Коэффициенты электромагнитной связи композита с пьезоактивными фазами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Коэффициенты электромагнитной связи композита с пьезоактивными фазами

А.А. Паньков

Пермский государственный технический университет, Пермь, 614600, Россия

Получено новое решение связанной краевой задачи электромагнитоупругости в обобщенном сингулярном приближении статистической механики композитов на основе новыж решений для сингулярныж составляющих вторыж производныж функций Грина для однородной трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности. Представлены результаты расчета в сингулярном приближении коэффициентов электромагнитной связи для пьезоэлектрика PVF с пьезомагнитными эллипсоидальными включениями. В частном случае, для слоистого композита из чередующихся пьезоэлектрических и пьезомагнитных слоев результаты расчета в сингулярном приближении совпали с полученным точным аналитическим решением.

Ключевые слова: пьезокомпозит, краевая задача электромагнитоупругости, эффективные свойства

Electromagnetic coupling factors for a composite and piezoactive phases

A.A. Pan'kov

Perm State Technical University, Perm, 614600, Russia

Using new solutions for singularities of second derivatives of Green functions as the base, the coupled boundary problem of electromagnetic elasticity was solved in a generalized singular approximation of statistical mechanics of composites to describe a homogeneous transversely isotropic piezoelectromagnetic medium with an ellipsoidal grain. In the singular approximation, the electromagnetic coupling factors for a PVF piezoelectric with piezomagnetic ellipsoidal inclusions were calculated. In the particular case of a layered composite composed of alternate piezoelectric and piezomagnetic layers, the calculation results in the singular approximation were found to coincide with the exact analytical solution derived in the work.

Keywords: piezocomposite, electromagnetic elasticity boundary problem, effective properties

1. Введение

Датчики для преобразования неэлектрических величин в электрические позволяют использовать электроизмерительные приборы для измерения самых разных физических величин. Для связи магнитного и электрического полей используют магнитоэлектрики в которых при помещении в магнитное поле возникает электрическое поле и величина индукции электрического поля пропорциональна значению напряженности магнитного поля. Магнитоэлектрический эффект можно наблюдать у ряда веществ в антиферромагнитном состоянии, он обусловлен специфической симметрией расположения магнитных моментов в кристаллической решетке вещества [1, 2]. Этот эффект возникает и у пьезокомпозитов,

содержащих пьезоэлектрические и пьезомагнитные компоненты. Если такой композит поместить в магнитное поле, то будет деформироваться пьезомагнитный компонент, а вместе с ним и пьезоэлектрический компонент и весь композит в целом. В силу деформации пьезоэлектрического компонента в композите возникнет электрическое поле и на макроуровне композита вектор индукции электрического поля будет связан с вектором напряженности магнитного поля тензором эффективных магнитоэлектрических констант. Магнитоэлектрики благодаря наличию у них эффекта преобразования одного вида энергии в другой используются для индикации электрических и магнитных полей в радиоэлектронике и измерительной технике. Например, в магнито-

© Паньков А.А., 2011

шумовой размерометрии ферромагнитных изделий преобразовывают магнитные шумы в электрические сигналы и затем проводят амплитудно-частотный анализ спектра сигналов, по результатам которого судят о контролируемом размере.

2. Математическая постановка задачи

Рассмотрим представительную область V композита из однородных трансверсально-изотропных пьезоэлект-ромагнитных фаз, плоскости изотропии которых лежат в координатной плоскости г1г2, Р — число различных фаз, г3 — ось поляризации. Пусть для области V задан тензор однородной макродеформации с*, вектора однородных макронапряженностей электрического Е* и магнитного Н* полей и однородное приращение температуры в, вызванное внешним нагревом. Выполняются условия идеального контакта на межфазных поверхностях.

Для каждой фазы f = 1, Р запишем определяющие соотношения [1-3]

а = С(f) е - е(f)Е - 1г(f)Н -В(f)0

а=еттпетпЕч с1)

В = етп +Ц(/) Нп + Ъ(f >0, связывающие напряжения а, индукцию электрического D и магнитного В полей с деформациями е, напряжен-ностями электрического Е и магнитного Н полей через считающиеся известными для каждой фазы f тензоры упругих С(^, пьезоэлектрических е^> и пьезомаг-нитных h^> свойств, диэлектрических X(f > и магнитных ц(^> проницаемостей, температурных коэффициентов в(^>, пироэлектрических постоянных л(^> и Ь^>.

