CC BY
12
УДК 517.956
DOI 10.18413/2075-463 9-2019-51-1-15-20
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ НА ГРАНИЦЕ
A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR SINGULAR SECOND ORDER ELLIPTIC EQUATION ON A BOUNDED DOMAIN WITH BOUNDARY ANGULAR POINTS
А.А. Ларин A.A. Larin
Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, Воронежская область, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54 А
Military Educational-Research Centre of Air Force «Air Force Academy named after professors
N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin» (Voronezh), 54A str. Starih boljshevikov, Voronezh, 394064, Russian Federation
E-mail: [email protected]
Аннотация
В работе рассматривается сингулярное эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Оно изучается в ограниченной плоской области с угловыми точками на границе. Сингулярный тип уравнения определяется особенностями в его коэффициентах. Дифференциальное уравнение содержит оператор Бесселя по особой переменной. Постановки задач используют специальные функции гипергеометрического типа, а именно, присоединённые функции Лежандра, через которые выражается искомое решение. Применяемые функциональные пространства со смешанной нормой относятся к классу пространств Соболева - Киприянова с дополнительными граничными условиями. Находятся условия корректной разрешимости изучаемой задачи в указанных весовых функциональных пространствах.
Abstract
In the paper we consider a singular elliptic partial differential equation of the second order. It is studied on a bounded plain domain with boundary corner points. A type of the differential equation is defined by its singular coefficients. A differential equation contains the Bessel operator acting by a special variable. Problems formulations use special functions of hypergeometric type, namely adjoint Legendre functions for solutions representations. The applied functional spaces with mixed norms are of Sobolev-Kipriyanov class with additional boundary conditions. Also a priori estimates are proved for solutions of considered differential equations with boundary conditions in functional spaces. A plan is outlined for solving representation formulas for problem solutions in terms of series in adjoint Legendre functions. The result is proved on correctness of the problem considered in weighted functional spaces. The procedure includes such steps as a proper special change of variables, application of Fourier transform, consideration of the Green function for some special ordinary type differential equation with complex parameter, which is considered on the strip of the plane in new variables.
Ключевые слова: сингулярный, эллиптическая краевая задача, присоединённая функция Лежандра.
Keywords: singular, elliptic boundary value problem, adjoint Legendre function.
В статье рассматривается краевая задача с однородным граничным условием для модельного B — эллиптического уравнения [Сингулярные..., 1997, с. 120] вида
d2u d2u к du г, ч ,
--2--2---= f (x, y), к > 0,
dx dy y dy
в ограниченной плоской области, расположенной в полуплоскости y > 0 и прилегающей к линии y = 0, граница которой содержит угловые точки, расположенные на этой линии. Устанавливается корректная разрешимость изучаемой задачи в весовых пространствах специального вида. Результаты работ Ларина [2000, 2012] о корректной разрешимости подобной задачи для случая плоского угла в данной статье переносятся на случай ограниченной области. Для эллиптических уравнений с гладкими коэффициентами систематическое изложение теории краевых задач в областях с негладкой границей дано в фундаментальной работе В.А. Кондратьева [1967] и работах других авторов [Elliptic., 1985, 1988; Эллиптические., 1991; Elliptic., 1997; Spectral., 2001].
Перейдём к изложению полученных результатов.
Пусть fi — ограниченная область в полуплоскости E+2 = {(x, y) е E2 : y > 0} , граница которой состоит из двух частей Г0 и Г+, где Г0 — интервал оси Ox с граничными точками O1 = O1 (Xj ,0) и O2 = O2 (x2,0), x < x2, а Г+— её оставшаяся часть, имеющая с линией y = 0 общими точками лишь точки Oj и O2. Обозначим через Bs (M) открытый круг радиуса S с центром в точке M е E2. Будем предполагать, что Г+ — гладкая кривая ( класса C" ) и что существует число S> 0 такое, что множества finB (O ) и finB^ (O2 ) представляют собой круговые секторы растворов ц и щ соответственно, щ е (0,^), щ е (0,^) .
