Краевая задача для одного неоднородного метагармонического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Киселевская С.В.1, Гемба В.Н.2

!К.ф.-м. н., доцент, кафедра математики и моделирования, Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, 2к. э. н., доцент, кафедра математики и моделирования, Тихоокеанский государственный экономический

университет

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕОДНОРОДНОГО МЕТАГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Аннотация

В работе изучается сингулярная эллиптическая краевая задача в области на конусе, содержащей его вершину - особую точку. Определяются новые функциональные пространства, которые совпадают с пространствами Соболева-Никольского-Бесова вне особой точки. Также вводится понятие сигма-следа в особой точке.

Ключевые слова: сингулярные эллиптические краевые задачи, функциональные пространства, особые точки, операторы преобразования, 0 -след.

Keywords: singular elliptic boundary problem, functional Spaces, special points, 0 -traces.

В последние десятилетия построена общая теория эллиптических задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, ребра. Одной из основных работ здесь является монография С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского [10]. Также можно отметить работы М. Костебеля, М. Доуж и др. (см. [11] и ссылки там), в которых рассматриваются как общие эллиптические системы, так и некоторые прикладные задачи электро- и магнитостатики. Рассмотренные в указанных работах особенности решений в угловых точках нами считаются слабыми и в рамках данной работы будут относится к регулярным - здесь речь идет о степенных особенностях с положительным показателем степени. В данной работе мы изучаем особенности, которые нельзя даже отнести к степенным, поскольку они структурно совпадают с изолированными особенностями аналитических или гармонических функций. Некоторые результаты по этой тематике опубликованы в [3-5].

Обозначим через Qr , 0 < R £ ¥ , открытый круговой конус с вершиной в точке

OQ с образующими длиной R и углового размера Ф , при этом под угловым размером понимается раствор сектора, получающийся из конуса путем разрезания его по одной из образующих и последующим развертыванием в плоский сектор S. Для определенности будем считать, что Ф < 2p , случай Ф = 2p был разобран одним из авторов в работе [8].

Рассмотрим ограниченную область W q с q , для которой вершина конуса OQ является граничной точкой, изолированной от остальной части границы, последнюю мы будем считать гладкой кривой класса C¥ и обозначать через Gq .

Обозначим через R , 0 < R < ¥ , максимальное расстояние от вершины конуса OQ до границы Gq , а через Ro > 0 - минимальное расстояние от вершины конуса OQ до границы GQ .

В дальнейшем, для определенности, мы будем считать, что операция R указанного разрезания (с последующим развертыванием) производится по образующей, проходящей через одну из наиболее удаленных от вершины точек границы GQ .

Положим - SR С R2, 0 - д, G - причем пусть, не ограничивая

общности, точка 0 - совпадает с началом координат на плоскости R2. Граница

области 0 С SR С R состоит из нескольких частей - точки О, разорванной гладкой

кривой G и двух отрезков G , G" , являющихся образами преобразования ' берегов выбранного разреза, причем пусть поворот от G/ к G" , происходящий по области 0 , осуществляется против часовой стрелки и пусть отрезок G/ лежит на оси абсцисс.

Исходная цель состоит в постановке и изучении эллиптической краевой задачи в

области 0 д на конусе, однако используя преобразование ', мы рассмотрим ее сразу в

области 0 на плоскости. Обратным преобразованием ее можно трансформировать на конус.

Наглядно указанная конфигурация проиллюстрирована на рис. 1.

Введем стандартные полярные координаты г > 0, <р е [0,2р ] . Оператор Лапласа в полярных координатах имеет вид

1 а ( а ^ 1 а

А = - — r 3 r

\

3.

+

r2 3j2'

(1) (2)

Рассмотрим краевую задачу вида

А u - 12u = f (x), xe W с краевым условием на части границы G

u|g = g(x), xe G,

и в точке О

0 uO = y (j ), j e [0,Ф ], (3)

при дополнительном условии периодичности с периодом Ф (условие П ) по угловой переменной j всех участвующих в этой задаче функций - это, по сути дела, есть краевое условие на частях границы G , G" . Понятие сингулярного сигма-следа 0 u 10 будет введено ниже.

Далее потребуются два класса функциональных пространств, условно называемые нами сингулярными и регулярными. В сингулярные пространства будут входить функции

с сильными особенностями в особой точке, а в регулярные - со слабыми (т. е., условно говоря, регулярными) особенностями.

Введем функцию гладкой срезки X (г), Г > 0, - бесконечно дифференцируемую функцию, равную 1 при 0 £ Г £ 1 и нулю при г > 2, и положим X R(г) = X (г/Я).