Взаимное расположение фаз в области V задано через индикаторные функции фаз юf (г), которые обладают свойством статистической однородности и эргодичности и принимают значения: 1 для г е V^ и 0 для г £ Vf, где Vf — область и <Юf) = Vj■ — относительное объемное содержание ^й фазы,

V = и Vf.

f=1

Оператор осреднения по представительному объему V композита: 1

V V

Искомые трансверсально-изотропные тензоры эффективных пьезоэлектромагнитных свойств С , е , Ь*, X*, ц*, р*, л , -&* и дополнительно новые тензоры х*, к * электромагнитной связи входят в определяющие соотношения на макроуровне композита:

ау = Сутп етп епуЕп ^щНп Ру0'

А*=4пС+кк+хыНп+<0, (2)

В* = Ктп т + ^*пНп* + + Ъ*0, *

где макроскопические значения напряжений о = <о) и деформаций с* = <с), индукций 6* = <6), В* = <В) и напряженностей Е* = <Е), Н* = <Н).

Рассмотрим решение в области V с границей Г связанной стохастической краевой задачи электромагнито-упругости:

[Сутп (гК, п (г)]>у +[епу (г)Ф,п (г)]у +

+ [hnу■ (г)¥,п (г)],. -[Ру (г)],. 0 = 0,

[еутп (Г )ит,п (Г )],у уп (г )ф,п (г )],у +

+ \пу (г)],у 0 = 0, (3)

\уп (г)"т,п (г)], у уп (г)^,п (г)], у +

+ [Ъ (Г)] у 0 = 0,

г = е\уТу, Ф|Г = -Щгу, ¥|Г=-Н*уГу для полей перемещений и(г), электрического ф(г) и магнитного у(г) потенциалов. В (3) коэффициенты дифференциального оператора — быстро-осциллирующие функции координат г:

С(г) = £ С^)Юf (г), Х(г) = £ X(1 Ч (г), f=l f=l р р

ц(г) = £ Ц( 1 )юг (г), е(г) = £ е( 1)юг (г), f=l f=l

Ь(г) = £ Ь«Ц (г), р(г) = £ р(f Ц (г),

f=l f=l

л (Г) = £ л( f )ю f (г), Ъ(г) = £ Ъ( f )ю f (г).

f=l f=l

3. Решение краевой задачи методом функций Грина

Применим для решения задачи (3) метод функций Грина. Рассмотрим возможность применения новых функций Грина

иЛ и(1) и}2)

G = Ф* ф(1) ф(2)

* * ^ (1) ^ (2)

для однородной анизотропной пьезоэлектромагнитной среды («среды сравнения» [4]), где G = G(р), р = г - г1, в точке г1 действует единичная объемная сила, или электрический или магнитный источник. Свойства среды сравнения задаем через тензоры упругих свойств С*, диэлектрической X• и магнитной ц* проницаемостей, пьезоэлектрических е* и пьезомагнитных Ь* модулей; в частности, можно принять равенства С* = <С),

е* = <е>, 1 = (11), X* = (X), ц* = (ц>. В выражении (4) функции Фк (р), и гк (р), *¥к (р) являются решениями системы уравнений

Сутпитк ,пу (Р) + епу Фк ,пу (Р) + (р) = -8гк 8(р),

е']тпиткт (р) - КпФк,п] (р) = 0 (5)

к]тпитк т (р) - Ц']пХ¥ к т (р) = 0'

функции и(1) (р), Ф(1)(р), Т(1)(р) — решения уравне-

ний

c^Zí (р)+n ф(п) (р)+К- ^ (р ) = о, ¿fijum^ (р) -—фП (Р) = -8(Р),

himUZí (Р)-^-Л® (Р) = о, И2)(Р) Ф(2)(Р) щ(2)(

(6)

функции U( ;(р), Ф( ;(р), )(р) — решения уравнений

c;mnumn (Р) + e'nij Ф(П> (Р) + (Р) = 0,

—nU^nj (Р) -jí>$(p) = 0, himUmn, (Р)-^'nV(n7(p) = -5(р),

(7)

(8)

утп^ т,п] ? ]п ,пу

функции G из (4) в (5)-(7) вместе со своими производными обращаются на бесконечности в ноль, 8(р) — обобщенная дельта-функция Дирака.

