КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

УДК 517.95

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩЕЙ В ДВУХСКОРОСТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

Х. Х. Имомназаров, И. К. Искандаров, С. Б. Куйлиев, М. В. Урев

Аннотация. В полуплоскости рассматривается стационарная система двухско-ростной гидродинамики с одним давлением и однородными дивергентными и краевыми условиями для двух скоростей. Данная система является переопределенной. Решение данной системы сводится к последовательному решению двух краевых задач: задачи Стокса для одной скорости и давления и переопределенной системы для другой скорости. При надлежащем выборе функциональных пространств доказаны существование и единственность обобщенного решения с соответствующей оценкой устойчивости.

Б01: 10.25587/8УРи.2022.17.23.002 Ключевые слова: переопределенная стационарная система двухскоростной гидродинамики, задача Стокса, уравнение Пуассона, полупространства, вязкая жидкость.

В данной работе рассматривается краевая задача в полуплоскости К+ = ^ = (х1;х2) € К2 : х2 > 0} двумерного евклидова пространства с границей Б = {(х1, 0) : х1 € К} для линеаризованной стационарной системы уравнений двухскоростной гидродинамики с однородными краевыми условиями нелинейной модели В. Н. Доровского [1-3]

^1Дц1 — Ур = -р{, и1 = 0 в К+, = 0, (1)

^2 АИ2 — Ур = —рf, И2 = 0 в К+, И2 = 0, (2)

и условием ограниченности |и^(х1 ,х2)| при х2 ^ где f = (/1; /2)- массовая сила, щ = (п^1, щ2), г = 1, 2, У — оператор градиента по x = (х1, х2) , р = р1 +р2, р^ — парциальная плотность г-й фазы, и1 и у2 — соответствующие сдвиговые вязкости фаз.

Решение системы (1), (2) с одним давлением р сводится к последовательному решению двух краевых задач. Сначала решается задача Стокса (1) для

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант N0. 21-51-15002).

© 2022 Имомназаров Х. Х., Искандаров И. К., Куйлиев С. Б., Урев М. В.

ui и p, а затем при найденном давлении p из решения задачи (1) определяется скорость u2 как решение задачи

Au2 = F, div u2 = 0 в R2+, u2|<? = 0, где F = — (Vp-pf). (3)

v2

Другими словами, давление p перенормирует массовую силу f и поле скорости u2 является соленоидальным решением краевой задачи для векторного уравнения Пуассона. В стационарном случае, когда имеет место равновесие фаз по давлению и диссипация энергии происходит только за счет вязкостей фаз, система уравнений (1), (2) оказывается переопределенной [4]. В ограниченной области О С R3 система (1), (2) с неоднородными условиями рассматривалась в [5].

Обобщенное решение системы (1), (2) в двумерных неограниченных областях, в частности в полуплоскости, имеет существенное отличие от трехмерного случая. Именно, в двумерном случае для скоростей невозможно удовлетворить наперед поставленным условиям на бесконечности и ставится условие ограниченности на бесконечности. В [6] показано, что обобщенное решение u1 задачи Стокса (1), принадлежащее V(R+), которое определено в п. 3, имеет вполне определенный предел lim u1(x) = u°° = const, если f имеет компактный но-

Х2 —^ +

ситель или достаточно быстро убывает при |x| ^ Таким образом, вектор

u°° определяется f и не может задаваться произвольно. Напротив, в трехмерном случае на бесконечности возможно задание произвольного постоянного вектора [7, с. 58].

Задаче Стокса в неограниченных областях, в частности, в полупространстве R+, n > 2, посвящено большое число работ, см., например, [6-16] и имеющиеся там ссылки.

В п. 2 получено небольшое изменение двумерного неравенства Лерэ для внешности единичного круга [7, с. 24] на случай полуплоскости R+. Это позволило ввести функциональное пространство V01 (R+) и установить разрешимость уравнения Пуассона в этом пространстве.

В п. 3 рассматривается обобщенное решение системы (1), (2) в полуплоскости R+.