Помимо области fi рассмотрим в плоскости E2 бесконечные углы K и K2 с вершинами O1 и O2 соответственно, такие, что finBs(Ot) = K nB(O), i = 1,0. Граница dK угла K состоит из луча Г° = {(x,0) еE2 : x >x} и замкнутого луча Г^—dKj \Г0. Граница dK2 угла K2 состоит из луча Г0 = {(x,0) е E2 : x < x2} и замкнутого луча Г; =dK2\ Г02.
Всюду в дальнейшем черта сверху над символом множества из E будет обозначать замыкание этого множества в E .
Символом C"(K ) обозначим множество всех бесконечно дифференцируемых в K функций, которые чётны по переменной y и имеют компактные в K \ O носители. Под условием чётности по переменной y бесконечно дифференцируемой функции u(x, y) мы понимаем условие d0p—1u / dy2p—1 q = 0, p е N, выполняющееся для
всех допустимых л, в данном случае для всех х>х1. Символом обозначим
подмножество С^(КХ), состоящее из всех функций, обращающихся в ноль на Г^. Аналогично вводятся множества функций С*(К.,), С+(К2), Носители
функций из множеств С(О) и С(О) содержатся в О \(01 иО,), а условие чётности должно выполняться для всех х е (хх, х2).
Определим теперь весовые функциональные пространства, в терминах которых будет изучаться краевая задача.
Для произвольных вещественных чисел Д, Д2 и целого ^ > 0 введём в рассмотрение пространства У* (К;), У^К/), / = 1,2. Пространство У^ (К1) является
пополнением множества С" (К) по норме
Г Л1/2
и
%( к1)
х Л I В1врв;и
Ч+2т + р< 5, к
2(,0-,5+ч+2т+р )
ук ёуёх
р<1
(1)
где Вчхи = д«и/дхч, и = ди/ду,и = и, Вуи = д2и/ду2 + к ди/(уду ), к > 0, В'"и = Ву т> 2, I] = ((х - х, )2 + У) 12. Пространство У^ (К определим как
пополнение по той же норме множества С'_ (К. Функциональные пространства У^ (К2) и У*(К2), .ч > 0, определяются аналогично, следует лишь заменить в формуле (1) Кх на К2 , г\ на Г2~ИХ~Х2) + У ) и Д на Д,. Пополняемыми множествами при этом являются множества С+(К2) и С'_ (К2), соответственно.
Пространства №(О), 5 е Nи{0}, определим как пополнение множества С"(О) по норме
Л/2
и
№ (О)
X Л В1врвти\2 ук^х
Ч+2т+р<5, О
V р<1
(2)
Пространства определяются как пополнение по норме (2)
множества С'_ (О).
Пусть ТХ=ТХ( х, у) и т2=т2 (х, у) -срезающие функции класса С" (Е2), такие, что для некоторого ц> 0 выполняются условия дт; / ду = 0, |у| / = 1,2, причём т1 = 1 в В8/2(°1X 8иРР^ ^1 =1,2, и пусть Т0 = 1"Г1 -т2. Через (О), "еNи{0},
обозначим функциональное пространство, получающееся пополнением множества С" (О) по норме
11и№,й(а) ЧМ^(□) + 1МЦ(К1) ЛМЦ^к2) •
(3)
Символом Жд ^(П), обозначим функциональное пространство,
получающееся пополнением по той же норме множества функций С™ (О). Рассмотрим теперь в области О краевую задачу вида
д2и д2и к ди _ г (д.
_ 2 - ~ = / ' (4)
дх ду у ду (х, у) еО,
ди
1 ду
= 0, (5)
где / еЖ; ,; (О), , е N и {0}.
Везде далее будем предполагать, что фиксированный параметр к > 1 и не является нечетным числом.
Под решением краевой задачи (4), (5) из класса Жд+2ДО), 5 еЛ^и{0}, будем понимать функцию и е И^Г2 (О), удовлетворяющую уравнению (4) почти всюду в Г2.