На основе вспомогательных разложений

С(г) = С* + С' (Г), е(г) = е* + е' (г), 1(г) = 1* +11' (г), Х(г) = X* + X' (г),

ц(г) = ц*+ Д' (г), и(г) = и* (г) + и' (г),

ф(г ) = Ф* (г ) + ф' (г ), у(г) = у* (г) + у' (г) краевая задача (3) для пульсаций полей перемещений и'(г), электрического ф'(г) и магнитного у'(г) потенциалов примет вид:

С*тпи'т,п] (Г ) + в'щ Ф,п] (г ) + Ку У'п] (г ) = - § г (г )> е'тпи'тп (Г ) " Кпф'п] (г ) = - (1) (г ), Щтпи'тп (Г) " Ц*пУ'пу (г) = -^2) (г ), и'г = о, ф'г = о, у'г = 0,

где поля распределенных объемных сил §г (г) = §гу,у (г), электрических д(1)(г) = дг(У(г) и магнитных <%(2) (г) = = д°2 ^(г) источников введены через поля

§у (Г) = С'утп (Г)С - е'пу (Г)К - К] (Г)К (Г) -

-РУ(Г)©+С]тп (г)<п (Г) +~е'пу (Г)ф'п (г) +

+ К'пу (Г )у'п (Г ),

<!?(?) = е'утп (ОС + ^ 0" )Ё +П (Г )©- (10)

- ^ (Г )ф'п (Г ) + е тп (Г К,п (Г ),

j (Г ) = h'-тп (Г)C + Mjn (r )H + « (Г )©-

- М-п (Г)Vn (Г) + hjmn (ГK,n (Г ).

В результате перейдем от решения краевой задачи (9) к решению системы интегро-дифференциальных уравнений

u (Г) =1 uj (Г - Г1 )gj (Г1 )dki +

V

+ J u?\r - r^q (1)(Г1)а-1 +

V

+ J и}2)(Г - ^(г^,

V

Ф' (Г) =1Ф-(Г - г1)£/(г1№ +

V

+ J Ф(1)(г - r1)q(1) (г1 )dr1 + (11)

V

+ |ф(2)(Г - Г1^(2)(Г1^Г1,

V

у' (Г) = / — - Г[ )g- (Г[ )dr1 +

V

+ jY(1)(r - r1)^(1)(r1)dr1 +

V

+ |Т(2)(Г - Г1 )q(2)(r1)dr1.

V

После дифференцирования левых и правых частей уравнений (11), с учетом теоремы о свертках и «сингулярных составляющих» [4] вторых производных функций Грина

VVG (г - га)) = G s8(r - га)), (12)

где V — оператор дифференцирования по координатам вектора г, матрица

G4 =

Us -

w imjn

Us (1) Us (2)

U imn U imn

ф4 ф4(1) Ф4(2)

imn mn mn

imn mn

Vs(1) (2)

(13)

тензоров сингулярных составляющих вторых производных для функций Грина G из (4), получим систему алгебраических уравнений относительно пульсаций деформаций е'(г), напряженностей электрического Е'(г) и магнитного Н'(г) полей. Далее, на основе разложений

4 (г) = у (г)С+в'т (г) Ёп +

+ Djn (г)Н* + Т' (г)0,

К (г) = Ртп'(г)етп + Н^г )Кп + +м п'(г) Н* + Т(1)'(г )©,

Н' (г) = ^'(г) етп + Нгп2)'(г) Ё*п +

+ М гп2>'(г) Нп + Т(2)'(г) © перейдем к системе уравнений относительно полей А'(г), В'(г), ...,Т(2) (г). Отметим, что отклонения (8)

(14)

в (10) можно представить в виде: С '(г) = (С + С'(г), е'(г) = е + е'(г), ..., ц'(г) = ц + ц'(г), где С -<С>-С, е -<е>-е*, ..., ц -<ц>-ц^.