Обозначим через Н31ос (0 \ О) пространство, состоящее из функций / таких, что при любом Я £ (0, Я ) функция (1 - X я )/ будет принадлежать пространству Н3 (0 ), где 2Я0 > 0 - минимальное расстояние от точки О до части границы G. Здесь и далее символ Н3 ( ° Ж^) обозначает пространства Соболева-Никольского-Бесова.

Наделим пространство Н^ос (0 ) топологией, определяемой семейством полунорм

||/||Н* = Рз,я (/) = ||(1 - X Я )А\Н*(0 ), 0 < Я < Я0 . (4)

1ос ^ '

Данная топология превращает Н3ос (0 ) в полное топологическое векторное пространство. Функции из пространства Н'3ос (0 ) вне любой окрестности вершины

сектора устроены так же, как и функции из Н3, а в самой вершине могут иметь произвольную особенность.

Введем преобразование

Пф : /(г,Ф) □ (Пф/)(г,Ф) = /(г,2рф /Ф),

являющееся указанной выше заменой угловой переменной (подразумевается, что G отождествляется с областью G" при этом преобразовании). При этом область 0 преобразуется в ограниченную область П ф 0 = 0 П с гладкой границей Пф G = Gп .

Обозначим через С (0 ) такое множество функций, что П ф С (0 ) = С°° (0 р ). Введем

теперь пространство Н3 (0 ) как подпространство пространства Н3(0 ), получаемое

замыканием линеала СП (0 ) по норме пространства Н3 (0 ):

Мнп (0)

2

X ( <30 = Л

0 v

= а1 / а х1, Dm = ат / а х*

2

¿2(0 )

где частные производные Dx = а / а х , Dy = а / а х и суммирование осуществляется по всем целым неотрицательным I, т таким, что I + т £ 3. По сути, пространство НП (0 ) состоит из функций пространства Н3(0 ), удовлетворяющих в соответствующем смысле условию периодичности П . Это означает совпадение на G/ и G" следов самой функции и всех ее производных, включая дробные (тех, которые существуют у функции из Н3 (0 ) на границе в зависимости от величины 3). Например,

при 3 = 0 никаких следов не существует, поэтому никакого условия П ф в таком случае рассматривать не следует.

Обозначим через Н3 ¡ос (0 \ О) пространство, состоящее из функций / таких, что

при любом Я £ (0, Я ) функция (1 - X я )/ будет принадлежать пространству Н3 (0 ).

5/2

Определим теперь пространство Н5 д (0 ) как пополнение (в терминологии [6] -обобщенное замыкание) линеала СД (0 ) в ¿2(0 ) по норме

11/1

при четных 5 > 0 и

II/

11нд5 ,д (0)

X д1/

I - 0

2

¿2(0 )

(5)

1НП5,д(й)

1|2

Инг] (0)

||/||Н5- +

Dx Д

(5 - 1)/2

/

¿2 (0)

Dy Д(5 -1)/2

/

¿2 (0)

(6)

при нечетных 5.

НП д является гильбертовым пространством, непрерывно вложенным в ¿2 (0 ) . В соответствии с разработанной в [3] техникой можно отождествить НД (0 ) с подпространством пространства НД д (0 ), т. е. НД (0 ) с НД д (0 ).

о

Множество функций с°° (0 Я) определяется как множество всех функций /

допускающих представление / - Р g, в котором g £ с" [0 X), т. е. в других

оо

обозначениях с (0 Я) - Р С" [0 Я). Оператор преобразования р имеет вид

/(р )

Р /(г) - Г1/2 п /() 2П +1/2Г (У + 1)

|Р-1

/2

V

г

V У

dp

^р ,

а обратный к нему на соответствующих пространствах оператор преобразования Sn определяется, например, по формуле

^ / (г) - 2" +1) ± ) р_,

/ \ г

л/р"

dг

/2

Р

/(Р )РП +1/2dp ,

V 1 /

где 1/2 - функция Лежандра первого рода.

Введем множество Т) (0 ) функций / из сд (0 \o), для которых справедливо

K 2

разложение / - /(г , р ) - X X /ы (г)Уы (Р ), где коэффициенты Фурье

к - 01 - 1

/ы1 (г) - | /(г, р )Ук (Р )dр , при этом предполагается, что натуральное число К свое для

_ 1

каждой функции / и что функции г к С я (г)/к1 (г) принадлежат линеалу с°° (0 2Я ).