Пусть Р^ (г) - присоединенная функция Лежандра первого рода, определенная на разрезе, связанная с гипергеометрической функцией Гаусса (а,Ь;с;г) соотношением [Высшие., 1973, с. 144]
1
+
Г(1 -ц)
РД2) = ^-Т ;—I 2^-V, у +1; 1 -я;
1 - г
V
1 - г 2
где символом Г(/) обозначена гамма-функция Эйлера аргумента /, и пусть т('), ' = 1,2, -наименьшие положительные решения уравнений
Ъ(Ш) = р!^ (ео8®') = 0, ' = 1,2 [Теория., 1952, с. 388].
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть , - целое неотрицательное число и пусть вещественные параметры ; и ; удовлетворяет условиям |; - , -1| < ш\') + к /2,' = 1,2. Тогда для любой функции / е Жд А (О) существует единственное решение и е краевой
задачи (4), (5) и справедливо неравенство
и
* СД
) ни;,,О)
в котором постоянная С не зависит от функции /.
Для доказательства теоремы используются предыдущие работы автора [Ларин, 2000, 2012] и следующее утверждение о соотношении решений щ и и2 задачи вида (4),
(5) в бесконечном угле К (типа углов К,' = 1,2), принадлежащих пространствам
У^ 2( К) и V*' 2(К), соответственно. Сформулируем его для угла К = К}.
Пусть т(1), у = 1,2, ... , - все положительные решения уравнения
?1(т) = =_12)/2 (ео8 ® 1) = 0,
которые мы для удобства будем считать занумерованными в порядке возрастания, и пусть г, полярные координаты с центром в точке О ,
г, = ((х-х,)2 + у2)1/2, г, >0,0, Фу>(£) = ^п£)(1^2рт^_т (со80), 0 <в<щ, у = 1,2,....
Справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть , - целое неотрицательное число и пусть вещественные параметры уг и у2, у1 < у2, удовлетворяют условиям
\ух - , -1 Ф т(1) + к/2, \у2-, -1 Ф т(1) + к/2, у = 1,2,.... Тогда для любой функции / е (К )п Г?2(К) в каждом из пространств г - 1,2, существует единственное решение 1/г(л:, у), I = 1,2, краевой задачи (4), (5) в угле К, которые связаны соотношением
и 1(х,у) = и2(х,у) + X 41:,(/)Г"^-к Фу^) +
1 к к
т( ;е(п-,-1--, Г2-,-1--)
+ Z #/>(/) imjl) *j(0),
(i) i k k
mj 'е(s+1-Г2, s+i-ri--)
где Apj f) и Bji)(/),j = 1,2,... ,- непрерывные функционалы над Vs (K)n Vs (K).
Последнее утверждение доказывается с помощью перехода от задачи вида (4), (5) в угле с помощью замены переменных x = x + é cos 0, y = é sin 0 к соответствующей задаче в полосе [Ларин, 2012]. После применения комплексного преобразования Фурье по переменной t дело сводится к нахождению вычетов функции Грина специальной краевой задачи для обыкновенного дифференциального оператора, зависящего от комплексного параметра и действующего по переменной 0, в её полюсах.
Отметим, что результаты, полученные в настоящей работе, могут быть применены в теории операторов преобразования для сингулярных дифференциальных уравнений с операторами Бесселя [Sitnik.. .1992, 2017; The Transmutations.. .2018; Applications. 2018].
Заключение
В работе изучается сингулярное эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в ограниченной плоской области с угловыми точками на границе. Сингулярный тип уравнения определяется особенностями в его коэффициентах, при этом дифференциальное уравнение содержит оператор Бесселя по особой переменной. Постановки задач используют специальные функции гипергеометрического типа, а именно, присоединённые функции Лежандра, через которые выражается искомое решение. Далее определяются функциональные пространства специального типа со смешанной нормой, которые относятся к классу пространств Соболева - Киприянова с дополнительными граничными условиями. Они заключаются в том, что на границе области задаются краевые условия Дирихле и Неймана. В работе получены следующие результаты: находятся условия для корректной разрешимости изучаемой задачи в указанных весовых функциональных пространствах; доказана априорная оценка решений рассматриваемого сингулярного дифференциального
уравнения во введённых весовых функциональных пространствах, получены представления решений этого уравнения с краевыми условиями в виде ряда по присоединённым функциям Лежандра; указаны возможные приложения результатов в теории операторов преобразования.
