Базисы сингулярных решений в задачах механики трещин Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. А. Назаров

БАЗИСЫ СИНГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН*

Механика трещин являет собой замечательный пример последовательного использования общих результатов теории эллиптических краевых задач в областях с кусочногладкими границами (см. ключевые работы [1—3], а также, например, монографии [4, 5]). В первую очередь, сказанное относится с исследованию напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины и операциям с его важнейшими характеристиками, так как явные формулы, позволяющие аргументированно прогнозировать процесс разрушения, доступны по существу только в случае изотропных упругих материалов. Между тем современная инженерная практика требует изучения повреждений в анизотропных и композиционных телах.

Согласно упомянутой теории для многих целей достаточен анализ модельной задачи

о составной плоскости М+ и М_ с полубесконечным разрезом М = {х : х\ < 0, Х2 =0}:

д д

а± (и; Х1, ±0) = 0, Х1 £ М_ = (-то, 0), (2)

[и,](х1)=0, [а,2(и)] (Х1) = 0, Х1 £ М+ = (0, +то). (3)

Здесь ] = 1,2, соотношения (1) суть уравнения равновесия, а краевые условия (2) означают, что берега М± трещины свободны от напряжений. Кроме того, [V (Х1) = -у(х1, +0) — -у(х!, -0) —скачок функции V на линии К = {х : Х1 > 0, Х2 = 0} идеального контакта (сцепления) материалов, выраженного условиями сопряжения (3). Столбцы напряжений и деформаций

о-= (0-11,022,^0-12) , е = (ей, £22, ^£12) (4)

связаны законом Гука

а± = А±£, £ = В±а±, (5)

причем Т — знак транспонирования, А± и В± = (А±)-1 —симметричные и положительно определенные (3 х 3)-матрицы жесткости и податливости соответственно. Множители а/2 введены [6] для того, чтобы уравнять естественные нормы двухвалентных тензоров и изображающих их столбцов высотой три, — в итоге столбцы £ и а преобразуются при помощи ортогональных (3 х 3)-матриц в случае ортогональных преобразований декартовой системы координат х = (х1,х2)т. Наконец, верхние индексы ± отмечают сужения полей на полуплоскости М^ = {х : ±Х2 > 0}, и = («1, и2)т —вектор смещений, а декартовы компоненты тензора деформаций имеют вид

(«>

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-257).

© С.А.Назаров, 2008

Теория эллиптических краевых задач в областях с кусочно-гладкими границами связывает разрешимость краевых задач механики трещин и свойства упругих полей с набором степенных решений модельной задачи (1)—(3):

u(x) = rAU(у>, logr). (7)

При этом Л £ С, г = \х\ и tp £ (— 7г, 7г)—полярные координаты, U — непрерывная вектор-функция, гладко зависящая от угловой переменной ^ £ Y± и полиномиально от log r; здесь Y+ = (0, п) и Y- = (—п, 0).

В статье [7] (см. также [4, гл. 7] и [8-10]) установлено (в том числе и для широко-

го класса общих формально-самосопряженных эллиптических краевых задач), что на плоскости с полубесконечным разрезом показатели Л нетривиальных степенных решений удовлетворяют одному из включений

Л £ Z := {0, ±1, ±2 ...} или Л ^ ¿7 — 1/2 £ Z, (8)

где i — мнимая единица, а 7 £ R — некоторое число (набор чисел). Кроме того, в линеале степенных решений можно выбрать такой базис

{X ,YP’q | p £ N0 := {0,1, 2,... },q = 1, 2} , (9)

что справедливы равенства

dx p+2,q dYP’5

—-------= Xp’q, —— = -Yp+2’q, P£N 0, (10)

dxi dxi

получающиеся дифференцированием вдоль трещины, которое не нарушает ни уравнений (1), ни краевых (2) и контактных (3) условий. Показатели Л^Х9 и Л^9 степенных решений Xp,q и Yp,q удовлетворяют соотношению Re Л^Х9 = —ReЛ^9 = p/2. Наконец, X2p,q при p £ N0 —полином переменных xi и Х2, в частности, X0,9 — постоянный вектор, причем Y0,9 —линейная вектор-функция переменной log r. Все степенные решения, кроме Y0,1 и Y°’2, не зависят от logr. Для некоторых целей в правые части (8) удобно добавить множители Cp > 0 и С—1 соответственно, которые сохраняют все последующие выводы, но в данной статье не понадобятся.