1. Вспомогательные сведения

Пространства, состоящие из вектор-функций u = (ui, u2), и векторы будем набирать полужирным шрифтом. Кроме того, будем применять следующие обозначения:

(xi,X2), |u| = (ui + u2)1/2, |ux| = |Vu| = ( u2

1/2

\i,k=1 /

Пусть C°°(R+) — множество всех бесконечно дифференцируемых финитных в

полуплоскости R+ функций, C°(R+) := (C°°°(R+))2, L2(R+) := R+))2 —

x

гильбертово пространство вектор-функций и(х) = ("^(х), щ2(х)) с компонентами щ из Ь2(К+). Скалярное произведение в Ь2(К+) определяется равенством

(и, V) ^ У и • V ^Х ^ У (щ1^1 + щ2«2) ¿X.

к+ к+

Пусть и(х) — произвольная бесконечно дифференцируемая финитная в К+ функция. Тогда для нее верно неравенство

щ2 (х)

[--сЬс < 4 [ и2 (х) сЬс.

У (3 + ж2)21п (3 + ж2) "У ^ ;

(4)

Действительно,

2 [их 1 ¿х = /' 1

У Ж2 (3 + ж2) 1п(3 + ж2) У <9ж2 (3 + ж2) 1п(3 + ж2)

к+ к+

У М <9ж2 ((3 + Ж2) 1П(3 + ж2))

к+

щ2 щ2

ах + / -^-ох

(3+ х2)2 1п(3 + х2) У (3+ х2)2 1п2(3 + х2)

> / -^-¿X.

"У (3+ х2 )2 1п2(3+ х2)

Применим неравенство Коши — Буняковского:

[ и2 [ 1 / -о- ох < 2 / их„и--—----ох

У (3 + ж2)21п (3 + ж2) " У 2 (3 + ж2) 1п(3 + ж2)

< 2 / —--^Ц—-- йх / < ¿х

1/2 /Г \ 1/2

-О--I ( / И2 I

(3+ х2)2 1п2 (3+ х2) У VУ Х2

к+ к+

Отсюда следует неравенство (4).

Аналогично можно получить неравенства

[_^_¿х<1 [_Щ_¿X,

У (3 + х2)4 1п4(3 + х2) "9У (3+ х2)2 1п2(3 + х2)

к+ к+

1 С?х<4 [ и2 2(х)сгх.

У (3 + х2)2 1п2(3 + V

к+ к+

Введем в С^ (К+) скалярное произведение

[щ,.] = /(Ущ •У.) ¿Х = /(щ^1 + ) ^ (5)

++

+

+

+

Из неравенства (4) видно, что (5) действительно определяет скалярное произведение в С0°(М+), которому соответствует норма

1М1сг(14) = VIй,и}-

Обозначим через V01(R+) пополнение 60° (R+) в метрике, соответствующей этому скалярному произведению и с соответствующей этому замыканию нормой IM|yoi(K2j, u е V0)1(R+). После замыкания по норме пространства V01(R+) неравенство (4) становится верным для всех u е V0)(R+).

Покажем, что на каждой линии Г^ = R+ П (ж2 = h) для п. в. h > 0 функция u е V01(R+) квадратично суммируема и u = 0 как элемент L2(r0). Для u е C0"(R+) имеем

(h \ 2 h У ux2 dx2 1 < hj uX2 dx2 < h J u^2 dx2. (6)

о/о о

Проинтегрируем обе части неравенства (6) по линии Г^

У u2(x1;h) dx1 < hj uX2 dx < hj |Vu|2 dx = h||u||Vi(R+). (7)

R R+ R+

В неравенстве (7) выполним замыкание в норме пространства V01(R+), после чего (7) становится верным при п. в. h > 0 для любой u е V01(R+). Теперь из (7) следует, что u|rh е L2(rh), u е V01(R+) при п. в. h > 0 и

lim / u2(x1?h) dx1 = 0.

h^o J

Обозначим через V—1(R+) пространство ограниченных линейных функционалов над V01(R+). Рассмотрим для уравнения Пуассона в R+ обобщенную постановку в V01 (R+) задачи Дирихле

-Au = f в R+, u|S = 0.