Список литературы References
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. 1973. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М., Наука: 296 с.
Bateman H., Erdelyi A. 1973. Vy sshie transcendentny e funkcii. T. 1. [Higher transcendental
functions. V. 1]. M., Nauka: 296 p. (in Russian).
2. Гобсон Е.В. 1952. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М., ИЛ: 476 с.
Hobson E.W. 1952. Teoriia sfericheskikh i e llipsoidal ny kh funkcii [The theory of spherical and
ellipsoidal functions]. M., IL: 476 p. (in Russian).
3. Киприянов И.А. 1997. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., Наука: 208 с.
Kiprijanov I.A. 1997. Singuliarny e e llipticheskie kraevy e zadachi [Singular elliptic boundary
value problems]. M., Nauka: 208 p. (in Russian).
4. Кондратьев В.А. 1967. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками. Тр. Моск. мат. о-ва, 16: 209-292.
Kondrat ev V.A. 1967. Kraevy e zadachi dlia e llipticheskikh uravnenii v oblastiakh s konicheskimi i uglovy mi tochkami [Boundary value problems to elliptic equations on domains with conical and angular points]. Tr. Mosk. mat. o-va, 16: 209-292.
5. Ларин А.А. 2000. Об одной краевой задаче в плоском угле для сингулярного эллиптического уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, 36(12): 1687-1694.
Larin A.A. 2000. Ob odnoi kraevoi zadache v ploskom ugle dlia singuliarnogo e lliptichesko-go uravneniia vtorogo poriadka [On a boundary value problem on a plain angle for the singular elliptic equation of the second order]. Differentcialny e uravneniia, 36(12): 1687-1694.
6. Ларин А.А. 2012. Неоднородная краевая задача в плоском угле для сингулярного эллиптического уравнения второго порядка. Дифференциальные уравнения, 48(2): 217-226.
Larin A.A. 2012. Neodnorodnaia kraevaia zadacha v ploskom ugle dlia singuliarnogo e llip ticheskogo uravneniia vtorogo poriadka [An nonhomogeneous boundary value problem on a plain angle for the singular elliptic equation of the second order]. Differentcialnye uravneniia, 48(2): 217-226.
7. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. 1991. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М., Наука: 336 с.
Nazarov S.A., Plamenevskij B.A. 1991. E llipticheskie zadachi v oblastiakh s kusochno-gladkoi granicei [Elliptic problems on domains with piecewise smooth boundaries]. M., Nauka: 336 p. (in Russian).
8. Dauge M. 1988. Elliptic boundary value problems in corner domains smoothness and
asymptotics of solutions. Lecture Notes in Mathematics. V. 1341. 258 p.
9. Grisvard P. 1985. Elliptic problems in nonsmooth domains. Monographs and Studies in Mathematics. 21. Pitman. 410 p.
10. Kozlov V.A., Maz ya V.G., Rossman J. 1997. Elliptic Boundary Value Problems in Domains with Point Singularities. AMS. Mathematical Surveys and Monographs. V. 52. 414 p.
11. Kozlov V.A., Maz ya V.G., Rossman J. 2001. Spectral Problems Associated with Corner Singularities of Solutions to Elliptic Equations. AMS. Mathematical Surveys and Monographs. V. 85
12. Katrakhov V.V., Sitnik S.M. 2018. The transmutation method and boundary-value problems for singular elliptic equations. Contemporary Mathematics. Fundamental Directions. V. 64(2): 211-426.
13. Fitouhi A., Jebabli I., Shishkina E.L., Sitnik S.M. 2018. Applications of integral transforms composition method to wave-type singular differential equations and index shift transmutations. Electron. J. Differential Equations. V. 2018 (130): 1-27.
14. Sitnik S.M. 2017. A short survey of recent results on Buschman-Erdelyi transmutations. Journal of Inequalities and Special Functions. (Special issue To honor Prof. Ivan Dimovski's contributions). V. 8(1): 140-157.
15. Sitnik S.M. 1992. Factorization and estimates of the norms of Buschman-E^lyi operators in weighted Lebesgue spaces. Soviet Mathematics Doklades. V. 44(2): 641-646.