Дополнительные соотношения, связывающие элементы базиса (9) и обеспеченные результатами [2], выглядят так:

Q(Xp’9, Ym,n; Г) = Sp,mSq,n, p,m £ N0, q,n = 1, 2. (11)

Здесь Sp,m — символ Кронекера, а Q — антисимметричная форма,

2 ________________________ _______________

<Э(Х,У,Г)=^ Vj{x) (ajk(X]x)Yk(x) - Xk(x)ajk(Y] x)j dsx, (12)

не зависящая от кусочно-гладкой дуги Г, которая начинается и заканчивается на берегах трещины и охватывает ее вершину О, а V = (VI, ^)т —единичный вектор внешней нормали. Благодаря соотношениям (9) и формуле

д(дХ/джьУ, Г) = -д(Х,дУ/&гь Г),

установленной в [7] (см. также [4, гл. 7] и [8]) для решений X и Y задачи (1)—(3) и напоминающей правило интегрирования по частям, достаточно соблюсти условия ортогональности и нормировки (11) для групп элементов X0,q,Y0,n и X1,q, Y1,n. Опять-таки благодаря возможности дифференцировать решения вдоль трещины справедливы равенства

dX i, q 2

-^-(x) = -'£,MqnY1’n(x). (13)

1 n=1

Разумеется, (2 x 2)-матрица M коэффициентов Mqn зависит от выбора степенных решений X1,1 и X1,2 (ср. далее замечание 1), но в любом случае она оказывается симметрической и положительно определенной (см. [8]).

В статье [11] для задачи (1)—(3) с матрицами A+ = A- (однородная упругая среда) и в статье [12] для общих эллиптических систем с постоянными коэффициентами и одинаковыми краевыми условиями на берегах М± доказано, что все показатели Л вещественные, т. е. y = 0 в формуле (8). Известно [13], что в случае изотропных материалов в М± при нарушении условия

^-1(1 - v +) = ^-1(1 - v(14)

где 2^ > 0 — модуль сдвига, а v £ [0,1/2) —коэффициент Пуассона, число y в формуле (8) отлично от нуля.

Можно считать, что X0,q = eq := (¿1,q,^2,q)T; тогда согласно (12) степеннологарифмические решения Y0,q интерпретируются как сосредоточенные в вершине трещины силы, действующие в направлении eq. Кроме того, по формулам (10) восстанавливаются все элементы Xp,q и Yp,q базиса (9) с четными номерами р. Теперь при Y = 0 вещественный базис степенных решений, подчиненных соотношениям (10), фиксируется однозначно выбором коэффициентов а! и а2 в определениях

X 1,1(x) = а1г1/2 Re (г®7Ф1(^)) , X 1,2(x) = а2г1/2 Im (г®7Ф1(^)) . (15)

Если же y = 0 (например, в случае A+ = A-; см. [11]), то возможности в выборе базиса значительно шире, однако по-прежнему формулы (10) и (11) требуют фиксации только степенных решений (7) с показателем Л = 1/2 — именно пара таких решений и называется далее базисом. Обычно используется так называемый силовой базис {X1q | q =1, 2}, подчиненный условиям нормировки на продолжении трещины

022 (X^); Х1, 0) = (2пг)-1/%д, ^(X^q; жь 0) = (2пг)-1/2^,2, X > 0, q = 1, 2,

(16)

и порождающий классическое определение коэффициентов интенсивности напряжений (КИН)

K1 = lim (2пг)1/2ст22(м; x1,0), K2 = lim (2пг)1/2ст21(м; x1,0). (17)

xi^+0 xi^+0 ^ 1

Подчеркнем, что в силу условий сопряжения (3) напряжения, фигурирующие в правой части (17), определены корректно и в случае составной плоскости. Проверено [8], что силовой базис существует для любых анизотропных материалов в в случае вещественных (y = 0) показателей (8). Этот базис приспособлен к применению силовых критериев разрушения, например, критериев Ирвина [14] и Новожилова [15].

В статьях [9, 16, 17] был введен и изучен другой базис, удобный для деформационных критериев Леонова—Панасюка [18] и Дагдейла [19]. Соответствующие условия нормировки оперируют со скачками упругих полей на берегах трещины:

г-1[ХІ?2](хі) = 4(2пг)-1/2(Ъ+ + Ъ-^д,

(18)

г-1[Х(є)і](хі) = 4(2пг)-1/2(Ъ+ + Ь-)^2 Х1 < 0.

При этом Ъ± = В±1 и — элемент матрицы податливости В±, фигурирующий в связи (5) деформации £ц и напряжения <7ц. Существование такого деформационного базиса проверено в [9] при дополнительных требованиях 7 = 0 и

Ъ+ = Ъ- =: Ъ. (19)

Отметим, что для составной изотропной плоскости равенства (19) и (14) совпадают. Убедимся в том, что ограничение (19) для существования базиса {Х^9 | д = 1, 2} не нужно.

Теорема 1. Если 7 = 0 в наборе показателей (8), то деформационный базис, подчиненный соотношениям (18), существует.

