )
^ (т) = (л ' , ) 18(< - т) + Q(t - т) - ХУ{Х - т)№ + В';
Ж1(\ + к0 ) £
Я2к+У2к)(т) .
Ф2(т) = Е«2к+2 (2к +1)! .
к=0
Х2к +2^(2к)(т) » Л2к+2д(2к +1)(т)
( = ЪЦ2к+2 (2к +1)! 10а2к+2 (2к+1)! ;
Фз(т) = /Л ч 181^1№ - т)dtl + А"; (13)
П1 + к0 ) ¿2
^3 (z) =--ТТ^Л i - z)- g t Шщ - z) + itlr{itl - z)]}dt + B1,
M1 + k0 ) Ll
где f(z) - эллиптическая функция Вейерштрасса; ^(z) - дзета-функция Вей-ерштрасса; Q(z) - специальная мероморфная функция [2].
Из условий равенства нулю главного вектора сил и главного момента этих же сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в области, занятой пластиной, следует соотношение
(kooA -Л)юк -Бак =-(4 + 5к)a* +(fk + Sk)a* + , -Sk)b + (14)
+ 5 - fk)b + P2^Sk -a2ft(koSk - fk); (k = 1, 2)
a* = Y1k0, , Jt • g (t)dt; b = - ko J ti • gi(ti) dti .
+ ko) L ^(1 + ko) L
Из условий симметрии относительно координатных осей, будем иметь, что
Im«2k = 0; Im P2k = 0 (k = 0, 1, 2, ...)
К основным представлениям (10) - (13) следует добавить [4] дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи
I -r a
J g (t)dt = 0; J g (t)dt = 0; J g1(t1)dt1 = 0; J g1(h)dt1 = 0. (15)
-I \ - a r
Подставив в левую часть (8) выражения для ФП^) и ¥D(z) на основании (10), (11), перепишем (8) в следующем виде
Ф2(г) + Ф2(^>-[ТФ2(Т) + ^2[)] e20 = (16)
®
= I AlkelkW + f1*(0) + zf* (0)+ (Р1 (0) + ip2 (0),
k=-®
M® + M® M® -M®
где Л0= Л + М^+М-; Л2= Л2 + -M^^W ; A2k = A2k (k = -1, ±2,.),
f*(0) + if*(0) = -Ф1 ([)-Ф1([) + [Ф1 ([) + ^1([)] e2i0, (17)
(0) + ip2(0) = -Фз([)-Ф3([) + [Ф3([) +^3([)] e2i0 . (18)
Аналогично, преобразуем краевое условие (9). В результате получим
efy[) + Ф2([)-[ Ф2([) + ВД] e2i0 = (19)
®
= I A2*ke2ki0 + g* (0) + ig2 (0) + р* (0) + ip2 (0),
k=-®
f® , 1 у-® / \ . у-® . у-®
M®+ M® ) (1 + e0) p M®-M® M0
где A0 = —,-+ e) + A^-^^U; a2 = ^-г— + A2 ; (20)
0 4(1 + v)D 7 ^ 2 p 2 2(1 -v)D 2 p
A2k = ^°A2k (k = 2, 3,.); A-2k = e0 ^A-^ (k = 1, 2,.) И И
р*(0) + ip*(0) = -еФ3(т)-Фэ(т) + [тФ'з(т) + Ч'з(т)] e2i0 ; (21)
Я*(0) + ig¡(в) = -еФ1(т) - Ф1 (т) + [тФ1 (т) + ^ (т)] в10.
Напомним, что краевые условия (16) и (19) должны быть совместными, что позволит определить коэффициенты А1к. Для составления уравнений относительно коэффициентов а1к и р1к, считаем, что функции (18) и (11) разлагаются на |т| = X в ряды Фурье. На основании симметрии задачи для функций (18) будем иметь
ю
/» + //*(в)= XВ1кв1Ш ; 1тВи = 0; (11)
к=-ю
ю
р*(в) + (в)= XВ2к в1Ш ; 1тВ**к = о
к=-ю
В1к + /* )в~2kiвdв , (к = 0, ±1, ±1, ...);
1п 0
В1к (в)+ ipР* (в)) в - 2Шdв.
1п о
Подставив сюда соотношение (18) и поменяв порядок интегрирования, после вычисления интегралов с помощью теории вычетов, получим коэффициен-
*
ты в1 к и В1к .
Аналогично поступаем с функциями (11). В результате получим:
ю
Я*(в) + ig*(в)= XВ'2кв1к1в , 1тВ1к = о (13)
к=-ю ю
р*(в) + ip*(в)= XР1кв1к1в , 1т^ = 0;
к=-ю
В1 к = - -1 |Я* ^)/*к ^, Р1к =- л \ ) | (t1 )Р*к (t1 . (14)
^ Д М1 + к0 )
Подставив в левую часть краевого условия (16) вместо Ф 1(т), Фг(т),
Ф1(т) и Т1(т) их разложения в ряды Лорана в окрестности точки г = 0, а в
правую часть (16) вместо /1* (в) + /1* (в) и р* (в) + iр2 (в) ряды Фурье (11) и,
сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ехр(г'в), получим две бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов а1к и в1к. После некоторых преобразований приходим к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно а1к.