Для f е V— 1(R+) требуется найти u е V01(R+):

[u, v] = f (v) Vv е V01(R+). (8)

Коэрцитивность левой части очевидна, так как [u, u] = || Vu|L2(r+ ) = I|u||yi(R+). Теперь существование и единственность решения u е V01(R+) задачи (8) следует из леммы Лакса — Мильграма с оценкой

||u|k (R+) = ||Vu|L2(R+) < ||f У V-i (R+).

Пусть ш(ж2) = (3+Ж2) 1п(з+Ж2) ^ £2,w(R+) = {и:ш€12(му}. Функционал / в правой части (8) часто имеет вид обычной функции f (x), которая определяет функционал f (x) е V—1(R+), если f (x) е L2jW-i (R+) и

f(v) = (f,v) Vv е V01(R+),

где (■, ■) — скалярное произведение в Ь2(М+). Покажем непрерывность линейной формы (/, V) на ). Из неравенства (4) следует, что

)• (9)

Применяя неравенство Коши — Буняковского и неравенство (9), получим (/» = — |/Нь2ш_1 (К+)У«|Ь2,Ш(К+) — С11 ^1 Уд1 (К+)'

гДе С = 2||/Уь2,ш_1 (К+).

2. Обобщенное решение

системы (1), (2) в полуплоскости М+

Обозначим через Л(М+) множество бесконечно дифференцируемых финитных в М+ соленоидальных векторов. В Л(М+) введем скалярное произведение

[и,у] = ^ (иж1 ■ + их2 ■ х = J их : Ух ¿х.

Из (4) получим неравенство

1|и||ь2,„(к+) — 2|ихУь2(к+) уи € С~(М+), (10)

из которого следует, что [и, у] действительно определяет скалярное произведение в Л(М+) С С^(М+), которому соответствует норма

Ни1Ь(1ф = ^[и,и] = ||их||Ь2(1;^.

Обозначим через У(М+) пополнение Л(М+) по введенной норме с соответствующей этому замыканию нормой ||и||-у(К+), и € V(R+). Легко видеть, что является замкнутым подпространством в пространстве вектор-функций

VI (М

+ ) = (^ОВД . После замыкания по норме пространства ^^^ неравенство (10) становится верным для всех и € V)1(М+).

Перейдем к рассмотрению задачи Стокса относительно (и1;р):

^1Ди1 -Ур = -f1, и1 = 0 в М+, и1|^ = 0, (11)

где fl = ^.

В работах О. А. Ладыженской [7, 8] предложена и исследована обобщенная формулировка задачи Стокса (11) в пространстве V(О) для любых областей О С Мп, п = 2, 3 (О = М2), в частности, для О = М+: найти функцию и1 € V(М+), для которой выполняется тождество

V)[иь v] = (fl, V) Уу € V(М+)• (12)

Оказывается [7,8], (12) несет ту же информацию, что и система (11), и позволяет полностью отделить нахождение и1 от р. Последующее нахождение р

следует из теоремы, доказанной О. А. Ладыженской [7, с. 42]. Из этой теоремы следует разложение Вейля для случая ограниченной области с достаточно гладкой границей [7, с. 41], которое также справедливо и для полуплоскости М+ [9, с. 43]. Пространство Ь2(М+) раскладывается в прямую сумму

Ь2(М+) = Л(М+) Ф С(М+)

замкнутых подпространств соленоидальных и потенциальных векторных полей.

Для краткости обозначим X = У1(М+), М = Ь2(М+), X* — сопряженное пространство для пространства X с нормами || ■ Ух = || ■ Н1Д+, II ■ Ум = || ■ ||0д+, II ■ ||х* = || ■ ||-1,к+, и пусть (■, ■) — отношение двойственности между элементами X* и X. Система (11) является стационарной задачей Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости в полуплоскости М+. В качестве ее обобщенной постановки примем широко распространенную смешанную формулировку в исходных переменных: для заданной 1 € X* требуется найти вектор-функцию и1 € X и функцию р € М, удовлетворяющие равенствам ( «1(и1, V) + &1(у,р) = (11, V), V € X,

I Ыи ,д) = 0, д € М, ( )

и оценке

||и1||1Д+ + ||р||од+ < С||11 ||-1,ж+, (13)

где билинейные формы а1(-, ■) : X х X ^ М и Ь1(-, ■) : X х М ^ М определяются как

—Г—}

V(М+) = {V € у!(М+) : V = 0}.