Доказательство. По силовому базису определим новый базис

1 2

= ь^ть3 ^ (20)

П=1

где (М-))Я„ — элементы (2 х 2)-матрицы М-), обратной для матрицы коэффици-

ентов в представлении (13) для силового базиса. Справедливы равенства

г-1[Х1я](—г) = 4(2пг)-1/2(Ъ+ + Ь-)а91з_,-, = 1, 2. (21)

Убедимся в том, что а = (а^)2 ^=1 —единичная матрица, а значит, (20)—искомый деформационный базис в соответствии с условиями нормировки (18).

Согласно общим результатам [20] (см. также [21, гл. 7]), приспособленным в работах [8, 16] к задачам механики разрушения, скорость высвобождения энергии при подрастании трещины на длину Н > 0 вычисляется по формуле

1 1 2 лНто-ДВД = - - ]Г М{а)чпК°К°. (22)

Я, п=1

Здесь Ди(Н) = и(Н) — и(0) —приращение потенциальной энергии деформации

1 1 ' Л\Т / Ъ\ 1 I „т ь..

и(Ь) = — J а(ик)Тє(ик) сіх — J и" и,ах,

ч , ч , ,4,

(М(ст))яп —те же коэффициенты, что и в связи (13) между Ху) и (см. также (20)),

а К? —КИН (17) в разложении вектора смещений

2

и°(х) = и°(0)+^ КХ1;я(х)+ О(г), г ^ +0. (23)

Я= 1

При этом под мь подразумевается решение задачи о деформации ограниченного составного тела П = П+ и П_ с трещиной Мь = {ж : Ж1 £ (—1-, Н)}, линией сцепления Кь = {ж : Ж1 £ (Н, 1+)} и внешней границей ^ под действием внешней самоуравнове-шенной нагрузки д:

д д 2

--—сг^г^ж) - -—а^2(и;х)=0, ж € П±, ^ г/к(х)а^к(и; ж) = ^-(ж), ж£ш,

Ж1 Ж2 к=1

а±2(м; х1, ±0) = 0, Ж1 £ (—/_,Н), [м^ (х1)=0, [о^2 (м)](ж1)=0, Ж1 £ (Н,/+).

(24)

Подчеркнем, что вывод равенства (22) основан на асимптотическом анализе [21, гл. 7] решения задачи о подросшей трещине и применении весовых функций £1,р, входящих в интегральные представления КИН и являющихся решениями однородной задачи в области П \ М° с особенностью £1,р(ж) = У 1,р(ж) + 0(1) в вершине трещины (см. [2], а также [4, гл. 7]). Множители (М(Т))Я„ приходят в правую часть (22), конечно же, из соотношения (13).

Вычислим приращение потенциальной энергии деформации при помощи другого приема. Подставив поля м° и в формулу Грина для области П \ Мь, получаем ра-

I а(мь)те(мь) — ст(м°)Те(м°)^ ¿ж + 2 / дТ(мь — м°) и,дх

—2Ди(Н, 0) = — I (а(мь)те(мь) — ст(м°)те(м°)) ¿ж + 2 J дТ(мь — м°) ¿вх = п ш

2

= J дт(мь — м°) ¿вх = ^ ^ (ж)(мьст^ (м°) — (мЬ)) ¿вх =

ш ш ■?>к=1

Ь 2

= [ [мь](ж1)а2^(м°; Ж1, 0) ¿Ж1. (25)

° =

Как установлено в работе [7] (см. также [8]), вблизи вершины ОЬ удлиненной трещины Мь поле мь(ж) с точностью 0(Н3/2) приближается суммой

с + К1СТХ(1(Т)(ЖЬ) + КТ Х2т) (жь) = с + и 1(ЖЬ) + И 2(ЖЬ), (26)

где с — постоянный вектор, жь = (ж1 — Н, Ж2) —декартовы координаты с центром ОЬ, а КЯ —КИН, пересчитанные в новом базисе (20), т. е.

(ъ+ + Ъ_)КТ = К1(М_) )11 + К2(М_)) 12,

(27)

(Ъ+ + Ъ_)К2Т = К1(М_) )21 + К2(М_) )22.