Поступая с граничным условием (19) таким же образом, как это было сделано с условием (16), получим для определения коэффициентов а1к+2 бесконечную линейную систему уравнений.
Упомянутую систему запишем в следующем виде
ю
* V 1 * * 7 * . .
«1,+1 =Ха*,ка1к +1 + Ь* . (15)
к=1
Для получения уравнений, связывающих коэффициенты А1к с постоянными а1к, поступаем, используя прием, изложенный в [1]. В результате получим следующие соотношения:
1 - е
А2 j+2 = -— «2 j+2 ; (26)
1 - -о-
А- 2; =те Ь '-12+2 "+«+2+
+ (г-2У - г-2У+2У - г-2У);
Мо + ео- -0 + е-У
у 2к+2 мх + мУ
Ао =1 Х2к + 2бо, кА2к+2 + 0о * У + 01. к=о 4Г>(1 + ^
В полученные системы алгебраических уравнений входят посредством интегральных членов через В°к и В2° искомые функции g(х) и g1 (у). Для их определения используем краевое условие (3) на берегах трещин.
Требуя, чтобы комплексные потенциалы (10) - (13) удовлетворяли граничному условию (3), получим два сингулярных интегральных уравнения относительно искомых функций g(x) и gl(y):
1 + е 1
—т—^ I g (г )К (г - х^ + | g (t )[коС (t - х) + - х) -
яг (1 + к0) ц яг (1 + к0) ц
- ^ - х)у^ - x)]dt - к0А + А + В + (1 + е)ф0 (х) + хФ0 (х) + % (х) = гС ; Фо (х) = Ф1 (х) + Ф3 (х); Т (х) = Т (х) + ^з (х),
—1+е ч I {gl (tl - гу) - К (г - гу)]+gl (tl )\Ю(и - гу) + я(1 + ко) ц
+ (г t - гу )у(г t - гу) - г К (г t - гу)] + N (у) = г Сг ,
где N(у) = еФ5 (гу) + Ф5 (гу) + гуФ\ (гу) + Т (гу),
Ф5 (х) = Фг (х) + Фз (х); Т (х) = Т (х) + Т3 (х) .
Сингулярные интегральные уравнения и алгебраические системы уравнений (24), (25) являются основными разрешающими уравнениями задачи, позволяющими определить напряженно-деформированное состояние изгибаемой пластины.
Для определения постоянных С и Сг были использованы соотношения [4]:
-Хг I -г а
Re |^(^ = о ; Re |tg(^ = о, Яе | = о ; Яе | = о,
-I Хг - а г
Удовлетворяя этим условиям, обеспечивающих равенство нулю скачка прогиба в вершинах разрезов Ь и Ьг, находим, что
С = о; Сг = о.
Чтобы решить каждое сингулярное интегральное уравнение, воспользуемся разложением функций К), У (?) и 0(г) в основном параллелограмме периодов. Используя замену переменных, каждое сингулярное интегральное уравнение приводится к стандартному виду. Затем, применяя процедуру алгебраизации [3 - 5] вместо каждого интегрального уравнения получаем конечную систему линейных алгебраических уравнений:
М 1 Мл
X ЬткР1 + 2 N (Пп,) = 0 (т = 1, 1, М-1), X ЬтХ +1 N (пт ) = 0, (17)
к=1
где
Ьтк =
2М
sin0
вт + (-1)'т-к вк 1
+ В(^к ,Тт )
К системе (17) необходимо присоединить дополнительные условия (15), которые в дискретной форме примут следующий вид
М р 0 1 I \ М п 0
= 0, d =1 (1 -И\2), X и . - = 0. (18)
d = 1 (1 - ¡12), X Г7_._
^ ; ^(1 -X)/1 | +1)+X
к=\ +
Системы (17) - (18) являются связанными с бесконечными системами (15), (16), в которых вместо В°к и В1° подставлены соотношения в виде интегральных сумм. Упомянутые три системы полностью определяют решение задачи изгиба пластины. После нахождения приближенных значений р°, Л° искомых функций в узловых точках вычислялись коэффициенты интенсивности напряжений (моментов) [6].
3. Численные результаты и их анализ. Для нахождения искомых величин совместно решались линейные алгебраические системы (15) - (18). Использовался метод урезания алгебраических систем. Для численной реализации изложенного способа проводились расчеты. Исследовался односторонний изгиб
пластины постоянными моментами МЮ (мЮ = 0) и всесторонний изгиб моментами МЮ = МУЮ = М0. Урезанные системы уравнений решались методом Гаусса с выбором главного элемента для разных значений порядка М в зависимости от радиуса отверстий.