и, V е х,

1 дх дх I

1,3=1

6^,9)= -(д, div V), V € X, д € М.

Обозначим через V (М+) замкнутое подпространство в V1 (М+), определяемое как

Хейвудом доказано [10, теорема 9], что "V(М+) = V(М+) (в его обозначениях ^о(М+) = ^о(М+)).

Теорема. Для задачи Стокса (11) существует единственное обобщенное решение (и1 ,р) € V¿(М+) х Ь2(М+) как решение системы (12) с оценкой (13).

Доказательство. Для доказательства существования и единственности решения задачи (12) вместе с оценкой (13) нужно показать [16, с. 61], что билинейная форма а1(-, ■) является V(М+ )-эллиптичной, т. е. существует такая положительная постоянная а > 0, что

V € V(М+), (14)

и билинейная форма Ь1(-, ■) удовлетворяет inf-sup условию (15): существует константа в > 0 такая, что

Ш вир Ц Ь^ЛГ,',<1} > /3- (15)

чемуех |М|х||д||м

Неравенство "V(R+J-эллиптичности (14) очевидно, так как

oi(v, v) = viyvy?iK+, v G "V(R+).

Для доказательства (15) рассмотрим дивергентную задачу: дана q G M, требуется найти vo G X:

div vo = -q в R+, (16)

||vo||i,R+ < C||q||o,R+. (17)

Решение более общей дивергентной задачи (16) в R+, n > 2, с соответствующей оценкой решения получено в явном виде М. Е. Боговским [9, с. 65; 11]. Для нашего гильбертова рассмотрения это будет соответствовать существованию решения уравнения (16) с оценкой (17). Пусть теперь q — любая функция из M. Функции q сопоставим вектор-функцию v0 G X, являющуюся решением задачи (16) с оценкой (17). Имеем

bi(v,qK bi(vo,q) 1 f 2, \А 1 и и sup li-f,- > ||-г,- > 77й—fj- / q x dx = -

vex ||v||i,R+ IIvoУi,R+ Cl|qHo,R+ J C +

+ + + R+

что доказывает (15) с в = C-i. Таким образом, получаем существование и единственность обобщенного решения (ui,p) G X х M задачи Стокса (11) с оценкой (13). □

Перейдем к рассмотрению второй системы уравнений относительно скорости u2 второй фазы жидкости с уже известным давлением p G M:

Au2 = f2, divu2 = 0 в R+, u2|S = 0, (18)

где f2 = v—i(Vp - fi).

Для p G M = L2(R+) градиент Vp есть линейный непрерывный функционал над пространством X = Vi (R+), действующий по правилу

(Vp, v) = — J p(x) div v(x) dx, v G X,

R+

т. е. Vp G X* = V-i(R+).

Лемма. Справедливо неравенство

||p||o,R+ < K|Vp|_iiR+, p G M,

где K > 0 — постоянная.

Доказательство. Имеем

(Vp v) 1 f

IIvpII-i,r2 = sup li^-i- = sup ——- / p(x) div v(x) dx.

+ vex ||Vv||oiR+ vex ||Vv||o,R+ J

+ + R+

Для р € Ь2(М+) возьмем v0 € X как решение дивергентной задачи (16) с оценкой (17). Тогда

||УР||_1Д, > + ^^-^ЬИодъ рем. + ||^|од+ +

Таким образом, в задаче (18) правая часть ^ € X* С V*(М+). Обобщенное решение переопределенной задачи (18) будем искать в подпространстве V(М+) соленоидальных векторных функций. Требуется найти и2 € V(М+):

(VU2, Vv)од+ = (12, ^-МД+, V € V(М+). (19)

Имеем

^и, Vu)о,R+ = ||иП2,ж+, и € V(М+),

т. е. билинейная форма в левой части (19) V(М+) коэрцитивна. Правая часть в (19) является линейным непрерывным функционалом над элементами пространства V(М+). Тогда по лемме Лакса — Мильграма задача (19) имеет единственное решение и2 € V(М+) и

|| и2 || 1Д+ < С ||12||-1Д+ .