При учете условий нормировки (16), (21) и равенств (27) для коэффициентов КЯ и выводим из формул (25) и (26), что приращение Ди(Н, 0) равно

2 ь

-^(Ь+ + Ь-) ]Г К°ачпКп [ г~1/2 (к - г)1/2 <1г + о(1г) =

Я,п=1 °

2

Я,п,т=1

Сравнивая соотношения (22) и (28), видим, что матрица а единичная. Теорема 1 доказана. □

Замечание 1. Равенства (20) указывают связь между силовым {Х(ТЯ} и деформационным {Х^9} базисами степенных решений. Как и в статье [17], где рассматривалась трещина в однородной анизотропной плоскости, оперируем далее только с матрицей М(е) коэффициентов разложений (13) для деформационного базиса. Отталкиваясь от соотношений (11) и (20), нетрудно убедиться в том, что М(Т) = (Ъ+ + Ъ_)_1М_1. Формулы (27) позволяют пересчитывать КИН К^Т в КИД = 2(Ъ+ + Ъ_)_1КЯ — коэффициенты интенсивности деформаций, которые согласно условию нормировки (18) вычисляются по скачкам смещений на берегах трещины

Щ = 1( 2тгГ1/2 ИП1 г^1/2[м3_я](ж1), я =1,2. (29)

4 8 х 1 ———°

Далее левую часть (20) обозначаем Х^9, а вместо соотношений (27) используем такие:

К = М(£)Я1КТ + М(е)я2КТ, ч =1, 2.

В случае изотропного однородного материала базисы Х(ТЯ и Х^9 совпадают, и поэтому = 2^(1 — V)КТ, ч =1, 2. □

Деформационный базис обладает рядом замечательных и полезных свойств. В статьях [17, 22] для однородной анизотропной плоскости с трещиной показано, что

Х(1^)11(Ж1, ±0)=0, Х(1^21(ж1, +0) = —Х(1^21(ж1, —0) = 4Ъ(2п)_1/2г1/2, Ж1 < 0, (30)

д Х 1,я

ап{Х^-,Х1,±0) = Ь 1 ^ (жь±0) = =р2(5д,2(27гг)~1/2, ч=1,2, Ж1<0, (31)

0Х1-1, , дХ1-2, ,

1ЙГ(1) = (32)

Если {ж : Ж2 = 0} — плоскость упругой симметрии, то Х^-ц и Х^^ —четные, а Х^^ и Х^ —нечетные функции относительно переменной Ж2, а значит, большинство свойств среди (30)—(32) становятся очевидными. Тот факт, что они сохраняются при произвольной анизотропии однородного материала, позволил в работах [17, 22, 23] провести асимптотический анализ напряженно-деформированного состояния и его важнейших характеристик для трещины с отростком и, тем самым, описать сценарии квазистати-ческого роста трещин со слабым искривлением и изломом в рамках энергетического критерия разрушения Гриффитса [24].

Изучим аналогичные (30)—(32) соотношения в случае составной плоскости. Для этого понадобится понятие поверхностной энтальпии, введенное в в публикациях [25, 26]. Частичное преобразование Лежандра, переставляя первые элементы столбцов (4), а именно,

V = ( — £ц, %/2сг 12, 0"22)Т, С=(^1Ь^12,£22)Т, (33)

переделывает закон Гука в равенство

С = Зп, (34)

причем

в =( ьь , д = ( ь-Чэ1 ь )• (35)

V Ь(.) ь(..^ V ь 1Ь(,) Ь("} - ь(*)ь (•) )

Здесь ь(„) —симметрическая положительно определенная (2 х 2)-матрица, ь > 0 — скаляр и ь(.) — столбец высотой 2. Нижний правый (2 х 2)-блок ^(..) матрицы также положительно определен, но у полной матрицы ^ имеются собственные числа разных знаков из-за отрицательного верхнего левого элемента q = —ь -1. Интеграл

^ ‘"(и:х)т-

2

назван [25, 26] поверхностной энтальпией поля смещений и на дуге Г, а скалярное произведение £(и) = ^(и)тг](и) —ее плотностью. Скачок плотности поверхностной энтальпии [£(и)](ж!) = £(и; Х1 + 0) — £(и; Х1 + 0) на оси трещины оказывается одной из натуральных характеристик напряженно-деформированного состояния поврежденного тела. Обращаем внимание на то, что первый столбец (33) оказывается непрерывным на К в силу условий сопряжения (3).

Теорема 2. Для всякого степенного решения (8) с показателем однородности Л = 1/2 справедливо равенство

[е(и)](х1) = -[£(и)](-Ж1), Х1 € (—то, 0) и (0, +то), (36)

т. е. скачок плотности поверхностной энтальпии — нечетная функция переменной Х1, а значит, равна нулю сумма скачков самой поверхностной энтальпии, вычисленных на участке (—р2, —Р1) трещины М и симметричном участке (р1,р2) ее продолжения К; здесь р2 > Р1 > 0 — произвольные числа.