Для двухфазного (Р = 2) композита пульсации в (10), (14) _

С'(г) = Сю' (г), е'(г) = ею' (г), ..., ц'(г) = цю' (г), А'(г) = А 4 ю' (г), В'(г) = В 4ю' (г), ..., Т(2)' (г) = Т(2)4 ю' (г)

пропорциональны пульсациям ю' (г) индикаторной функции ю^ (г) включений, где тензоры разностей

С = С(1) - С(2), е = е(1) - е(2),

Ц - ц(1)

.(2)

А4 = А(1) - А'

Т(2)^ = т(2,1) ,

(2),

В4 = В(1)

В

(2),

г(2,2)

соответствующих значений во включениях и матрице композита. В результате получим четыре системы уравнений для определения искомых тензоров А4, В4, ...,

г(2)4.

а (1'1) Г + а (1>2) V (1)4 + а (^ V (2)4 = Ьт

aikdbAdbmn aikd 1 ¡тп т aikd 1 ¡тп ьгктп'

а (21А4 + а (2,2) 1(1)4 + а (2,3)1(2)4 = ь (2) (15)

akdb ^¡Ьтп akd гdmn^akd ^¡тп ~ ьктп' (15)

(3,1) 74 + (3,2)^(1)4 + (3,3)^(2)4 , (3) akdb Лdbmn + аЫ 1 ¡тп + akd 1 ¡тп - Ьктп,

а (1,1) о4 + а с,2) н (1)4 + а с,3) н (2)4 - „о aikdbBdbn aikd н ¡п + aikd н ¡п ~ Чкп,

а(2Д)д4 + (2,2) тт(1)4 + (2,3) н(2)4 = „(2)

аЫЬ ^¡Ьп + аЫ "¡п + аМ "¡п - Скп ,

(3,1)14 + (3,2)5(1)4 + (3,3) 77(2)4 = (3) akdЬBdЬn + akd "¡п + akd н ¡п - Скп ,

ааД) О4 + а<1,2>М (1)^ + аа3)М (2)4 - d(1)

aikdЬDdЬn + aikdMdn + аШ М ¡п - ¡Ля,

а(2,1) + а(2,2)М (1)4 + а(2,3) М (2)4 = d(2)

аШ ^¡Ьп + аЫ М ¡п + аЫ М ¡п - akn ,

а(3,1) 04 + а(3,2) М(1)4 + а(3,3) М(2)4 = a(3) akaь 0aьn + aka М ¡п + аы М ¡п - ¡кп ,

(1,2)77(1)4 , „(1,3)5(2)4 _ „(1)

а (1,1)^4 + а (1,2)Т (1) 4 аыЬ1 ¡Ь + aika 1 a

(1,3)Т (2)4 = г (1)

Jik ,

+ а}ы Ta

(2,1)14 + (2,2)1(1)4 + (2,3)1 (2)4 = г (2)

akaь 1aь + аы 1a + аы 1a - 1к ,

(3,1)14 + (3,2)1(1)4 + (3,3)1(2)4 - /.(3)

akaь1aь + аы 1a + aka 1a - Л , где коэффициенты

- Iikaь - п(гк) /4 (Смь +(1 - 2у1 ^мь) -

(16)

(17)

(18)

а.

(1,1) -■1МЬ

- п((й))4 ^ь +(1 - Км) -

- пт4 ^Ь +(1 - )>

aг(t<a2) - и^)/4 ^¡/4 +(1 - 2у1 )ea/4) -

- и^4 (*4a + (1- 2у1)Х4a),

а

(1,3)

- ^^) /4 ^¡/4 + (1 - 2У1 Ж-4 ) -

а

- иШ4 (Д4a + (1- 2^)^),

(2,1) -ыь

--ф / (Сыь + (1 ^^/ь)-

-фЦ4) 4 (^¡Ь +(1 -2vl)e4aь) -

-<Ф2)4 СКаь+(1-2^)^),

^и2) - -8ka + фк/4(е/4 +(1 -2у1 Ъ/4)-

(20)