Проводились расчеты по определению коэффициентов интенсивности напряжений. Для одностороннего изгиба найдено, что
кХ = ^У
6мЮ4Т>
1
1 - ¡2 / \ 0 6мю4л1 I 7 / ч
^ ^1(Х,Х1,о, г,а); К\ =-У--дД - И\ ^(X, X,0,г,а);
И
И
кг =
6му ¡02
Та
1
ез
(Х,Х1,0, г,а); КШ = ^^лТШл! 1 - % (X, Х1,0,г,а).
X ¡0
В табл. 1 даны для квадратной решетки результаты расчетов функций ^ (X, X, 0, г, а), (X, X, 0, г, а) при изменении расстояния Х1. Длина трещины в
расчетах бралась постоянной I - X\ = 0,3; а - г = 0,15.
В случае всестороннего равномерного изгиба пластины для коэффициентов интенсивности напряжений получены следующие соотношения
К^ =
6М 0 л/Т
К
^ Тф, x, 0, г, а); К'° = Т ¥', (X, X\, 0, г, а);
И1
Кг = 6М 0
И
2
1 - X?
(X,X,0,г,а); Кш = 6М2^1 -X F4'(X,X,0,г,а).
X
В табл. 1 представлены результаты вычислений функций F'(X,X?, 0, г, а) и ^2 (X, Xl, 0, г, а) при изменении параметров X\, г, а.
1
1
2
И
2
И
Таблица 1. Значения функций F1 (Я, Я1, í, r, a) и F2 (Я, Я1, í, r, a) для квадратной сетки
отверстий, заполненных включениями, при одностороннем изгибе
Я Я
0,21 0,25 0,29 0,33 0,37 0,41 0,45 0,49
0,2 F (я, я1, í ) f2 (я, я, í) 1,2034 1,0561 0,9519 0,9718 0,8651 0,9907 0,8269 0,8419 1,0421 1,0742 0,8724 1,0961 0,9076 1,1079 0,9872 1,243
Я Я
0,31 0,35 0,39 0,43 0,47 0,51 0,55 0,59
0,3 F (я, я, í) 3,2481 1,5712 1,2783 1,1483 1,0891 1,1297 1,1491 1,1671
f2 (я, я, í) 1,5171 1,4884 1,2513 1,2319 1,2007 1,2163 1,2715 1,3018
Таблица 2. Значения функций F{(Я, Я1, í, r, a) и F2 (Я, Я1, í, r, a ) в случае
всестороннего равномерного изгиба пластины
Я Я
0,21 0,25 0,29 0,33 0,37 0,41 0,45 0,49
0,2 f/я, я, í) F2 (Я, Я, í) 1,7203 1,5713 1,5918 1,4706 1,2784 1,4519 1,1647 1,2043 1,4016 1,3941 1,2349 1,3602 1,2719 1,3849 1,3102 1,4219
Я Я:
0,31 0,35 0,39 0,43 0,47 0,51 0,55 0,59
0,3 F{(Я,Я,í) F2 (Я, Я, í) 4,1479 2,9179 3,4918 2,0981 3,2979 1,9307 3,0881 3,3102 1,8763 1,9235 3,6718 2,0184 3,7507 2,1673 3,7981 2,3152
Л и т е р а т у р а
1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.
2. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. -М.: Наука, 1970. - 556 с.
3. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. - М.: Наука. 1987. - 256 с.
4. СаврукМ.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. - Киев: Наукова думка, 1981. - 324 с.
5. Ladopoulos E.G. Singular Integral Equations, Linear and Non-Linear Theory and its Applications in Science and Engineering, New York, Berlin: Springer Verlag, 2000. - 547 p.
6. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
References
1. Muskhelishvili, N.I. (1977). Some Basic Problems of Mathematical Theory of Elasticity. Amsterdam: Kluwer, 707 p.
2. Grigolyuk, E.I., Filshtinskii L.A. (1970). Perforated plates and Shells. Moscow: Nauka, 556 p.
3. Mirsalimov, VM(1987). Non-one Dimensional Elastoplastic Problems. Moscow: Nauka, 256 p.
4. Savruk M.P. (1981) Two-Dimensional Problem of Elasticity for Bodies with Cracks. Kiev: Naukova Dumka, 324 p.
5. Ladopoulos E.G. (2000). Singular Integral Equations, Linear and Non-Linear Theory and its Applications in Science and Engineering, New York, Berlin: Springer Verlag, 547 p.
6. Cherepanov G.P. (1979). Mechanics of Brittle Fracture. New York, Mc Graw-Hill, 259 p.
INFLUENCE OF ALIEN ELASTIC INCLUSIONS ON GROWTH OF DOUBLY PERIODIC SYSTEM OF THE RECTILINEAR CRACKS IN THE BEND THIN PLATE
B.B. Kazbekov
Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan
Interaction of alien elastic inclusions soldered in circular holes of the isotropic elastic plate weakened by doubly periodic system of rectilinear through cracks is considered. Crack faces are free from external loadings, and the plate is exposed to a homogeneous bending by equally distributed moments.
KEYWORDS: perforated plate, alien elastic inclusions, doubly periodic system of rectilinear cracks, bending.