Здесь Y¡ -л/2/Ф sin(I кр) и Yk -л/2/Ф со^1 кр), где 1 к - 2р к/Ф при к > 0 и Y01 - 1/л/ф".

На ТД (0 ) определим при фиксированном целом 5 > 0 и всех Я е (0, Яо ), систему норм

о

II/IL R "XX Г k C R/k

- k

lls R U U ' к RJ kl

k = Ol = 1

Я s (0 2 R ) + ll(l C R ) / H

ЯV (0,2R) яп ,A (Q )

(7)

и

Пространство н3 (0 Я) для целых 3 > 0 определяется как обобщенное замыкание мно-

жества

с; (0, R) по норме

11/11

4P

Я1 (0,R) 2V +1/2г (V + 1)

Ds (5v /)

¿2(0, R У

(8)

где L2 (0, R) - лебегово пространство, Ds = 3 s / 3

Справедливо вложение TP (Q ) С Я^ос (Q ), и для любой функции / из TP (Q )

имеет место оценка ||J ||s r - уs,R ( / ). Таким образом, это вложение будет непрерывным.

Для функций / е TP (Q ) определим 0 -след в точке О как предел

0/\O = lim0 / (r, Ф)

r ® 0

понимаемый в классическом поточечном смысле. Здесь

и

(9)

0/(r, Ф ) =

/o(r)

+ X X rkk/u(r)Yl(Ф).

1п Г k= 11--1

Отметим, что 0 представляет собой интегральный оператор, действующий по угловым переменным, а сам 0 -след в точке О можно представить в связи с этим в виде

1 Ф

0/\O -- lim— [/(r,Ф')

r ® 0

Ф

о 2я /Ф___

2r cos

2p Ф

(Ф - Ф')

- 2r

4я / Ф

1

1 - 2r2я; ф cos

2p Ф

(Ф - Ф ')

+ r

4p / Ф

ln r

dф'.

Таким образом, 0 -след по угловым переменным является нелокальным объектом.

Основное функциональное пространство МП (0 ) определим как обобщенное

замыкание в Н3ос пространства ТП (0 ) по топологии, определяемой системой норм (7)

по 0 < Я < Я0 . Эта топология сильнее топологии пространства Н3ос (0 ), и поэтому

можно доказать по общей схеме из [3] справедливость вложения МП (0 ) С НП 1ос (0 ) .

Введем пространство 0 -следов ^[0, ф ] как множество функций, определенных на отрезке [0, ф ] и допускающих разложение в ряд Фурье

* (ф ) - X X2 * к?1 (Ф ),

к = 01 = 1

в которых для любого h > 0 конечны нормы ||Y llh = X X h' k |Y

ki\

k = 0l = 1

Пространство ^[0,ф ] является полным счетно-нормируемым топологическим пространством, т. е. пространством Фреше. Снабдим пространство

o

+

2

M = Mns (W )x Hns + 3/2(G)x [0,Ф ]

топологией прямого произведения. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть s > 0 - четное и параметр 1 - вещественный и пусть

f e MpS (W ), g e H S + 3/2(G), ye [0, Ф ]. Тогда краевая задача (1)-(3) имеет, причем единственное, решение u e MS + 2(W ), при этом отображение f, g, У D u

непрерывно из пространства МД в пространство Mp + 2(W ) .

При доказательстве основной теоремы изучались сингулярная и регулярная составляющие решения, для исследования последней мы пользовались соответствующим видоизменением общей теории сильно эллиптических краевых задач, изложенной, например, в [7-9] применительно к введенным функциональным пространствам.

Литература

1. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1973. Т. 1. -294 с.

2. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1973. Т. 2. -294 с.

3. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1980. 112, № 3. C. 354-379.

4. Катрахов В.В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. C. 849-876.

5. Катрахов В.В. Сингулярные краевые задачи для некоторых эллиптических уравнений в областях с угловыми точками // Дан СССР. 1991. Т. 316. № 5. С. 1047-1050.

6. Катрахов В.В., Мазелис Л.С. Непрерывность, пополнение, замыкание в метрических пространствах. - Владивосток: ДВГУ, 2000. - 112 с.

7. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. Препринт / ИПМ ДВО РАН. - Владивосток, 2004. № 8 - 20 с.

8. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Эллиптическая краевая задача на конусе. Препринт / ИПМ ДВО РАН. - Владивосток, 2004. № 7 - 32 с.

9. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973. - 576 с.

10. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. - М.: Наука, 1991. - 336 с.

11. Martin Costabel, Monique Dauge. Crack singularities for general elliptic systems // Math. Nachr. 2002. V. 235 С. 29-49.