(21)

-Ф^^4 (^4a + (1- 4a),

аИ3) - Ф1д4(ЖЦ4 +(1 - 2Ч %/4) -

^ +(1 -2vl)P4a), аыь>) - -Х¥/ <Cj4aь +(1 - 2у1 ')Cj4aь)-

-YkS) 4 (^Ь + <1-2vl)ëdb ) -

СКль +(1 -2vl)Й4aь), аИ2) - У/^¡/4 + (1 - ^¡/4 ) -

-YkS) 4 (^ +<1-2vl^Ja),

аЫ3) - + (haj4 +(1 - Ъ1 )Ж/4) -

-^)4 (Д4a +(1 -2vl)P4a), правые части для 1-й системы уравнений (15):

ь(1) -и4, С + и(1)4е + п(1)4ь

^^п (гк)/4 /4тп ^ (г^)4 4тп ^ (ik4тп>

ь(2) -Ф4 С +Ф(1)4е +Ф(2)4ж

кжп Щ4^/4тп 4тп к4 4тп'

ь(3) С +У(1)4е +У(2)4Ж

^п Щ4^/4тп Ъ 4тп Ъ 4тп>

для 2-й и 3-й систем уравнений (16), (17):

(1) — — Т 74 — _1- 7т(1)4 Т

„гы - п (г*)/4еп]4 +п (г*)4Л4п,

С(2) --Ф4 ,е. +Ф(1)4Х

С(3) - -У4 е + У(1)4Х

С*П Ц4еЩ4 ' Ь 4п'

a(1) --п/4 Ж +п(2)4п

¡гАи _ п(ik)/4пп14^п(ik)4^'^4n'

a(2) - -Ф4 п + Ф(2)4Й

¡АИ - Ф1д4Пп/4 +Ф*4 п4п,

a(3) - п + У(2)4П

¡■ап 1 kj4пnj4^ 1 Ь 1Л'4п'

и для 4-й системы уравнений (18):

г(1) --п4 в +п(1)4 п +и(2)4Л

1гк - п (гк)/4в/4 +п (гк)4 П4 +п (гк)4Л4'

/к(2) - -ФУв4 +Фк4)4П4 +Ф12)4Л4, (23)

/к(3) --/-4+^к4)4 П4+^к4)4 Л4.

В (19)-(23) индексы в круглых скобках (/к) обозначают выделение симметричной составляющей по этой паре индексов.

4. Сингулярные составляющие вторых производных функций Грина для пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности

В формулах (19)-(23) компоненты матрицы G4 из (13) тензоров сингулярных составляющих вторых производных для функций Грина G из (4), (12) вычисляются по формулам

(22)

(19) П/ -П/ т , итп -[n<1) ] тп ,

ц)(2) =ГЦ(2) 6 ти ти туи = [Фу ] , ти

Фт(1)=[Ф(1) ] , ти Ф)(2) ти =[Ф(2) ] [ ]ти

Т ^ =[?-! туи у ти Т)(1) _ ти = [Т(1) ] , ти

т ти2)=[Т(2) ] = ти ,

где оператор

1 2пп [...] =-— и. ти 0 0

'.ктки 8ш 0ё0ёр

(24)

(25)

действует на компоненты тензоров

4-1

и =

Лу + ' 7

А(1) а(2)

"(1) "(2) ц® = и-7 и(2) =

иг иу ^(1)> ц иу ^(2)>

_ ла) - - "(2) -

Ф = и■ Т = и-

Ф(1) = (Лг(1)и}1) -1) ^ Т(1) = "рир ^

Ф(2) = ^ирТ(2) = (лрцр -1)^,

в которых использованы обозначения Л = С* к к

у Сгтуи т и'

л(1) = е к к л(2) = й* к к

"г етт т и> "г "тт^т^и>

(26)

(27)

"ти кт кп, ^ Мтп кт кп,

т гп т и'

к1 = ±*п 0 со* ср, к2 = ^т 9 ап рр

а1 а2

к3 =-

1

(28)

(29)

со* 0,

р и 0 — полярные углы в сферической системе координат, поверхность эллипсоидального «зерна неоднородности» [4] задана равенством

£(Рг а )2 = 1 (30)

г=1

через значения главных полуосей а1 в (29), рг — координаты вектора р, рг = г - г^-.