Доказательство. Пусть П — сектор кольца {х : г € (р1,р2),^ € (—п, п)}. В формулу Грина подставим поля Х^9 и дХ(Ьп/дх2 (дифференцирование поперек трещины). Поскольку производная по-прежнему удовлетворяет уравнениям равновесия (1) на полуплоскостях М±, в формуле остаются только контурные интегралы. При этом в них подынтегральные выражения суть О (г -1), а значит, интегралы по разомкнутым окружностям = {х : г = р^, ^ € (—п, п)}, к = 1, 2, взаимно сокращаются по причине противоположно направленных нормалей. В итоге получаем равенство

2 -р1 / дХ1,п

Л:=££т / (^(А-(У;^,±0)^(ач,±0)-

± Э=1

-Р2

- Х^(х1, ±0)сгД-2 ^ ^ ;жь±0^ ¿х1 =

2 рг / дХ1,п

(а^ (хЙ;ж!,±о) -^-{х1,±о)~

2

-Х^^жьгЬО)^^ ^ ;жь±0^ ¿хх =: 1Г• (37)

27

В левой части первые члены подынтегрального выражения обращаются в нуль согласно краевым условиям (2). Принимая во внимание уравнения (1), находим

2 — рі

2 г д

Х^(х1,±0)—а:і1(Х1^;х1,±0))<іх1 =

± .= 1 — Р2 1

— Рі

= 53 Т I Х$1(хи±0)-^-аи(Х1'п;х1,±0)с1х1 =

± —Р2

— Р1

± I єіі(Х(1е: ^; жі, ±0)ац(Х(1е: ”; хі, ±0) ¿жі. (38)

± ^

— Р2

Обращаем внимание на то, что произведение Х191 (жі, ±0)стіі(Х(1Є ”; жі, ±0) не зависит

от переменной Х1 < 0, и поэтому интегрирование по частям не привносит в (38) вне-интегральных членов. В силу уравнений равновесия (1) и условий сопряжения (3) для правой части (37) имеем

.= 1

дХ і ’ ”. п

(є.

дж2

(жі) + Х/:9(жь0)—— а^(Х^) (жі) І ЙЖ1 =

д

Ч є).4

джі

.и^(є)

Рі

Р2

= | (*22 (Х^ 9; Х1, 0) [£22(Х(1; р] (Х1) + 2ст12(Х(1 9; Х1, 0) [^(Х^ р] (Х1) —

Р1

Р2

— £11(Х(1е:)<г;Х1,0)[аи(Х(1е:П)](х1^ ¿Х( = J ^(Х,1;9;Х1,0)[с(Х^)]^)¿хь (39)

Р1

В средней части (39) было учтено, что [дХ^)1/дх2] = 2 [е^Х,1; ))], так как производная

дХ(;®2/дх1 вдоль линии К остается непрерывной ввиду первого условия сопряжения (3) (ср. формулу (6) для деформации £ц). Благодаря краевым условиям (2) напряжения <т± (х! Г) обращаются в нуль на берегах трещины, а значит,

—Рі

п(Х(1є 9; жl, 0) [С(Х(1є ”)] (жі) ¿жі.

Р2

Переход к линейной комбинации и = КіХ(Є 1 + ^Х^ 2 не вызывает затруднений. Теорема 1 доказана. □

(є)

Замечание 2. Очевидно, что в случае 7 = 0 и для однородной плоскости верно равенство [£(и)](х() = 0 при Х( > 0, т.е. при учете краевых условий (2) теорема 2 гарантирует, что [ ]

[£11(Х(1; 9Ь((Х(1; 9)] (х() =0, Х( < 0.

В силу соотношений (19), определяющих деформационный базис, имеем [^((Х^ ))] (х() = — 4(2п)-1/2ьг-1/%,2, Х( < 0.

Согласно закону (34) и, опять-таки, при учете краевых условий (2) находим, что

[^((Х^ ))] (Х() = ь-1 [£11(Х(16: ))] (Х(), Х( < 0. (40)

Подчеркнем, что равенство (40) сохраняется при требовании (19). Из приведенных соотношений нетрудно вывести формулы (30) и (31). По мнению автора аналог равенства (32) для составной плоскости бесполезен из-за излишней громоздкости. □

Отметим, что при условиях 7 = 0 и (19) на берегах трещины М аннулируются все напряжения и деформации, вычисленные для степенного решения Х(((х) = г1/2Ф( ,((у>).

В работе [9] исследованы сингулярности упругих полей в задаче о трещине с контактирующими без трения берегами, получающейся в результате формальной линеаризации (см., например, [27]) контактных условий Синьорини (односторонних связей). Соответствующая модельная задача выглядит следующим образом:

д д

~~даГа^1^и', хЛ> ~ 'даГ^'2^^ = [гг^] (а?!) = 0, \а^2(и)\(х1) = 0,

Х( € К+, а±,(и; Х(, ±0) = 0, [и^ (х() = 0, [*22(и) (х() = 0, Х( € Кэ.