3. Заключение

Таким образом, в полуплоскости М+ рассмотрена краевая задача с однородными дивергентными и краевыми условиями для переопределенной стационарной системы двухскоростной гидродинамики. При надлежащем выборе функциональных пространств доказана корректность обобщенного решения. Получена оценка устойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Доровский В. Н., Перепечко Ю. В. Теория частичного плавления // Геология и геофизика. 1989. № 9. С. 56-64.

2. Baishemirov Z., Tang J.-G., Imomnazarov Kh., Mamatqulov M. Solving the problem of two viscous incompressible fluid media in the case of constant phase saturations // Open Engineering. 2020. V. 6, issue 1. P. 742-745.

3. Kuyliev S., Imomnazarov Kh., Iskandarov I. The regularity of a Stokes-type problem for a stationary system of the two-velocity hydrodynamics on the plane // AIP Conference Proceedings 2365, 070006 (2021)

4. Жабборов Н. М., Имомназаров Х. Х. Некоторые начально-краевые задачи механики двухскоростных сред. Ташкент, 2012.

5. Урев М. В., Имомназаров Х. Х., Жиан-Ган Тан. Краевая задача для одной переопределенной стационарной системы, возникающей в двухскоростной гидродинамике // Сиб. журн. вычисл. математики. 2017. Т. 20, № 4, С. 425-437.

6. Попов А. Н. Применение теории потенциала к решению линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса в двумерном случае // Тр. МИАН СССР. 1971. Т. 116. С. 162-180.

7. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

8. Ладыженская О. А., Солонников В. А. О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье — Стокса. // Зап. науч. сем. ЛОМИ, 1976, Т. 59. С. 81-116.

9. Боговский М. Е. Аналитико-численные методы для уравнений Навье — Стокса. М.: РУДН, 2008. (Инновационная образовательная программа Российского университета дружбы народов).

10. Heywood J.G. On uniqueness questions in the theory of viscous flow // Acta Math. 1976. V. 136. P. 61-102.

11. Боговский М. Е. Решение некоторых задач векторного анализа, связанных с операторами div и grad // Тр. семинара С. Л. Соболева. Вып. 1. Новосибирск: ИМ СОАН СССР, 1980. С. 5-40.

12. Дубинский Ю. А. Об одном неравенстве типа Харди и его приложениях // Тр. МИАН. 2010. Т. 269. C. 112-132.

13. Дубинский Ю. А. Двусторонние шкалы неравенств Харди и их приложения к некоторым задачам математической физики // СМФН. 2012. Т. 46. С. 49-91.

14. Boulmezaoud Tahar Z. On the Stokes system and on the biharmonic equation in the halfspace: an approach via weighted Sobolev spaces // Math. Meth. Appl. Sci. 2002. V. 25. P. 373-398.

15. Tanaka N. On the boundary value problem for the stationary Stokes system in the halfspace // J. Differ. Equ. 1995. V. 115. P. 70-74.

16. Girault V., Raviart P.-A. Finite element methods for Navier—Stokes equations. Berlin: Springer-( Verl., 1986.

Поступила в редакцию 15 января 2022 г. После доработки 15 января 2022 г. Принята к публикации 28 февраля 2022 г.

Имомназаров Холматжон Худайназарович Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. Академика Лаврентьева, 6, Новосибирск 630090 [email protected]

Искандаров Илхом Кучкарович Тихоокеанский государственный университет, Тихоокеанская ул., 136, Хабаровск 680035 [email protected]

Куйлиев Сарвар Бахрон угли Самаркандский государственный университет, Университетский бульвар, 15, Самарканд 140104, Узбекистан [email protected] Урев Михаил Вадимович

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, пр. Академика Лаврентьева, 6, Новосибирск 630090 [email protected]

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2022. Том 29, № 1

UDC 517.95

A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ONE

OVERDETERMINED SYSTEM ARISING

IN TWO-VELOCITY HYDRODYNAMICS

Kh. Kh. Imomnazarov, I. K. Iskandarov, S. B. Kuyliev, and M. V. Urev

Abstract: In the half-plane R+, we consider a stationary system of two-velocity hydrodynamics with one pressure and homogeneous divergent and boundary conditions for two velocities. The system is overdetermined. The solution to this system is reduced to a consistent solution of the two boundary value problems: the Stokes problem for one velocity and pressure and the overdetermined system for a different velocity. For an appropriate choice of function spaces, the existence and uniqueness of the generalized solution with a corresponding stability estimate is proven.