Тензор и в (26) является симметричным: и у = и- (31)

с учетом симметрии Л- = Л - тензора Л. Действительно, в (26) компоненты

Л = С • кк= С • кк= С • к к = Л

уг С утт т и Сутт т и Сгт1и т и у

с учетом выражения (28) для Л- и известного свойства симметрии С'ит = Стуи к перестановке первой и второй пар индексов у тензора упругих свойств С^.

Таким образом, благодаря свойству симметрии (31) для и по индексам у и симметрии оператора [...] (25) по индексам тп компоненты иу в (24) будут

обладать симметрией по индексам внутри пар у и тп:

и ). = и ) - = и" ■ = и" ■

^ гтуи ^ гиут ^ утги ^ уигт

и в (27) будут выполняться равенства

и« =Ф, цр =Т. Отметим симметрию по индексам тп всех компонент матрицы G" (13) благодаря симметрии по этой паре индексов оператора (25).

5. Эффективные свойства композита

Тензоры эффективных упругих свойств С*, диэлектрической X* и магнитной ц* проницаемостей, пьезоме-ханических свойств е* и коэффициентов электромагнитной связи х*, к* и температурных напряжений Р*, вектора эффективных пироэлектрических я* и пи-ромагнитных ® постоянных композита, входящие в определяющие соотношения на макроуровне (2), могут быть вычислены по формулам

С* =(С) + АС,

X* = <Х> + А\ ц* = <ц> + А^, е* = <е> + Ае, h* = <11> + А(32) X* = Ах, к * = Ак, Р* = (Р> + Ав, я* = (я> +Ап, ®* = <®> + А® через поправки

Дути = (1 - )(CjdbAdbmи - еру^Р(и - "ру^ртпи ),

Д4и = V(1 - V )(КН{р1" + ё^Ц^ X Ль = *1 (1 - V! ШкрИ ^ + кыЦчп ), диу = V (1 - V )(еруНри) + "руНри) - ^Ли ), Л"иу = 11 (1 - 11 )(/ ^" + "руМРи" - /Ъ) ),

Лки = 11 (1 -11 )(1крМ ри" + е^Ци ),

дь = V(1 - V )(РкрНрри^' + К.Ци), 4 = (1 - VI Х-уг) + ёруТ^" + "РуТР2)"), дп = !1(1 - ч^рТръ"+ёрмт;ч),

Л® = !1(1 - VlЩpTp2)s+\qTTq) к соответствующим осредненным по объему значениям <С>, <®> (32).

6. Численный расчет

Проведем расчет эффективных коэффициентов электромагнитной связи трансверсально-изотропного пьезоэлектромагнитного композита: пьезоэлектрическая матрица PVF с ориентированными пьезомагнит-ными эллипсоидальными включениями (30) в сингуляр-

(33)

ном приближении (32), (33) со средой сравнения (5)-(7): С = <с>, е-=<е>, h•=<!!>, Г =<Х>, ^=<ц> в сравнении с точным аналитическим решением для слоистого композита.

Независимые упругие, диэлектрические и пьезоме-ханические постоянные трансверсально-изотропных электроупругих свойств матрицы полимерного пьезо-электрика PVF с осью симметрии г3 приведены в [1, 2]: упругие постоянные

С1(121)1 = 0.86 • 1010 Па, С1(1222 = 0.56 • 1010 Па, С1(123)3 = 0.54 • 1010 Па, С3(323)3 = 0.71 • 1010 Па,

С1(321)3 = 0.10 •Ю10 Па, относительные диэлектрические проницаемости

А^До = 14.7, А^До = 12.4, пьезоэлектрические постоянные

еЗЦ = -1.1 Кл/м2, е(() = 2.9 Кл/м2, = 2.3 Кл/м2,

А о = 8.85-10-12 Ф/м — диэлектрическая проницаемость вакуума. Дополнительные ненулевые компоненты тензоров С(2), е(2) и X(2) могут быть выражены через значения независимых компонент по формулам