1 2(41)

Нетрудно убедиться в том, что соотношения (1)-(3) и (18) для элемента Х^) деформационного базиса обеспечивают все равенства в задаче (41). Поскольку, как установлено в статье [9], показатели Л решений (7) удовлетворяют одному из включений (8) при 7 = 0 и размерность линеала степенных решений с показателем Л = 1/2 равна единице, этот линеал образован именно вектором Х^ 2.

Степенное решение X1 = г1/2Ф(<^>) задачи (41) может быть нормировано вторым условием (18), а формула (29) при ц =2 определяет соответствующий КИД Ке.

Теорема 3. 1) Для степенных решений и задачи (41), порождающих корневые сингулярности напряжений, верно тождество (36).

2) Все показатели степенных решений модельной задачи (1)-(3) о раскрытой трещине оказываются вещественными в том и только в том случае, если для степенного решения (7) (единственного) модельной задачи (41) о трещине с контактирующими берегами выполнено соотношение

с±2(и; Х(, ±0) = 0, х( < 0. (42)

Доказательство первого утверждения с незначительными изменениями повторяет проверку теоремы 2. В силу сказанного перед формулировкой данной теоремы второе утверждение обеспечено следующим наблюдением: равенства (42) вместе с условиями на берегах трещины М из задачи (41) влекут за собой соотношения (2). Теорема 3 доказана. □

Равенства (42) и краевое условие на М± в задаче (41) означают, что конечны нормальные напряжения на линии контакта берегов трещины. Иными словами, при любом нагружении трещина может быть закрыта наложением дополнительного равномерного поля сжимающих усилий. Оба этих вывода, согласующиеся с физическими соображениями, нарушены, если с+^и;Х(, +0) = с-2(и;Х(, —0) =0, Х( < 0; при этом условия Синьорини требуют определенного знака КИД. В тех же условиях степенные решения

(15) приобретают осцилляцию при г ^ +0, порождающую взаимопроникание берегов трещины при любых ненулевых коэффициентах в разложении (23). В этом случае задача (24) также лишена физического смысла (ср. работу [29], где предложены иные краевые условия, требующие частичного смыкания берегов). Появление во многих выкладках ограничения (19) и найденный в [13] критерий (14) для составной изотропной плоскости побудили автора сформулировать гипотезу: требование (19) обеспечивает вещественность показателей степенных решений задачи (1)—(3) [9]. Очередной результат опровергает эту гипотезу (см. далее замечание 3).

Теорема 4. Пусть матрицы жесткости имеют вид

А±) = А± + НА#± (43)

где Н > 0 —малый безразмерный параметр, причем степенные решения задачи (1)-(3) с матрицей А имеют только вещественные показатели. Тогда число 7^ во включениях (8) удовлетворяет соотношению

7ь = ±Нт + 0(Н2),

где ±т — (вещественные) собственные числа матричного пучка т ^ тМ(£) + ¿Т, где Т — (2 х 2)-матрица с элементами

Y±

причем iT — симметрическая матрица, т. е. Тц = Т22 =0 и Т12 = —T2i-

Доказательство. Обозначим через L±(Vx)m(x) и N±(Vx)u(x1, ±0) левые части

соотношений (1) и (3) соответственно; здесь L± и N± —(2 х 2)-матрицы дифференциальных операторов первого и второго порядков, которые в полярных координатах представимы в виде

L±(Vx) = г-2£±(^, dv, rdr), N±(Vx) = r-2N±(dv,rdr), dv = d/d^, dr = d/dr.

Обозначения L#±, и N#±, имеют аналогичный смысл и согласованы с фор-

мулой (43). Примем асимптотические анзацы

Ah = ^±hij# +.Фн (ip) = Ф0± (ip) + Ь,Ф#± (ip) + ... (44)

для атрибутов степенного решения

u(h)(x) = rAhФ(ь)(р) = r1/2 (Ф0±^) + h (±*7#Ф0±(^) logr + Ф#±(^)) + ...) (45)

задачи (1)-(3) c матрицей (43). При этом

Ф0(^) = а±Ф1(^)+ о±Ф2(^), X 0(х) = а±Х1 Д(ж) + а±Х1 ’ 2(х). (46)

В формулах (44) и (46) число 7# и столбец а± = (а±,а±)т подлежат определению, Ф9 — угловая часть элементов X^ 9 = г1/2Ф9(<^>) деформационного базиса при h = 0, а многоточием обозначены пренебрежимо малые слагаемые. Подставим разложение (45)

в задачу (1)—(3) с матрицей А + ЛА# и соберем множители при малом параметре Л. В результате после отделения радиальной переменной получим трехточечную задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на дуге (-п, п):

£±(у>, 5^, 1/2)Ф#±(у>) = т*7^'±(^) + ^#±(^) :=

:= т*7#дл^±(^, 5^, 1/2)Ф0±(^) - £#±(^, 5^, 1/2)Ф0±(^), ^ Є Т±,

N±(5^, 1/2)Ф#±(±п) = Т*7#£'± + £#± :=

:= Т*7дл^(д^, 1/2)Ф0±(±п) -N#±(5^, 1/2)Ф0±(±),

[Ф#±] = 0, [N(5^, 1/2)Ф#±] = Т*7#£'0 + ^#0 :=

:= ^^N±(5^, 1/2)Ф0±] - [N#±(5^, 1/2)Ф0±].