Keywords: overdetermined two-velocity stationary hydrodynamics system, Poisson equation, Stokes problem, half-space, viscous liquid.

REFERENCES

1. Dorovsky V. N. and Perepechko Yu. V., "Theory of partial melting," Geol. Geofiz., No. 9, 56-64 (1989).

2. Baishemirov Z., Tang J.-G., Imomnazarov Kh., and Mamatqulov M., "Solving the problem of two viscous incompressible fluid media in the case of constant phase saturations," Open Eng., 6, No. 1, 742-745 (2020).

3. Kuyliev S., Imomnazarov Kh., and Iskandarov I., "The regularity of a Stokes-type problem for a stationary system of the two-velocity hydrodynamics on the plane," AIP Conf. Proc., 2365, 070006 (2021).

4. Zhabborov N. M. and Imomnazarov Kh. Kh., Some Initial-Boundary Value Problems Mechanics of Two-Velocity Media [in Russian], Tashkent (2012).

5. Urev M. V., Imomnazarov Kh. Kh., and Zhian-Gan Tan, "A boundary value problem for one overdetermined stationary system arising in a two-velocity hydrodynamics," Numer. Anal. Appl., 20, No. 4. 347-357 (2017).

6. Popov A. N., "Application of potential theory to the solution of a linearized system of Navier-Stokes equations in the two-dimensional case [in Russian]," Tr. MIAN USSR, 116, 162-180 (1971).

7. Ladyzhenskaya O. A., Mathematical Issues of Dynamics of a Viscous Incompressible Fluid [in Russian], Nauka, Moscow (1970).

8. Ladyzhenskaya O. A. and Solonnikov V. A. , "Some problems of vector analysis and generalized formulations of boundary-value problems for the Navier-Stokes equations," J. Math. Sci., No. 10, 257-286 (1978).

9. Bogovsky M. E., Analytical and Numerical Methods for the Navier-Stokes Equations [in Russian], RUDN Univ., Moscow (2008).

© 2022 Kh. Kh. Imomnazarov, I. K. Iskandarov, S. B. Kuyliev, M. V. Urev

10. Heywood J. G., "On uniqueness questions in the theory of viscous flow," Acta Math., 136, 61-102 (1976).

11. Bogovsky M. E., "Solving some problems of vector analysis related to the div and grad operators [in Russian]," in: Proc. S. L. Sobolev Seminar, No. 1, pp. 5-40, Inst. Mat., Novosibirsk (1980).

12. Dubinskii Yu. A., "A Hardy-type inequality and its applications," Proc. Steklov Inst. Math., 269, 106-126 (2010).

13. Dubinskii Yu. A., "Bilateral scales of Hardy inequalities and their applications to some problems of mathematical physics," J. Math. Sci., 201, No. 6, 751-795 (2014).

14. Boulmezaoud Tahar Z., "On the Stokes system and on the biharmonic equation in the halfspace: an approach via weighted Sobolev spaces," Math. Methods Appl. Sci., 25, 373-398 (2002).

15. Tanaka N., "On the boundary value problem for the stationary Stokes system in the halfspace," J. Differ. Equ., 115, 70-74 (1995).

16. Girault V. and Raviart P.-A., Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations, Springer, Berlin (1986).

Submitted January 15, 2022 Revised January 15, 2022 Accepted February 28, 2022

Kholmatzhon Kh. Imomnazarov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, 6 Lavrentiev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia [email protected]

Ilkhom K. Iskandarov Pacific State University,

136 Tikhookeanskaya Street, Khabarovsk 680035, Russia [email protected]

Sarvar B. Kuyliev Samarkand State University,

15 Universitetskii Boulevard, Samarkand 140104, Uzbekistan [email protected] Mikhail V. Urev

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics, 6 Lavrentiev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia [email protected]