С (2) = С (2) С (2) = С (2) С (2) = С (2) С2222 _ С1111, С2233 _ С1133, С2323 _ С1313,

С(2) = (С(2) - С(2) )1( С1212 (С1111 С1122П2,

е(2) = е(2) е(2) = е(2) А(2) =А(2) е322 _ е311, е223 _ е113^ 22 11 •

Изотропные упругие свойства пьезомагнитных включений заданы [3] через независимые компоненты тензора упругих свойств

С1(Ц1 = 22-1010 Па, С^ = 5.5-1010 Па, трансверсально-изотропные магнитные свойства с осью симметрии г3 заданы через пьезомодули

^311 = ^322 = -400 Тл, й(3)3 = 800 Тл, Л1(1( = ^ = 200 Тл, /£( = —Л2\)( = 100 Тл и магнитные проницаемости

ц® = ц(22 = 3.14-10-5 Тл • м/А, ^(13 =2.51-10-5 Тл-м/А.

Отметим, что ненулевые компоненты тензоров С, е и h определяются с учетом симметрии С = С = С = С

^1]тп ^тт] ^]гтп ^1]пт'

е. = е- =

гтп гпт' гтп тт'

Ненулевые магнитные проницаемости для пьезоэлектрической матрицы ц(() = Ц(2) = м4() полагали равными магнитной постоянной вакуума ц0 = 1.256-10-6Тл-м/А, а

диэлектрические проницаемости магнитных включений

А(1) =А(1) =А(1) =А А11 =А 22 =А33 =А0.

На рис. 1 приведены эффективные отличные от нуля коэффициенты электромагнитной связи к*1, к33 и к*2 пьезоэлектромагнитного композита с ориентирован-

нКл/(А- м)

Рис. 1. Эффективные коэффициенты электромагнитной связи пьезо-электромагнетика к*[ (а), к*3 (б) и к*( (в)

ными пьезомагнитными эллипсоидальными включениями в пьезоэлектрической матрице в зависимости от относительного объемного содержания включений v1. Использованы следующие обозначения: слои, q ^ 0 (о); диски, q = 0.2 (-), 0.5 (+); шары, q = 1 (•); иглы, q = 2 (д), 5 (х), 10 (ж); волокна, q ^ ^ (в) для различных

геометрических форм эллипсоидальных включений; параметр q = аа^) при а1 = а2, где а1 — главные полуоси включений (30). На рис. 1 приведены результаты точного аналитического решения для слоистых структур (■), совпадающего с решением рассматриваемого сингулярного приближения при переходе к пределу а1(2) а3 = 1 (д ^ 0). Решения для слоистого композита и композитов с однонаправленными волокнами и шаровыми включениями выделены полужирными кривыми. Отметим выполнение равенств

Х11 =к11, %12 =-Х21 =-К12 =К21, Х33 = К33

и дополнительно х22 =Х11, к22 = к11 для ненулевых компонент тензоров % , к* эффективной электромагнитной связи.

7. Заключение

Получено новое решение связанной краевой задачи электромагнитоупругости в обобщенном сингулярном приближении статистической механики композитов на основе новых решений для сингулярных составляющих вторых производных функций Грина для однородной

трансверсально-изотропной пьезоэлектромагнитной среды с эллипсоидальным зерном неоднородности. Представлены результаты расчета в сингулярном приближении коэффициентов электромагнитной связи для пьезо-электрика PVF с пьезомагнитными эллипсоидальными включениями. В частном случае, для слоистого композита из чередующихся пьезоэлектрических и пьезомаг-нитных слоев результаты расчета в сингулярном приближении совпали с точным аналитическим решением.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ-Урал № 10-01-96047-р_Урал_а.

Литература

1. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультра-

акустике. - М.: ИИЛ, 1952. - 448 с.

2. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлект-

рических и электропроводных тел. - М.: Наука, 1988. - 472 с.

3. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Лещенко П.В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов. -Киев: Наукова думка, 1989. - 208 с.

4. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1976. - 400 с.

Поступила в редакцию 24.01.2011 г.

Сведения об авторе

Паньков Андрей Анатольевич, д.ф.-м.н., проф. ПГТУ, mkmk [email protected]