(47)

При этом [V] = V(п) — V(—п) — скачок функции V в точке ^ = 0 и 5л£±(^’, 5^, Л) — производная многочлена Л ^ £± (у>, 5^, Л).

Согласно [2] (см. также [4, лемма 3.5.9]) задача (47) и та же задача после замены 1/2 = Л і—> —Л = —1/2 включены в симметричную формулу Грина, т. е. оказываются формально сопряженными. Решениями однородной задачи с параметром Л = —1/2 служат угловые части степенных решений У(є)п(ж) = г-1/2Ф"(^), совместно с " подчиненные условиям биортогональности (11). Следовательно, условия разрешимости задачи (47) принимают вид

±Н#7'(Фп) + 7#(Ф”)=0, п = 1, 2, (48)

где

7#(Ф”) = ^ ^ Ф”(^)т^#±(^) ^ Т Ф”(±п)т£#±^ - Ф”(0)тд#0

и аналогично выглядит выражение J'(Ф”).

Как показано в [4, § 6.1], что нетрудно проверить непосредственными вычислениями, условия биортогональности (11) и определение (12) формы Q обеспечивают равенство

ёд,п = (Э(Х1«,¥1’п; Г) = ]Т ( I Ф"Ытал£±(^,а^,1) Ф%)^т

± ^±

т Фп(±тг)таАл^ (^, 1)ф«(±7г)^ - ф”(0)т [алЛА± (¿^, і)ф9

Первое слагаемое в левой части (48) подсчитано. Обработаем второе слагаемое. С этой целью перепишем соотношение (13) в виде

= - £ Ы) =: 2

- пр 5x1 V ^ / пр

р=1 р=1

Заметим, что

±Щ<р)т£#± (^, дч» = ¥$(х)тЬ±(Чх)Х$(х),

/ у / е(^)#=/ ^Г<&>

Р1 т± п±

где П± = П П —части кольца, появившегося в доказательстве теоремы 2. В аналогичных соотношениях на отрезках ет± = {х : хі Є (-Р2, -Рі), ±Х2 =0} и ет0 = {х :

хі Є (рі,р2),Х2 = 0} вместо множителя г-2 возникает множитель г-1. В результате находим, что

1о^(Е ( / ^(^)Т£#± (^, ^)ф%) ^ т ^(±,)т#± ^)ф’(±.)| -

± х±

1 / г 5Х1 ’р

-Ф"(0)Т[ЛА#±(^,-)Ф9] = Е ( У ^1(^)ТЬ#±^ж)Х(1’9(х)йхт

± п± 1

г 5Х1 ’р \ г 5Х1 ’р

J ~о^(хь ±0)тЖ#±(Уж)Х(1^(хь ±0) dx1)-J ~о^-{хь 0)т [ЛГ#(УЯ)Х(^] (хх) <&! =

С7± ГО0

г / 5Х1 ’р \ т /.

= 53 У ^#±є(х(^;х)сгх = 53 У тдр(^)^- (49)

Предпоследнее равенство получено применением формулы Грина, а интегралы по полуокружностям не возникли потому, что в них подынтегральные выражения суть 0(г-1) (см. пояснение в доказательстве теоремы 2).

Итак, система уравнений (48) относительно столбца а± = (а±,а±)т эквивалентна такой:

±*7#а± + М— 1Та± = 0.

Осталось обратить внимание на то, что по прежней причине однородности подынтегральных выражений в последних интегралах по П± можно «перебросить» производную д/дх1 и, тем самым, установив перечисленные в теореме 4 свойства элементов Тдп, закончить ее проверку, так как обоснование асимптотики обеспечено общими результатами [30] (см. также [21, гл. 10]). □

При однородном материале (А+ = А-) можно воспользоваться связью (32) элементов деформационного базиса и, опираясь на выкладки (49), заключить, что

Т21 = -і иеЄі) ■£ ( І А. (е(ХІЇ;*)тА#МХІЇ;*)) Ь

± П±

_ 1 Р2

є(Х(1е:)1;хі,0)тА#±є(Х(1е:)1;хі,0)сіхі =

~2\ гм ) .1 Л с^)

= ^(Х(у; 1,0 )тА#±Є(Х(у; 1,0). (50)

Напомним, что согласно соотношениям (31), (2) и (34) столбец деформаций е(Х1 j1) аннулируется на берегах трещины.

Подведем итог. Возмущения ±*7# показателя Л(0) = 1/2 определяются по энергетическим, но не энтальпийным характеристикам, и потому условие (19), тесно связанное с представлениями (35), никак не может служить критерием вещественности показателей (8). Обещанный перед теоремой 4 контрпример теперь строится легко. Для однородного изотропного материала матрица M(e) пропорциональна единичной и на продолжении трещины е22 (x1, 0) = г1/2е, е = 0. Если A = diag (2^, 2^, 2^} и A#± = diag (0, ±0,0}, в > 0, то для матрицы (43) требование (19) выполнено, но выражение (50) и число 7# не равны нулю.

Литература

1. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московск. матем. общества. 1963. Т. 16. С. 219-292.

2. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками // Math. Nachr. 1977. Bd 76. S. 29-60.

3. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки в Lp ив классах Гельдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1977. Bd 77. S. 25-82.

4. Nazarov S. A., Plamenevsky B. A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1994.

5. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. Providence: Amer. Math. Soc., 1997.

6. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2001.

7. Назаров С. А. Весовые функции и инвариантные интегралы // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1990. Вып. 1. С. 17-31.

8. Назаров С. А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы // Прикладная матем. и механика. 1998. Т. 62, №3. С. 489-502.

9. Назаров С. А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности упругих полей и критерии разрушения при контакте берегов // Прикладная матем. и механика. 2005. Т. 69, №3. С. 520-532.

10. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54, № 5. С. 77-142.

11. Duduchava R., Wendland W. L. The Wiener-Hopf method for systems of pseudodifferential equations with an application to crack problems // Integral Equsations Operator Theory. 1995. Vol. 23, N 3. P. 294-335.

12. Costabel M., Dauge M. Crack singularities for general elliptic systems // Math. Nachr. 2002. Bd 235. S. 29-49.

13. Dundurs J. Effect of elastic constants on stress in composite under plane deformations // J. Compos. Mater. 1967. Vol. 1. P. 310.

14. Irwin G. R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1957. Vol. 24, N 3. P. 361-364.

15. Новожилов В. В. К основам теории равновесных трещин в упругих телах // Прикл.

матем. и механика. 1969. Т. 33. Вып. 5. С. 797-812.

16. Аргатов И. И., Назаров С. А. Высвобождение энергии при изломе трещины в плоском

анизотропном теле // Прикл. матем. и механика. 2002. Т. 66, №3. С. 502-514.

17. Назаров С. А. Коэффициенты интенсивности напряжений и условия девиации трещины в хрупком анизотропном теле // Прикладная механика и техническая физика. 2005. Т. 46, №3. С. 98-107.

18. Леонов М. Я., Панасюк В. В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. 1959. Т. 5, №4. C. 391-401.

19. Dugdale D. S. Yielding of sheets containing slits // J. Mech. and Phys. Solids. 1960. Vol. 8, №2. P. 100-104.

20. Мазья В. Г., Назаров С. А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях границы вблизи угловых и конических точек // Труды московского матем. общества. 1987. Т. 50. С. 79-129.

21. Mazja W. G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestörten Gebieten. 1. Berlin: Akademie-Verlag. 1991. 432 S. (Английский перевод: Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1. Basel: Birkhauser Verlag, 2000. 435 p.)

22. Назаров С. А. Асимптотическая модель критерия Гриффитса при слабом искривлении и изломе трещины // Доклады РАН. 2006. Т. 408, №4. С. 476-480.

23. Назаров С. А. Сценарии квазистатического роста трещины при слабом искривлении и изломе // Прикладная матем. и механика. 2008. Т. 72.

24. Griffith A. A. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1920. Vol. 221. P. 163-198.

25. Назаров С. А. Квазистатическая модель эволюции межфазной поверхности внутри твердого деформированного тела // Прикладная матем. и механика. 2006. Т. 70, № 3. С. 458472.

26. Назаров С. А. Тонкие упругие покрытия и поверхностная энтальпия // Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 60-74.

27. Leblond J. B. Basic results for elastic fracture mechanics with frictionless contact between the crack lips // Eur. J. Mech. Solids. 2000. Vol. 19. P. 633-647.

28. Comninou M. The interface crack // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1977. Vol. 44, №4. P. 631-636.

30. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Об особенностях решений задачи Дирихле во внешности тонкого конуса // Матем. сборник. 1983. Т. 122, №4. С. 435-456.

Статья поступила в редакцию 18 мая 2008 г.